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第26课 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、目标导引
提出问题：（2019江苏13）已知，则的值是 .
2．上题的解题过程用了哪些公式？你还能说出哪些有关的公式？它们是如何得到的？
二、知识梳理
1．三角恒等变换公式：
公式 符号表示 证明思路 公式逆用、变形
向量的数量积 辅助角公式
在中，以代 辅助角公式
辅助角公式
在中，以代 辅助角公式
在中，以代
在，令
在，令
在，令
辅助角公式 逆用两角和与差的正、余弦公式 其中
2．你能用导图的形式表示出以上公式之间的关系吗？
三、问题研讨
问题1：公式的正用
例1：例1：已知.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
[提炼]本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查角的变化技巧以及特殊角的三角函数值。解决此类问题的关键是要熟记两角和与差的公式、二倍角公式、诱导公式、同角三角函数的基本关系，能把所求的角转化为已知角和一些特殊角的和差倍半的关系，然后用公式求解。
问题2：公式的逆用
例2：（1）计算的结果为
A. B. C. D.
（2）的值为（ ）
A. B. C. D.
（3）=_____．
[提炼]本题主要涉及到两角和与差的三角函数公式、二倍角公式的逆用，要求学生理解三角恒等变换公式的本质，熟练掌握公式的形式，并能通过诱导公式、同角三角函数的关系变形，化成公式展开式的形式然后带入公式。
问题:3：公式的变形
例3：（1） （ ）
A. B. C. D.
（2）设且则（ ）
A. B. C. D.
（3）的化简结果为________________．
[提炼]本题主要考查到两角和与差的三角函数公式、二倍角公式的变形应用，要求学生熟练掌握公式的常见变形，进行化简求值。常见的变形有：
正切变形公式：，
升幂降角：，
升角降幂：
四、总结提升
1．要辩证看待和角与差角，公式的正用与逆用，要善于对角进行适当的拆分与变换：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换等．
2．三角函数化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数基本关系式、和差倍角公式等进行转化求解．
五、即时检测
1.已知，则的值是 （ ）
A． B． C． D．
2．在中，已知向量，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
第26课 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、目标导引
提出问题：（2019江苏13）已知，则的值是 .
解析：由，得，
所以，解得或．
当时，，，
.
当时，，，
所以.
综上，的值是．
2．上题的解题过程用了哪些公式？你还能说出哪些有关的公式？它们是如何得到的？
二、知识梳理
1．三角恒等变换公式：
公式 符号表示 证明思路 公式逆用、变形
向量的数量积 辅助角公式
在中，以代 辅助角公式
辅助角公式
在中，以代 辅助角公式
在中，以代
在，令
在，令
在，令
辅助角公式 逆用两角和与差的正、余弦公式 其中
2．你能用导图的形式表示出以上公式之间的关系吗？
三、问题研讨
问题1：公式的正用
1.＝(　　)
A．－　 B．－1 C. D．1
2.已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于(　　)
A. B. C. D.
1、D 2、C
[提炼]本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查角的变化技巧以及特殊角的三角函数值。解决此类问题的关键是要熟记两角和与差的公式、二倍角公式、诱导公式、同角三角函数的基本关系，能把所求的角转化为已知角和一些特殊角的和差倍半的关系，然后用公式求解。
问题2：公式的逆用
例2：（1）计算的结果为
A. B. C. D.
（2）的值为（ ）
A. B. C. D.
（3）=_____．
解：（1）
故选B.
（2）
（3）由正弦的二倍角公式可得.
[提炼]本题主要涉及到两角和与差的三角函数公式、二倍角公式的逆用，要求学生理解三角恒等变换公式的本质，熟练掌握公式的形式，并能通过诱导公式、同角三角函数的关系变形，化成公式展开式的形式然后带入公式。
问题:3：公式的变形
例3：（1） （ ）
A. B. C. D.
（2）设且则（ ）
A. B. C. D.
（3）的化简结果为________________．
解：
即有
故选：B.
（2）方法一：
即,整理得
,
整理得
方法二：
,
整理得，故选B
（3）原式，
∵，∴，且，
所以原式.
[提炼]本题主要考查到两角和与差的三角函数公式、二倍角公式的变形应用，要求学生熟练掌握公式的常见变形，进行化简求值。常见的变形有：
正切变形公式：，
升幂降角：，
升角降幂：
四、总结提升
1．要辩证看待和角与差角，公式的正用与逆用，要善于对角进行适当的拆分与变换：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换等．
2．三角函数化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数基本关系式、和差倍角公式等进行转化求解．
五、即时检测
1.已知，则的值是 （ ）
A． B． C． D．
答案：B
2．在中，已知向量，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
答案：A
提示：依题意可得，
从而，，
又，
，所以，
，选A.
3．（2018全国新课标Ⅱ理）已知，，则__________．
【答案】
【解析】，，
，，，
因此．

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