资源简介

§7-3　万有引力理论的成就
一、学习目标
1.了解万有引力定律在天文学中的重要应用.
2.了解“称量”地球的质量、计算太阳的质量的基本思路，会用万有引力定律计算天体的质量.
3.理解运用万有引力定律处理天体运动问题的思路和方法．
二、学习过程
【问题探究】(1)我们脚下的大地是个硕大的球体，用普通的秤称出地球的质量，那是不可能的．第一，世界上没有这样一杆能称得起地球的巨秤．其次，谁也无法拿得起这杆秤．就算有一个力大无穷的大力士能提得起地球，也无法称出地球的质量，因为那个能够提得起地球的人，站在什么地方去称地球的质量呢？总不能站在地球上称地球吧！那么地球的质量怎么测量呢？
(2)卡文迪什在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”．
①他“称量”的依据是什么？
②若已知地球表面重力加速度g，地球半径R，求地球的质量和密度．
(3)已知太阳与地球间的平均距离约为1.5×1011m，你能估算太阳的质量吗？换用其他行星的相关数据进行估算，结果会相近吗？为什么？
【答案】(1)a．依据：绕地球做匀速圆周运动的卫星，根据G＝(M为地球质量，m为卫星质量)．
b．结论：M＝，只要知道卫星绕地球运动的周期T和半径r，就可以计算出地球的质量．
(2)①若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力．
②由mg＝G得，M＝，ρ＝＝＝.
(3)能估算太阳的质量，地球绕太阳的运行周期
T＝365×24×3 600 s≈3.15×107 s
m太＝＝ kg≈2.01×1030 kg
换用其他行星的相关数据进行估算，结果相近，因为r变化的同时，周期T也在变化，但根据开普勒第三定律，的比值k固定．
【知识点1】天体质量和密度的计算
1．重力加速度法
①思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于地球对物体的引力．
②关系式：mg＝G.
③结果：m地＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量．
④推广：若知道某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量．
2．卫星环绕法
①思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力．
②关系式：＝mr.
③结论：m太＝，只要知道引力常量G，行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量．
④推广：若已知引力常量G，卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量．
3．计算天体的密度
若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝
①将M＝代入上式得ρ＝.
②将M＝代入上式得ρ＝.
当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝.
例题1、人类历史上第一张黑洞照片已经问世，让众人感叹：“黑洞”，我终于“看见”你了事实上人类对外太空的探索从未停止，至今已在多方面取得了不少进展．假如人类发现了某星球，登上该星球后，进行了如下实验：在固定的竖直光滑圆轨道内部，一小球恰好能做完整的圆周运动，已知小球在最高点的速度为，轨道半径为若已测得星球的半径为，引力常量为，则星球的质量为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
设小球的质量为，星球的质量为，星球表面的重力加速度为
，因小球在最高点恰好能做完整的圆周运动，设最高点时小球速度为，由牛顿第二定律得：
得： 对于任一星球表面的物体，万有引力等于其重力，即为：
由得： 故ABC错误，D正确。
故选：。
例题2、为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量。已知地球半径，地球质量，日地中心距离，地球表面处的重力加速度，年约为，但引力常量未知。试估算目前太阳的质量。结果保留两位有效数字
【答案】解：设地球绕太阳运动的周期为，则由太阳对地球的引力提供地球围绕太阳做圆周运动的向心力得
设在地球表面附近有质量为物体，则
联立解得。
【解析】本题主要考查万有引力定律的应用，地球绕太阳公转，知道了轨道半径和公转周期利用万有引力提供向心力可列出等式．
根据地球表面的万有引力等于重力列出等式，联立可求解。
例题3、地球表面的平均重力加速度为，地球半径为，万有引力常量为，用上述物理量计算出来的地球平均密度是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
根据在地球表面万有引力等于重力有：
解得：
所以。故A正确，BCD错误。
故选A。
跟踪训练：美国的“卡西尼号”探测器经过长达年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道若“卡西尼号”探测器在半径为的土星上空离土星表面高为的圆形轨道上绕土星飞行，环绕周飞行时间为，已知引力常量为，则下列给出的土星质量和平均密度的表达式正确的是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
由
又
得：
由 ，
得：
故D正确、ABC错误．
故选D．
【问题探究】如图所示，太阳系的行星在围绕太阳运动．
(1)地球、火星等行星绕太阳的运动遵守什么规律？
(2)如何比较地球、火星等行星绕太阳运动的线速度、角速度、周期及向心加速度等各量的大小关系？
【答案】(1)地球、火星等行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，万有引力提供向心力．
(2)由G＝man＝m＝mω2r＝mr表达式可知线速度、角速度、周期及向心加速度等各量都与轨道半径有关系．
【知识点2】天体运动规律的分析与计算
1．基本思路
一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，即F向＝F万．
2．常用关系
(1)G＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝man，万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力．
(2)mg＝G，在天体表面上物体的重力等于它受到的引力，可得gR2＝GM，该公式称为黄金代换．
3．四个重要结论
项目 推导式 关系式 结论
v与r的关系 G＝m v＝ r越大， v越小
ω与r的关系 G＝mrω2 ω＝ r越大， ω越小
T与r的关系 G＝mr T＝2π r越大， T越大
a与r的关系 G＝ma a＝ r越大， a越小
速记口诀：高轨低速周期大，低轨高速周期小．
例题4、假设人造地球卫星做匀速圆周运动，当它的轨道半径增大到原来的倍时
A. 根据，卫星受到的向心力增为原来的倍
B. 根据，卫星受到的向心力减为原来的
C. 根据，卫星受到的向心力减为原来的
D. 根据，卫星受到的向心力保持不变
【答案】C
【解析】
A.当轨道半径变化时，万有引力变化，卫星的角速度随着变化，所以，不能根据公式得卫星受的向心力增为原来的倍，故A错误；
B.同理，当轨道半径变化时，万有引力变化，卫星的线速度随着变化，故B错误；
C.根据万有引力的表达式，卫星受的向心力减为原来的故C正确；
D.人造地球卫星的轨道半径增大到原来倍时，重力加速度也随着变化，故D错误。
故选C。
例题5、下表是一些有关火星和地球的数据，利用引力常量和表中选择的一些信息可以完成的估算是
信息序号 信息内容
地球一年约为天
地表重力加速度约为
火星的公转周期约为天
日地距离大约是亿千米
地球半径约为千米
A. 选择可以估算地球的质量
B. 选择可以估算太阳的密度
C. 选择可以估算火星公转的线速度
D. 选择可以估算太阳对地球的吸引力
【答案】A
【解析】
、根据可知选择中的和，可以估算地球质量，故A正确；
B、根据，则选择中的地球的公转周期和的日地距离可以估算太阳的质量，但是由于不知太阳的半径，则不能估算太阳的密度，故B错误；
C、因选择可以估算太阳的质量，根据，再选择可知火星的公转周期可求解火星公转的半径，再根据可估算火星公转的线速度，故C错误；
D、选择因为不能确定地球的质量，则不可以估算太阳对地球的吸引力，故D错误。
故选：。
例题6、我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高.2018年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km，它们都绕地球做圆周运动．与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是(　　)
A．周期 B．角速度
C．线速度 D．向心加速度
【答案】　A
【解析】
“高分五号”的运动半径小于“高分四号”的运动半径，即r五T＝ 2π∝，T五ω＝∝，ω五>ω四，故B错；
v＝∝，v五>v四，故C错；
an＝∝，an五>an四，故D错．
§7-3　万有引力理论的成就 作业
班级： 学号： 姓名：
一、选择题
1． 年月日，我国在酒泉卫星发射中心用“长征四号”丙遥三十七运载火箭成功发射“高分三号”星。该卫星的成功发射将进一步提升我国卫星海陆观测能力，服务海洋强国建设和支撑“一带一路”倡议。已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为，线速度大小为，引力常量为，则地球的质量为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由万有引力提供向心力得，结合公式，解得：，故C正确，ABD错误。
2．某星球的质量是地球质量的，其半径是地球半径的，该星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
设任一天体的质量为，半径为，质量为的物体在天体表面时，天体对物体的万有引力近似等于物体的重力，则有
得
则得星球表面的重力加速度与地球表面重力加速度之比为，即星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的倍。
故选D。
3．年月日时，人类首张黑洞照片在全球六地的视界面望远镜发布会上同步发布．该黑洞半径为，质量和半径的关系满足：其中为光速，为引力常量若天文学家观测到距黑洞中心距离为的天体以速度绕该黑洞做匀速圆周运动，则
A. 该黑洞质量为 B. 该黑洞质量为
C. 该黑洞的半径为 D. 该黑洞的半径为
【答案】C
【解析】
天体受到的黑洞的万有引力提供天体做匀速圆周运动的向心力，则有：，得，故A、B错误；
又黑洞的质量和半径的关系满足：，则有，故C正确，D错误
故选C。
4．年月日，嫦娥五号上升器携带月壤样品成功回到预定环月轨道，这是我国首次实现地外天体起飞。环月轨道可以近似为圆轨道，已知轨道半径近似为月球半径，环绕月球的周期为，月球质量为，引力常量为，则
A. 上升器在环月轨道上的向心加速度大小近似为
B. 上升器在环月轨道上的线速度大小近似为
C. 月球表面的重力加速度大小近似为
D. 月球的平均密度近似为
【答案】D
【解析】
A.根据，故A错误；
B.在环月轨道上万有引力提供向心力，即，可得线速度近似为，故B错误；
C.在月球表面万有引力提供重力，即，可得月球表面的重力加速度大小近似为，故C错误；
D.在环月轨道上万有引力提供向心力，即，可得月球质量，则月球的平均密度为：，故D正确。
故选D。
5．年月，我国空间站的“天和”核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是
A. 核心舱的质量和地球半径
B. 核心舱的质量和绕地球运行周期
C. 核心舱绕地球运行的角速度和半径
D. 核心舱绕地球运行的周期和距地高度
【答案】C
【解析】
由万有引力提供向心力，可得，解得，结合选项可知，若已知核心舱绕地球运行的角速度和半径可求解地球的质量，故C正确，ABD错误。
故选：。
6．在中国航天领域迅猛发展的当下，发射卫星进一步探测火星及其周边的小行星带，能为我国深空探测打下基础。若测得某小行星表面的重力加速度大小为地球表面重力加速度大小的，小行星的半径为地球半径的，地球和小行星均视为质量分布均匀的球体，则地球的密度与该小行星的密度之比为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
根据，得：，
则天体的密度为：，
所以，故C正确，ABD错误。
7．年月，我国首个火星探测器“天问一号”实现了对火星的环绕。若“天问一号”绕火星做匀速圆周运动的线速度大小为，周期为，引力常量为，则火星的质量为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由匀速圆周运动线速度和周期关系可知“天问一号”的轨道半径，火星对“天问一号”的引力提供其做匀速圆周运动的向心力，解得，选项A正确。
8．年月日，“嫦娥五号”探测器在月球预选着陆区成功着陆。若“嫦娥五号”着陆前在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动，月球的平均密度为、半径为，引力常量为，则“嫦娥五号”绕月球做圆周运动的线速度大小为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
“嫦娥五号”在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力
又， 其中
解得，故ABC错误，D正确。
9．澳大利亚科学家近日宣布，在离地球约光年的红矮星周围发现了三颗行星、、，它们的公转周期分别是天、天、天，公转轨道可视为圆，如图所示已知万有引力常量为下列说法不正确的是
A. 可求出、的公转半径之比
B. 可求出、的向心加速度之比
C. 若已知的公转半径，可求出红矮星的质量
D. 若已知的公转半径，可求出红矮星的密度
【答案】D
【解析】
A.行星、的周期分别为天、天，均做匀速圆周运动，根据开普勒周期定律公式，可以求解轨道半径之比，故A正确；
B.行星、的周期分别为天、天，均做匀速圆周运动，根据开普勒周期定律公式，可以求解轨道半径之比，根据万有引力等于向心力列式，有：
解得：
故可以求解出、的向心加速度之比，故B正确；
已知的公转半径和周期，根据牛顿第二定律，有：
解得：
故可以求解出红矮星的质量，但不知道红矮星的体积，无法求解红矮星的密度，故C正确，D错误。
故选D。
10．国务院批复，自年起将月日设立为“中国航天日”。年月日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，如图所示，其轨道近地点高度约为，远地点高度约为；年月日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空的地球同步轨道上。设东方红一号在近地点的加速度为，线速度为，环绕周期为。东方红二号的加速度为，线速度为，环绕周期为，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为，自转线速度为，自转周期为。则、、，、、，、、的大小关系为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
A、东方红二号地球同步卫星和地球自转的角速度相同，由可知，，由万有引力提供向心力可得：，东方红一号地球同步卫星轨道半径小于东方红二号卫星的轨道半径，则它们的周期关系为：，所以有，故A错误；
、东方红二号地球同步卫星和地球自转的角速度相同，由可知，；由万有引力提供向心力可得：，提供向心力可得：，东方红一号地球同步卫星轨道半径小于东方红二号卫星的轨道半径，则它们的加速度关系为：，所以有：；故B正确，C错误；
D、东方红二号地球同步卫星和地球自转的角速度相同，根据可知，，由万有引力提供向心力可得：，东方红一号地球同步卫星轨道半径小于东方红二号卫星的轨道半径，则它们的速度关系为：，所以有：，故D错误。
故ACD错误，B正确。
11．如图所示，如果把地球表面看成一座巨大的拱形桥，若汽车速度足够大就可以飞离地面而成为人造地球卫星。已知地球自转周期为，赤道上的重力加速度为，万有引力常量为，地球的半径为。则下列说法正确的是
A. 汽车相对地心的速度至少应为才能飞离地面
B. 地球的质量为
C. 地球两极处的重力加速度为．
D. 为了使汽车更容易飞离地面，汽车应该在低纬度地区自东向西加速运动
【答案】C
【解析】
A.由题意可知，赤道上相对地球静止的物体的线速度为，汽车相对地心的速度为时显然不能飞离地面，汽车相对地心的速度至少要达到环绕速度才能飞离地面，故A错误；
B.设地球的质量为，对赤道上质量为的静止物体根据牛顿第二定律有：，解得，故B错误；
C.设地球两极处的重力加速度为，地球两极处质量为的物体所受重力近似等于万有引力，即，解得，故C正确；
D.为了使汽车更容易飞离地面，汽车应该在低纬度地区自西向东加速运动，故D错误。
故选C。
二、非选择题
12．某宇航员驾驶宇宙飞船到达某未知星球表面，他将一个物体以的速度从的高度水平抛出，测得落地时速度与水平地面的夹角为。已知该星球半径是地球半径的倍，地球表面重力加速度。则：
该星球表面的重力加速度是多少？
该星球的质量是地球的几倍？
【答案】星球表面平抛物体，水平方向匀速直线运动：，
竖直方向做自由落体运动，
因为，
解得：；
对地球表面的物体，其重力等于万有引力：，
对星球表面的物体，其重力等于万有引力：，
解得，所以星球质量是地球质量的倍；
【解析】本题主要考查的是万有引力定律的应用，明确平抛运动在水平和竖直方向的运动情况是解题的关键，熟记运动学公式和万有引力表达式。
根据星球表面物体做平抛运动，水平方向和竖直方向的速度列方程，再根据速度夹角列方程解答；
根据万有引力等于重力列出方程组，解方程组。
13．我国月球探测计划“嫦娥工程”将分三个阶段实施，大约用十年左右的时间完成，这极大地提高了同学们对月球的关注程度。某探月卫星在离月球表面为的空中沿圆形轨道绕月球飞行，周期为若月球半径，引力常量为试求：
月球的质量；
月球表面的重力加速度。
【答案】解：嫦娥三号围绕月球做圆周运动时，有：
解得：
根据万有引力等于重力得：
解得：
答：月球的质量表达式为得；
月球表面的重力加速度为
【解析】根据万有引力提供向心力，结合轨道半径和周期求出月球的质量。
根据万有引力等于重力求出月球表面的重力加速度。
解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论，、万有引力提供向心力，、万有引力等于重力，并能灵活运用。
14．某行星的自转周期为，用弹簧测力计在该行星的“赤道”和“两极”处测同一物体的重力，弹簧测力计在赤道上的读数比在两极上的读数小行星视为球体，，计算结果保留两位有效数字．
求该行星的平均密度；
设想该行星自转角速度加快到某一值时，在“赤道”上的物体会“飘”起来，求此时行星的自转周期．
【答案】解：放在行星两极处的物体，其万有引力等于重力，即，
赤道上的物体由万有引力提供其向心力及重力，即在赤道上，把物体所受到的万有引力分解为自转所需的向心力和重力。
则
所以该行星的质量为
行星的平均密度为
对物体原来有
当物体飘起时，万有引力提供向心力，
有
由得：
【解析】解决此类问题的关键是找到物体和卫星做圆周运动所需要的向心力的，并结合万有引力定律解决问题。
在两极，因物体随行星自转半径为零，无需向心力，其万有引力等于重力，在赤道上，我们把物体所受到的万有引力分解为自转向心力和重力。
物体飘起相当于行星的表面发射一颗环绕表面的卫星，其轨道半径近似等于星体半径，由万有引力充当向心力可解得卫星的周期。
15．年月日，人类第一次登上月球，宇航员在月球表面做了这样一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一个高度同时由静止释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为处下落，经时间落到月球表面．已知引力常量为，月球的半径为．
求月球表面的自由落体加速度大小；
若不考虑月球自转的影响，求：
月球的质量；
在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动飞行器的周期．
【答案】解：月球表面附近的物体做自由落体运动有：
可得月球表面的自由落体加速度大小为：
若不考虑月球自转的影响月球表面重力与万有引力相等，有：
可得月球质量为：
、月球附近重力与万有引力相等，且万有引力提供飞行器匀速圆周运动的向心力有：
可得飞行器的周期为：。
【解析】根据自由落体运动求得月球表面的重力加速度；
月球表面重力与万有引力相等，据月球半径和表面重力加速度求得月球质量；
根据万有引力提供圆周运动向心力求得月球表面附近匀速圆周运动的飞行器的周期．
万有引力在解决天体运动问题时主要从星球表面重力与万有引力相等和万有引力提供圆周运动向心力两方面入手列式解决．
16．如图，为地球同步卫星，为近地卫星轨道半径近似等于地球半径，两者在同一个平面内绕地球沿同一个方向做匀速圆周运动。已知地球的自转周期为，的轨道半径是的倍，引力常量为，求
地球的平均密度；
这两颗卫星相邻两次距离最近的时间间隔。
【答案】解：设地球质量为，卫星轨道半径为，对卫星有
设地球半径为，则地球的体积为
地球的平均密度为
又
由式解得
设近地卫星的周期为，由万有引力提供向心力可得
由式解得
设两颗卫星相邻两次距离最近的时间间隔为，
这段时间内卫星转过的圆心角为，卫星转过的圆心角为，则
由式解得
【解析】该题考查天体密度、天体相遇等问题。分析好物理情景，灵活应用公式是解决本题的关键。
根据卫星运行规律，结合密度和体积公式求解地球密度；
两星转过的角度之差时，行星与行星两颗卫星相邻两次距离最近，从而求出时间。§7-3　万有引力理论的成就
一、学习目标
1.了解万有引力定律在天文学中的重要应用.
2.了解“称量”地球的质量、计算太阳的质量的基本思路，会用万有引力定律计算天体的质量.
3.理解运用万有引力定律处理天体运动问题的思路和方法．
二、学习过程
【问题探究】(1)我们脚下的大地是个硕大的球体，用普通的秤称出地球的质量，那是不可能的．第一，世界上没有这样一杆能称得起地球的巨秤．其次，谁也无法拿得起这杆秤．就算有一个力大无穷的大力士能提得起地球，也无法称出地球的质量，因为那个能够提得起地球的人，站在什么地方去称地球的质量呢？总不能站在地球上称地球吧！那么地球的质量怎么测量呢？
(2)卡文迪什在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”．
①他“称量”的依据是什么？
②若已知地球表面重力加速度g，地球半径R，求地球的质量和密度．
(3)已知太阳与地球间的平均距离约为1.5×1011m，你能估算太阳的质量吗？换用其他行星的相关数据进行估算，结果会相近吗？为什么？
【知识点1】天体质量和密度的计算
1．重力加速度法
①思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于地球对物体的引力．
②关系式：mg＝G.
③结果：m地＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量．
④推广：若知道某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量．
2．卫星环绕法
①思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力．
②关系式：＝mr.
③结论：m太＝，只要知道引力常量G，行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量．
④推广：若已知引力常量G，卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量．
3．计算天体的密度
若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝
①将M＝代入上式得ρ＝.
②将M＝代入上式得ρ＝.
当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝.
例题1、人类历史上第一张黑洞照片已经问世，让众人感叹：“黑洞”，我终于“看见”你了事实上人类对外太空的探索从未停止，至今已在多方面取得了不少进展．假如人类发现了某星球，登上该星球后，进行了如下实验：在固定的竖直光滑圆轨道内部，一小球恰好能做完整的圆周运动，已知小球在最高点的速度为，轨道半径为若已测得星球的半径为，引力常量为，则星球的质量为
A. B. C. D.
例题2、为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量。已知地球半径，地球质量，日地中心距离，地球表面处的重力加速度，年约为，但引力常量未知。试估算目前太阳的质量。结果保留两位有效数字
例题3、地球表面的平均重力加速度为，地球半径为，万有引力常量为
，用上述物理量计算出来的地球平均密度是
A. B. C. D.
跟踪训练：美国的“卡西尼号”探测器经过长达年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道若“卡西尼号”探测器在半径为的土星上空离土星表面高为的圆形轨道上绕土星飞行，环绕周飞行时间为，已知引力常量为，则下列给出的土星质量和平均密度的表达式正确的是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【问题探究】如图所示，太阳系的行星在围绕太阳运动．
(1)地球、火星等行星绕太阳的运动遵守什么规律？
(2)如何比较地球、火星等行星绕太阳运动的线速度、角速度、周期及向心加速度等各量的大小关系？
【知识点2】天体运动规律的分析与计算
1．基本思路
一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，即F向＝F万．
2．常用关系
(1)G＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝man，万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力．
(2)mg＝G，在天体表面上物体的重力等于它受到的引力，可得gR2＝GM，该公式称为黄金代换．
3．四个重要结论
项目 推导式 关系式 结论
v与r的关系 G＝m v＝ r越大， v越小
ω与r的关系 G＝mrω2 ω＝ r越大， ω越小
T与r的关系 G＝mr T＝2π r越大， T越大
a与r的关系 G＝ma a＝ r越大， a越小
速记口诀：高轨低速周期大，低轨高速周期小．
例题4、假设人造地球卫星做匀速圆周运动，当它的轨道半径增大到原来的倍时
A. 根据，卫星受到的向心力增为原来的倍
B. 根据，卫星受到的向心力减为原来的
C. 根据，卫星受到的向心力减为原来的
D. 根据，卫星受到的向心力保持不变
例题5、下表是一些有关火星和地球的数据，利用引力常量和表中选择的一些信息可以完成的估算是
信息序号 信息内容
地球一年约为天
地表重力加速度约为
火星的公转周期约为天
日地距离大约是亿千米
地球半径约为千米
A. 选择可以估算地球的质量
B. 选择可以估算太阳的密度
C. 选择可以估算火星公转的线速度
D. 选择可以估算太阳对地球的吸引力
例题6、我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高.2018年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km，它们都绕地球做圆周运动．与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是(　　)
A．周期 B．角速度
C．线速度 D．向心加速度
§7-3　万有引力理论的成就 作业
班级： 学号： 姓名：
一、选择题
1． 年月日，我国在酒泉卫星发射中心用“长征四号”丙遥三十七运载火箭成功发射“高分三号”星。该卫星的成功发射将进一步提升我国卫星海陆观测能力，服务海洋强国建设和支撑“一带一路”倡议。已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为，线速度大小为，引力常量为，则地球的质量为
A. B. C. D.
2．某星球的质量是地球质量的，其半径是地球半径的，该星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的
A. B. C. D.
3．年月日时，人类首张黑洞照片在全球六地的视界面望远镜发布会上同步发布．该黑洞半径为，质量和半径的关系满足：其中为光速，为引力常量若天文学家观测到距黑洞中心距离为的天体以速度绕该黑洞做匀速圆周运动，则
A. 该黑洞质量为 B. 该黑洞质量为
C. 该黑洞的半径为 D. 该黑洞的半径为
4．年月日，嫦娥五号上升器携带月壤样品成功回到预定环月轨道，这是我国首次实现地外天体起飞。环月轨道可以近似为圆轨道，已知轨道半径近似为月球半径，环绕月球的周期为，月球质量为，引力常量为，则
A. 上升器在环月轨道上的向心加速度大小近似为
B. 上升器在环月轨道上的线速度大小近似为
C. 月球表面的重力加速度大小近似为
D. 月球的平均密度近似为
5．年月，我国空间站的“天和”核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是
A. 核心舱的质量和地球半径
B. 核心舱的质量和绕地球运行周期
C. 核心舱绕地球运行的角速度和半径
D. 核心舱绕地球运行的周期和距地高度
6．在中国航天领域迅猛发展的当下，发射卫星进一步探测火星及其周边的小行星带，能为我国深空探测打下基础。若测得某小行星表面的重力加速度大小为地球表面重力加速度大小的，小行星的半径为地球半径的，地球和小行星均视为质量分布均匀的球体，则地球的密度与该小行星的密度之比为
A. B. C. D.
7．年月，我国首个火星探测器“天问一号”实现了对火星的环绕。若“天问一号”绕火星做匀速圆周运动的线速度大小为，周期为，引力常量为，则火星的质量为
A. B. C. D.
8．年月日，“嫦娥五号”探测器在月球预选着陆区成功着陆。若“嫦娥五号”着陆前在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动，月球的平均密度为、半径为，引力常量为，则“嫦娥五号”绕月球做圆周运动的线速度大小为
A. B. C. D.
9．澳大利亚科学家近日宣布，在离地球约光年的红矮星周围发现了三颗行星、、，它们的公转周期分别是天、天、天，公转轨道可视为圆，如图所示已知万有引力常量为下列说法不正确的是
A. 可求出、的公转半径之比
B. 可求出、的向心加速度之比
C. 若已知的公转半径，可求出红矮星的质量
D. 若已知的公转半径，可求出红矮星的密度
10．国务院批复，自年起将月日设立为“中国航天日”。年月日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，如图所示，其轨道近地点高度约为，远地点高度约为；年月日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空的地球同步轨道上。设东方红一号在近地点的加速度为，线速度为，环绕周期为。东方红二号的加速度为，线速度为，环绕周期为，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为，自转线速度为，自转周期为。则、、，、、，、、的大小关系为
A. B. C. D.
11．如图所示，如果把地球表面看成一座巨大的拱形桥，若汽车速度足够大就可以飞离地面而成为人造地球卫星。已知地球自转周期为，赤道上的重力加速度为，万有引力常量为，地球的半径为。则下列说法正确的是
A. 汽车相对地心的速度至少应为才能飞离地面
B. 地球的质量为
C. 地球两极处的重力加速度为．
D. 为了使汽车更容易飞离地面，汽车应该在低纬度地区自东向西加速运动
二、非选择题
12．某宇航员驾驶宇宙飞船到达某未知星球表面，他将一个物体以的速度从的高度水平抛出，测得落地时速度与水平地面的夹角为。已知该星球半径是地球半径的倍，地球表面重力加速度。则：
该星球表面的重力加速度是多少？
该星球的质量是地球的几倍？
13．我国月球探测计划“嫦娥工程”将分三个阶段实施，大约用十年左右的时间完成，这极大地提高了同学们对月球的关注程度。某探月卫星在离月球表面为的空中沿圆形轨道绕月球飞行，周期为若月球半径，引力常量为试求：
月球的质量；
月球表面的重力加速度。
14．某行星的自转周期为，用弹簧测力计在该行星的“赤道”和“两极”处测同一物体的重力，弹簧测力计在赤道上的读数比在两极上的读数小行星视为球体，，计算结果保留两位有效数字．
求该行星的平均密度；
设想该行星自转角速度加快到某一值时，在“赤道”上的物体会“飘”起来，求此时行星的自转周期．
15．年月日，人类第一次登上月球，宇航员在月球表面做了这样一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一个高度同时由静止释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为处下落，经时间落到月球表面．已知引力常量为，月球的半径为．
求月球表面的自由落体加速度大小；
若不考虑月球自转的影响，求：
月球的质量；
在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动飞行器的周期．
16．如图，为地球同步卫星，为近地卫星轨道半径近似等于地球半径，两者在同一个平面内绕地球沿同一个方向做匀速圆周运动。已知地球的自转周期为，的轨道半径是的倍，引力常量为，求
地球的平均密度；
这两颗卫星相邻两次距离最近的时间间隔。

展开更多......

收起↑