资源简介

2023考点专题复习——等差数列及其性质
考法一、 等差数列的基本运算
⑴等差数列的通项公式：
⑵等差数列的前和的求和公式：
例1、在等差数列中，若，，则的公差为（ ）
A．-2 B．2 C．-3 D．3
例2、已知等差数列的前项和为，，，则（ ）．
A．10 B．11 C．12 D．13
例3、记为等差数列的前项和．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
练习1、等差数列、、、的第五项等于（ ）
A． B． C． D．
练习2、设是等差数列，且，，则的通项公式为__________．
练习3、在等差数列{an}中，a1+a2+a3＝21，a2a3＝70，若an＝61，则n＝（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
练习4、已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
练习5、设是某个等差数列的前n项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
练习6、已知是数列的前项和，则“”是“数列是公差为2的等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
练习7、已知数列中各项为非负数，，，若数列为等差数列，则（ ）
A．169 B．144 C．12 D．13
练习8、已知公差不为0的等差数列中，，，则______．
练习9、已知等差数列的前项和为，若，则的通项公式为_____________
练习10、已知等差数列满足，则它的前8项的和（ ）
A．70 B． C． D．105
练习11、已知等差数列的前项和为，若，，则的公差为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
练习12、等差数列中，前n项和为，且，则（ ）
A．17 B．25 C．5 D．81
考法二、 等差数列的性质
⑴在等差数列中，对任意，，，；
⑵在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项.
⑶等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.
⑷设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①； ② ；⑸若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②.
⑹若与为等差数列，且前项和分别为与，则.
例1、在等差数列中，若，则（ ）
A．360 B．300 C．240 D．200
例2、已知数列{an}为等差数列，为其前n项和，，则=（ ）
A．2 B．14 C．50 D．10
例3、在等差数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
例4、已知数列是等差数列，若，，则（ ）
A．5 B．4 C．9 D．7
例5、设等差数列的前项和为，其中，，则=（ ）
A．9 B．18 C．27 D．36
例6、已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则（ ）
A． B． C． D．
练习1、已知数列为等差数列，且，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
练习2、是等差数列的前项和，，，则（ ）
A．9 B．16 C．20 D．27
练习3、已知公差不为0的等差数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
练习4、已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为．若，则（ ）
A． B． C． D．
练习5、已知数列，为等差数列，其前项和分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．2
练习6、等差数列的前项和为30，前项和为100，则前项和为（ ）
A．130 B．170 C．210 D．260
练习7、等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝20，S20＝15，则S30＝（ ）
A．10 B． C． D．25
练习8、两等差数列和的前项和分别是,已知,则
A．7 B． C． D．
练习9、设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．28 B．34 C．40 D．44
练习10、已知等差数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
练习11、已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
练习12、已知等差数列的前项和分别为，若对于任意的自然数，都有，则（ ）
A． B． C． D．
练习13、已知等差数列，的前项和分别为和，且，则（ ）
A． B． C． D．
练习14、设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
练习15、已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（ ）
A． B． C． D．
练习16、等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a7+a12＝12，则S13＝_____.
练习17、已知等差数列的前项和为，若，则___________.
练习18、已知数列和均为等差数列，前n项和分别为，，且满足：，，则____________.
练习19、两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
考法三、 等差数列的最值问题
⑴.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当，时，有最大值；，时，有最小值；若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，(2)当，时，满足的项数使得取最小值.
⑵利用等差数列的前n项和：(为常数, )为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）；
⑶. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.只需将等差数列的前n项和依次看成数列，利用数列中最大项和最小项的求法即可.
例1、等差数列的前项和为，，则取最大值时的为（ ）
A． B． C． D．
例2、在等差数列中，若，且它的前项和有最小值，则当时，的最小值为
A． B． C． D．
例3、等差数列中，是数列的前项和，则最大时，（ ）
A．10 B．11 C．10或11 D．11或12
练习1、若公差为负的等差数列中的两项是方程的两个根，设数列的前项和为，则当最大时，的值为（ ）
A．5 B．9或10 C．10 D．9
练习2、已知等差数列的前项和为，且，，则下面结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．与均为的最小值
练习3、等差数列的前项和为，若，，则数列的通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
练习4、等差数列的前项和记为，若，，则不成立是（ ）
A． B．
C． D．当且仅当时
练习5、已知等差数列的前项和为，且满足，，则该数列的公差可取的值是（ ）
A．3 B．1 C．-1 D．-3
练习6、等差数列的前n项和为，若，则数列的通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
练习7、等差数列中，是数列的前项和，则数列的前项和最大时，（ ）
A．20 B． C．20或21 D．21或22
练习8、设等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．当且仅当时取最小值 B．当且仅当时取最大值
C．当且仅当时取最小值 D．当且仅当时取最大值
练习9、已知数列的通项公式为，，为其前项和，则当时，正整数的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
练习10、若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为
A．6 B．7
C．8 D．9
练习11、设为等差数列的前项和，．若，则（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最大值是 D．的最小值是
练习12、已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
练习13、已知等差数列的前项和记为，则“”是“为单调数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
练习14、已知是等差数列的前项和,且,给出下列五个命题:
①;②;③;④数列中的最大项为;⑤.
其中正确命题的是___________.
练习15、设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足：，且，则的最小值为_________．
练习16、已知为等差数列的前项和，且，，则当取最大值时，的值为___________.
考法四、 等差数列的证明与判断
已知数列满足，，证明：数列是等差数列；
已知数列，且满足（且），证明新数列是等差数列，并求出的通项公式.
例3、已知数列首项，且满足，令.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）求数列中的最小项.
练习1、已知在数列中，，，求证：为等差数列；
练习2、在正项数列中，，，，求证：数列为等差数列；
练习3、已知数列满足，，，证明：是等差数列；
练习4、已知数列满足，，，，求证：数列为等差数列；
练习5、已知数列满足，且，证明：数列是等差数列；
练习6、已知数列中，，且满足，证明：数列是等差数列，并求的通项公式；
练习7、记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
练习8、在数列中，，是1与的等差中项，求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
练习9、已知正项数列满足，且对任意的正整数n，是和的等差中项，证明：是等差数列，并求的通项公式；
练习10、已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
考法五、实际生活中的等差数列
例1、在古印度的数学著作《丽拉沃蒂》中，有这样一个问题：某人给一个人布施，初日施3德拉玛(古印度货币单位)，其后日增2德拉玛，共布施360德拉玛，请快告诉我，他布施了几日？这个问题的答案是（ ）
A．9 B．18 C．20 D．24
例2、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）在这个问题中，戊所得为（ ）
A．钱 B．钱 C．钱 D．钱
练习1、《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问小满日影长为（ ）（1丈＝10 尺＝100寸）
A．四尺五寸 B．三尺五寸 C．二尺五寸 D．一尺五寸
练习2、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，据书中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为五级：男 子 伯 侯 公.现有每个级别的诸侯各一人，共5人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分个(为正整数)，若按这种方法分橘子，“子”恰好分得13个橘子的概率是（ ）
A． B． C． D．
练习3、《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算 各种等差数列问题的解决 某些不定方程问题求解等.书中记载如下问题：“今有女子善织，日增等尺，初日织五尺，三十日共织390尺，问日增几何？”那么此女子每日织布增长（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
练习4、我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲 乙 丙 丁 戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（ ）
A．30.8贯 B．39.2贯 C．47.6贯 D．64.4贯
练习5、中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“九百九十六斤棉，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”其意思为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女作旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，使孝顺子女的美德外传，试求各人应分得多少斤．”则第3个子女分得棉花（ ）
A．65斤 B．82斤 C．99斤 D．106斤
练习6、《九章算术》卷七“盈不足”有这样一段话：“今有良马与弩马发长安至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里．日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．”意思是：今有良马与弩马从长安出发到齐国，齐国与长安相距3000里，良马第一日走193里，以后逐日增加13里，弩马第一日走97里，以后逐日减少0.5里．则8天后两马之间的距离为___________里．
练习7、我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话．”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为（ ）
A．184斤 B．176斤 C．65斤 D．60斤
练习8、明朝程大位的《算法统宗》中有首依等算钞歌：“甲乙丙丁戊已庚，七人钱本不均分，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊已庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争．”大意是：“现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、已、庚三人共261钱，求各人钱数．”根据题目的已知条件，乙有（ ）
A．122钱 B．115钱 C．108钱 D．107钱
练习9、中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是
A．174斤 B．184斤 C．191斤 D．201斤
练习10、2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫．倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，冬至到处暑等九个节气的日影长之和为85.5寸，问大暑的日影长为（ ）
A．4.5寸 B．3.5寸 C．2.5寸 D．1.5寸

展开更多......

收起↑