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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1等式性质与不等式性质（二）
学 习 目 标
1.掌握不等式的性质．
2．能用不等式的性质证明不等式或解决范围问题
3．通过类比等式与不等式的性质，探索两者之间的共性与差异.
核 心 素 养
1.通过不等式性质的判断与证明，培养逻辑推理素养．
2．借助不等式性质求范围问题，提升数学运算素养.
【知识导学】
知识点一　　　等式的性质
(1) 性质1 如果a＝b，那么b＝a；
(2) 性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
(3) 性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
(4) 性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
(5) 性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝.
知识点二 不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c a＞c.
(3)可加性：a＞b a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ac＜bc.
(5)加法法则：a＞b，c＞d a＋c＞b＋d.
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd.
(7)乘方法则：a＞b＞0 an＞bn＞0(n∈N，n≥2)
名师点拨
1．关于不等式性质的理解
两个同向不等式可以相加，但不可以相减， 2．常用的结论
(1)a>b，ab>0 <；
(2)若a>b>0，m>0， <；
初试身手
（1）（2021·全国高一课时练习）已知，那么的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由，则，所以，所以，故选C.
（2）（2021·哈尔滨德强学校高一期末）设是非零实数，，若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由不等式性质：不等式两边同时加上或减去同一个数不等号方向不变，知D正确，
若，均不正确，若，则不正确．
故选：D.
（3）与a>b等价的不等式是(　　)
A．|a|>|b| B．a2>b2
C.>1 D．a3>b3
【答案】D
【解析】可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A、B正确而不满足a>b.再令a＝－3，b＝－1，则C正确而不满足a>b，故选D
（4）（2021·全国高一课时练习）已知，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
因为，则，
又由，根据不等式的基本性质，可得，
所以的取值范围是.
利用不等式性质判断命题真假
例1（2021·浙江高一课时练习）对于实数，判断下列命题的真假．
（1）若，则．
（2）若，则．．
（3）若，则．
（4）若，则．
（5）若，，则．
【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）真命题；（5）真命题；（6）真命题.
【解析】
（1）由于c的符号未知，因而不能判断与的大小，故该命题是假命题．
（2），，，，故该命题为真命题．
（3）,
又,故该命题为真命题．
（4），，
，．故该命题为真命题．
（5）由已知条件，得，
，．又，．
故该命题为真命题．
［方法技巧］
运用不等式的性质判断正误的两种方法：（1）直接法：对于正确的要用不等式性质证明，对于错误的，只需举出一个反例即可。要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.
（2）特殊值法：注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.；三所取的值要有代表性
［变式训练］
（2021·全国高一开学考试）（多选题）下列命题为真命题的是（）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若且，则
【答案】BCD
【解析】
选项A：当时，不等式不成立，故本命题是假命题；
选项B: ，所以本命题是真命题；
选项C: ，所以本命题是真命题；
选项D: ，所以本命题是真命题，所以本题选BCD.
利用不等式性质证明简单不等式
例2.若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.．
[证明]　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.
两边同乘以，
得＜.
又e＜0，∴＞.
［方法技巧］
1利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.
2应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
（3）若不能直接由不等式的性质直接得到，可先分析需要证明的不等式的结构．然后利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．
［变式训练］
(1)已知c>a>b>0，求证：>；
(2)已知a，b，x，y都是正数，且>，x>y，求证：>.
证明　(1)∵a>b，∴－a<－b，又c>a>b>0，∴0∴>>0.又∵a>b>0，∴>.
(2)∵a，b，x，y都是正数，且>，x>y，∴>，故<，则＋1<＋1，即<.
∴>.
利用不等式的性质求取值范围
(1)已知2【答案】－8【解析】∵3≤b<10，∴－10<－b≤－3.
又2又＜≤，∴<≤.
（2）　已知1≤a－b≤2，且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围．
【答案】5≤4a－2b≤10
【解析】　令a＋b＝μ，a－b＝v，
则2≤μ≤4,1≤v≤2.
由解得
因为4a－2b＝4·－2·
＝2μ＋2v－μ＋v＝μ＋3v，
而2≤μ≤4,3≤3v≤6，
所以5≤μ＋3v≤10.
所以5≤4a－2b≤10.
［方法技巧］
利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
[注意]　求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．　
［变式训练］
(1)若角α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是________．
【答案】
【解析】　因为－<α<β<，所以－<α<，－<β<，－<－β<，而α<β，所以－π<α－β<0，所以2α－β＝(α－β)＋α∈.
（2）若实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤≤9，则的最大值是________．
【答案】27
【解析】：由3≤xy2≤8,4≤≤9，可知x>0，y>0，且≤≤，16≤≤81，得2≤≤27，故的最大值是27.
课堂小结
1.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.
2．在应用不等式性质时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．
3．利用不等式的性质求取值范围时，注意整体带环的应用，在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.
课堂达标检测
（1）（2021·四川遂宁 高一期末）设，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
对A，当时，不成立，故A错
对B，若为正数，为负数，不成立，故B错
对C，由，所以，所以成立，故C正确
对D，当时，不成立，故D错
故选：C
（2）（2021·安徽金安六安一中高一期中（文））已知二次函数的图象过原点，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解： 二次函数的图像过原点，
设二次函数为：，
，，
……①，……②，
则3①+6②得：即，
故选：B.
（3）（2019·山东济宁 高一月考）若，则的范围为_______________
【答案】
【解析】
依题意可知，由于，由不等式的性质可知.
故填：.
（4）（2021·全国高一课时练习）日常生活中，在一杯含有克糖的克糖水中，再加入克糖，则这杯糖水变甜了.请根据这一事实提炼出一道不等式，并加以证明.
【答案】，，，证明见解析
【解析】
由题知：原来糖水的浓度为，
加入克糖后的浓度为，，.
因为这杯糖水变甜了，所以，
整理得：，，.
因为，
又因为，，所以，，，
所以，即证.

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