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2023考点专题复习——等比数列及其性质
考法一、 等比数列基本量的运算
例1、设正项等比数列的前项和为，若，，则（ ）
B．2 C． D．4
例2、记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
例3、已知为数列的前n项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
跟踪练习一
1、已知等比数列的公比为2，前n项和为，若，则（ ）
A． B．4 C． D．6
2、设数列满足，则的前n项和（ ）
A． B．
C． D．
3、已知数列是公比为实数的等比数列，，，则（ ）
A．13 B． C． D．5
4、等差数列的首项为，公差不为，若、、成等比数列，则前项的和为（ ）
A． B． C． D．
5、已知等比数列的公比为3，且，则的值为（ ）
A．2 B．6 C． D．12
6、已知中，，，则数列的通项公式是（ ）
A． B． C． D．
7、等比数列2，4，8，…的公比为（ ）
A． B． C．2 D．4
8、已知正项数列满足，的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
9、正项等比数列的前项和，若，，则公比（ ）
A．2 B． C．4 D．
10、已知等比数列的前项和为，若，，则数列的公比为（ ）
A． B． C． D．
11、在正项等比数列中，，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
12、已知各项均为正数的等比数列中，，，其前项和为，则___.
13、已知等比数列的前项和为，，，则___________.
14、设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3=a4﹣3，3S2=a3﹣3，则公比q=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
15、已知等比数列为，则该数列的第二十项为（ ）
A． B． C． D．
16、已知是等比数列的前项和，若，，则数列的公比是（ ）
A．8 B．4 C．3 D．2
17、等比数列中，，．设为的前项和，若，则的值为（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
考点二 等比数列的性质
例1、若三个数1，2，m成等比数列，则实数（ ）
A．8 B．4 C．3 D．2
例2、若1，，，，4成等比数列，则（ ）
A．16 B．8 C． D．
例3、若是等比数列，且前项和为，则=（ ）
A． B． C．-1 D．1
例4、设等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．66 B．65 C．64 D．63
例5、在正项等比数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
跟踪练习二
1．已知正项等比数列{an}，满足a2 a72 a2020＝16，则a1 a2… a1017＝（　　）
A．41017 B．21017 C．41018 D．21018
2、已知公比大于1的等比数列满足，，则（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
3、在等比数列中，若，则（ ）
A． B．3 C．或2 D．4
4、若等比数列中的，是方程的两个根，则（ ）
A． B．1010 C． D．1011
5、已知正项等比数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
6、在递增的数列中，，若，且前项和，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7、已知数列是等比数列，是其前项之积，若，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8、已知命题成等比数列，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9、已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
10、已知等比数列的前n项和为，公比为，且，则（ ）
A．36 B．39 C．40 D．44
11、设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
12、“，，成等比数列”是“，，成等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
13、(多选)在正项等比数列{an}中，已知，，则（ ）
A． B．
C． D．n＝14
14、已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A． B．2 C． D．
15、已知数列{an}的各项都为正数，对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，且a3·a5＋a4＝72，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝________.
16、公差不为零的等差数列{an}中，，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.
17、已知是的等差中项，是，的等比中项，则等于___________.
18、记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
19、等比数列各项均为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
20、在等比数列中，是方程的根，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
21、已知是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A． B．或2 C． D．或
22、数列中，，，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
23、在正项等比数列中，，则______．
考法三、 等比数列的证明或判断
已知数列满足，，，求证：数列是等比数列；
例2、已知各项均为正数的数列满足：，，.若，求证：数列为等比数列，并求的通项公式；
例3、已知数列满足，，求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
跟踪练习三
1、下面四个数列中，一定是等比数列的是（ ）
A．q，2q，4q，6q B．q，q2，q3，q4
C．q，2q，4q，8q D．，，，
2、已知数列是等比数列，则下列数列中：①；②；③，等比数列的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3、（多选）已知数列是公比为的等比数列，则以下一定是等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
4、已知，，，，则下列等式一定成立的是（ ）
A．、、成等比数列 B．、、成等比数列
C．、、成等比数列 D．、、成等比数列
5、已知不全相等的实数，，成等比数列，则一定不可能是等差数列的为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
6、已知数列满足，且点在函数的图象上，求证：是等比数列，并求的通项公式：
7、以下条件中，能判定数列是等比数列的有（ ）
①数列1，2，6，18，…； ②数列中，已知，；③常数列，，…，，…；④数列中，，其中.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8、已知数列{an}，{bn}，其中a1＝3，b1＝－1，且满足an＝(3an－1－bn－1)，bn＝－(an－1－3bn－1)，n∈N*，n≥2.求证：数列{an－bn}为等比数列；
9、已知数列{an}满足a1=2，an+1=4an-3n+1，(n∈N*)”.
（1）证明：数列{an-n}是等比数列；
（2）求出{an}的通项公式.
10、已知数列{an}满足，，，成等差数列，证明:数列是等比数列，并求{an}的通项公式；
考法四、 等比数列的最值
例1、在等比数列中，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
例2、（多选）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，，下列结论正确的是（ ）
A．S2019C．T2020是数列中的最大值 D．数列无最大值
例3、在等比数列{an}中，且a8＞a9，则使得的自然数n的最大值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
跟踪练习四
1、已知无穷等比数列满足，其前项和为，则（ ）
A．数列为递增数列 B．数列为递减数列
C．数列有最小项 D．数列有最大项
2、（多选）已知等比数列{an}的公比，等差数列{bn}的首项b1＝12，若a9＞b9且a10＞b10，则以下结论正确的有（　　）
A．a9 a10＜0 B．a9＞a10 C．b10＞0 D．b9＞b10
3、（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大项 D．
4、已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则“Sn+1>Sn”是“{an}单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5、在等比数列中，若则（ ）
A． B． C． D．
6、已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（ ）
A． B． C． D．
7、数列是等比数列，首项为，公比为，则“”是“数列递增”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8、等比数列的公比为，前项积，若 ，，，则
A． B．
C．是的最大值 D．使的的最大值是4040
考法五、 实际生活中的等比数列
例1、《九章算术》卷第三中有个关于织布的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”，意思为“今有一女子善于织布，每天所织布是前一天的两倍，她五天织布五尺，试问她每天各织布多少”，则该女子第三天织布___________尺.
例2、中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十四里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，七朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走254里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了7天后到达目的地，请问第四天走了（ ）
A．64里 B．32里 C．16里 D．8里
例3、明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑．其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔从塔底数第二层灯的盏数为（ ）
A． B． C． D．
跟踪练习五
1、音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；……．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得（ ）
A．“宫、商、角”的频率成等比数列 B．“宫、徵、商”的频率成等比数列
C．“商、羽、角”的频率成等比数列 D．“徵、商、羽”的频率成等比数列
2、《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的3倍，则的值为（ ）(结果精确到0.1，参考数据：，)
A．2.2 B．2.4 C．2.6 D．2.8
3、古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何 ”意思是：“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少 ”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，则所需的天数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4、《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为（ ）
A．96 B．126 C．192 D．252
5、《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6、中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ）
A． B． C． D．
7、我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第天后剩余木棍的长度为，数列的前项和为，则使得不等式成立的正整数的最小值为（ ）.
A．6 B．5 C．4 D．3
8、已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数．它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数它的简单计算公式是：确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确诊病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根据以上数据计算，若甲得这种传染病，则6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（ ）
A．243 B．248 C．363 D．1092
9、有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五两，今三十日屠讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？"在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为（ ）
A．35 B．75 C．155 D．315
10、（多选）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ）
A．此人第三天走了二十四里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C．此人第二天走的路程占全程的
D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
11、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（ ）
A．3盏 B．9盏 C．27盏 D．81盏
12、我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.那么，第6天截取之后，剩余木棍的长度是_________尺；要使剩余木棍的长度小于尺，需要经过________次截取.

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