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第三章 函数的概念和性质
3.1函数的概念及其表示
3.1.1函数的概念
【学习目标】
1.在初中的基础之上，进一步体会函数描述的是变量之间的依赖关系，会用集合与对应的语言来刻画函数,
2.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域
3.理解函数的三要素及函数符号的深刻含义
【核心素养】
1，通过学习函数的概念，培养数学抽象素养
2，借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．
3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养
【知识导学】
知识点一 函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
【名师点拨】
(1)对应中的两个集合A，B是非空的实数集，
（2）函数概念中明确要求对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．注意其中的(任意性)、(存在性)、(唯一性)
（3）集合A是函数的定义域，因为给定A中每一个x值都有唯一的y值与之对应；集合B不一定是函数的值域，因为B中的元素可以在A中没有与之对应的x，也就是说，B中的某些元素可以不是函数值，即{f(x)|x∈A} B.
（4）在函数定义中，我们用符号y＝f(x)表示函数，其中f(x)表示“x对应的函数值”，而不是“f乘x”，也就是说：对应关系f是函数的本质特征，好比计算机的某种程序（或解决某问题的方法），当我们在f( )中括号里面放入某个x，就会按照这个程序得到一个结果即y值
（5）函数的三要素，从函数的定义可以看出，函数有三个要素：定义域、对应关系、值域，判定函数和函数相等的依据
知识点二 区间的概念
(1)设a，b是两个实数，而且a(2)特殊区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a}
符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
注意：(1)无穷大“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则．
(2)以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须用小括号．
【初试身手】
1．（2021·浙江高一开学考试）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
如图，C选项中，在x允许的取值范围内取x＝x0，此时函数y与之对应的有2个值，y＝y1，y＝y2，不符合函数的定义.其它三个选项都符合函数的定义.
故选：C．
2．（2021·四川阆中中学高一月考）下面各组函数中是同一函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】D
【解析】
因为选项A中，对应关系不同，选项B中定义域不同，对应关系不同，选项C中，定义域不同，选项D中定义域和对应法则相同，故选D.
3. 构造一个问题情境，使其中的变量关系能用关系式y x2来描述
【答案】边长为x的正方形的面积
4．（2021·全国高一）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】：由，可得；
所以；
.
故选C.
5．（2021·枣庄市第三中学高一月考）函数的定义域为( )
A．且 B．且
C． D．
【答案】A
【解析】
由题意得：，
解得： 且.
故选：.
函数的定义
例1（1）下列选项中(横轴表示x轴,纵轴表示y轴),表示y是x的函数的是(　　)
【答案】D
(2)已知集合A＝[0，8]，集合B＝[0，4]，则下列对应关系中，不能看作是从A到B的函数关系的是(　　)
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝x
【答案】D
【解析】对于A中的任意一个元素，在对应关系f：x→y＝x；f：x→y＝x；f：x→y＝x下，在B中都有唯一的元素与之对应，故能构成函数关系．对于A中的元素8，在对应关系f：x→y＝x下，在B中没有元素与之对应，故不能构成函数关系．
　(3)下列各组函数是同一函数的是(　　)
①f(x)＝与g(x)＝x；
②f(x)＝x与g(x)＝；
③f(x)＝x0与g(x)＝；
④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.
A．①②　　　 B．①③
C．③④ D．①④
【答案】C
【解析】　①f(x)＝＝|x|与g(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．
②g(x)＝＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．
③f(x)＝x0与g(x)＝都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．
④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．
由上可知是同一函数的是③④.
故选C
［方法技巧］
(1)根据图形判断对应关系是否为函数的步骤
①任取一条垂直于x轴的直线l；
②在定义域内平行移动直线l；
③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．　
(2)判断所给对应关系是否为函数的方法
①先观察两个数集A，B是否非空；
②验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性
（2）判断函数相等的方法
①先看定义域，若定义域不同，则不相等；
②若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同
［变式训练］
1．下列四个图象中，不是函数图象的是(　　)
A　 　B　　 C　 　D
【答案】B
【解析】　[根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B.]
2．下列各组函数中是相等函数的是(　　)
A．y＝x＋1与y＝
B．y＝x2＋1与s＝t2＋1
C．y＝2x与y＝2x(x≥0)
D．y＝(x＋1)2与y＝x2
【答案】B
【解析】　A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D错误，选B
求函数值
例1（1）.已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值．
【答案】6,t3＋2t＋3,8a3－12a2＋10a,3
【解析】　f(1)＝13＋2×1＋3＝6；
f(t)＝t3＋2t＋3；
f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a；
f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3.
（2）已知函数f(x)＝2x2－4，x∈R，若f(x0)＝2，求x0的值．
【答案】x0＝±
【解析】　易知f(x0)＝2x－4，
∴2x－4＝2，即x＝3.
又∵x0∈R，∴x0＝±.
［方法技巧］
函数求值的方法
1已知fx的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得fa的值.
2求fga的值应遵循由里往外的原则.
［变式训练］
　1.设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝，
(1)求f(2)，f(a＋3)，g(f(2))．
(2)求g(f(x))．
【答案】（1）10，2a2＋12a＋20，（2）
【解析】　(1)因为f(x)＝2x2＋2，
所以f(2)＝2×22＋2＝10，
f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.
因为g(x)＝，
g(f(2))＝g(10)＝＝.
（2）g(f(x))＝＝＝.
2.已知函数f(x)＝x2－2x，x∈(－∞，0)，若f(x0)＝3.求x0的值．
【答案】-1
【解析】　由题意可得f(x0)＝x－2x0.
∴x－2x0＝3，即x－2x0－3＝0.
解得x0＝3或x0＝－1.
又∵x0∈(－∞，0)，∴x0＝－1.
区间表达
例3已知集合A={x|5-x≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A∩B用区间可表示为　　　　　.
【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]
【解析】∵A={x|5-x≥0},∴A={x|x≤5}.
∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x≠±3}.
∴A∩B={x|x<-3或-3即A∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5].
［变式训练］
1.集合{x|0【答案】(1)(0,1)∪[2,11]
2. 若集合A=[2a-1,a+2],则实数a的取值范围用区间表示为　　　　　.
　【答案】(-∞,3)
【解析】 (2)由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1∴实数a的取值范围是(-∞,3).
类型4
求函数的定义域
例4(1)y＝2x＋3；(2f(x)＝－(3)f(x)＝(x－1)0＋(4)y＝.
【答案】（1）{x|x∈R}（2）{x|x≤1且x≠－1}（3）{x|x>－1且x≠1}
（4）{x|x≤3，且x≠－5}
【解析】 (1)函数y＝2x＋3的定义域为{x|x∈R}．
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．
(3)函数有意义，当且仅当
解得x>－1且x≠1，
所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．
(4)要使函数式有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤3，且x≠－5，
即函数的定义域为{x|x≤3，且x≠－5}．
［方法技巧］
(1)整式：若y＝f(x)为整式，则函数的定义域是实数集R.
(2)分式：若y＝f(x)为分式，则函数的定义域为使分母不为0的实数集．
(3)偶次根式：若y＝f(x)为偶次根式，则函数的定义域为被开方数非负的实数集(特别注意0的0次幂没有意义)．
(4)几部分组成：若y＝f(x)是由几部分数学式子的和、差、积、商组成的形式，定义域是使各部分都有意义的集合的交集．
［变式训练］
求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝
(2)y＝＋；
(3)y＝.
【答案】（1）[－1,1)∪(1，＋∞)（2）(－2,3)∪(3，＋∞)（3）(0,1)∪(1，＋∞)
【解析】　(1)由解得x≥－1，且x≠1.
所以所求函数的定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)
(2)要使函数有意义，需满足
即
得x>－2且x≠3.
所以所求函数的定义域为(－2,3)∪(3，＋∞)．
(3)要使函数有意义，需满足
即
所以x>0且x≠1，
所以所求函数的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．
例5　已知函数f(x)的定义域是[－1,4]，求函数f(2x＋1)的定义域．
【答案】
【解析】　已知函数f(x)的定义域是[－1,4]，即－1≤x≤4.
故对于f(2x＋1)应有－1≤2x＋1≤4.
∴－2≤2x≤3，∴－1≤x≤，
∴函数f(2x＋1)的定义域是.
［方法技巧］
对于抽象函数的定义域：
①若f(x)的定义域为[a，b]，则f[g(x)]中，g(x)∈[a，b]，从中解得x的解集即f[g(x)]的定义域．
②若f[g(x)]的定义域为[m，n]，则由x∈[m，n]可确定g(x)的范围，设u＝g(x)，则f[g(x)]＝f(u)，又f(u)与f(x)是同一个函数，所以g(x)的范围即f(x)的定义域．
［变式训练］
若函数f(x＋1)的定义域为，则函数f(x－1)的定义域为________；
【答案】
【解析】　由题意知，－≤x≤2，则≤x＋1≤3，
即f(x)的定义域为，∴≤x－1≤3，
解得≤x≤4.∴f(x－1)的定义域为.
类型5
求值域
例6．求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1；(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)；
(3)y＝；(4)y＝x＋.
【答案】（1）R（2）[2，11)（3）{y|y≠3}
（4）[0，＋∞)
【解析】　：(1)观察.因为x∈R，所以2x＋1∈R，
即函数的值域为R.
(2)配方：y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为x∈[1，5)，如图所示．
所以所求函数的值域为[2，11)．
(3)借助反比例函数的特征求（分离常数）．
y＝
＝3－(x≠－1)，
显然可取0以外的一切实数，
即所求函数的值域为{y|y≠3}．
(4)换元法.设u＝(x≥0)，则x＝u2(u≥0)，
y＝u2＋u＝－(u≥0)．
由u≥0，可知≥，所以y≥0.所以函数y＝x＋的值域为[0，＋∞)．
求函数值域的常用方法
①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；　
②配方法：此法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；
③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．
［变式训练］
求下列函数的值域：
(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
(3)y＝；
(4)y＝2x－.
【答案】　（1）{2,3,4,5,6}（2）[2,6)（3）(－∞，2)∪(2，＋∞)
（4）
【解析】　(1)(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．
(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．
(3)(分离常数法)y＝＝＝2＋，
显然≠0，所以y≠2.
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
(4)(换元法)设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，
所以y＝2(t2＋1)－t
＝22＋，
由t≥0，再结合函数的图象(如右图)，可得函数的值域为.
课堂小结
1．一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,简称为函数的三要素.其中定义域是函数的灵魂,对应关系是函数的核心
2．函数符号y＝f(x)是学习的难点，它是抽象符号之一．首先明确符号“y＝f(x)”为y是x的函数，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”.
3．求函数的定义域.值域的一般方法是难点内容。
1．下列各图中，可能是函数y＝f(x)的图象的是(　　)
【答案】　D
【解析】　A，B中的图象与y轴有两个交点，即有两个y值与x＝0对应，所以A，B不可能是函数y＝f(x)的图象；对于C中图象，过x＝1作与x轴垂直的直线，与图象有两个交点，所以C不可能是函数y＝f(x)的图象．故选D.
2．对于函数f：A→B，若a∈A，则下列说法错误的是(　　)
A．f(a)∈B
B．f(a)有且只有一个
C．若f(a)＝f(b)，则a＝b
D．若a＝b，则f(a)＝f(b)
【解析】：选C.根据函数的定义可知，A，B，D正确；C错误．
3.若[0，3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
【答案】：
【解析】根据区间表示数集的方法原则可知，3a－1>0，解得a>，所以a的取值范围是.
4．函数f(x)＝x＋的定义域是(　　)
A．{x|x≥2} B．{x|x>2}
C．{x|x≤2} D．{x|x<2}
【答案】　C
　【解析】要使函数式有意义，则2－x≥0，即x≤2.所以函数的定义域为{x|x≤2}．
5．已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(　　)
A．(－1,1) B.
C．(－1,0) D.
【答案】　B
【解析】　∵原函数的定义域为(－1,0)，
∴－1<2x＋1<0，解得－1∴函数f(2x＋1)的定义域为.

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