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§8-4　机械能守恒定律
一、学习目标
1.了解人们追寻守恒量和建立“能量”概念的漫长过程.
2.知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化.
3.能够推导出机械能守恒定律.
4.会判断一个过程机械能是否守恒，能运用机械能守恒定律解决有关问题．
二、学习过程
【问题探究】如图所示，质量为m的物体沿光滑曲面滑下的过程中，下落到高度为h1的A处时速度为v1，下落到高度为h2的B处时速度为v2，重力加速度为g，不计空气阻力，选择地面为参考平面．
(1)求从A至B的过程中重力做的功；
(2)求物体在A、B处的机械能EA、EB；
(3)比较物体在A、B处的机械能的大小．
【答案】　(1)W＝mgΔh＝mg(h1－h2)＝mgh1－mgh2①
(2)EA＝mgh1＋mv12②
EB＝mgh2＋mv22③
(3)由动能定理：W＝mv22－mv12④
由①④得：mv22＋mgh2＝mv12＋mgh1
即EB＝EA.
【知识点1】机械能守恒定律
1．机械能：重力势能、弹性势能与动能统称为机械能．
2．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
3．表达式：mv22＋mgh2＝mv12＋mgh1或Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1.
4．应用机械能守恒定律解决问题只需考虑运动的初状态和末状态，不必考虑两个状态间过程的细节，即可以简化计算．
5．判断机械能是否守恒的方法
(1)做功条件分析：只有重力和系统内弹力做功，其他力不做功或做功的代数和始终为零．
(2)能量转化分析：系统内只有动能、重力势能及弹性势能的相互转化，即系统内只有物体间的机械能相互转移，则机械能守恒．
(3)定义判断法：如物体沿竖直方向或沿斜面匀速运动时，动能不变，势能变化，机械能不守恒．
例题1、如图所示，一小孩在粗糙的滑梯上从静止开始加速滑下，其能量的变化情况是
A. 重力势能减小，动能不变，机械能减小
B. 重力势能减小，动能增加，机械能减小
C. 重力势能减小，动能增加，机械能增加
D. 重力势能减小，动能增加，机械能守恒
【答案】B
【解析】略
例题2、图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是
A. 甲图中，物体将弹簧压缩的过程中，机械能守恒
B. 乙图中，物体在大小等于摩擦力的拉力作用下沿斜面下滑时，机械能守恒
C. 丙图中，斜面光滑，物体在推力作用下沿斜面向下运动的过程中，物体机械能守恒
D. 丁图中，斜面粗糙，物体在斜面上下滑的过程中，物体机械能守恒
【答案】B
【解析】
、甲图中，应该是物体和弹簧构成的系统机械能守恒，物体的机械能不守恒，故A错误；
B、乙图中，物体在大小等于摩擦力的拉力作用下沿斜面下滑时，物体受重力、支持力、拉力和摩擦力，由于拉力与摩擦力平衡，故合力做功等于重力的功，故物体的机械能总量不变，且没有其他的力除重力做功，故机械能守恒，故B正确；
C、物体受重力、支持力和推力，由于推力做功，故机械能不守恒，故C错误；
D、物体受重力和支持力，由于支持力不做功，只有重力做功，故机械能守恒，故D错误；
故选：。
例题2、如图所示，在水平地面上固定一竖直轻弹簧，弹簧的劲度系数为，原长为。质量为的小球由弹簧的正上方高处自由下落，与弹簧接触后压缩弹簧，当弹簧的压缩量为时，小球下落到最低点，整个过程中弹簧一直处在弹性限度内。不计空气阻力，当地的重力加速度为，则从小球接触弹簧开始到小球下落到最低点的过程中不正确的是
A. 小球的机械能先增加后减少
B. 小球与弹簧组成的系统机械能守恒
C. 弹簧弹性势能的最大值为
D. 小球下洛到距地面高度时动能最大
【答案】A
【解析】
从小球接触弹簧开始到小球下落到最低点的过程中：
A.弹簧弹力对小球做负功，依据功能原理，小球的机械能一直减少，故 A错误；
B.小球与弹簧组成的系统除重力及弹力做功外其他力不做功，故系统机械能守恒，故B正确；
C.依据机械能守恒定律，当弹簧的压缩量为时，小球下落到最低点，动能为零，重力势能最小，故弹性势能最大且等于重力势能的减少，弹簧弹性势能的最大值为，故C正确；
D.小球下落到距地面高度时，弹力等于物体重力，物体，速度最大，动能最大，故D正确；
故选A。
【问题探究】1．有一种能伸缩的圆珠笔，其内装有一根小弹簧，尾部有一个小帽，压一下小帽，笔尖就伸出．如图所示，使笔的尾部朝下，将笔向下按，使小帽缩进．然后放手，可看到笔将向上弹起至一定的高度．请分析向上弹起过程中的能量转化情况．
2．如图所示的摆球实验中，(1)当小球自A由静止释放运动到C的过程中，小球高度不断减小，而速度不断增大，说明了什么？
(2)当小球由C运动到B的过程中，小球高度不断升高，而速度不断减小，说明了什么？
(3)在D处加一钉子，小球仍由A摆下，为什么会重新回到原来的高度，说明了什么？
【答案】　1.先是弹性势能转化为圆珠笔的动能和重力势能，离开桌面后动能减小，重力势能增大．至最高点时，重力势能大小等于初态时弹簧的弹性势能．
2．(1)小球由A到C的过程中，势能减少，动能增加，小球的势能转化为动能．
(2)小球由C到B的过程中，动能减少，势能增加，小球的动能转化为势能．
(3)小球重新回到原高度，说明小球在运动过程中机械能守恒．
【知识点2】机械能守恒定律的应用
1．机械能守恒定律常用的三种表达式
(1)从不同状态看：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2(或E1＝E2)
此式表示系统两个状态的机械能总量相等．
(2)从能的转化角度看：ΔEk＝－ΔEp
此式表示系统动能的增加(减少)量等于势能的减少(增加)量．
(3)从能的转移角度看：ΔEA增＝ΔEB减
此式表示系统A部分机械能的增加量等于系统剩余部分，即B部分机械能的减少量．
2．应用机械能守恒定律解题的一般步骤
(1)根据题意选取研究对象；
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在此过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒．
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在此过程中的初态和末态的机械能．
(4)根据机械能守恒定律的不同表达式列方程并求解．
例题4、如图所示，让摆球从图中位置由静止开始下摆，正好摆到最低点位置时摆线被拉断。设摆线长，点离地高，不计摆线断时的机械能损失，不计空气阻力，取，求：
摆球刚到达点时的速度大小；
落到地面点时摆球的速度大小。
【答案】解：摆球由到的过程中只有重力做功，故机械能守恒。
根据机械能守恒定律得：
解得：；
摆球由到过程中只有重力做功，机械能守恒。
根据机械能守恒定律得：
解得：。
【解析】 小球从到的过程中，摆线的拉力不做功，只有重力做功，小球的机械能守恒，根据机械能守恒定律列式即可求解摆球刚到达点时的速度大小；
对小球从到的过程，运用机械能守恒定律求落地时小球速度大小。
例题5、如图所示，轻弹簧一端与墙相连处于自然状态，一质量为的木块沿光滑的水平面以大小为的速度向左运动并挤压弹簧，求：
弹簧最大的弹性势能。
木块被弹簧弹回的过程中，速度增大到时弹簧的弹性势能。
【答案】解：由功能关系和系统的机械能守恒知，弹簧的最大弹性势能等于物体的初动能：
由功能关系和系统的机械能守恒知此时的弹性势能等于物体动能的减少量：
答：弹簧最大的弹性势能为；
木块被弹簧弹回的过程中，速度增大到时弹簧的弹性势能为。
【解析】
根据系统机械能守恒，弹簧的最大弹性势能由物体的动能转化而来；
物体动能的减少量就等于弹簧弹性势能的增量。
例题6、如图所示，两端分别系着小球和的轻绳跨过轻定滑轮，小球的质量，用手托住，距离地面的高度。小球的质量，静置于水平地面上，此时对地面的压力恰好为零。现从静止开始释放小球，取。求：
小球落地时的速率；
小球能够上升的最大高度；
小球下落的过程中，轻绳对做的功。
【答案】解：由机械能守恒，有
解得落地时的速率
小球落地瞬间，两小球的速率相等，小球落地后，小球做竖直上抛运动。
设小球竖直向上运动的位移为，根据机械能守恒定律有
小球上升到最高点时，距离地面的高度为
联立解得
小球下落过程中，对应用动能定理得：
解得
【解析】由机械能守恒求出小球落地时的速率；
小球落地瞬间，两小球的速率相等，小球落地后，小球做竖直上抛运动，根据机械能守恒定律求出小球距离地面的最大高度；
小球下落过程中，对应用动能定理求出轻绳对做的功。
§8-4　机械能守恒定律　 作业
班级： 学号： 姓名：
一、选择题
1．关于机械能是否守恒的的叙述，下面说法中正确的是
A. 作匀速运动的物体机械能一定守恒
B. 作变速运动的物体机械能一定守恒
C. 力对物体做的功的等于零时，机械能一定守恒
D. 不论物体受力情况如何，若只有重力、弹力对物体做功，则系统机械能守恒
【答案】D
【解析】
A.做匀速直线运动的物体，机械能不一定守恒，比如：物体匀速下降，此过程物体机械能在减少，故A错误；
B.做变速直线运动的物体机械能不一定守恒，比如：物体在水平面上做减速直线运动，此过程物体机械能在减少，故B错误；
C.外力对物体所做的功等于零时，根据动能定理可知，动能不变，但重力势能可能变化，机械能不一定守恒，故C错误；
D.只有重力、弹力对物体做功时，系统机械能守恒，故D正确。
故选D 。
2．下列几种情况，系统机械能守恒的是
A．在空中飘落的树叶[图(a)]
B．运动员在蹦床上越跳越高[图(b)]
C．图(c)中小车上放一木块，小车的左侧有弹簧与墙壁相连，小车在左右振动时，木块相对于小车无滑动(车轮与地面摩擦不计)
D．图(c)中小车振动时，木块相对小车有滑动
【答案】C
【解析】
A中在空中飘落的树叶，受空气阻力作用，则机械能减小，选项A错误；B图中运动员做功，其机械能越来越大．故B错误．C图中只有弹簧弹力做功，系统的机械能守恒．故C正确．C图中若物块相对小车有滑动，则由于有滑动摩擦力做功，所以机械能不守恒．故D错误．故选C．
3．如图所示，将质量为m的石块从离地面h高处以初速度v斜向上抛出。以地面为参考平面，不计空气阻力，当石块落地时（　　）
A．动能为mgh B．机械能为
C．动能为 D．重力势能为mgh
【答案】B
【解析】
以地面为参考平面，根据机械能守恒定律可知，开始抛出时的机械能为，则落地的机械能也为，落地的重力势能为零，则落地的动能为。
故选B。
4．如图所示，把一小球放在竖立的轻弹簧上，并把小球往下按至A的位置，迅速松手后，弹簧把小球弹起，小球升至最高位置C，途中经过位置B时弹簧正好处于自由状态，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．从A运动到B的过程中，小球的机械能守恒
B．从A运动到B的过程中，小球的机械能一直增大
C．从A运动到B的过程中，小球的动能一直增大
D．从A运动到C的过程中，小球和弹簧组成的系统势能一直增大
【答案】B
【解析】
A．从A运动到B的过程中，小球除重力外还受弹簧弹力作用，故小球的机械能不守恒。故A错误；
B．从A运动到B的过程中，弹簧弹力一直做正功，故机械能一直增大。故B正确；
C．从A运动到B的过程中，在某一位置，重力与弹力相平衡，故小球的动能先增加然后减小，故C错误；
D．从上一选项分析可知，小球和弹簧的系统机械能守恒，故小球动能先增加后减小，其系统的势能应该是先减小后增加，故D错误；
故选B。
5．以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面（足够长）上滑，如图所示，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力，则（　　）
A．h1=h2>h3 B．h1=h2＜h3
C．h1=h3＜h2 D．h1=h3>h2
【答案】D
【解析】
竖直上抛的物体和沿光滑斜面运动的物体，上升到最高点时，速度均为0，由机械能守恒定律得mgh=mv02 所以
斜上抛的物体在最高点速度不为零，设为v1，则mgh2=mv02-mv12
所以h2＜h1=h3
故选D。
6．如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断错误的是
A. 甲图中，物体将弹簧压缩的过程中，物体机械能守恒
B. 乙图中，斜面固定于水平面上，物体沿光滑斜面下滑，物体机械能守恒
C. 丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时，加速下落，加速上升过程中，、系统机械能守恒
D. 丁图中，小球沿水平面做匀速圆周运动时，小球的机械能守恒
【答案】A
【解析】
A.在物体压缩弹簧的过程中，弹簧和物体组成的系统，只有重力和弹力做功，系统机械能守恒，对于，由于弹性势能增加，则的机械能减小，故A错误；
B.物体沿下滑的过程中，固定，对于物体，只有重力做功，机械能守恒，故B正确；
C.对、组成的系统，不计空气阻力，只有重力做功，则、组成的系统机械能守恒，故C正确；
D.小球在做圆锥摆的过程中，重力势能和动能都不变，机械能守恒，故D正确。
本题选错误的，故选A。
7．如图所示，两同学站在悬崖边上，以相同的初速率从悬崖边抛出质量相同的甲、乙两球，甲球被竖直向上抛出，乙球被水平抛出，最终两球均落在悬崖下方的水面上。不计空气阻力。用、分别表示甲、乙两球落到水面前瞬间的机械能。下列说法正确的是
A. B.
C. D. 条件不足，无法判断
【答案】C
【解析】
甲、乙两球质量相等，抛出时速率相等，动能相等，抛出时两球高度相同，重力势能相等，则抛出时两球机械能相等，不计空气阻力，两球在运动过程中机械能均守恒，因此，甲、乙两球落到水面前瞬间的机械能相等，即，故ABD错误，C正确。
8．如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上，若以地面为零势能面，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（　　）
A．物体到达海平面时的重力势能为
B．重力对物体做的功为
C．物体在海平面上的动能为
D．物体在海平面上的机械能为
【答案】C
【解析】
A．以地面为参考平面，物体落到海平面时重力势能为－mgh，故A错误；
B．从抛出到海平面的运动过程，物体在重力方向上的位移为h，则重力对物体做的功为mgh，故B错误；
CD．下落过程中机械能守恒，则得在海平面上的动能为物体落到海平面上的机械能为故C正确，D错误。
故选C。
9．如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，并且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L（未超过弹性限度），重力加速度为g，则在圆环下滑到最大距离的过程中（　　）
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能增加了mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和始终保持不变
【答案】B
【解析】
A．圆环在下落过程中受到弹簧的拉力，拉力做负功，圆环在下落过程中机械能减少， A错误；
BC．圆环沿杆下滑过程中，对于圆环和弹簧组成的系统，由于只有重力和弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒，圆环下落到最低点时速度为零，但是加速度不为零，即合力不为零；圆环下降高度所以圆环重力势能减少了mgL，弹簧弹性势能增加了mgL ，C错误B正确；
D．圆环沿杆下滑过程中，对于圆环和弹簧组成的系统，由于只有重力和弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒，圆环沿杆下滑过程中速度先增大在减小，圆环的动能先变大后变小，则圆环重力势能与弹簧弹性势能之和先变小后变大，D错误。
故选B。
10．如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是
甲：火箭升空的过程 乙：力拉着物体匀速上升
丙：小球在水平面内做匀速圆周运动
丁：光滑平面上、两小车在轻弹簧的作用下被弹开
A. 图甲中，火箭升空的过程中，若匀速升空，机械能守恒若加速升空，机械能不守恒
B. 图乙中物体匀速运动，机械能守恒
C. 图丙中小球做匀速圆周运动，机械能守恒
D. 图丁中，轻弹簧将、两小车弹开，两小车组成的系统机械能守恒
【答案】C
【解析】 图甲中，无论火箭匀速上升还是加速上升，由于有推力做功，机械能增加，因而机械能不守恒．图乙中，拉力做功，机械能不守恒．图丙中，小球受到的所有力都不做功，机械能守恒．图丁中，弹簧的弹力做功，弹簧的弹性势能转化为两小车的动能，两小车与弹簧组成的系统机械能守恒．
11．一个质量为的木块静止在光滑水平面上，一颗质量为的子弹，以水平速度射入木块并留在木块中，在此过程中，子弹射入木块的深度为，木块运动的距离为，木块对子弹的平均阻力为，则对于子弹和木块组成的系统，下列说法正确的是
A. 子弹射入木块过程中系统的机械能守恒
B. 木块增加的动能为
C. 子弹减少的动能等于
D. 系统损失的机械能等于
【答案】D
【解析】
A.子弹射入木块的过程中，木块对子弹的平均阻力对系统做功，所以系统的机械能不守恒，故A错误；
B.木块增加的动能等于阻力与木块位移的乘积，即，故B错误；
C.子弹减少的动能等于阻力与子弹位移的乘积，即：，故C错误；
D.系统损失的机械能等于阻力与两个物体相对位移的乘积，即：，故D正确。
故选D。
二、非选择题
12．如图是某轻轨车站的设计方案，与站台连接的轨道有一个小坡度，电车进站要上坡，出站要下坡。已知坡高为2 m，电车到a点时的速度为25.2 km/h，此后便切断电车的电源，如果不考虑电车所受的摩擦力，电车能否冲上站台？如果电车不能冲上站台，请说明理由；如果电车能冲上站台，求它到达b点时的速度大小。（g取10 m/s2）
【答案】能，3 m/s
【解析】
电车电源被切断后，只有重力做功，故机械能守恒。取a点所在平面为参考平面，电车在a点的机械能为
E1=Ek1=mv12
其中v1=25.2 km/h=7m/s设到达b点时的速度为v2，则由机械能守恒定律可知
解得
v2=3m/s
则能到达b点，到达b点时的速度大小3m/s。
13．如图所示，光滑曲线轨道，其中段水平，一质量为的小球从轨道上距水平面高为的点由静止释放，沿轨道滑至点后飞出，最终落至水平轨道上的一点，求：
小球滑至点时的速度；
小球落至点时的动能。
【答案】解：对过程分析，根据机械能守恒定律有：
解得：
对过程分析，由机械能守恒定律有：
解得点的动能为：
【解析】本题考查机械能守恒定律的应用，要注意本题中包含平抛运动、圆周运动等过程，但只要根据机械能守恒定律列式即可正确求解。
14．如图所示，质量的跳水运动员从距水面高的跳台上以的速度斜向上起跳，最终落入水中．若忽略运动员身高的影响且不计空气阻力．取，以运动员到达水面的重力势能为零．求：
运动员在跳台上时具有的重力势能；
运动员在最高点时的机械能；
运动员入水时速度的大小．
【答案】解：由题意以运动员到达水面的重力势能为零，人的重力势能是；
运动员在最高点时的机械能为；；
在整个过程中，只有重力做功，机械能守恒，由，
解得。
答：
运动员在跳台上时具有的重力势能是；
运动员在最高点时的机械能是；
运动员入水时的速度大小是。
【解析】 由重力势能的定义式可以求得运动员在跳台上时具有的重力势能；
由机械能概念可以求得运动员在最高点时的机械能；
根据机械能守恒可以求得运动员入水时的速度大小。
15．如图所示，竖直平面内的一半径的光滑圆弧槽，点与圆心等高，质量的小球可看作质点从点正上方高处的点自由下落，由点进入圆弧轨道，从点飞出，不计空气阻力，取求：
小球经过点时的动能；
小球经过最低点时的速度大小；
小球经过最低点时对轨道的压力大小．
【答案】解：小球从点到，根据机械能守恒定律有：
代入数据得：
小球从点到点，由机械能守恒定律有：，代入数据得
小球在点，受到的支持力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律有：，代入数据解得
由牛顿第三定律有小球对轨道的压力
【解析】 经过点的过程中，机械能守恒，由机械能守恒定律列出方程即可求解。
到的过程中，机械能守恒，由机械能守恒列出方程即可求解。
点时，小球做圆周运动，由重力和支持力的合力作为向心力，由向心力的公式可以求得轨道对它的支持力。题中小球的运动经历了多个运动过程，包括自由落体运动、圆周运动和平抛运动，要掌握各个过程的运动规
16．如图所示，光滑斜面的倾角，为水平面，长度，为光滑的圆弧，半径一个质量的物体，从斜面上点由静止开始下滑，物体与水平面间的动摩擦因数，轨道在、两点平滑连接．当物体到达点时，继续竖直向上运动，最高点距离点的高度不计空气阻力，，，取求：
物体运动到点时的速度大小；
点距离水平面的高度；
物体最终停止的位置到点的距离．
【答案】解：物体由点到最高点，根据机械能守恒得：
代入数据解得：；
物体由点到点，根据动能定理得：
代入数据解得：；
从物体开始下滑到停下，根据能量守恒得：
代入数据，解得：
由于
所以，物体最终停止的位置到点的距离为：。
【解析】
由到最高点时，由机械能守恒定律可求得点的速度；
对过程由动能定理可求得下滑的高度；
对全程分析，由能量守恒可求得物体滑行的距离，则可求得停止点到点的距离。§8-4　机械能守恒定律
一、学习目标
1.了解人们追寻守恒量和建立“能量”概念的漫长过程.
2.知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化.
3.能够推导出机械能守恒定律.
4.会判断一个过程机械能是否守恒，能运用机械能守恒定律解决有关问题．
二、学习过程
【问题探究】如图所示，质量为m的物体沿光滑曲面滑下的过程中，下落到高度为h1的A处时速度为v1，下落到高度为h2的B处时速度为v2，重力加速度为g，不计空气阻力，选择地面为参考平面．
(1)求从A至B的过程中重力做的功；
(2)求物体在A、B处的机械能EA、EB；
(3)比较物体在A、B处的机械能的大小．
【知识点1】机械能守恒定律
1．机械能：重力势能、弹性势能与动能统称为机械能．
2．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
3．表达式：mv22＋mgh2＝mv12＋mgh1或Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1.
4．应用机械能守恒定律解决问题只需考虑运动的初状态和末状态，不必考虑两个状态间过程的细节，即可以简化计算．
5．判断机械能是否守恒的方法
(1)做功条件分析：只有重力和系统内弹力做功，其他力不做功或做功的代数和始终为零．
(2)能量转化分析：系统内只有动能、重力势能及弹性势能的相互转化，即系统内只有物体间的机械能相互转移，则机械能守恒．
(3)定义判断法：如物体沿竖直方向或沿斜面匀速运动时，动能不变，势能变化，机械能不守恒．
例题1、如图所示，一小孩在粗糙的滑梯上从静止开始加速滑下，其能量的变化情况是
A. 重力势能减小，动能不变，机械能减小
B. 重力势能减小，动能增加，机械能减小
C. 重力势能减小，动能增加，机械能增加
D. 重力势能减小，动能增加，机械能守恒
例题2、图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是
A. 甲图中，物体将弹簧压缩的过程中，机械能守恒
B. 乙图中，物体在大小等于摩擦力的拉力作用下沿斜面下滑时，机械能守恒
C. 丙图中，斜面光滑，物体在推力作用下沿斜面向下运动的过程中，物体机械能守恒
D. 丁图中，斜面粗糙，物体在斜面上下滑的过程中，物体机械能守恒
例题2、如图所示，在水平地面上固定一竖直轻弹簧，弹簧的劲度系数为，原长为。质量为的小球由弹簧的正上方高处自由下落，与弹簧接触后压缩弹簧，当弹簧的压缩量为时，小球下落到最低点，整个过程中弹簧一直处在弹性限度内。不计空气阻力，当地的重力加速度为，则从小球接触弹簧开始到小球下落到最低点的过程中不正确的是
A. 小球的机械能先增加后减少
B. 小球与弹簧组成的系统机械能守恒
C. 弹簧弹性势能的最大值为
D. 小球下洛到距地面高度时动能最大
【问题探究】1．有一种能伸缩的圆珠笔，其内装有一根小弹簧，尾部有一个小帽，压一下小帽，笔尖就伸出．如图所示，使笔的尾部朝下，将笔向下按，使小帽缩进．然后放手，可看到笔将向上弹起至一定的高度．请分析向上弹起过程中的能量转化情况．
2．如图所示的摆球实验中，(1)当小球自A由静止释放运动到C的过程中，小球高度不断减小，而速度不断增大，说明了什么？
(2)当小球由C运动到B的过程中，小球高度不断升高，而速度不断减小，说明了什么？
(3)在D处加一钉子，小球仍由A摆下，为什么会重新回到原来的高度，说明了什么？
【知识点2】机械能守恒定律的应用
1．机械能守恒定律常用的三种表达式
(1)从不同状态看：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2(或E1＝E2)
此式表示系统两个状态的机械能总量相等．
(2)从能的转化角度看：ΔEk＝－ΔEp
此式表示系统动能的增加(减少)量等于势能的减少(增加)量．
(3)从能的转移角度看：ΔEA增＝ΔEB减
此式表示系统A部分机械能的增加量等于系统剩余部分，即B部分机械能的减少量．
2．应用机械能守恒定律解题的一般步骤
(1)根据题意选取研究对象；
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在此过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒．
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在此过程中的初态和末态的机械能．
(4)根据机械能守恒定律的不同表达式列方程并求解．
例题4、如图所示，让摆球从图中位置由静止开始下摆，正好摆到最低点位置时摆线被拉断。设摆线长，点离地高，不计摆线断时的机械能损失，不计空气阻力，取，求：
摆球刚到达点时的速度大小；
落到地面点时摆球的速度大小。
例题5、如图所示，轻弹簧一端与墙相连处于自然状态，一质量为的木块沿光滑的水平面以大小为的速度向左运动并挤压弹簧，求：
弹簧最大的弹性势能。
木块被弹簧弹回的过程中，速度增大到时弹簧的弹性势能。
例题6、如图所示，两端分别系着小球和的轻绳跨过轻定滑轮，小球的质量，用手托住，距离地面的高度。小球的质量，静置于水平地面上，此时对地面的压力恰好为零。现从静止开始释放小球，取。求：
小球落地时的速率；
小球能够上升的最大高度；
小球下落的过程中，轻绳对做的功。
§8-4　机械能守恒定律　 作业
班级： 学号： 姓名：
一、选择题
1．关于机械能是否守恒的的叙述，下面说法中正确的是
A. 作匀速运动的物体机械能一定守恒
B. 作变速运动的物体机械能一定守恒
C. 力对物体做的功的等于零时，机械能一定守恒
D. 不论物体受力情况如何，若只有重力、弹力对物体做功，则系统机械能守恒
2．下列几种情况，系统机械能守恒的是
A．在空中飘落的树叶[图(a)]
B．运动员在蹦床上越跳越高[图(b)]
C．图(c)中小车上放一木块，小车的左侧有弹簧与墙壁相连，小车在左右振动时，木块相对于小车无滑动(车轮与地面摩擦不计)
D．图(c)中小车振动时，木块相对小车有滑动
3．如图所示，将质量为m的石块从离地面h高处以初速度v斜向上抛出。以地面为参考平面，不计空气阻力，当石块落地时（　　）
A．动能为mgh B．机械能为
C．动能为 D．重力势能为mgh
4．如图所示，把一小球放在竖立的轻弹簧上，并把小球往下按至A的位置，迅速松手后，弹簧把小球弹起，小球升至最高位置C，途中经过位置B时弹簧正好处于自由状态，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．从A运动到B的过程中，小球的机械能守恒
B．从A运动到B的过程中，小球的机械能一直增大
C．从A运动到B的过程中，小球的动能一直增大
D．从A运动到C的过程中，小球和弹簧组成的系统势能一直增大
5．以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面（足够长）上滑，如图所示，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力，则（　　）
A．h1=h2>h3 B．h1=h2＜h3
C．h1=h3＜h2 D．h1=h3>h2
6．如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断错误的是
A. 甲图中，物体将弹簧压缩的过程中，物体机械能守恒
B. 乙图中，斜面固定于水平面上，物体沿光滑斜面下滑，物体机械能守恒
C. 丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时，加速下落，加速上升过程中，、系统机械能守恒
D. 丁图中，小球沿水平面做匀速圆周运动时，小球的机械能守恒
7．如图所示，两同学站在悬崖边上，以相同的初速率从悬崖边抛出质量相同的甲、乙两球，甲球被竖直向上抛出，乙球被水平抛出，最终两球均落在悬崖下方的水面上。不计空气阻力。用、分别表示甲、乙两球落到水面前瞬间的机械能。下列说法正确的是
A. B.
C. D. 条件不足，无法判断
8．如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上，若以地面为零势能面，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（　　）
A．物体到达海平面时的重力势能为
B．重力对物体做的功为
C．物体在海平面上的动能为
D．物体在海平面上的机械能为
9．如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，并且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L（未超过弹性限度），重力加速度为g，则在圆环下滑到最大距离的过程中（　　）
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能增加了mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和始终保持不变
10．如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是
甲：火箭升空的过程 乙：力拉着物体匀速上升
丙：小球在水平面内做匀速圆周运动
丁：光滑平面上、两小车在轻弹簧的作用下被弹开
A. 图甲中，火箭升空的过程中，若匀速升空，机械能守恒若加速升空，机械能不守恒
B. 图乙中物体匀速运动，机械能守恒
C. 图丙中小球做匀速圆周运动，机械能守恒
D. 图丁中，轻弹簧将、两小车弹开，两小车组成的系统机械能守恒
11．一个质量为的木块静止在光滑水平面上，一颗质量为的子弹，以水平速度射入木块并留在木块中，在此过程中，子弹射入木块的深度为，木块运动的距离为，木块对子弹
的平均阻力为，则对于子弹和木块组成的系统，下列说法正确的是
A. 子弹射入木块过程中系统的机械能守恒
B. 木块增加的动能为
C. 子弹减少的动能等于
D. 系统损失的机械能等于
二、非选择题
12．如图是某轻轨车站的设计方案，与站台连接的轨道有一个小坡度，电车进站要上坡，出站要下坡。已知坡高为2 m，电车到a点时的速度为25.2 km/h，此后便切断电车的电源，如果不考虑电车所受的摩擦力，电车能否冲上站台？如果电车不能冲上站台，请说明理由；如果电车能冲上站台，求它到达b点时的速度大小。（g取10 m/s2）
13．如图所示，光滑曲线轨道，其中段水平，一质量为的小球从轨道上距水平面高为的点由静止释放，沿轨道滑至点后飞出，最终落至水平轨道上的一点，求：
小球滑至点时的速度；
小球落至点时的动能。
14．如图所示，质量的跳水运动员从距水面高的跳台上以的速度斜向上起跳，最终落入水中．若忽略运动员身高的影响且不计空气阻力．取，以运动员到达水面的重力势能为零．求：
运动员在跳台上时具有的重力势能；
运动员在最高点时的机械能；
运动员入水时速度的大小．
15．如图所示，竖直平面内的一半径的光滑圆弧槽，点与圆心等高，质量的小球可看作质点从点正上方高处的点自由下落，由点进入圆弧轨道，从点飞出，不计空气阻力，取求：
小球经过点时的动能；
小球经过最低点时的速度大小；
小球经过最低点时对轨道的压力大小．
16．如图所示，光滑斜面的倾角，为水平面，长度，为光滑的圆弧，半径一个质量的物体，从斜面上点由静止开始下滑，物体与水平面间的动摩擦因数，轨道在、两点平滑连接．当物体到达点时，继续竖直向上运动，最高点距离点的高度不计空气阻力，，，取求：
物体运动到点时的速度大小；
点距离水平面的高度；
物体最终停止的位置到点的距离．

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