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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3二次函数与一元二次方程、不等式（一）
【学习目标】
1. 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；
2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题
核 心 素 养
1.通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养
2. 一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系得到二次不等式的解培养数学抽象素养
【知识导学】
知识点一　　　一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a，b，c均为常数，a≠0)的不等式都是一元二次不等式．
知识点二．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集
知识点三 三个“二次”的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|xx2} {x|x∈R}
一元二次不等式ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x【名师点拨】
.解一元二次不等式①首先化不等式为标准形式：
ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；②再由图象得出不等式的解集
口诀：大于取两边，小于取中间．
【初试身手】
（1）（2021·山西太原高一期末）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
解二次不等式，得或，
因此，不等式的解集.
故选：A.
（2）（2021·福建高一期末）不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】B
【解析】
由可得，
，
故不等式的解集为，
故选：B
（3）（2021·全国高一课时练习）解不等式________
【答案】不等式的解集为
【解析】由题意，不等式可化为，
因为，所以方程无实数解，
又由函数的图象开口向上，所以原不等式的解集是.
（4）不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________．
【答案】
【解析】　原不等式变形为3x2－5x＋4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．
由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4<0的解集为 .]
（5）（2021·齐齐哈尔市朝鲜族学校高一期中）不等式的解集为，则a，c的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】不等式的解集为，
故不等式对应方程的系数满足：，解得，.
故选：A.
一元二次不等式的解法
例1．　解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3>0；
(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－2x2＋3x－2<0.
【答案】（1）（2） （3）R.
【解析】 (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为2≤0，所以原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.
［方法技巧］
解一元二次不等式的一般步骤
1化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.
2判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.
3求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
4画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
5写解集.根据图象写出不等式的解集.
［变式训练］
求下列不等式的解集：
(1)x2－3x＋1≤0； (2)－9x2＋6x－1<0；(3)x2－4x＋5>0；
(4)2x2＋x＋1<0. (5)0【答案】（1）≤x≤. }（2）（3）R（4） .
（5）{x|－2≤x<－1或2【解析】(1)因为Δ＝9－4＝5>0，所以方程x2－3x＋1＝0有两个不等实数根x1＝，x2＝，所以原不等式的解集为≤x≤. }
(2)原不等式可化为(3x－1)2>0，所以原不等式的解集为.
(3)因为Δ＝(－4)2－4×5＝－4<0，所以原不等式的解集为R.
(4)因为Δ＝12－4×2＝－7<0，所以原不等式的解集为 .
(5)原不等式等价于
则
可得
借助于数轴，如图所示，
∴原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2含参数的一元二次不等式的解法
例2（1）（2021·怀仁市第一中学校云东校区高一期末（理））解关于的
不等式:
(2)2x2＋ax＋2>0；
【答案】（1）当时，解集为 ；当 时，解集为或；
当时，解集为或；当 时，解集为；
当 时，解集为； 当时，解集为；
当时，解集为；
（2）当－4当a>4或a<－4时，原不等式的解集为x<(－a－)或x>(－a＋)；
当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}
【解析】
（1）由则
因为，故对分情况讨论
当时，则，所以，不等式的解集为
当 时，由，不等式的解集或
当时，不等式的解集为或
当 时，不等式的解集为
当 时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
(2)Δ＝a2－16，下面分情况讨论：
①当Δ<0，即－4②当Δ≥0，即a≥4或a≤－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为
x1＝(－a－)，x2＝(－a＋)．
当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；
当a>4或a<－4时，原不等式的解集为x<(－a－)或x>(－a＋)；
当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}
［方法技巧］
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
(2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．
(3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
注意：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并
［变式训练］
（2021·上海高一课时练习）解关于x的不等式：．
【答案】见解析
【解析】
将不等式变形为.
当a <0或时，有a < a2，所以不等式的解集为或；
当a =0或时，a = a2=0，所以不等式的解集为且；
当0< a <1时，有a > a2，所以不等式的解集为或；
三个“二次”的关系
【例3】　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2【答案】
【解析】
　法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为.
法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2［方法技巧］
已知以a，b，c为参数的不等式如ax2＋bx＋c＞0的解集，求解其他不等式的解集时，
1根据解集来判断二次项系数的符号；
2根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
3约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
［变式训练］
（2021·上海高三专题练习）已知一元二次不等式的解集为,且,求不等式的解集.
【答案】或
【解析】
因为不等式()的解为,其中,所以有,且,.设方程的两根为m,n,且.则,所以可得,且
又因为,
不等式的解集或.
课堂小结
1.一元二次方程、一元二次不等式及二次函数图像密切相关，解一元二次不等式的一般步骤如下：
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集．
2．含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.
3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标.
课堂达标检测
（1）（2021·上海高一开学考试）不等式的解集为（ ）
A． B． C．D．
【答案】A
【解析】∵
∴
解得：，即不等式的解集为
故选：A
（2）已知不等式的解集是,则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵不等式的解集是，
∴是方程的两根，
∴，解得．
∴不等式为，
解得，
∴不等式的解集为．故选A．
（3）（2021·全国高一课时练习）若00的解集是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】D
【解析】
∵01，∴>t.
∴(t－x) >0 (x－t) <0 t故选：D
（4）（2021·山东省滕州市第二中学高一月考）解关于x的不等式．
【答案】分类讨论，答案见解析.
【解析】
当时，不等式的解为；
当时，不等式对应方程的根为或2，
①当时，不等式即的解集为；
②当时，不等式的解集为；
③当时，不等式的解集为；
④当时，不等式的解集为.
综上所述，当时，不等式解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.

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