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4.4法拉第电磁感应定律
【基础知识梳理】
知识点01 电磁感应定律
1.感应电动势
（1）定义：在电磁感应现象中产生的电动势叫做感应电动势。产生的感应电动势的那部分导体就相当于电源。
（2）分类
1　感生电动势：由感生电场产生的感应电动势。
2　动生电动势：由于导体运动而产生的感应电动势。
2.电磁感应定律
（1）内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。
（2）公式：。式中的n为线圈的匝数，是磁通量的变化率。
知识点02 导线切割磁感线时的感应电动势
1.公式：
（1）上式仅适用于导线各点以相同的速度在匀强磁场中切割磁感线的情况，且l、v、B两两垂直。
（2）在，，而与成夹角时，如图所示，导线切割磁感线产生的感应电动势大小为。
2.导体棒绕其上一点以角速度转动，切割磁感线产生感应电动势的大小：
（1）以中点为轴时，E=0（两段的代数和为0）。
（2）以端点为轴时，（平均速度取中点位置的速度）。
（3）以任意点为轴时，。
知识点03 反电动势
电动机转动时，线圈中也会产生感应电动势，这个感应电动势总要削弱电源电动势的作用，我们把这个电动势称为反电动势。该电动势的方向与电源电动势的方向相反。
【例题讲解】
1、法拉第电磁感应定律
1．关于电磁感应现象，下列说法中正确的是（　　）
A．只要闭合电路中有磁通量，闭合电路中就有感应电流产生
B．只要闭合线圈做切割磁感线运动，电路中就一定有感应电流
C．穿过线圈的磁通量越大，感应电动势越大
D．穿过线圈的磁通量变化率越大，感应电动势越大
【答案】D
【详解】A．感应电流产生的条件是闭合回路中磁通量发生变化，闭合电路内有磁通量不一定有磁通量的变化，所以闭合电路中就不一定有感应电流产生，故A错误；B．闭合电路在磁场中运动，磁通量不一定发生变化，所以闭合电路中就不一定有感应电流产生，故B错误；
C．根据穿过线圈的磁通量越大，磁通量的变化率不一定大，感应电动势不一定大，故C错误；D．根据穿过线圈的磁通量变化越快，即磁通量变化率越大，则感应电动势越大，故D正确。故选D。
2．如图所示，面积为S、匝数为n的线圈内有匀强磁场，已知磁感应强度随时间的变化规律为 （k＞0且为常数，但未知），当t＝0时磁场方向垂直纸面向里。在磁场方向改变之前，有一带电荷量为q、质量为m的粒子静止于水平放置的、间距为d的平行板电容器中间。（重力加速度为g）由此可以判断（　　）
A．此粒子带正电
B．磁感应强度的变化率为
C．当磁场方向改变后，该粒子将向下做加速运动
D．电容器所带电荷量与时间成正比
【答案】B
【详解】A．由楞次定律可知，平行板电容器上极板带正电，下极板带负电，极板间场强竖直向下，粒子在极板间静止，粒子所受静电力竖直向上，静电力方向与场强方向相反，粒子带负电，A错误；B．由法拉第电磁感应定律可知，感应电动势
粒子静止时处于平衡状态，由平衡条件得解得B正确；C．由楞次定律可知，当磁场方向改变后，感应电动势不变，粒子受力情况不变，粒子仍静止不动，C错误；
D．电容器两极板间电势差电容器所带电荷量Q与时间无关，D错误。故选B。
3．如图所示，a、b两个闭合正方形线圈用同样材料和粗细的的导线制成，匝数均为N匝，线圈边长，图示区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，且磁感应强度随时间均匀减小，不考虑线圈之间的相互影响，则下列说法正确的是（　　）
A．两线圈内产生逆时针方向的感应电流 B．a、b线圈中感应电动势之比为4∶1
C．a、b线圈中感应电流之比为4∶1 D．a、b线圈中电功率之比为4∶1
【答案】C
【详解】A．原磁场向里减小，根据楞次定律可知，感应电流的磁场方向与原磁场方向相同，因此感应电流的方向为顺时针方向，故A错误;B．根据法拉第电磁感应定律可知
而因此电动势之比为16∶1，故B错误；C．线圈电阻， 故电阻之比为4∶1，由闭合电路欧姆定律可知，则电流之比为4∶1，故C正确；
D．电功率两线圈电流之比为4∶1，电阻之比为4∶1，则电功率之比为64∶1 ，故 ，故D错误。故选C。
4．如图所示，100匝的线圈两端M、N与一个理想电压表V相连。线圈内有方向垂直纸面向内的磁场，线圈中的磁通量按如图所示规律变化。则下列说法正确的是（　　）
A．电压表示数为150V，M端接电压表正接线柱 B．电压表示数为150V，N端接电压表正接线柱
C．电压表示数为50.0V，M端接电压表正接线柱 D．电压表示数为50.0V，N端接电压表正接线柱
【答案】C
【详解】根据法拉第电磁感应定律得根据楞次定律，M端接电源正极，所以电压表示数为50.0V，M端接电压表正接线柱。故选C。
5．（多选）如图所示，金属杆ab静止放在水平固定的“U”形金属框上，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中。当磁感应强度均匀增大时，杆ab总保持静止，则（　　）
A．杆中感应电流方向是从b到a
B．杆中感应电流大小均匀增大
C．金属杆所受安培力方向水平向左
D．金属杆所受安培力大小均匀增大
【答案】CD
【详解】AC．由楞次定律知，杆中感应电流方向是从a到b
，由左手定则知金属杆所受安培力方向水平向左，则选项A错误，C正确；BD．根据法拉第电磁感应定律，有
可知当磁感应强度均匀增大时，产生的感应电动势大小是恒定的，由闭合电路欧姆定律知杆中感应电流大小是恒定的，金属杆所受安培力大小F=BIL随磁感应强度B均匀增大，则选项B错误，D正确。故选CD。
6．（多选）如图所示，一导线弯成半径为a的半圆形闭合回路。虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面。回路以速度v向右匀速进入磁场，直径CD始终与MN垂直。从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，下列结论正确的是（　　）
A．感应电流方向不变
B．CD段直线始终不受安培力
C．感应电动势最大值
D．感应电动势平均值=
【答案】AD
【详解】A．在闭合电路进入磁场的过程中，通过闭合电路的磁通量逐渐增大，根据楞次定律可知感应电流的方向为逆时针方向不变，A正确；B．根据左手定则可以判断，CD段直线受安培力，方向向下，B错误；C．当半圆闭合回路进入磁场一半时，这时等效长度最大为a，这时感应电动势最大为C错误；D．感应电动势平均值式为D正确。故选AD。
2、对导体棒切割磁感线产生电动势的理解和计算
7．如图所示，两根相距为l的平行直导轨ab、cd，b、d间连有一定值电阻，阻值为R，MN为放在ab和cd上的一导体杆，与ab垂直，其电阻值为，导轨电阻可忽略不计整个装置处于匀强磁场中，磁感应强度的大小为B
，磁场方向垂直于导轨所在平面（指向图中纸面内）现对MN施力使它沿导轨方向以速度v（如图）做匀速运动。令U表示MN两端电压的大小，则（　　）
A．，流过定值电阻R的感应电流由b到d
B．，流过定值电阻R的感应电流由b到d
C．，流过定值电阻R的感应电流由b到d
D．，流过定值电阻R的感应电流由d到b
【答案】A
【详解】根据右手定则知，MN中的电流方向为N→M，则流过R的电流方向b→d。导线切割磁感线产生的感应电动势为根据闭合电路欧姆定律，电路中电流为
根据欧姆定律，R两端电压为所以R两端电压，即MN两端电压的大小为故选A。
8．如图所示，水平放置的平行金属导轨MN和PQ之间接有定值电阻R，导体棒ab长为l且与导轨接触良好，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，现使导体棒ab向右匀速运动，下列说法正确的是（　　）
A．导体棒ab两端的感应电动势越来越小 B．导体棒ab中的感应电流方向是a→b
C．导体棒ab所受合力做功为零 D．导体棒ab所受安培力方向水平向右
【答案】C
【详解】A．根据法拉第电磁感应定律可知导体棒切割磁感线产生的感应电动势为
由导体棒匀速运动，故电动势大小不变，A错误；B．根据右手定则，导体棒ab
中的感应电流方向是 b→a，B错误；C．导体棒ab向右匀速运动，根据动能定理，导体棒ab所受合力做功为零，C正确；D．根据左手定则，结合电流方向，可知导体棒ab所受安培力方向水平向左， D错误。故选C。
9．如图甲所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ固定在同一水平面上，两导轨间距，其间连接有定值电阻和电流传感器。导轨上静置一质量为、电阻、长度为L的金属杆ab，整个装置处于磁感应强度的匀强磁场中，磁场方向竖直向下。用一外力F沿水平向右的方向拉金属杆ab，使它由静止开始运动，金属杆与导轨接触良好并保持与导轨垂直。导轨和传感器电阻均忽略不计。电流传感器获得电流I随时间t变化的关系如图乙所示。问：
（1）时金属杆ab受到的安培力的大小和方向。
（2）金属杆ab在外力的作用下做怎样的运动？请说明理由。
（3）时金属杆ab的速率和外力对金属杆做功的功率。
（4）定性画出金属杆ab的动能随时间变化的图像。
【答案】（1），方向水平向左；（2）从静止开始做匀加速直线运动，理由见解析；（3），；（4）
【详解】
（l）由题图乙可知时通过金属杆ab的电流为I1=0.2A，由安培力公式可得此时ab受到的安培力大小为
①
由右手定则可知ab中电流方向为b→a，再由左手定则可知F安的方向为水平向左。
（2）由题图乙可知ab中的电流随时间变化的关系式可写为
②
ab切割磁感线产生的感应电动势E与ab的速度v的关系为
E=BLv ③
根据闭合电路欧姆定律可得
④
联立②③④可得
⑤
由⑤式可知v与t成正比，所以金属杆ab在外力的作用下从静止开始做匀加速直线运动。
（3）当时，ab产生的感应电动势为
⑥
此时ab的速率为
⑦
则ab的加速度大小为
⑧
根据牛顿第二定律可得外力的大小为
⑨
解得t=2s时外力对金属杆做功的功率为
⑩
（4）由（2）题分析可知ab的动能为

所以Ek-t图像为过原点且开口向上的抛物线，如图所示。
10．如图所示，两足够长的平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为，导轨平面与水平面的夹角，导轨电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上．长为的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为、电阻为．两金属导轨的上端连接一个灯泡，灯泡的电阻，重力加速度为g．现闭合开关S，给金属棒施加一个方向垂直于杆且平行于导轨平面向上的、大小为的恒力，使金属棒由静止开始运动，当金属棒达到最大速度时，灯泡恰能达到它的额定功率．求：
（1）金属棒能达到的最大速度vm；
（2）灯泡的额定功率PL；
（3）若金属棒上滑距离为L时速度恰达到最大，求金属棒由静止开始上滑4L的过程中，金属棒上产生的电热Qr．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【详解】
解：(1)金属棒先做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度为零时，金属棒达到最大速度，此后开始做匀速直线运动；设最大速度为，当金属棒达到最大速度时，做匀速直线运动，由平衡条件得：
又：
解得：
由，
联立解得：；
(2)灯泡的额定功率：
(3)金属棒由静止开始上滑4L的过程中，由能量守恒定律可知：
金属棒上产生的电热：
3、导体棒进出磁场的加速度变化
11．如图所示，间距为L的无限长光滑导轨平面倾斜放置，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向下，导轨面与水平面夹角为，一个质量为m，电阻为r的光滑导体棒垂直横跨在两根导轨上，导轨上端的定值电阻阻值为R，导轨电阻不计，当导体棒从静止释放后，沿导轨下滑距离l时达到稳定状态，下滑过程中导体棒与导轨始终垂直且接触良好，以下说法正确的是（　　）
A．导体棒做变加速运动，最大加速度为a＝gsinθ
B．导体做匀加速运动，加速度为a＝gsinθ
C．导体棒稳定时的速度为v＝
D．从开始到稳定导体棒上消耗的电热为
【答案】A
【详解】AB.导体棒在下滑过程中，受到重力、导轨的支持力和安培力，安培力方向与速度方向相反，安培力随着速度的增大而增大，则导体棒的合力减小，加速度减小，故开始时加速度最大，此时导体棒不受安培力，所以最大加速度为 a＝＝gsinθ，故A符合题意B不符合题意．C.导体棒稳定时做匀速运动，则有 mgsinθ＝，得 v＝．故C不符合题意．D.根据能量守恒定律得 mglsinθ＝+Q
，导体棒上消耗的电热为Qr＝Q，联立解得 Qr＝mglsinθ﹣，故D不符合题意．
12．如图。两根间距为L相互平行的光滑倾斜金属长直导轨，与水平面的夹角，在两导轨间有两个垂直于导轨平面、方向相反、磁感应强度均为B、宽度均为s的相邻匀强磁场区域，金属杆MN、PQ用绝缘杆固定连接形成“工”字形框架，间距也为s，与导轨紧密接触且时刻与导轨垂直，使框架从距磁场上边沿一定距离处静止释放，框架进入磁场过程中做匀速运动，且速度与线框离开磁场做匀速运动过程的速度相同。已知“工”字形框架的总质量为m，金属杆MN、PQ的电阻均为R，其余电阻不计，重力加速度为g。求：
(1)框架刚释放时，金属杆PQ距磁场上边界的距离；
(2)金属杆PQ越过两磁场分界线的瞬间，框架的加速度大小；
(3)框架穿过磁场的整个过程中，金属杆MN产生的焦耳热。
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【详解】
(1)金属杆PQ在进入磁场过程中做匀速运动有
由法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律有
设框架释放时金属杆PQ距磁场上边界的距离为x，由机械能守恒定律有
联立解得框架释放时金属杆PQ距磁场上边界的距离
(2)金属杆PQ越过两磁场边界瞬间，两金属杆都切割磁感线，产生电动势为
金属杆中的电流为
两金属杆所受安培力均为
则两金属杆所受安培力均为
由牛顿第二定律有
得金属杆PQ越过两磁场边界瞬间，框架的加速度
(3)由能量守恒可知框架穿越磁场过程中，框架产生的焦耳热等于框架重力势能的减少量，即
其中框架穿越磁场过程中金属杆MN产生的焦耳热
13．如图所示，平行、光滑、间距为L=1m的金属导轨倾斜放置，与水平面的夹角为θ = 37°，导轨底部有一与导轨垂直的绝缘固定挡板P。质量均为m = 0.1 kg的金属直杆a和b间系一轻质弹簧，a杆紧靠挡板P，b杆静止在导轨上。在b上方某处，沿导轨宽为d = 0.75m的矩形范围内有垂直导轨向下的匀强磁场。质量也为m的金属直杆c从沿导轨方向距磁场上边界d的位置由静止释放。c杆恰好能匀速地穿过整个磁场，与b杆碰撞后立即与b杆结为一体，之后a杆恰好不能离开挡板P，c杆恰好没有再次进入磁场。已知c杆在导轨间的电阻为R = 4 Ω，其余所有电阻不计，弹簧始终没有超出弹性限度，g = 10m/s2，sin37° = 0.6。
（1）求磁感应强度B的大小；
（2）求b杆初始位置到磁场下边界在沿导轨方向的距离x和轻弹簧的劲度系数k；
（3）若将c杆换成相同材料相同长度但截面积为c杆3倍的e杆，其余条件均不变，求a
杆第一次刚要离开挡板P时be杆整体的速度大小。
【答案】（1）；（2）；；（3）
【详解】
（1）设c杆刚进入磁场前速度为v，由动能定理有
①
代入数据得
②
恰好能匀速进入磁场，则
③
④
⑤
代入数据得
⑥
（2）c与b碰前速度为v1，碰后为v2，则碰前由动能定理得
⑦
碰撞前后瞬间，由动量守恒定律得
⑧
b杆最初静止时，弹簧压缩量记为x1
⑨
a杆恰好离开P时，弹簧伸长量记为x2
⑩
两状态弹簧形变量相同，故弹性势能相等，bc
杆从碰后到恰好不能进入磁场，则由能量守恒定律得

联立⑦~ ，代入数据求得
又

代入数据，可求得

（3）对于e杆，由条件及电阻定律

可得
，
由（1）问可知，e杆仍以速度v匀速通过磁场并以v1与b杆相碰，碰时

由（2）问可知，碰时和a杆刚要离开P时，弹性势能相等，从碰后瞬间至末态

代入已知数据，联立可求得
14．如图所示，水平U形光滑框架，宽度为1m，电阻忽略不计，导体棒ab的质量m = 0.2kg、电阻R = 0.5Ω，匀强磁场的磁感应强度B = 0.2T，方向垂直框架向上．现用F = 1N的外力由静止开始向右拉ab棒，当ab棒的速度达到2m/s时，求：
(1)ab棒产生的感应电动势的大小；
(2)ab棒所受的安培力；
(3)ab棒的加速度．
【答案】(1) ；(2)，方向水平向左；(3) ，方向水平向右
【详解】
(1)根据导体棒切割磁感线的电动势：
代入数据解得：
(2)由闭合电路欧姆定律得回路电流：
棒所受的安培力：安，方向水平向左
(3)根据牛顿第二定律得：安
解得棒的加速度为：，方向水平向右
15．如图所示，两平行光滑金属导轨由两部分组成，左面部分水平，右面部分为半径r＝0.5 m的竖直半圆，两导轨间距离l＝0.3 m，导轨水平部分处于竖直向上、磁感应强度大小B＝1 T的匀强磁场中，两导轨电阻不计.有两根长度均为l的金属棒ab、cd，均垂直导轨置于水平导轨上，金属棒ab、cd的质量分别为m1＝0.2 kg、m2＝0.1 kg，电阻分别为R1＝0.1 Ω、R2＝0.2 Ω.现让ab棒以v0＝10 m/s的初速度开始水平向右运动，cd棒进入圆轨道后，恰好能通过轨道最高点PP′，cd棒进入圆轨道前两棒未相碰，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)ab棒开始向右运动时cd棒的加速度a0；
(2)cd棒刚进入半圆轨道时ab棒的速度大小v1；
(3)cd棒进入半圆轨道前ab棒克服安培力做的功W.
【答案】(1)30 m/s2(2)7.5 m/s(3)4.375 J
【详解】
(1)ab棒开始向右运动时，设回路中电流为I，有
E＝Blv0
BIl＝m2a0
解得：a0＝30 m/s2
(2)设cd棒刚进入半圆轨道时的速度为v2，系统动量守恒，有
m1v0＝m1v1＋m2v2
m2v22＝m2g·2r＋m2vP2
m2g＝m2
解得：v1＝7.5 m/s
(3)由动能定理得：－W＝m1v12－m1v02
解得：W＝4.375 J.
4、计算导体棒切割磁感线电路中产生热量
16．如图所示，矩形线圈长为，宽为，电阻为，质量为，线圈在空气中竖直下落一段距离后（空气阻力不计），进入一宽度也为、磁感应强度为的匀强磁场中．线圈进入磁场时的动能为，线圈刚穿出磁场时的动能为，从线圈刚进入磁场到线圈刚穿出磁场的过程中产生的热量为，线圈克服安培力做的功为，重力做的功为，则以下关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】AB.根据功能的转化关系得线圈减少的机械能等于产生的热量即：Q=W2+Ek1-Ek2，故选项A、B不符合题意．C.线圈进入磁场和离开磁场的过程中，产生感应电流受到安培力的作用，线圈克服安培力所做的功等于产生的热量，故选项C符合题意．D.由动能定理可知：，选项D不符合题意．
17．（多选）如图所示，光滑平行金属导轨与水平面间的夹角为θ，导轨电阻不计，下端与阻值为R的电阻相连。匀强磁场垂直导轨平面向上，磁感应强度大小为B。 一质量为m、长为L、电阻为r的导体棒垂直导轨放置，从ab位置以初速度v沿导轨向上运动，刚好能滑行到与ab相距为s的a′b′位置，然后再返回到ab。该运动过程中导体棒始终与导轨保持良好接触，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．向上滑行过程中导体棒做匀减速直线运动
B．上滑过程中电阻R产生的热量为
C．向下滑行过程中通过电阻R的电荷量为
D．电阻R在导体榛向上滑行过程中产生的热量小于向下滑行过程中产生的热量
【答案】BC
【详解】A．向上滑行过程中导体棒受到重力、安培力，根据右手定则可得棒中的电流方向，根据左手定则可得安培力方向沿斜面向下，根据牛顿第二定律可得：其中：解得：由于速度减小，则加速度减小，棒不做匀减速直线运动，故A错误；B．设上滑过程中克服安培力做的功为W，根据功能关系可得：克服安培力做的功等于产生的焦耳热，则：上滑过程中电阻R产生的热量为：故B正确；C．向下滑行过程中通过电阻R的电荷量为：故C正确；D．由于上滑过程中和下滑过程中导体棒通过的位移相等，即导体棒扫过的面积S相等，根据安培力做功计算公式可得：由于上滑过程中的平均速度大于，下滑过程中的平均速度，所以上滑过程中平均电流大于下滑过程中的平均电流，则电阻R在导体棒向上滑行过程中产生的热量大于向下滑行过程中产生的热量，故D错误。故选BC。
18．（多选）如图所示，两根足够长的直金属导轨平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L，顶端接有阻值为R的电阻一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直，杆ab的电阻为r，导轨的电阻可忽略整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下让杆ab沿轨道由静止开始下滑，导轨和杆ab接触良好，不计它们之间的摩擦，杆ab由静止下滑距离S时，已处于匀速运动．重力加速度为则( )
A．匀速运动时杆ab受到的安培力大小为mgsinθ
B．杆ab由静止下滑距离S过程中，流过R的电荷量为
C．匀速运动时杆ab的速度为
D．杆ab由静止下滑距离S过程中，电阻R产生的热量为
【答案】AC
【详解】A. 匀速运动时杆ab受到的安培力大小与重力沿斜面向下的分量平衡，即F安=mgsinθ，选项A正确；B. 杆ab由静止下滑距离S过程中，流过R的电荷量为，选项B错误；C. 匀速运动时F安=mgsinθ，而，解得，选项C正确；D. 由能量关系可知，杆ab由静止下滑距离S过程中，产生的焦耳热： 而电阻R上产生的焦耳热为，则选项D错误.
19．如图，两根电阻不计、互相平行的光滑金属导轨竖直放置，相距；在水平虚线间有与导轨所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度，磁场区域的高度，导体棒的质量未知、电阻；导体棒的质量、电阻，它们分别从图中、处同时由静止开始在导轨上向下滑动，匀速穿过磁场区域，且当刚穿出磁场时正好进入磁场并匀速穿过，取，不计、棒之间的相互作用，导体棒始终与导轨垂直且与导轨接触良好，求：
(1)棒穿过磁场区域过程所用的时间；
(2)棒刚进入磁场时两端的电势差；
(3)棒的质量；
(4)从静止释放到棒刚好出磁场过程中棒产生的焦耳热。
【答案】(1) s；(2)；(3) ；(4)
【详解】
(1)由棒匀速穿过磁场易知
又有
联立可解得
易求得棒穿过磁场区域过程所用的时间
(2)由自由落体公式知棒穿过磁场前运动时间
故棒进入磁场前运动时间为 。
故棒进入磁场时速度
所以此时电动势
由闭合电路欧姆定律可得两端的电势差
(3)类比第一问可得
又有
易得
(4) 由于每根棒穿过磁场时均作匀速运动，依所能量守恒定律有
依据串联电路功率分配原理知
20．两根足够长的固定平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为l，导轨上面垂直放置两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示．两根导体棒的质量均为m，电阻均为R，回路中其余部分的电阻不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B．两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时cd棒静止，棒ab有指向cd的速度v0．两导体棒在运动中始终不接触．求：
（1）在运动中产生的最大焦耳热；
（2）当棒ab的速度变为v0时，棒cd的加速度．
【答案】(1) ；(2) ，方向是水平向右
【详解】
(1)从初始到两棒速度相等的过程中，两棒总动量守恒，则有：
解得：
由能的转化和守恒得：
(2)设棒的速度变为时，棒的速度为，则由动量守恒可知：
解得：
此时回路中的电动势为：
此时回路中的电流为：
此时棒所受的安培力为 ：
由牛顿第二定律可得，棒的加速度：
棒的加速度大小是，方向是水平向右4.4法拉第电磁感应定律
【基础知识梳理】
知识点01 电磁感应定律
1.感应电动势
（1）定义：在电磁感应现象中产生的电动势叫做感应电动势。产生的感应电动势的那部分导体就相当于电源。
（2）分类
1　感生电动势：由感生电场产生的感应电动势。
2　动生电动势：由于导体运动而产生的感应电动势。
2.电磁感应定律
（1）内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。
（2）公式：。式中的n为线圈的匝数，是磁通量的变化率。
知识点02 导线切割磁感线时的感应电动势
1.公式：
（1）上式仅适用于导线各点以相同的速度在匀强磁场中切割磁感线的情况，且l、v、B两两垂直。
（2）在，，而与成夹角时，如图所示，导线切割磁感线产生的感应电动势大小为。
2.导体棒绕其上一点以角速度转动，切割磁感线产生感应电动势的大小：
（1）以中点为轴时，E=0（两段的代数和为0）。
（2）以端点为轴时，（平均速度取中点位置的速度）。
（3）以任意点为轴时，。
知识点03 反电动势
电动机转动时，线圈中也会产生感应电动势，这个感应电动势总要削弱电源电动势的作用，我们把这个电动势称为反电动势。该电动势的方向与电源电动势的方向相反。
【例题讲解】
1、法拉第电磁感应定律
1．关于电磁感应现象，下列说法中正确的是（　　）
A．只要闭合电路中有磁通量，闭合电路中就有感应电流产生
B．只要闭合线圈做切割磁感线运动，电路中就一定有感应电流
C．穿过线圈的磁通量越大，感应电动势越大
D．穿过线圈的磁通量变化率越大，感应电动势越大
2．如图所示，面积为S、匝数为n的线圈内有匀强磁场，已知磁感应强度随时间的变化规律为 （k＞0且为常数，但未知），当t＝0时磁场方向垂直纸面向里。在磁场方向改变之前，有一带电荷量为q、质量为m的粒子静止于水平放置的、间距为d的平行板电容器中间。（重力加速度为g）由此可以判断（　　）
A．此粒子带正电
B．磁感应强度的变化率为
C．当磁场方向改变后，该粒子将向下做加速运动
D．电容器所带电荷量与时间成正比
3．如图所示，a、b两个闭合正方形线圈用同样材料和粗细的的导线制成，匝数均为N
匝，线圈边长，图示区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，且磁感应强度随时间均匀减小，不考虑线圈之间的相互影响，则下列说法正确的是（　　）
A．两线圈内产生逆时针方向的感应电流 B．a、b线圈中感应电动势之比为4∶1
C．a、b线圈中感应电流之比为4∶1 D．a、b线圈中电功率之比为4∶1
4．如图所示，100匝的线圈两端M、N与一个理想电压表V相连。线圈内有方向垂直纸面向内的磁场，线圈中的磁通量按如图所示规律变化。则下列说法正确的是（　　）
A．电压表示数为150V，M端接电压表正接线柱 B．电压表示数为150V，N端接电压表正接线柱
C．电压表示数为50.0V，M端接电压表正接线柱 D．电压表示数为50.0V，N端接电压表正接线柱
5．（多选）如图所示，金属杆ab静止放在水平固定的“U”形金属框上，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中。当磁感应强度均匀增大时，杆ab总保持静止，则（　　）
A．杆中感应电流方向是从b到a
B．杆中感应电流大小均匀增大
C．金属杆所受安培力方向水平向左
D．金属杆所受安培力大小均匀增大
6．（多选）如图所示，一导线弯成半径为a的半圆形闭合回路。虚线MN
右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面。回路以速度v向右匀速进入磁场，直径CD始终与MN垂直。从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，下列结论正确的是（　　）
A．感应电流方向不变
B．CD段直线始终不受安培力
C．感应电动势最大值
D．感应电动势平均值=
2、对导体棒切割磁感线产生电动势的理解和计算
7．如图所示，两根相距为l的平行直导轨ab、cd，b、d间连有一定值电阻，阻值为R，MN为放在ab和cd上的一导体杆，与ab垂直，其电阻值为，导轨电阻可忽略不计整个装置处于匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于导轨所在平面（指向图中纸面内）现对MN施力使它沿导轨方向以速度v（如图）做匀速运动。令U表示MN两端电压的大小，则（　　）
A．，流过定值电阻R的感应电流由b到d
B．，流过定值电阻R的感应电流由b到d
C．，流过定值电阻R的感应电流由b到d
D．，流过定值电阻R的感应电流由d到b
8．如图所示，水平放置的平行金属导轨MN和PQ之间接有定值电阻R，导体棒ab长为l
且与导轨接触良好，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，现使导体棒ab向右匀速运动，下列说法正确的是（　　）
A．导体棒ab两端的感应电动势越来越小 B．导体棒ab中的感应电流方向是a→b
C．导体棒ab所受合力做功为零 D．导体棒ab所受安培力方向水平向右
9．如图甲所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ固定在同一水平面上，两导轨间距，其间连接有定值电阻和电流传感器。导轨上静置一质量为、电阻、长度为L的金属杆ab，整个装置处于磁感应强度的匀强磁场中，磁场方向竖直向下。用一外力F沿水平向右的方向拉金属杆ab，使它由静止开始运动，金属杆与导轨接触良好并保持与导轨垂直。导轨和传感器电阻均忽略不计。电流传感器获得电流I随时间t变化的关系如图乙所示。问：
（1）时金属杆ab受到的安培力的大小和方向。
（2）金属杆ab在外力的作用下做怎样的运动？请说明理由。
（3）时金属杆ab的速率和外力对金属杆做功的功率。
（4）定性画出金属杆ab的动能随时间变化的图像。
10．如图所示，两足够长的平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为，导轨平面与水平面的夹角，导轨电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上．长为的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为、电阻为．两金属导轨的上端连接一个灯泡，灯泡的电阻，重力加速度为g．现闭合开关S，给金属棒施加一个方向垂直于杆且平行于导轨平面向上的、大小为
的恒力，使金属棒由静止开始运动，当金属棒达到最大速度时，灯泡恰能达到它的额定功率．求：
（1）金属棒能达到的最大速度vm；
（2）灯泡的额定功率PL；
（3）若金属棒上滑距离为L时速度恰达到最大，求金属棒由静止开始上滑4L的过程中，金属棒上产生的电热Qr．
3、导体棒进出磁场的加速度变化
11．如图所示，间距为L的无限长光滑导轨平面倾斜放置，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向下，导轨面与水平面夹角为，一个质量为m，电阻为r的光滑导体棒垂直横跨在两根导轨上，导轨上端的定值电阻阻值为R，导轨电阻不计，当导体棒从静止释放后，沿导轨下滑距离l时达到稳定状态，下滑过程中导体棒与导轨始终垂直且接触良好，以下说法正确的是（　　）
A．导体棒做变加速运动，最大加速度为a＝gsinθ
B．导体做匀加速运动，加速度为a＝gsinθ
C．导体棒稳定时的速度为v＝
D．从开始到稳定导体棒上消耗的电热为
12．如图。两根间距为L相互平行的光滑倾斜金属长直导轨，与水平面的夹角，在两导轨间有两个垂直于导轨平面、方向相反、磁感应强度均为B、宽度均为s的相邻匀强磁场区域，金属杆MN、PQ用绝缘杆固定连接形成“工”字形框架，间距也为s
，与导轨紧密接触且时刻与导轨垂直，使框架从距磁场上边沿一定距离处静止释放，框架进入磁场过程中做匀速运动，且速度与线框离开磁场做匀速运动过程的速度相同。已知“工”字形框架的总质量为m，金属杆MN、PQ的电阻均为R，其余电阻不计，重力加速度为g。求：
(1)框架刚释放时，金属杆PQ距磁场上边界的距离；
(2)金属杆PQ越过两磁场分界线的瞬间，框架的加速度大小；
(3)框架穿过磁场的整个过程中，金属杆MN产生的焦耳热。
13．如图所示，平行、光滑、间距为L=1m的金属导轨倾斜放置，与水平面的夹角为θ = 37°，导轨底部有一与导轨垂直的绝缘固定挡板P。质量均为m = 0.1 kg的金属直杆a和b间系一轻质弹簧，a杆紧靠挡板P，b杆静止在导轨上。在b上方某处，沿导轨宽为d = 0.75m的矩形范围内有垂直导轨向下的匀强磁场。质量也为m的金属直杆c从沿导轨方向距磁场上边界d的位置由静止释放。c杆恰好能匀速地穿过整个磁场，与b杆碰撞后立即与b杆结为一体，之后a杆恰好不能离开挡板P，c杆恰好没有再次进入磁场。已知c杆在导轨间的电阻为R = 4 Ω，其余所有电阻不计，弹簧始终没有超出弹性限度，g = 10m/s2，sin37° = 0.6。
（1）求磁感应强度B的大小；
（2）求b杆初始位置到磁场下边界在沿导轨方向的距离x和轻弹簧的劲度系数k；
（3）若将c杆换成相同材料相同长度但截面积为c杆3倍的e杆，其余条件均不变，求a杆第一次刚要离开挡板P时be杆整体的速度大小。
14．如图所示，水平U形光滑框架，宽度为1m，电阻忽略不计，导体棒ab的质量m = 0.2kg、电阻R = 0.5Ω，匀强磁场的磁感应强度B = 0.2T，方向垂直框架向上．现用F =
1N的外力由静止开始向右拉ab棒，当ab棒的速度达到2m/s时，求：
(1)ab棒产生的感应电动势的大小；
(2)ab棒所受的安培力；
(3)ab棒的加速度．
15．如图所示，两平行光滑金属导轨由两部分组成，左面部分水平，右面部分为半径r＝0.5 m的竖直半圆，两导轨间距离l＝0.3 m，导轨水平部分处于竖直向上、磁感应强度大小B＝1 T的匀强磁场中，两导轨电阻不计.有两根长度均为l的金属棒ab、cd，均垂直导轨置于水平导轨上，金属棒ab、cd的质量分别为m1＝0.2 kg、m2＝0.1 kg，电阻分别为R1＝0.1 Ω、R2＝0.2 Ω.现让ab棒以v0＝10 m/s的初速度开始水平向右运动，cd棒进入圆轨道后，恰好能通过轨道最高点PP′，cd棒进入圆轨道前两棒未相碰，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)ab棒开始向右运动时cd棒的加速度a0；
(2)cd棒刚进入半圆轨道时ab棒的速度大小v1；
(3)cd棒进入半圆轨道前ab棒克服安培力做的功W.
4、计算导体棒切割磁感线电路中产生热量
16．如图所示，矩形线圈长为，宽为，电阻为，质量为，线圈在空气中竖直下落一段距离后（空气阻力不计），进入一宽度也为、磁感应强度为的匀强磁场中．线圈进入磁场时的动能为，线圈刚穿出磁场时的动能为，从线圈刚进入磁场到线圈刚穿出磁场的过程中产生的热量为，线圈克服安培力做的功为，重力做的功为，则以下关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（多选）如图所示，光滑平行金属导轨与水平面间的夹角为θ，导轨电阻不计，下端与阻值为R的电阻相连。匀强磁场垂直导轨平面向上，磁感应强度大小为B。 一质量为m、长为L、电阻为r的导体棒垂直导轨放置，从ab位置以初速度v沿导轨向上运动，刚好能滑行到与ab相距为s的a′b′位置，然后再返回到ab。该运动过程中导体棒始终与导轨保持良好接触，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．向上滑行过程中导体棒做匀减速直线运动
B．上滑过程中电阻R产生的热量为
C．向下滑行过程中通过电阻R的电荷量为
D．电阻R在导体榛向上滑行过程中产生的热量小于向下滑行过程中产生的热量
18．（多选）如图所示，两根足够长的直金属导轨平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L，顶端接有阻值为R的电阻一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直，杆ab的电阻为r，导轨的电阻可忽略整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下让杆ab沿轨道由静止开始下滑，导轨和杆ab接触良好，不计它们之间的摩擦，杆ab由静止下滑距离S时，已处于匀速运动．重力加速度为则( )
A．匀速运动时杆ab受到的安培力大小为mgsinθ
B．杆ab由静止下滑距离S过程中，流过R的电荷量为
C．匀速运动时杆ab的速度为
D．杆ab由静止下滑距离S过程中，电阻R产生的热量为
19．如图，两根电阻不计、互相平行的光滑金属导轨竖直放置，相距；在水平虚线间有与导轨所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度，磁场区域的高度，导体棒的质量未知、电阻；导体棒的质量、电阻，它们分别从图中、处同时由静止开始在导轨上向下滑动，匀速穿过磁场区域，且当刚穿出磁场时正好进入磁场并匀速穿过，取，不计、棒之间的相互作用，导体棒始终与导轨垂直且与导轨接触良好，求：
(1)棒穿过磁场区域过程所用的时间；
(2)棒刚进入磁场时两端的电势差；
(3)棒的质量；
(4)从静止释放到棒刚好出磁场过程中棒产生的焦耳热。
20．两根足够长的固定平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为l，导轨上面垂直放置两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示．两根导体棒的质量均为m
，电阻均为R，回路中其余部分的电阻不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B．两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时cd棒静止，棒ab有指向cd的速度v0．两导体棒在运动中始终不接触．求：
（1）在运动中产生的最大焦耳热；
（2）当棒ab的速度变为v0时，棒cd的加速度．

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