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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2基本不等式（一）
学习目标
1.了解基本不等式的证明过程．
2．熟练掌握基本不等式及变形的应用.
3. 能够运用基本不等式求函数或代数式的最值
核 心 素 养
1.通过不等式的证明，培养逻辑推理素养．
2．借助基本不等式求简单的最值问题，提升数学运算素养.
【知识导学】
知识点一 重要不等式
a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
知识点二．基本不等式
如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立．我们把这个不等式称为基本不等式
在基本不等式中， 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
名师点拨
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)．
(2)两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”．
知识点三．基本不等式与最值
已知x＞0，y＞0，则
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．
(2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2．
记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小
名师点拨
（1）利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即：
①一正：符合基本不等式≥成立的前提条件，a＞0，b＞0；
②二定：化不等式的一边为定值；
③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．
以上三点缺一不可．
（2）由基本不等式求最值常见形式
当x＞0时≥2，当且仅当x=1时“=”成立
x ＜0时≤-2当且仅当x=-1时“=”成立
初试身手
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)≥对于任意实数a，b都成立．(　　)
(2)若a>0，b>0，且a≠b，则a＋b>2.(　　)
(3)若a>0，b>0，则ab≤2.(　　)
(4)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.(　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　
2.如果a>0，那么a＋＋2的最小值是(　　)
A．2　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
【答案】：选D.
【解析】因为a>0，所以a＋＋2≥2＋2＝2＋2＝4，当且仅当a＝1时取等号
3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为(　　)
A．1　　　　B．2 C．4　　　　D．8
【答案】：B
【解析】　∵a>0，b>0，∴a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2
4.（2021·吉林南关长春市实验中学高一月考（理））已知，，，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，，所以有，当且仅当时取等号，故本题选D
5.（2021·全国高一课时练习）设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（ ）
A．a＜b＜＜
B．a＜＜＜b
C．a＜＜b＜
D．＜a＜＜b
【答案】B
【解析】
因为0对基本不等式的理解
例1.下列结论正确的是(　　)
A．若x∈R，且x≠0，则＋x≥4
B．当x>0时，＋≥2
C．当x≥2时，x＋的最小值为2
D．当0【答案】　B
【解析】　对于选项A，当x<0时，＋x≥4显然不成立；对于选项B，符合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x＝，则x＝±1，均不满足x≥2；对于选项D，x－在0［方法技巧］
应用基本不等式≥(a>0，b>0)时的三个关注点（1）a，b都是正实数（2）ab或a+b有一个为定值（3）“当且仅当”的含义：当a＝b时。“=”成立
［变式训练］
下列命题中正确的是(　　)
A．当a，b∈R时，＋≥2 ＝2
B．当a＞0，b＞0时，(a＋b)≥4
C．当a＞4时，a＋≥2 ＝6
D．当a＞0，b＞0时，≥
【答案】　B
【解析】A项中，可能＜0，所以不正确；B项中，因为a＋b≥2＞0，＋≥2＞0，相乘得(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时等号成立，所以正确；C项中，a＋≥2 ＝6中的等号不成立，所以不正确；D项中，由基本不等式，知≤(a＞0，b＞0)，所以D不正确
利用基本不等式直接求最值
例2　 （1）已知，求的最小值．并求此时的值；
(2)若正实数x，y满足2x＋y＝1，求xy的最大值．
【答案】（1）4（2）
【解析】（1）因为，所以，当且仅当，即时取等号；故当时，取得最小值；
(2)因为正数x，y满足2x＋y＝1，
所以2x＋y＝1≥2，所以≤，解得xy≤，当且仅当x＝，y＝时取等号．
［方法技巧］
［方法技巧］
(1)若a＋b＝S(定)，当a＝b时，积ab有最大值，可以用基本不等式≤求得．
(2)若ab＝P(定)，则当a＝b时，和a＋b有最小值2，可以用基本不等式a＋b≥2求得．不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立．
［变式训练］
（1）．（2021·全国高一课时练习）已知，，且，则的最大值为（ ）
A．16 B．25 C．9 D．36
【答案】B
【解析】：，，且，
，
当且仅当时，取等号，
的最大值为25．
故选：．
（2）已知，求的最大值
【答案】-2
【解析】因为，所以，
所以，
所以当且仅当，即，函数的最大值为.
利用基本不等式求最值
例3.(1) （2021·黑龙江道里哈尔滨三中高一期末）函数的最小值是________
（2）（2021·上海高一开学考试）函数的取值范围________
(3)若0(4)若x，y∈(0，＋∞)，且x＋4y＝1，则＋的最小值为________
【答案】（1）8（2）或（3）（4）9
【解析】（1）因为，
所以，
取等号时，即，
所以.
（2）设，
当时，，
当且仅当时等号成立；
同理当时，，
当且仅当时等号成立；
（3）因为0所以1－2x>0，
所以y＝x(1－2x)＝×2x×(1－2x)≤＝×＝，
当且仅当2x＝1－2x，
即当x＝时，ymax＝.
(4)因为x，y∈(0，＋∞)，x＋4y＝1，
所以＋＝＋＝5＋＋≥9，
当且仅当＝，
即x＝，y＝时取等号．
［方法技巧］
利用基本不等式求函数最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．注意以下几个方面
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提
［变式训练］
(1) 已知x<，则函数y＝4x－2＋的最大值为________
(2) （2021·全国高一课时练习）函数的最小值为________
（3）已知0（4）已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值为________
【答案】（1）1（2）3（3）（4）16
【解析】y＝4x－2＋＝－＋3
≤－2＋3＝－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，
即x＝1时，上式等号成立．
故当x＝1时，ymax＝1
（2），则，，当时取“=”
(3)∵00，
y＝x(1－3x)＝·3x·(1－3x)
≤2＝.
当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，取等号，
∴当x＝时，函数取得最大值.
（4）．解析：x＋y＝(x＋y)·
＝10＋＋≥10＋2＝10＋6＝16.
即x＝4，y＝12时等号成立，所以x＋y的最小值为16.
答案：16
例4（1）已知正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，求xy的最小值；
(2)已知实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，求x＋y的最大值．
【答案】（1）18（2）
【解析】
(1)∵2x＋y＋6＝xy，
∴y＝，x＞1，xy＝＝＝＝2＝2≥2×＝18.
当且仅当x＝3时，等号成立．
(2)因为1＝x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－2，所以(x＋y)2≤，
即x＋y≤，当且仅当x＝y＞0且x2＋y2＋xy＝1，
即x＝y＝时，等号成立，x＋y的最大值为.
［方法技巧］
利用基本不等式求代数式的最值
(1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值．
(2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．
［变式训练］
（2021·江苏淮阴中学高一期中）若实数，，且满足.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值
【答案】（1）4；（2）4.
【解析】（1）∵，，
∴，即，
即，解得：，
（当且仅当时取等号），
∴的最大值为4.
（2）∵，，
，
即，
整理得：，
∴，
∴（当且仅当时取等号），
所以的最小值为4.
课堂小结
1．应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，求最值时一正，二定，三相等缺一不可
2．应用基本不等式求最大最小值有时要适当配凑，使“和”或 “积”为定值常见的方法有“拼”、“凑”、“拆”等，构造出符合基本不等式的条件结构.
才能求出最值
课堂达标检测
（1）.函数y＝3x2＋的最小值是_______
【答案】：6－3
【解析】y＝3(x2＋1)＋－3≥
2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时等号成立，故选
（2）.已知，求的最大值_______．
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，
当且仅当，
即时，的最大值为
（3）（2021·上海高一开学考试）已知，函数的最小值是________．
【答案】6
【解析】，因为，由重要不等式可知，所以．
（4）（2021·浙江高一月考）已知，且，则的最小值是__________．
【答案】.
【解析】：由题得
当且仅当时取等.
故答案为.
（5）（2021·上海高一开学考试）已知x＞0，y＞0，x＋4y＋xy＝5，则xy的最大值为__________________；x＋4y的最小值为__________________．
【答案】1 4
【解析】
由x＞0，y＞0，
则，
即，
所以，所以，
当且仅当时，取等号， 即xy的最大值为1.
化为，解得，
当且仅当时，取等号，即x＋4y的最小值为4

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