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函数的性质及其应用（二）
一　考点分析
考点1、函数的性质综合应用
1.已知函数
（1）若a＞0,则的定义域是 ;
(2) 若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 .
2. 设，函数，则使的的取值范围是
3.设，函数有最小值，则不等式的解集为 。
4.已知是上的减函数，那么的取值范围是
考点2、函数的综合应用：函数、方程与不等式
5.方程的实数解的个数为 .
6.若不等式x4+2x2+a2-a -2≥0对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是．
7.已知函数，，若对于任一实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是
8.方程x2+x－1＝0的解可视为函数y＝x+的图像与函数y＝的图像交点的横坐标，若x4+ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk (k≤4)所对应的点(xi ,)（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是
二、范例分析：
1、已知函数, 且.
（Ⅰ）求的解析式，并判断它的奇偶性；
（Ⅱ）求证：函数在 (0 , ＋)上是单调减函数.
2、 已知二次函数的图像经过坐标原点，且满足，设函数,其中为非零常数
(I)求函数的解析式；
(II)当 时，判断函数的单调性并且说明理由；
(III)证明：对任意的正整数,不等式恒成立．
3、已知函数（∈R），.
（Ⅰ）若，且函数的值域为[0 , ＋)，求的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当x∈[－2 , 2 ]时，是单调函数，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）设，, 且是偶函数，判断能否大于零？
专项训练：基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数）
1．已知是上的减函数，则的取值范围为
2． 已知= 则f ( 2009 ) 等于
3．若，则
4．已知下表中的对数值有且只有一个是错误的．
1．5 3 5 6 8 9
其中错误的对数值是
5．已知定义在R上的函数 f ( x) = (x2 – 3x + 2) g ( x ) + 3x – 4 , 其中函数的图象是一条连续曲线，则方程f ( x) = 0在下面哪个范围内必有实数根
6、设，则大小关系
7．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）
A、 B、 C、 D、
8．已知函数，若实数是函数的零点，且，则的值（ ）A、恒为正值 B、等于0 C、恒为负值 D、不大于0
9．设是定义在上的奇函数，且当时，，则
10、计算：
11、函数的定义域是
12．已知，，，则与的大小关系是 .
13．已知函数的零点，且，，，则 .
14．某出租车公司规定“打的”收费标准如下：
3公里以内为起步价8元（即行程不超过3公里，一律收费8元），若超过3公里除起步价外，超过部分再按1.5元/公里收费计价，若某乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车里程数为7.4，则乘客应付的车费是 ．（单位：元）
15、已知函数
（1）若函数的最小值是，且，求的值：
（2）若，且在区间恒成立，试求取范围；
16、已知函数
（1）若函数的最小值是，且，求的值：
（2）若，且在区间恒成立，试求取范围；
函数的性质及其应用（二）答案
1. 【答案】 , 【解析】（1）当a＞0时，由得,所以的定义域是; (2) 当a＞1时，由题意知;当02. 解：要使，且，所以
，又，∴，故的取值范围是
3. 解：由，函数有最小值可知a1，所以不等式可化为x－11，即x2.
4. 解：依题意，有0a1且3a－10，解得0a，又当x1时，（3a－1）x＋4a7a－1，当x1时，logax0，所以7a－10解得x故的取值范围是
5. 解：画出与的图象有两个交点，故方程的实数解的个数为2个。
6.解.
7. 解：当时，显然不成立
当时，因当即时结论显然成立；
当时只要即可
即，则.
8. 【解析】方程的根显然，原方程等价于，原方程的实根是曲线与曲线的交点的横坐标；而曲线是由曲线向上或向下平移个单位而得到的。若交点(xi ,)（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，因直线y＝x与交点为：；所以结合图象可得：
二、范例分析：
1. 已知函数, 且.
（Ⅰ）求的解析式，并判断它的奇偶性；
（Ⅱ）求证：函数在 (0 , ＋)上是单调减函数.
解：（Ⅰ） ∴ ∴（x≠0）
∴是奇函数
（Ⅱ）设
∵, ∴ ∴在 (0 , ＋)上是单调减函数.
2.已知二次函数的图像经过坐标原点，且满足，设函数,其中为非零常数
(I)求函数的解析式；
(II)当 时，判断函数的单调性并且说明理由；
(III)证明：对任意的正整数,不等式恒成立．
解：（Ⅰ）设，的图象经过坐标原点，所以c=0.
∵ ∴
即： ∴a=1,b=0, ；
（Ⅱ）函数的定义域为
．，
令，，，
∵，∴，在上恒成立，
即，当时,函数在定义域上单调递减．………………10分
（III）当时，，令
则在上恒正，∴在上单调递增，当时，恒有.，即当时，有，
对任意正整数，取得．
3. 已知函数（∈R），.
（Ⅰ）若，且函数的值域为[0 , ＋)，求的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当x∈[－2 , 2 ]时，是单调函数，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）设，, 且是偶函数，判断能否大于零？
解：（Ⅰ）
∵函数的值域为[0 , ＋) ∴且△＝ ∴
∴
（Ⅱ）
在定义域x∈[－2 , 2 ]上是单调函数， 对称轴为
∴或 即或
（Ⅲ）∵是偶函数 ∴ ∴ ∴
∵ 不妨设,,∵,∴ ∴∴
∵又 ∴
基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数）
一、选择题
1．已知是上的减函
数，则的取值范围为（ C ）
2．已知= 则f ( 2009 ) 等于 　(B) 0 　
3．若，则 A
4．已知下表中的对数值有且只有一个是错误的．
1．5 3 5 6 8 9
其中错误的对数值是 A
5．已知定义在R上的函数 f ( x) = (x2 – 3x + 2) g ( x ) + 3x – 4 , 其中函数的图象是一条连续曲线，则方程f ( x) = 0在下面哪个范围内必有实数根 (1, 2 )
6．设，则（ A）A、
7．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ B）
A、 B、 C、 D、
8．已知函数，若实数是函数的零点，且，则的值（ A ）
A、恒为正值 B、等于0 C、恒为负值 D、不大于0
9．设是定义在上的奇函数，且当时，，则 10．计算：
11．函数的定义域是
12．已知，，，则与
的大小关系是 ▲ .
13．已知函数的零点，且，，，则 3 .
14．某出租车公司规定“打的”收费标准如下：
3公里以内为起步价8元（即行程不超过3公里，一律收费8元），若超过3公里除起步价外，超过部分再按1.5元/公里收费计价，若某乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车里程数为7.4，则乘客应付的车费是 15 ．（单位：元）
15．已知函数
（1）若函数的最小值是，且，求的值：
（2）若，且在区间恒成立，试求取范围；
【解】 （1）由已知，且
解得
（2），原命题等价于在恒成立
且在恒成立
的最小值为0
的最大值为
所以
16．已知函数
（1）若函数的最小值是，且，求的值：
（2）若，且在区间恒成立，试求取范围；
【解】 （1）由已知，且
解得
（2），原命题等价于在恒成立
且在恒成立
的最小值为0
的最大值为
所以

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