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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2基本不等式（二）
学 习 目 标
（1）能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小
（2）会用基本不等式求解实际应用题．
核 心 素 养
（1）.通过不等式的证明，培养逻辑推理素养
（2）借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.
（3）基本不等式的综合问题提高数学运算素养
【知识导学】
知识点一 两个 重要不等式
（1） a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
（2）如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立．我们把这个不等式称为基本不等式
知识点二　基本不等式的实际应用
基本不等式常用于求解与最值有关的实际问题，具体步骤如下：
(1)先理解题意，设出变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为因变量．
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．
(3)在自变量取值范围内，求出函数的最大值或最小值．
(4)根据实际意义写出正确的答案．
名师点拨
由基本不等式变形得到的常见结论
(1)ab≤2≤(a，b∈R)；
(2) ≤≤≤(a>0，b>0)；
(3)＋≥2(a，b同号)；
(4)(a＋b)≥4(a，b同号)；
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
初试身手
（1）已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是(　　)
A．a2＋b2 B．2
C．2ab D．a＋b
【答案】　D
【解析】　∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，b2＜b，
∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab(∵a≠b)，
∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.
又∵a＋b＞2(∵a≠b)，∴a＋b最大．
（2）（2021·全国高一开学考试）（多选）已知、均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
对于A，，当且仅当时等号同时成立；对于B，，当且仅当时取等号；
对于C，，当且仅当时取等号；
对于D，当，时，，，，
所以.
故选：AD.
（3）y＝x＋(x>2)的最小值为6，则正数m的值为________．
【答案】　4
【解析】　∵x>2，m>0，∴y＝x－2＋＋2≥2＋2＝2＋2，当且仅当x＝2＋时取等号，又函数y＝x＋(x>2)的最小值为6
. （4）（2021·全国高一课时练习）某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量为 _____________ ；
【答案】20吨
【解析】
由题意，总的费用，当时取“=”，所以答案为20吨。
类型一
利用基本不等式比较大小
例1.已知a＞1，则，，三个数的大小顺序是(　　)
A.＜＜ B.＜＜
C.＜＜ D.＜≤
[答案]　C
[解析]　当a，b均为正数时，有≤≤≤ ，
令b＝1，得≤≤.
又a＞1，即a≠b，故上式不能取等号，应选C.
［方法技巧］
在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能．
［变式训练］
已知：a>0，b>0，且a＋b＝1，试比较＋，，4的大小．
[答案]∴＋≥4≥
[解析]　∵a＞0，b＞0，a＋b≥2，
∴ab≤.
∴＋＝＝≥4，
＝＝－ab≥－＝，
即≤4.
∴＋≥4≥
类型二
利用基本不等式证明不等式
例2.（1）（2021·浙江高一单元测试）已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,求证：(-1)(-1)(-1)≥8．
【答案】证明见解析
【解析】
证明：因为a, b, c且a+b+c=1，所以．
（2）已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
[证明]　由基本不等式可得
a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，
同理，b4＋c4≥2b2c2，
c4＋a4≥2a2c2，
∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，
从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
［方法技巧］
利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题时要时刻注意等号能否取到．
［变式训练］
（1）　（2021·全国高一课时练习）已知、、，，求证
【答案】证明见解析
【解析】
证明：
，
故，当且仅当时取等号
（2）已知a，b，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明：因为a，b，c＞0，所以利用基本不等式可得＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，所以＋＋＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，故＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
类型三
利用基本不等式解实际应用题
例3.某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1＝18－，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2＝(注：利润与投资金额单位：万元)．
(1)该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和表示为x的函数，并写出x的取值范围；
(2)在(1)的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？
[答案] （1）0≤x≤100（2）A 20万元，B 80万元，最大利润为28万元
[解析]　(1)其中x万元资金投入A产品，则剩余的(100－x)万元资金投入B产品，
利润总和y＝18－＋＝38－－(0≤x≤100)．
(2)∵y＝40－－，x∈[0,100]，
∴由基本不等式，得y≤40－2＝28，当且仅当＝，即x＝20时，等号成立．
答：分别用20万元和80万元资金投资A，B两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元．
［方法技巧］
利用基本不等式解决实际问题的思路
（1）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数，根据实际问题建立函数的表达式.
(2)一定要注意变量的实际意义，从而指明函数自变量的取值范围；
(3)一般利用基本不等式求解最值问题时，通常要指出取得最值时的条件，即“等号”成立的条件；一定要在使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解.
［变式训练］
　（2021·浙江高一课时练习）某工厂拟建一个平面图形为矩形，且总面积为平方米的三级污水处理池，如图R3－1所示.已知池外墙造价为每米元，中间两条隔墙造价为每米元，池底造价为每平方米元（池壁的厚度忽略不计，且污水处理池无盖）.若使污水处理池的总造价最低，那么污水处理池的长和宽分别为（ ）
A．米，米 B．米，米 C．米, 米 D．米，米
【答案】C
【解析】
设污水池的宽为米，则长为米，总造价为，则（元），
当且仅当时，即当时，总造价最低，
此时，污水池的宽为米，长为米.
故选：C.
类型四
基本不等式的综合问题
例四．（2021·枣庄市第三中学高一月考）已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式≥4恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．[，+∞） B．[2，+∞） C．（0，] D．（，2]
【答案】B
【解析】
要使不等式≥4恒成立，只需，
，
，
，
，
，
，
令，且，则不等式化为，
解得，即，.
故选：B.
［方法技巧］
恒成立问题有解问题既是求最大值最小值问题，利用基本不等式求出最值，从而得出参数的范围
［变式训练］
（2021·山东省枣庄市第十六中学高一月考）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为______．
【答案】9.
【解析】由得恒成立，而，故，
所以的最大值为.
课堂小结
本节是基本不等式式的应用，求最值时，要注意使用的条件“一正二定三相等”，三个条件缺一不可，不等式证明，不等式的应用基本不等式是经常使用的工具，有时为了达到使用基本不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用基本不等式的情境．
课堂达标检测
1．若a，b∈R，判断大小关系：a2＋b2________2|ab|.(　　)
A．≥　　　　　　　　　　 B．＝
C．≤ D．＞
[答案]． A.
[解析]：由基本不等式得
a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|＝2|ab|，
当且仅当|a|＝|b|时，等号成立．
2.已知x＞0，y＞0，x≠y，则下列四个式子中值最小的是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　解法一：∵x＋y＞2，
∴＜，排除D；
∵＝＝＞＝，
∴排除B；
∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＜2(x2＋y2)，
∴＞ ，排除A.故选C.
解法二：取x＝1，y＝2.
则＝；＝；
＝；＝＝.
其中最小．故选C.
3．（2021·河南濮阳高一期末（理））以长为10的线段AB为直径作半圆，则它内接矩形面积的最大值为____________．
【答案】25
【解析】
根据题意可得半圆的半径为，设矩形的宽为，
由勾股定理可得：矩形的长为，
则矩形的面积
.当且仅当时取得最大值.
故答案为：.
4．已知a，b，c，d都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
证明：由a，b，c，d都是正数，得
≥，
≥，
所以≥abcd，
即(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.

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