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第25课 函数的性质
一、目标导引
1.设函数的图象关于直线对称，它的周期为，则下列说法正确的是 .（填序号）
①函数的图象过点；
②函数在上是减函数；
③函数的一个对称中心是；
④将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.
二、知识梳理
2．函数(A＞0，ω＞0)的有关性质
定义域
值域
单调性
奇偶性
对称性
3.由图象求解析式
题型 步骤 示例
由图象求解析式 1．振幅A：最大值，最小值；2．周期：对称轴，对称中心，最高点，最低点，与轴交点；3．初相：由最高点、最低点或特殊点解方程．
三、问题研讨
问题1：（函数的性质）
　　例题1：已知函数的一系列对应值如下表：
　　
　
（Ⅰ）根据表格提供的数据求函数的解析式；
　（Ⅱ）求函数的单调递增区间和对称中心；
　（Ⅲ）若当时，方程 恰有两个不同的解，求实数的取值范围．
提炼：体现化归思想的应用.函数图象与性质的综合问题．此类问题常先通过三角恒等变换化简函数解析式，再来研究其性质．
问题2（三角函数图象性质的综合应用）
例题2：已知函数的图象是由函数的图象经如下变换得到：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度.
（Ⅰ）求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程；
（Ⅱ）已知关于的方程在内有两个不同的解．
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：.
问题3：三角函数模型的简单应用
例题3：如图，某市拟在道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数（），的图象，且图象的最高点为；赛道的中间部分为千米的水平跑道CD；赛道的后一部分为以O为圆心的一段圆弧．
（Ⅰ）求的值和的值；
（Ⅱ）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，如图示，矩形的一边在道路AE上，一个顶点在扇形半径OD上．记，求当“矩形草坪”的面积最大时的值．
4、总结提升
1．解决相关性质，主要通过变量替换，再回归的性质；
2．函数图象的变换（平移或伸缩变换）切记每一变换都是针对自变量而言；
五、即时检测
1.（图象与性质）若函数的部分图象如图，则ω等于(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
2.(三角函数)设，.若对任意实数都有，则满足条件的有序实数对的对数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
第25课 函数的性质
一、目标导引
1.设函数的图象关于直线对称，它的周期为，则下列说法正确的是 .（填序号）
①函数的图象过点；
②函数在上是减函数；
③函数的一个对称中心是；
④将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.
答案：①③④
二、知识梳理
2．函数(A＞0，ω＞0)的有关性质
定义域
值域
单调性
奇偶性
对称性
定义域
预设：
定义域
值域
单调性 通过整体代换可求出其单调区间
奇偶性 当时是奇函数；当时为偶函数，
对称性 通过整体代换可求出其对称中心、对称轴
3.由图象求解析式
题型 步骤 示例
由图象求解析式 1．振幅A：最大值，最小值；2．周期：对称轴，对称中心，最高点，最低点，与轴交点；3．初相：由最高点、最低点或特殊点解方程．
三、问题研讨
问题1：（函数的性质）
例题1：已知函数的一系列对应值如下表：
　　
　
（Ⅰ）根据表格提供的数据求函数的解析式；
　（Ⅱ）求函数的单调递增区间和对称中心；
　（Ⅲ）若当时，方程 恰有两个不同的解，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ）设的最小正周期为，得，由，得　
又，解得 ，
令，即，
解得，所以．
（Ⅱ）当，
即时，函数单调递增．
令，得，
所以函数的对称中心为．
（Ⅲ）方程可化为．
因为，所以，
由正弦函数图象可知，实数的取值范围是．
提炼：体现化归思想的应用.函数图象与性质的综合问题．此类问题常先通过三角恒等变换化简函数解析式，再来研究其性质．
问题2（三角函数图象性质的综合应用）
例题2：已知函数的图象是由函数的图象经如下变换得到：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度.（Ⅰ）求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程；
（Ⅱ）已知关于的方程在内有两个不同的解．
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：.
解：（Ⅰ）将的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，故，从而函数图象的对称轴方程为
（Ⅱ）（1）
（其中）
依题意，在区间内有两个不同的解当且仅当，故的取值范围是.
（2）因为是方程在区间内有两个不同的解，
所以，.
当时，，∴；
当时， ，∴；
∴
解法二：∵是方程在区间内有两个不同的解，
∴，.
当时，，即；
当时， ，即；
∴，
问题3：三角函数模型的简单应用
例题3：如图，某市拟在道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数（），的图象，且图象的最高点为；赛道的中间部分为千米的水平跑道CD；赛道的后一部分为以O为圆心的一段圆弧．
（Ⅰ）求的值和的值；
（Ⅱ）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，如图示，矩形的一边在道路AE上，一个顶点在扇形半径OD上．记，求当“矩形草坪”的面积最大时的值．
解：（Ⅰ）依题意，有，，∵，∴，∴．
当时，，由，∴，．
又时，，∵，∴，从而．　
（Ⅱ）由（1），∴“矩形草坪”的面积
其中．∴当，即时，最大．
5、总结提升
1．解决相关性质，主要通过变量替换，再回归的性质；
2．函数图象的变换（平移或伸缩变换）切记每一变换都是针对自变量而言；
五、即时检测
1.（图象与性质）若函数的部分图象如图，则ω等于(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
答案：B　
2.(三角函数)设，.若对任意实数都有，则满足条件的有序实数对的对数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：B
提示：，，又，
注意到，只有这两组．
-1
y
O
A
B
C
D
E
P
x
-3
x
-1
y
O
A
B
C
D
E
P
x
-3
x

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