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数列（一）
一　、考点分析
考点1、数列的有关概念
1.在数列中，， ，则
2已知，则数列的最大项是
3.已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通
4．如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正边形“扩展”而来的多边形的边数为，
则 ； ＝ .
5.已知数列的通项公式为＝，设，求．
6.设等差数列的前项和为，若，则的最大值为___________。
7．一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（其中包括起点站A和终点站B），车上有一节邮政车厢，每停靠一站，要卸下前面各站发往该站的邮件一袋，同时又要装上该站发往后面各站的邮件一袋，已知火车从第k站出发时，邮政车厢内共有邮袋…,n)个，则数列与的关系为 ．
8.在数列在中，，，,其中为常数，则
二、范例分析：
例1、已知数列的前项和。
(1)求数列的通项公式； (2)求的最大或最小值。
例2、设数列的前项n和为，若对于任意的正整数n都有.
（1）设，求证：数列是等比数列，并求出的通项公式。
（2）求数列的前n项和.
例3 设数列的首项, 前n项和为Sn , 且满足( n∈N*) .
(1) 求a2及an ; (2) 求满足的所有n的值.
例4已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上. (Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；
(Ⅱ)若列数｛bn｝满足b1=1,bn+1=bn+，求证：bn ·bn+2＜b2n+1.
三、巩固训练：
1、在公差为2等差数列{ an}中，若a2＋a4＋a6＝4，则a1＋a3＋a5＝________．
2、设Sn为等差数列{an}的前n项和，S4＝14，S10－S7＝30，则S9＝________．
3、已知数列{an}的首项为a1＝，且满足＝5 (n∈N+)，则a6＝_______．
说明：考查等差数列的概念，注意运用基本量思想（方程思想）解题．通项公式和前n项求和公式建立了基本量之间的关系．
4、在等差数列{an}中，若a1＋a2＝4，a22＋a23＝24，则数列{an}的前23项和S23＝________．
5、已知数列{an}的前n项的和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k的值是 ．
6、设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝ ．
说明：掌握等差数列的性质能提高解题的速度．这些性质主要有：
①若n＋m＝p＋q，则an＋am ＝ap＋aq；
7、等差数列{an}中，S10＝120，则a2＋a9的值是________．
8、数列{an}的通项公式是an＝2n－49那么数列的前n项和Sn取得最小值时，n为_______．
9、已知等差数列前n项和为Sn，若S12＞0，S13＜0，则此数列中绝对值最小的项为_______．
10、等差数列{an}中，3a4＝7a7，且a1＞0 当该数列的前n项和Sn取得最大值时，n＝_____．
11、数列{an}的前n项和Sn＝n 2＋2 n－1 则a2＋a4＋a6＋…＋a100＝．
说明：注意等差数列的前n项和的特征在解题中的应用：
①Sn＝n a1＋d
其中a1＋an＝a2＋an－1 ＝a3＋an－2…＝，注意平均数的概念；
②公差不为0的等差数列的前n项和是关于项数n的二次函数，且常数项为0；
③前n项和最大、最小的研究方法．
12、若等比数列{an}的前三项和S3＝1，且a3＝1，则a2＝________．
13、等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3 S3成等差数列，则{an}的公比q为 ．
14、各项是正数的等比数列{an}中，a1＝3，S3＝21 则a2＋a4＋a6＝________
15、在等比数列{an}中，首项a1＜0，公比为q，则{an}是递增数列的充要条件是________．
16、设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝17，则an＝________．
说明：等比数列的概念，注意运用基本量思想（方程思想）解题．通项公式和前n项求和公式建立了基本量之间的关系．等差和等比数列的简单综合．
17、设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝________．
18、在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2 则该数列前15项的和S15＝_____．
19、有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
20、已知数列的通项an＝则a2a3＝__________．
21、已知数列{an}对于任意p，q∈N+，有ap＋aq ＝aq+p，若a1＝，则a36＝__________．
22、数列{an}的构成法则如下：a1＝1．如果an－2为自然数，且之前未出现过，则an+1＝an－2，否则an+1＝3an，那么a6＝_________．
说明：考查递推公式和归纳思想（寻找规律），注意从等差、等比、周期等方面进行归纳．
23、数列1，3，5，…，（2n－1）＋，…的前n项和Sn的值等于__________．
24、在数列{an}中，an＝ 且Sn＝9，则n＝_______．
25、等差数列{an}中，an+1＝2 n＋1 则Sn＝ ＋ ＋…＋ ＝_______．
26、数列1，1＋2，1＋2＋4，…1＋2＋4＋…＋2n－1…前n项和为Sn，那么Sn＝_______．
27、设数列{an}是等差数列，{bn}是各项为正数的等比数列，且a1＝b1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13，①求数列{an}、{bn}的通项公式；②求数列{}的前n项和Sn．
说明：掌握等差数列和等比数列的求和方法；掌握一些能转化为等差和等比数列的求和；掌握错位相减求和；知道一些典型的裂项求和方法．
28、如果数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝an－3，那么这个数列的通项公式是_______．
29、数列{an}中，已知a1＝ 且前n项和Sn＝n2an，则an＝_______．
30、数列{an}中，已知a1＝1，a1＋2 a2＋3 a3＋…＋ nan＝2 n －1， 则an＝________．
31、已知数列{an}的前n项和Sn=－an－()n－1＋2（n为正整数）. 令bn=2nan，求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式
说明：掌握数列的前n项和Sn与第n项an之间的关系及转化方法．掌握从特殊到一般的归纳方法．
32、已知an+1＝， a1＝2 ①求证：数列{}的等差数列；②求数列{an}的通项公式．
33、已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an+2＝3an+1－2an （n∈N+）
①证明：数列{ an+1－an }是等比数列； ②求数列{an}的通项公式．
34、根据下列条件，分别确定{an}的通项公式：
①a1＝1，an+1＝an＋2n ； ②a1＝1， ＝； ③a1＝1，an+1＝3an＋4．
数列（一）答案
1.解：. ，，…，
2.解：数列可以看成一种特殊的函数即可以看成通过求函数的最大值可知第12项和第13项最大。
3.解：由已知，得，用此式减去已知式，得
当时，，即，又，
，将以上n个式子相乘，得
4.解：，所以；又
所以=
5.解：＝＝2（－）．
＝2[（－）＋（－）＋（－）＋……＋（－）＋（－）]＝2（＋－－）
6.解：∵等差数列的前项和为，且
∴ 即 ∴ ∴，，∴ 故的最大值为。
7.解： 解：
8.解：∵∴从而。∴a=2，，则
二、范例分析：
例1已知数列的前项和。
(1)求数列的通项公式； (2)求的最大或最小值。
例1．解：（1）
(2)由，得。
∴当n=24时, 有最小值:-576
例2：设数列的前项n和为，若对于任意的正整数n都有.
（1）设，求证：数列是等比数列，并求出的通项公式。
（2）求数列的前n项和.
例2：．解：（1）对于任意的正整数都成立，
两式相减，得
∴， 即
，即对一切正整数都成立。∴数列是等比数列。 由已知得 即
∴首项，公比，。。
例3 设数列的首项, 前n项和为Sn , 且满足( n∈N*) .
(1) 求a2及an ; (2) 求满足的所有n的值.
例3.(1) 解: 由 , 得,
又,所以. ……………………2分
由, (n≥2)相减, 得 , ……………4分
又 , ……………5分
所以数列{an}是以为首项，以为公比的等比数列. ……………6分
因此( n∈N*). ……………………8分
(2) 解: 由题意与(Ⅰ), 得
, ……………………12分
即 ……………………13分
因为 , , ……………………14分
所以n的值为3, 4. ……………………16分
例4已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上. (Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；
(Ⅱ)若列数｛bn｝满足b1=1,bn+1=bn+，求证：bn ·bn+2＜b2n+1.
本小题考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，推理与运算能力.
解法一：
（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,
所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.
故an=1+(a-1)×1=n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n.
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+（b2-b1）+b1
=2n-1+2n-2+···+2+1＝=2n-1.
因为bn·bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2
=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)
=-5·2n+4·2n
=-2n＜0, 所以bn·bn+2＜b,
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）因为b2=1, bn·bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b
=2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1
＝2n（bn+1-2n+1）
=2n（bn+2n-2n+1）
=2n（bn-2n）
=…
=2n（b1-2）
=-2n〈0，
二、应知应会知识和方法：
1．（1）在公差为2等差数列{ an}中，若a2＋a4＋a6＝4，则a1＋a3＋a5＝________．
解：a1＋a3＋a5＝－2．
（2）设Sn为等差数列{an}的前n项和，S4＝14，S10－S7＝30，则S9＝______ 解：S9＝54．
（3）已知数列{an}的首项为a1＝，且满足＝5 (n∈N+)，则a6＝_____ 解：a6＝．
说明：考查等差数列的概念，注意运用基本量思想（方程思想）解题．通项公式和前n项求和公式建立了基本量之间的关系．
2．（1）在等差数列{an}中，若a1＋a2＝4，a22＋a23＝24，则数列{an}的前23项和S23＝________．
解：S23＝161
（2）已知数列{an}的前n项的和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k的值是 ．解：k＝8
（3）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝ ． 解：＝．
说明：掌握等差数列的性质能提高解题的速度．这些性质主要有：
①若n＋m＝p＋q，则an＋am ＝ap＋aq；
②公差为d的等差数列{an}中，其下标成等差数列的子数列也成等差数列；
③公差为d的等差数列{an}中，连续m项的和也组成等差数列，且公差为m2d等．
3．（1）等差数列{an}中，S10＝120，则a2＋a9的值是________． 解：a2＋a9＝24．
（2）数列{an}的通项公式是an＝2n－49那么数列的前n项和Sn取得最小值时，n为_______． 解：n＝24．
（3）已知等差数列前n项和为Sn，若S12＞0，S13＜0，则此数列中绝对值最小的项为_______．
解：第7项．
（4）等差数列{an}中，3a4＝7a7，且a1＞0 当该数列的前n项和Sn取得最大值时，n＝_____．
解：n＝9．
（5）数列{an}的前n项和Sn＝n 2＋2 n－1 则a2＋a4＋a6＋…＋a100＝． 解：5150．
说明：注意等差数列的前n项和的特征在解题中的应用：
①Sn＝n a1＋d
其中a1＋an＝a2＋an－1 ＝a3＋an－2…＝，注意平均数的概念；
②公差不为0的等差数列的前n项和是关于项数n的二次函数，且常数项为0；
③前n项和最大、最小的研究方法．
4．（1）若等比数列{an}的前三项和S3＝1，且a3＝1，则a2＝________． 解：a2＝－1
（2）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3 S3成等差数列，则{an}的公比q为 ．解：q＝
（3）各项是正数的等比数列{an}中，a1＝3，S3＝21 则a2＋a4＋a6＝________
解：a2＋a4＋a6＝126．
（4）在等比数列{an}中，首项a1＜0，公比为q，则{an}是递增数列的充要条件是________．
解：q∈（0，1）．
（5）设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝17，则an＝_____解：an＝2 n －1．
说明：等比数列的概念，注意运用基本量思想（方程思想）解题．通项公式和前n项求和公式建立了基本量之间的关系．等差和等比数列的简单综合．
5．（1）设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝________．
解：S4n＝30．
（2）在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2 则该数列前15项的和S15＝_____．解：11．
（3）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
解：0，4，8，16或15，9，3，1．
说明：掌握等比数列的性质能提高解题的速度．这些性质主要有：
①若n＋m＝p＋q，则anam ＝apaq；
②公比为q的等数列{an}中，其下标成等差数列的子数列也成等比数列；
③公比为q的等比数列{an}中，连续m项的和也组成等比数列，且公差为qm等．注意与等差数列的简单综合．
6．（1）已知数列的通项an＝则a2a3＝__________． 解：a2a3＝20．
（2）已知数列{an}对于任意p，q∈N+，有ap＋aq ＝aq+p，若a1＝，则a36＝__ 解：a36＝4．
（3）数列{an}的构成法则如下：a1＝1．如果an－2为自然数，且之前未出现过，则an+1＝an－2，否则an+1＝3an，那么a6＝_________．解：a6＝15．
说明：考查递推公式和归纳思想（寻找规律），注意从等差、等比、周期等方面进行归纳．
7．（1）数列1，3，5，…，（2n－1）＋，…的前n项和Sn的值等于__________．
解：Sn＝n2＋1－ ．
（2）在数列{an}中，an＝ 且Sn＝9，则n＝_______． 解：n＝99．
（3）等差数列{an}中，an+1＝2 n＋1 则Sn＝ ＋ ＋…＋ ＝_解：Sn＝．
（4）数列1，1＋2，1＋2＋4，…1＋2＋4＋…＋2n－1…前n项和为Sn，那么Sn＝_______．
解：Sn＝2n＋1－n－2．
（5）设数列{an}是等差数列，{bn}是各项为正数的等比数列，且a1＝b1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13，①求数列{an}、{bn}的通项公式；②求数列{}的前n项和Sn．
解：①an ＝2 n－1，bn＝2n－1； ②Sn＝6－．
说明：掌握等差数列和等比数列的求和方法；掌握一些能转化为等差和等比数列的求和；掌握错位相减求和；知道一些典型的裂项求和方法．
8．（1）如果数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝an－3，那么这个数列的通项公式是_______．
解：an ＝2×3n．（两种思路：一是归纳，二是转化）
（2）数列{an}中，已知a1＝ 且前n项和Sn＝n2an，则an＝______ 解：an＝．
（3）数列{an}中，已知a1＝1，a1＋2 a2＋3 a3＋…＋ nan＝2 n －1， 则an＝________．
解： an＝
（4）已知数列{an}的前n项和Sn=－an－()n－1＋2（n为正整数）. 令bn=2nan，求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式解：an=．
说明：掌握数列的前n项和Sn与第n项an之间的关系及转化方法．掌握从特殊到一般的归纳方法．
9．（1）已知an+1＝， a1＝2 ①求证：数列{}的等差数列；②求数列{an}的通项公式．
解：①略； ②an＝ ．
（2）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an+2＝3an+1－2an （n∈N+）
①证明：数列{ an+1－an }是等比数列； ②求数列{an}的通项公式．
解：①略； ②an＝2n－1．
（3）根据下列条件，分别确定{an}的通项公式：
①a1＝1，an+1＝an＋2n ； ②a1＝1， ＝； ③a1＝1，an+1＝3an＋4．
解：①an＝n2－n＋1．②an＝n．③an＝3 n－2．
说明：理解由数列的递推公式求通项公式的方法．掌握常见递推数列的通项公式的求法，如an+1－an＝f（n）， ＝f（n），an+1＝pan＋q（其中p、 q为常数）其主要想法是将其转化为等差或等比数列．

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