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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1等式性质与不等式性质（一）
学习目标
1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．
2．会用比较法比较两实数或式的大小．
核 心 素 养
1. 借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养．
2. 通过大小比较，培养数学运算
3.通过不等式证明提升逻辑推理素养
【知识导学】
1．不等关系
不等关系常用不等式来表示
　　2.两个实数大小的比较
(1)a>b a－b>0；
(2)a＝b a－b＝0；
(3a3.作差比较法
方法步骤：①作差；②整理；③判断符号；④下结论
4.重要不等式
一般地， a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，
当且仅当a＝b时，等号成立．
名师点拨
作差法中常用的变形手段是:分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积
者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用．
初试身手
1.某工厂在招标会上，购得甲材料x吨，乙材料y吨，若维持工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要120吨，则x，y应满足的不等关系是(　　)
A．x＋y>120　　　　　　　 B．x＋y<120
C．x＋y≥120 D．x＋y≤120
【答案】：C
2.某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为(　　)
A．v≤120 km/h且d≥10 m
B．v≤120 km/h或d≥10 m
C．v≤120 km/h
D．d≥10 m
【答案】A
【解析】　v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m，故选A.
3.a,b的和是非负数表示的不等关系为________
【答案】a+b≥0
4.（2021·全国高一课时练习）比较和的大小.
【答案】
【解析】:因为
,
所以
用不等式(组)表示不等关系
【例1】　京沪线上，复兴号列车跑出了350 km/h的速度，这个速度的2倍再加上100 km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．
[解]　设复兴号列车速度为v1，
民航飞机速度为v2，
普通客车速度为v3.
v1、v2的关系：2v1＋100≤v2，
v1、v3的关系：v1＞3v3.
［方法技巧］
在用不等式组表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个或几个量之间不可用不等式组来表示.另外，在用不等式组表示实际问题时，一定要注意单位的统一.
［变式训练］
为了全面贯彻党的教育方针，落实“立德树人”的根本任务，切实改变边远地区孩子上学难的问题，某市政府准备投资1 800万元兴办一所中学.经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是___________.
【答案】：
【解析】设该校有初中班x个，高中班y个，
则有：
比较两数(式)的大小
例2（1）（2021·全国高一课时练习）已知，比较与的大小.
【答案】
【解析】
，，
又，
.
(2)已知a≥1，试比较M＝－和N＝－的大小．
【答案】M【解析】因为a≥1，
所以M＝－>0，N＝－>0.
所以＝＝.
因为＋>＋>0，
所以<1，所以M［方法技巧］
(1)作差法
一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．
(2)作商法
一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．
［变式训练］
（1）（2021·全国高一专题练习）已知实数，记，则(　　)
A． B． C． D．大小不确定
【答案】B
【解析】
作差比较，，所以，故选： B
（2）已知a∈R，且a≠1，比较a+2与的大小.
【答案】当时，；当时，
【解析】
我们不难发现：分式中分子始终为正值，所以：时
当时，；
故：当时，；当时，
不等关系的实际应用
例3.某学校组织老师去某地参观学习，需包车前往.甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说：“你们属团体票按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的.试根据去的老师人数，比较两车队的收费哪家更优惠.
【答案】当去的老师人数为5时，两车队收费相同；当去的老师人数多于5时，选甲车队更优惠；当去的老师人数少于5时，选乙车队更优惠.
【解析】
设该学校组织去学习的老师有人（），全票价为元，坐甲车队的车需花元，坐乙车队的车需花元，
则，，
所以.
当时，；
当时，；
当时，.
所以当去的老师人数为5时，两车队收费相同；当去的老师人数多于5时，选甲车队更优惠；当去的老师人数少于5时，选乙车队更优惠.
故得解.
［方法技巧］
解决决策优化型应用题关键在于将生活实际中的量转化为数学的符号或相关的式子然后再用作差法比较它们的大小即可．
［变式训练］
（2021·浙江高一课时练习）甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b．若a≠b，试判断哪辆车先到达B地．
【答案】甲先到达B地．
【解析】
设两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为，则，．
方法一 因为，即，所以甲先到达B地．
方法二 ，因为，a≠b所以，从而，即，所以甲先到达B地．
课堂小结
1．比较两个实数的大小a－b>0 a>b；a－b＝0 a＝b；a－b<0 a2．作差法比较大小的一般步骤
一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．
(2)作商法比较大小的一般步骤①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论
课堂达标检测
(1)完成一项装修工程，请木工需付工资每人400元，请瓦工需付工资每人500元，现有工人工资预算不超过20 000元．设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是(　)
A．4x＋5y≤200 B．4x＋5y<200
C．5x＋4y≤200 D．5x＋4y<200
　【答案】A
[解析]　由题意，可得400x＋500y≤20 000，化简得4x＋5y≤200，故选A
（2）（2021·湖北东西湖 华中师大一附中高一期中）已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，即
本题正确选项：
（3）（2021·浙江高一单元测试）已知，，则和的大小关系为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】s﹣t=a+b2+1﹣a﹣2b=b2﹣2b+1=（b﹣1）2≥0，
故有 s≥t，
故选D．
（4）一辆汽车原来每天行驶x km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写成不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________．
【答案】8(x＋19)>2 200　8x>9(x－12)
【解析】：
①原来每天行驶x km，现在每天行驶(x＋19)km.则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km”，
写成不等式为8(x＋19)>2 200.
②若每天行驶(x－12)km，
则不等关系“原来行驶8天的路程现在花9天多时间”，
写成不等式为8x>9(x－12)．
（5）（2021·全国高一课时练习）证明：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积，并据此说明，人们通常把自来水管的横截面制成圆形，而不是正方形的原因.
【答案】见解析
【解析】
证明，设圆的周长与正方形的周长均为x，则圆的面积，
正方形的面积，，.
∴相同材料制成的自来水管，截面为圆的截面面积大，因而出水快.