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第二章 一元二次函数、方程和不等式
二次函数与一元二次方程、不等式（二）
学 习 目 标
1了解分式不等式，高次不等式的解法
2.掌握一元二次不等式的实际应用
3.会解一元二次不等式中的恒成立问题
核 心 素 养
1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养.
2.借助一元二次不等式的应用培养抽象转化，数学建模素养.
【知识导学】
知识点1．分式不等式的解法
主导思想：化分式不等式为整式不等式
＞0(＜0)(其中a，b，c，d为常数) (ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0)
≥0(≤0) (其中a，b，c，d为常数)
＞k(其中k为非零实数) 先移项通分转化为上述两种形式
知识点2．高次不等式的解法
不等式次数高于二的不等式成为高次不等式
规律方法（数轴标根法）
①将不等式化为标准形式，一端为0，另一端为一次因时乘绩的形式（一次项系数为正）
②求出各因式的跟在数轴上标出
③从右上起用曲线从右向左依次由各根穿过数轴，注意寄次跟穿过偶次跟不穿过
④记数轴上方为正，下方为负，根据符号写出解集（注意端点的取舍）
知识点3
不等式的解集为R(或恒成立)的条件
1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)．
2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R).
知识点4 一元二次不等式的实际应用
①阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．
②设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．
③解不等式(或求函数最值)．
④回扣实际问题．
初试身手
1．（2021·河北新华石家庄新世纪外国语学校高一期中）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由可得，
解得：，
即原不等式的解集为：.
故选：C.
2.（2021·上海高三专题练习）不等式的解集为（ ）
A．{或} B．{或}
C．{或} D．{或}
【答案】A
【解析】
等价于，根据数轴知解为或.
故选：A.
3.（2021·上海杨浦复旦附中高三期末）不等式的解集是______.
【答案】
【解析】将原不等式变形为，等价于，解得.
因此，不等式的解集是.
故答案为：.
4．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
【答案】a＞4或a＜－4
【解析】∵x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4＜0有解，∴Δ＝a2－4×1×4＞0，解得，a＞4或a＜－4.
5.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是________．
【答案】{x|10≤x≤30}
【解析】　设矩形高为y，由三角形相似得：＝，且x>0，y>0，x<40，y<40，xy≥300，整理得y＋x＝40，将y＝40－x代入xy≥300，整理得x2－40x＋300≤0，解得10≤x≤30.
分式高次不等式的解法
例1.（2021·全国高一课时练习）解下列不等式：
（1）；（2）（3）.
（4）．
【答案】（1）；（2）或（3）.
（4）{x|x≤3,1＜x≤2}∪{2}
【解析】（1）等价于，解得，
∴原不等式的解集为.
（2）∵，∴，∴，即.
此不等式等价于且x－≠0，
解得或，
∴原不等式的解集为或.
（3）令,得,.
将,,4标在数轴上,如图.
由图可知原不等式的解集为.
（4）原不等式等价于，如下图所示：
由高次不等式“奇穿偶不穿”的原则可知，原不等式的解集为. {x|x≤3,1＜x≤2}∪{2}
故答案为：{x|x≤3,1＜x≤2}∪{2}
［方法技巧］
1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
3.对于高次不等式一定要整理成标准形式，在数轴标根.
［变式训练］
（2021·全国高一课时练习）求下列不等式的解集:
(1)；
(2).
【答案】(1) {x|-2＜x≤1}；(2) {x|x≤-3或-2≤x≤2}
【解析】
(1)原不等式等价于,解得.
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为.
如图,由穿根法可得不等式的解集为. {x|x≤-3或-2≤x≤2}
例2. 解关于x的不等式
【答案】见解析
【解析】
当时，不等式化为，解得；
若，则原不等式可化为，，
当时，，解得或，
当时，不等式化为，解得且，
当时，，解得或；
若，则不等式可化为
当时，，解得，
当时，不等式可化为，其解集为，
当时，，解得．
综上，当时，不等式的解集为;
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为;
当时，不等式的解集为;
当时，不等式的解集为或;
当时，不等式的解集为且；
当时，不等式的解集为或
［变式训练］
（2021·梅河口市第五中学高一月考）已知关于的不等式：．
【答案】当时{x|或}，不等式的解为当时，不等式的解为{x|x＞1}，当时，不等式的解为{x|}，当时，不等式的解为，当时，不等式的解为{x|}.
【解析】
原不等式可化为即，
当时，不等式的解为或；
当时，原不等式可化为即；
当时，原不等式可化为，
若，则不等式的解为；
若，则不等式的解为；
若，则不等式的解为.
综上，当时，不等式的解为{x|或}，当时，不等式的解为，{x|x＞1}
当时，不等式的解为{x|}，当时，不等式的解为，
当时，不等式的解为. {x|
一元二次不等式的应用
例3某摩托车生产企业，上年度生产摩托车投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.设年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
【答案】（1）y＝1000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)(0＜x＜1)．（2）0【解析】
　(1)依题意，得y＝[1.2(1＋0.75x)－(1＋x)]×1000×(1＋0.6x)＝1000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)．
∴所求关系式为y＝1000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)(0＜x＜1)．
(2)依题意，得
1000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)＞(1.2－1)×1000.
化简，得3x2－x＜0.解得0＜x＜.
∴投入成本增加的比例x的范围是0［方法技巧］解不等式应用题，一般可按四步进行：①审题，找出关键量和不等关系；②引进数学符号，用不等式表示不等关系 或表示成函数关系 ；③解不等式 或求函数最值 ；④回归到实际问题.
［变式训练］
国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
【答案】0【解析】　设税率调低后“税收总收入”为y元．
y＝2 400m(1＋2x%)·(8－x)%
＝－m(x2＋42x－400)(0依题意，得y≥2 400m×8%×78%，
即－m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%，
整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.
根据x的实际意义，知x的范围为0不等式恒成立问题
例4（1）.若函数y＝ax2＋2x＋2对一切x∈R，y>0恒成立，如何求实数a的取值范围？
(2)若函数y＝x2－ax－3对－3≤x≤－1上恒有x2－ax－3<0成立，如何求a的范围？
(3)已知y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)a>.(2)a＜－2时(3)－7≤a≤2.
【解析】(1)若a＝0，显然y>0不能对一切x∈R都成立．所以a≠0，此时只有二次函数y＝ax2＋2x＋2的图象与直角坐标系中的x轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题意，则解得a>.
(2)要使x2－ax－3<0在－3≤x≤－1上恒成立，则必使函数y＝x2－ax－3在－3≤x≤－1上的图象在x轴的下方，由y的图象可知，此时a应满足
即
解得a<－2.
故当a＜－2时，有f(x)<0在－3≤x≤－1上恒成立
(3)设函数y＝x2＋ax＋3－a在－2≤x≤2时的最小值为关于a的一次函数，设为g(a)，则
(1)当对称轴x＝－<－2，即a>4时，g(a)＝(－2)2＋(－2)a＋3－a＝7－3a≥0，解得a≤，与a>4矛盾，不符合题意．
(2)当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.
(3)当－>2，即a<－4时，g(a)＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a<－4.
综上，a的取值范围为－7≤a≤2.
［方法技巧］
1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时，
2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；
当a≠0时，
3．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)对x在某个范围上恒成立，应根据函数y=ax2＋bx＋c图像，或最大或最小值求解
4.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
［变式训练］
（1）若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．(－∞，－2)
C．(－2,2) D．(－2,2]
【答案】D
【解析】　不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0恒成立的条件为当a＝2时，－4<0恒成立；当a≠2时，
解得－2故－2（2）若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．(0，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．[－1,1] D．[0，＋∞)
【答案】B
【解析】　解法一：当x＝0时，不等式为1≥0恒成立；当x>0时，x2＋2ax＋1≥0 2ax≥－(x2＋1) 2a≥－，又－≤－2，当且仅当x＝1时取等号，所以2a≥－2 a≥－1，所以实数a的取值范围为[－1，＋∞)．
解法二：设f(x)＝x2＋2ax＋1，函数图象的对称轴为直线x＝－a.当－a≤0，即a≥0时，f(0)＝1>0，所以当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥0恒成立；当－a>0，即a<0时，要使f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f(－a)＝a2－2a2＋1＝－a2＋1≥0，得－1≤a<0.综上，实数a的取值范围为[－1，＋∞)．
（3）若对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，则x的取值范围是(　　)
A．(1,3) B．(－∞，1)∪(3，＋∞)
C．(1,2) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
【答案】B
【解析】　f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4.当x＝2时，f(x)＝0，不符合题意；当x>2时，(x－2)·(－1)＋x2－4x＋4>0，得x>3；当x<2时，(x－2)·1＋x2－4x＋4>0，得x<1.综上，x<1或x>3.故选B.
课堂小结
1．解分式或高次不等式时，一定要等价变形为一边为零的标准形式，再化归为一元二次不等式(组)或数轴标根法求解．当不等式含有等号时，分母不为零．
2．对于某些含参数的函数恒成立问题，可以利用函数的图象或用最大最小值求解．
分离参数是解决恒成立的一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．
课堂达标检测
1.不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
不等式等价于，解得，
所以不等式的解集为，
故选：B.
2.（2021·上海高三专题练习）已知不等式的解集为或，则________.
【答案】
【解析】
由，得，
等价于，
不等式的解集为或，
和为方程的两个实数根，
，
解得.
故答案为：.
（3）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
不等式可化为
根据题意利用穿根法，画出函数的示意图为
因而不等式的解为或
所以选D
（4）已知x∈[－1,1]时，f(x)＝x2－ax＋>0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,2) B．(2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(0,4)
【答案】(0,2)
【解析】
　二次函数图象开口向上，对称轴为x＝.
x∈[－1,1]时，f(x)＝x2－ax＋>0恒成立，
即f(x)min>0.
①当≤－1，即a≤－2时，f(x)min＝f(－1)＝1＋a＋>0，解得a>－，与a≤－2矛盾；
②当≥1，即a≥2时，f(x)min＝f(1)＝1－a＋>0，
解得a<2，与a≥2矛盾；
③当－1<<1，即－20，解得0综上可得，实数a的取值范围是(0,2)
5.. 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？
【答案】15≤x＜20.
【解析】
设每盏台灯售价x元，则x≥15，并且日销售收入为x[30－2(x－15)]，由题意知，当x≥15时，有x[30－2(x－15)]>400，解得：15≤x<20.
所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为15≤x＜20.

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