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第一章 集合与常用逻辑用语
1.5全称量词与存在量词
学 习 目 标
1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义.
2.掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判定．
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
核 心 素 养
1.通过含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养.
2.借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算素养.
【知识导学】
知识点一　　　全称量词和全称量词命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．全称量词命题形式：“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为 x∈M，p(x)．
(2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等．
知识点二　　　存在量词和存在量词命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．存在量词命题形式：“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“ x∈M，p(x)”
(2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等．．
知识点三
含有一个量词的命题的否定﹁
一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：
全称量词命题p： x∈M，p(x)，它的否定﹁p： x∈M，﹁p(x)；
存在量词命题p： x∈M，p(x)，它的否定﹁p： x∈M，﹁p(x)．
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
名师点拨
（1）全称量词命题的真假判断:要判断一个全称命题量词是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判断一个全称量词命题是假命题,只需列举出一个∈M,使得p()不成立即可
（2）.存在量词命题的真假判断:要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个,使得命题p()成立即可;否则这一命题就是假命题.
（3）全称量词命题和存在量词命题的否定，在否定结论p(x)的同时，还要改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词. 全称量词命题(或存在量词命题)与其否定的真假性恰好相反.
（1）（2021·全国高一课时练习）下列命题含有全称量词的是 （ )
A．某些函数图象不过原点 B．实数的平方为正数
C．方程有实数解 D．素数中只有一个偶数
【答案】B
【解析】 “某些函数图象不过原点”即“存在函数，其图象不过原点”；“方程有实数解”即“存在实数，使”；“素数中只有一个偶数”即“存在一个素数，它是偶数”，这三个命题都是存在量词命题，“实数的平方为正数”即“所有的实数，它的平方为正数”，是全称量词命题，其省略了全称量词“所有的”，所以正确选项为B.
（2）（2021·湖南天心长郡中学高三其他（文））已知命题，，则命题的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】
命题为特称命题，其否定为，.
故选：C.
（3）命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】：根据全称命题的否定是特称命题，将全称量词换为存在量词，不等号换为＞，可得命题“”的否定为“”，
故选：B.
（4）（2021·全国高一课时练习）命题“有些一元一次不等式的解集是空集”是__________；（全称量词命题、存在量词命题）
【答案】存在量词命题
【解析】
原命题即是“存在一元一次不等式的解集是空集”，所以答案为“存在量词命题”
全称量词命题与存在量词命题的辨析
例1　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“ ”或“ ”表示下列命题：
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)存在实数x，满足x2≥2；
(3)有些平行四边形的对角线不互相垂直；
(4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．
【答案】见解析
【解析】　(1)是全称量词命题，表示为 x∈N，x2≥0.
(2)是存在量词命题，表示为 x∈R，x2≥2.
(3)是存在量词命题，表示为 四边形是平行四边形，但四边形的对角线不互相垂直．
(4)是存在量词命题， a∈R，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大
规律方法
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题
(1) 判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题
(2) 若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题．
(3)全称量词命题有时会省略全称量词, 要注意根据命题的含义进行判断，但存在量词命题的量词一般不能省略.
变式训练
（1）．给出下列命题：
①存在实数x＞1，使x2＞1；
②全等的三角形必相似；
③有些相似三角形全等；
④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．
其中存在量词命题的个数为(　　)
A．1　　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
【答案】：选C.
【解析】①③④为存在量词命题，②为全称量词命题．故选C.
（2）．用量词符号“ ”“ ”表述下列命题．
(1)所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立；
(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；
（4）所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数．
【答案】见解析
【解析】：(1) x∈R，x2＋x＋1>0.
(2) a，b∈R，ax＋b＝0恰有一个解．
(3) x，y∈Z，3x－2y＝10.
(4) x∈Q，x2＋x＋1是有理数．
全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例2.判断下列命题的真假．
(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；
(2) x，y为正实数，使x2＋y2＝0；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(4) x∈N，x2>0.
【答案】（1）假命题(2) 假命题(3) 真命题(4) 假命题
【解析】　(1)因为面积相等的三角形不一定相似．故它是假命题．
(2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，
所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题．
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“ x∈N，x2>0”是假命题．
方法技巧
判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法：
(1)要判断一个全称量词命题为真，必须对在给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假．
(2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在量词命题为假，必须对在给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)为假．
变式训练
（1）．（2021·全国高一课时练习）下列命题中，是真命题的全称量词命题的是 （ )
A．对于实数，有
B．梯形两条对角线相等
C．有小于1的自然数
D．函数的图象过定点
【答案】D
【解析】
选项A是全称量词命题，，故A是假命题；B是假命题；“存在小于1的自然数”，C是存在量词命题；D项，对于所有，函数的图象过定点，所以正确选项为D.
（2）（2021·浙江高一课时练习）判断下列命题是全称命题还是存在量词命题，并判断真假．
(1)对所有的实数a，b，关于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解．
(2)存在实数x，使得 .
【答案】（1）假命题； （2）假命题.
【解析】
(1)该命题是全称命题．
当a＝0，b≠0时方程无解，故该命题为假命题．
(2)该命题是特称命题．
∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴.
故该命题是假命题．
全称量词命题与存在量词命题的否定
例3.写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：所有的方程都有实数解；
(2)q： x∈R，4x2－4x＋1≥0；
(3)r： x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(4)s：某些平行四边形是菱形．
【解析】　(1) ﹁p：存在一个方程没有实数解，真命题．比如方程x2＋1＝0就没有实数解．
(2) ﹁q： x∈R，4x2－4x＋1<0，假命题．
由于 x∈R，4x2－4x＋1＝(2x－1)2≥0恒成立，是真命题，
所以﹁q是假命题．
(3) ﹁r： x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．
(4) ﹁s：每一个平行四边形都不是菱形，假命题
规律方法
(1)一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到其量词的位置及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论.
(2)对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再依据规则来写出命题的否定.
变式训练
（1）（2021·全国高一课时练习）命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是 （ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】
命题“有些实数的绝对值是正数”的否定应该是“所有实数的绝对值都不是正数”，所以正确选项为C.
（2）已知命题,，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】
由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题,，
则，，故选A．
类型4
全称量词命题与存在量词命题的应用
例4对于任意实数x，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，求m的取值范围．
【答案】{m|m<－5}
【解析】　令y＝x2＋4x－1，x∈R，
则y＝(x＋2)2－5，
因为 x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，
所以只要m<－5即可．
所以所求m的取值范围是{m|m<－5}
规律方法
求解含有量词的命题中参数范围的策略
1 对于全称量词命题“ x∈M，a＞y或a＜y”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值或最小值，即a＞ymax或a＜ymin.
2对于存在量词命题“ x∈M，a＞y或a＜y”为真的问题，实质就是不等式有解，通常转化为求函数y的最小值或最大值，即a＞ymin或a＜ymax.
变式训练
（1）（2021·宁夏原州 固原一中高三其他（理））已知命题“，”是假命题，则实数m的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
若命题“，”是假命题，则“，”为真命题，
则只需满足，解得.
故答案为：.
(2)（2021·浙江高一课时练习）命题“对任意x∈{x|x≥1}，x2＋x＋m≥0”是假命题．求实数m的取值范围．
【答案】
【解析】
若原命题是真命题，
即对任意x∈{x|x≥1}，x2＋x＋m≥0恒成立．
令f(x)＝x2＋x＋m，则f(1)≥0，即2＋m≥0.
解得m≥－2.
要使原命题是假命题，则实数m的取值范围是m<－2.
1．判定一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的主要方法是看命题中含有哪种量词，判定时要特别注意省略量词的全称量词命题．
2．要判定一个全称量词命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题，只要举出一个反例即可；对存在量词命题真假的判定方法正好与之相反．
3．全称量词命题与存在量词命题的否定，其模式是固定的，即把相应的全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词，并把命题的结论加以否定．
课堂达标检测
（1）（2021·黑龙江道里 哈尔滨三中高二期末（理））已知命题P： x，y∈（0，3），x+y＜6，则命题P的否定为（ ）
A． x，y∈（0，3），x+y≥6 B． x，y （0，3），x+y≥6
C． x0，y0 （0，3），x0+y0≥6 D． x0，y0∈（0，3），x0+y0≥6
【答案】D
【解析】 P： x，y∈（0，3），x+y＜6，
,
故选：D
（2）命题：“，”的否定为（ ）
A．, B．,
C．, D．,
【答案】A
【解析】即￢p： x∈R，x2+1≥2x，
故选：A．
（3）（2021·浙江高一课时练习）下列命题的否定是真命题的是（ ）
A．有些实数的绝对值是正数
B．所有平行四边形都不是菱形
C．任意两个等边三角形都是相似的
D．3是方程的一个根
【答案】B
【解析】
A的否定：所有实数的绝对值不是正数,假命题,
B的否定：有些平行四边形是菱形, 真命题,
C的否定: 有些等边三角形不相似, 假命题,
D的否定: 3不是方程的一个根, 假命题,
选B．
（4）（2021·湖南雁峰 衡阳市八中高二期中）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，∴要使恒成立，
则恒成立，即，

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