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第一章 集合与常用逻辑用语
1.4充分必要条件
学习目标
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念，判定定理与充分条件，性质定理与必要条件，数学定义与充要条件的关系
2.结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法
3. 能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(
核 心 素 养
1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．
2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养.
【知识导学】
知识点一　　　命题的概念及结构
(1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．
(2)当命题表示为“若p，则q”时， p是命题的条件， q是命题的结论．
知识点二 充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 p q pq
条件关系 p是q的充分条件q是p的必要条件 p不是q的充分条件q不是p的必要条件
名师点拨
p q的含义
(1)“若p，则q”形式的命题为真命题．
(2)由条件p可以得到结论q.
(3)p是q的充分条件或q的充分条件是p；
q是p的必要条件或p的必要条件是q.
(4)只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的，q对于p的成立是必要的．
(5)为得到结论q，具备条件p就可以推出．
显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p q，只是说法不同而已．
注意
不能将“若p，则q”与“p q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p q”
知识点三
充要条件
一般地，如果既有p q，又有q p，就记作p q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件
（1）如果p q，那么p与q互为充要条件．
(2)若p q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．
(3)若q p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．
(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件
名师点拨
(1)p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”．
(2)要判断p是不是q的充要条件，需要进行两次判断：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p.若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件
知识拓展
从集合的角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：
(1)若A B，则p是q的充分条件；
(2)若A B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；
(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；
(6)若AB且A B，则p是q的既不充分又不必要条件．
（1）（2021·全国高一课时练习）如果命题“”是真命题，那么①是的充分条件 ②是的必要条件 ③是的充分条件 ④是的必要条件，其中一定正确的是（ )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【解析】
根据必要条件和充分条件的含义，为真，则是的充分条件，是的必要条件，所以①④正确，所以正确选项为B.
（2）设p：“四边形为菱形”，q：“四边形的对角线互相垂直”，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】.若四边形为菱形，则该四边形的对角线互相垂直，即p q；反之，当四边形的对角线互相垂直时，该四边形不一定是菱形，故qp，所以p是q的充分不必要条件．
(3) （2021·浙江高一课时练习）“”是“”的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，解得，
不能推出， 能推出
故是的必要不充分条件.
故选：B.
(4)（2021·四川达州高三三模（理））已知命题，命题．p是q的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
当时，，故不充分；
当时，即，即，
所以且或且；故不必要；
故选：D
(5)ac＝bc”是“a＝b”的________条件．
【答案】必要不充分
【解析】：若ac＝bc，当c＝0时不一定有a＝b；反之若a＝b，则有ac＝bc成立．故ac＝bc是a＝b的必要不充分条件．
充分、必要、充要条件的判断
【例1】　指出下列各题中p是q的什么条件．
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等．
(3) p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；
(4)p：a＞b，q：ac＞bc.
【答案】（1）充分不必要条件，(2) 必要不充分条件(3) 充要条件．
（4）既不充分也不必要条件
【解析】(1)x－3＝0 (x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．
(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等 两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．
(3)因为x＝1或x＝2 x－1＝，x－1＝ x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．
(4)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b，
故p是q的既不充分也不必要条件
［方法技巧］
充分条件、必要条件的判定方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断
［变式训练］
（1）（2021·全国高一课时练习）已知，，则（ ）
A．是的充分条件 B．是的必要条件
C．命题是真命题 D．命题是假命题
【答案】B
【解析】当时，可以得到，即，所以是的必要条件,原语句不是命题形式，不能判断真假，所以C、D错误，所以正确选项为B.
（2）设则“且”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若x≥2且y≥2，则x2≥4，y2≥4，所以x2+y2≥8，即x2+y2≥4；若x2+y2≥4，
则如（-2，-2）满足条件，但不满足x≥2且y≥2．所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要条件．故选A．
（3）“x<2”是“<0”的(　　)
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】：选A.由<0得x－2<0得x<2，即“x<2”是“<0”的充要条件，故选A.
充分条件、必要条件、充要条件的应用
例2 (1) 已知p：关于x的不等式(2)已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}；命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且q是p的必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】（1）m≤3（2）m≥
【解析】（1）记A＝若p是q的充分条件，则A B.
注意到B＝{x|0①若A＝ ，即≥，解得m≤0，此时A B，符合题意；
②若A≠ ，即<，解得m>0，
要使A B，应有
综上可得，实数m的取值范围是m≤3.
(2)由已知可得
A＝y＝2－，x∈R}＝y≥－}，
B＝{x|x≥－2m}．
因为q是p的必要条件，
所以p q，所以A B，
所以－2m≤－，所以m≥，
即实数m的取值范围是m≥.
［方法技巧］
根据充分条件或必要条件求参数的取值范围步骤
（1）先将命题p，q等价转化，（2）根据充分条件或必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，（3）根据集合端点或数形结合建立关于参数的不等式(组)进行求解．
［变式训练］
（1）已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若
p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】{m|0＜m≤3}
【解析】（1）　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，
故有或，
解得m≤3.又m＞0，
所以实数m的取值范围为{m|0＜m≤3}
(2)已知p：x2＋x－6＝0，q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分条件，求m的值；
【答案】m＝－或m＝
【解析】x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3，
令A＝{2，－3}，B＝，
∵q是p的充分条件，∴B A.
当－＝2时，m＝－；当－＝－3时，m＝.
所以m＝－或m＝.
充要条件的证明
例3求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
【证明】　充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)
因为ac<0，
所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，
所以方程一定有两个不等实根．
设两根为x1，x2，则x1x2＝<0，
所以方程的两根异号．
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac<0)
因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝<0，即ac<0.
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
［方法技巧］
充要条件的证明思路：
(1)根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，
分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，若证明“p的充要条件是q”那么“充分性”是qp,“必要条件”是pq
(2)在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性( )，也可以直接证明充要性．
［变式训练］
求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[证明]　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：a＋b＋c＝0.
①证明p q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，
即a＋b＋c＝0.
②证明q p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴x＝1是方程的一个根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断．
(2)等价法：“p q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．
(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充分必要条件．
课堂达标检测
（1）（2021·全国高一课时练习）设p：x<3，q：-1A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
∵，∴，但，∴是成立的必要不充分条件，故选C.
（2）“a＋b>2”的一个充分条件是(　　)
A．a>1或b>1 B．a>1且b<1
C．a>1且b>1 D．a>1或b<1
答案　C
【解析】　对于A，a>1或b>1，不能保证a＋b>2成立；对于B，a>1且b<1，不能保证a＋b>2成立；对于C，a>1且b>1，由不等式的性质知，a＋b>2，故C正确；对于D，a>1或b<1，不能保证a＋b>2成立．故选C.
（3）（2021·全国高一课时练习）已知“是的充分不必要条件”、“是的必要不充分条件”、“是的充要条件”，则①是的充分不必要条件；②是的充分不必要条件；③是的必要不充分条件；④是的必要不充分条件其中正确结论的序号为________.
【答案】①②
【解析】
画出推出关系图，如图，可以看出①②正确.
（4）已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x＜0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
【答案】0＜a＜3
【解析】
　令M＝{x|a≤x≤a＋1}，
N＝{x|x2－4x＜0}＝{x|0＜x＜4}．
∵p是q的充分不必要条件，∴M N，
∴解得0＜a＜3.

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