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第三章函数的概念和性质
3.1.2函数的表示法（二）
分段函数
【学习目标】
1.理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值
2. 能画出分段函数的图象，并会应用解决问题
【核心素养】
1.通过分段函数求值问题培养数学运算素养．
2．利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养．
【知识导学】
知识点一　分段函数
定义：如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数
知识点二 分段函数的图像
分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象．
【名师点拨】
(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系．
(2)分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围．
(3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式．
(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集．
知识点三　应用函数知识解决实际问题的一般步骤
(1)阅读材料、理解题意；
(2)把实际问题抽象为函数问题，并建立相应的函数模型；
(3)利用函数知识对函数模型进行分析、研究，得出数学结论；
(4)把数学结论(结果)应用到实际问题中，解决实际问题．
【初试身手】
（1）函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，函数，
根据一次函数的图象，可得函数的图象为选项C.
故选C.
(2)（2021·全国高一课时练习）设，则等于（ ）
A．1 B．0 C．2 D．-1
【答案】C
【解析】
,
.
故选: C.
(3)（2021·四川凉山 高一期末）已知，若，则的值是（ ）
A．1 B．1或 C． D．－1
【答案】C
【解析】由题意，函数，
当时，令，解得，此时不满足题意（舍去）；
当时，令，解得，
综上可得的值是.
故选：C.
(4)（2021·全国高一课时练习）函数的定义域是________.
【答案】
【解析】解析分段函数的定义域是各分段区间自变量取值的并集，
即定义域为.
故答案为：
例1.分段函数的求值问题
（1）（2021·全国高一）设函数，
①求的值；
②若，求的值.
（2）已知，则不等式的解集为______．
【答案】（1）①；②.（2）
【解析】①；
，；
②由题意，或，或，
解得.
（2）当时，，解得 ；当时，，恒成立，解得：，合并解集为 ，故填：.
［方法技巧］
1．分段函数求函数值的方法：
(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2．已知函数值求字母取值的步骤：
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
［变式训练］
（1）（2021·全国高一专题练习）设 ,则( )
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【解析】∵f（x），
∴f（5）＝f[f（11）]
＝f（9）＝f[f（15）]
＝f（13）＝11．
故选B．
（2）（2021·四川省成都市郫都区第四中学高一期末）设函数，若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）
C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪[1，+∞）
【答案】B
【解析】当时，，则
当时， ， ，有或，则，综上可知：x0的取值范围是或.选B
（3）已知，若，则______________.
【答案】
【解析】设t=f(a),则f(t)=10
t>0时，，∴由f(t)=10知t≤0，∴t2+1=10，t= -3
而，因此由知，即，．
故答案为：．
例2.已知函数f(x)＝x2－1，g(x)＝
(1)求f[g(2)]和g[f(2)]的值；
(2)求f[g(x)]和g[f(x)]的表达式．
【答案】（1）0 ,2
（2）f[g(x)]＝,g[f(x)]＝
【解析】 (1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3，
∴f[g(2)]＝f(1)＝0，g[f(2)]＝g(3)＝2.
(2)当x>0时，g(x)＝x－1，故f[g(x)]＝(x－1)2－1＝x2－2x；
当x<0时，g(x)＝2－x，故f[g(x)]＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3；
∴f[g(x)]＝
当x>1或x<－1时，f(x)>0，故g[f(x)]＝f(x)－1＝x2－2；
当－1∴g[f(x)]＝）
分段函数的图象及应用
例3. 分别作出下列分段函数的图象，并写出定义域及值域．
(1)y＝
(2)y＝
（3）
【答案】 (1)的定义域是(0，＋∞)，值域是[1，＋∞)；
(2)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(－6，6]．
（3）的定义域是(－∞，＋∞) 值域是
【解析】
　（1）（2）各函数对应图象如图所示：
（3）当时，；当时，.
所以 .
的图像如图所示：
故函数的值域为.
［方法技巧］
分段函数图象的画法
作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.
［变式训练］
（2021·河南焦作高一期末）已知函数.
（1）在如图所示的坐标系中画出的大致图象；
（2）根据（1）中的图象写出在上的值域.
【答案】（1）作图见解析；（2）
【解析】本题主要考查函数的图像的画法及函数的值域.
（1）.
所以其大致图像如图所示.
（2），由图可知，
当时，函数的值域为.
例4.对，记，函数．
（1）求．
（2）写出函数的解析式，并作出图像．
（3）若关于x的方程有且仅有3个不等的解，求实数m的取值范围．（只需写出结论）
【答案】(1)4,4(2)见解析(3)或.
【解析】
（1）∵，函数，∴，．
（2）函数的解析式：f（x）=max{|x|，﹣x2﹣2x+4}=．函数的图象如图：
（3）由函数的图象可知：关于x的方程f（x）=m有且仅有3个不等的解，
可得：m=5或．
［变式训练］
已知，.
（1）求；
（2）设，作函数的图象，并由此求出的最小值．
【答案】（1）；（2）图像见解析，-1.
【解析】（1）当，即，或时，，
当，即时，．
∴．
（2）令，
当时，
令，解得，令，解得．
当时，
令，解得，令，解得，
∴．
函数图象如图所示：
∴的最小值是．
分段函数的实际应用
例5（2021·北京高一期末）下表为北京市居民用水阶梯水价表(单位：元/立方米).
阶梯 户年用水量（立方米） 水价 其中
自来水费 水资源费 污水处理费
第一阶梯 0-180（含） 5.00 2.07 1.57 1.36
第二阶梯 181-260（含） 7.00 4.07
第三阶梯 260以上 9.00 6.07
（Ⅰ）试写出水费(元)与用水量(立方米)之间的函数关系式；
（Ⅱ）若某户居民年交水费1040元，求其中自来水费、水资源费及污水处理费各是多少？
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）自来水费为（元），水资源费为（元），污水处理费（元）
【解析】 (Ⅰ)由北京市居民用水阶梯水价表(单位:元立方米)得到水费(元与用水量(立方米)之间的函数关系式为:
;
(Ⅱ)由于函数在各区间段为单调递增函数,
所以当时,,
当时,,
所以,
令,解得,
即该用户当年用水量为200立方米,
自来水费为(元),水资源费为(元),污水处理费(元).
［方法技巧］
1．当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
2．通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养学生的建模素养．
［变式训练］
（2021·湖南娄底高一期末）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元.设该公司的仪器月产量为台，当月产量不超过400台时，总收益为元，当月产量超过400台时，总收益为元.（注：总收益=总成本+利润）
（1）将利润表示为月产量的函数；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？
【答案】(1) . (2) 当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为25000元.
【解析】（1）由题意得总成本为（20000+100）元，
所以利润.
（2）当时，，
所以当时，的最大值为25000；
当时，是减函数，
所以
综上，当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为25000元.
课堂小结
1．分段函数是一个函数，而不是几个函数．
2．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．
3．分段函数的图象
分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象．
课堂达标检测
(1)（2021·全国高一课时练习）已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C． D.的解集为
【答案】B
【解析】由题意知函数的定义域为，故A错误；
当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，因此的值域为，故B正确；
当时，，故C错误；
当时，，解得，当时，，解得，因此的解集为；故D错误.
故选：B
（2）（2021·全国高一）用表示两个数中的最小值．设，则的最大值为（ ）
A．-4 B．-5 C．-6 D．-10
【答案】B
【解析】由题意，函数，
因当时，函数为减函数；当时，函数为增函数.
所以，当时，函数取最大值，最大值为.
故选：B.
（3）函数，则 ______．
【答案】1
【解析】根据题意，，则；
故答案为1．
（4）（2021·全国高一课时练习）根据图所示的函数的图像，写出函数的解析式．
【答案】
【解析】当时,函数的图像是一条线段（右端点除外）,
设,将点,的坐标代入,即,解得,可得；
当时,设,将点的坐标代入,即,解得,可得；
当时,
综上所述,
（5）（2021·全国高一课时练习）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
①5公里以内(含5公里),票价2元；
②5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里的按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数关系式,并画出函数的图像.
【答案】，图像见解析。
【解析】当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
综上：函数解析式为
按照分段函数画出图像，如下图：

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