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2023考点专题复习——数列的通项公式
考法一：累加法 ——适用于（可以求和）
例1、在数列中，已知=1，当时，有，求数列的通项公式。
例2、已知数列中, 且,求数列的通项公式.
例3、已知数列满足，求数列的通项公式。
练习1、已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式.
练习2、已知数列满足，求此数列的通项公式.
练习3、已知数列满足，求数列的通项公式。
练习4、已知在数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的前项和．
练习5、在数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求的前项和．
练习6、已知数列满足，，求。
练习7、已知数列满足，，则数列的通项公式
练习8、在数列中，，，则数列的通项公式
练习9、已知数列{an}满足，，n∈N*，求数列的通项公式an.
练习10、设数列满足，，则数列的通项公式
练习11、已知数列满足，，则数列的通项公式
考法二：累乘法
例1、在数列中，已知有，()求数列的通项公式。
例2、已知数列满足，求数列的通项公式。
例3、设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，…），则它的通项公式是=________.
例4、已知数列满足，，求。
练习1、已知数列的首项为，且满，求的通项公式
练习2、已知，，则数列的通项公式。
练习3、已知在数列中，，求数列的通项公式
练习4、在数列中，，求数列的通项公式
考法三、待定系数法（构造新数列） 适用于
形如,其中)型
例1、在数列中， ，当时，有，求数列的通项公式。
例2、已知数列中，，求数列的通项公式。
练习1、已知数列中，求通项。
练习2、已知数列中，，．
（1）令，求证：数列为等比数列；
（2）求数列和的通项公式；
（3）为数列的前项和，求．
练习3、已知数列中，，．
（1）求证是等比数列，并求的通项公式；
（2）求数列的前项和；
2．形如： (其中q是常数，且n0,1)
例3、已知数列满足，求数列的通项公式。
例4、在数列中， ，求数列的通项公式。
练习4、在数列中， ，且求数列的通项公式。
练习5、在数列中， ，且求数列的通项公式。
练习6、已知在数列中，，，．求数列的前项和；
形如 (其中k,b是常数，且)
例5、在数列中，求通项.（逐项相减法）
例6、在数列中，,求通项.（待定系数法）
练习7、 设在数列中， ，求数列的通项公式。
练习8、数列中，且．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅲ）求数列的前项和．
形如 (其中a,b,c是常数，且)
例7、已知数列满足，求数列的通项公式。
练习9、已知数列满足，求数列的通项公式。
5.形如时将作为求解
例8、 已知数列满足，求数列的通项公式。
例9、，求数列的通项公式
练习10、数列中，若,且满足,求.
练习11、数列中，若,且满足,求.
练习12、，求数列的通项公式
练习13、 在数列中， ，，且求数列的通项公式。
练习14、已知数列满足，，且对任意，都有．
(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(2)求使得不等式成立的最大正整数m．
练习15、已知数列满足.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前20项和.
练习16、已知数列中，，，当时，．
（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）当时，，求正整数的最小值．
练习17、已知数列中，，，，
（Ⅰ）证明数列成等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列，求数列的前项和．
6、非特殊或提示性构造数列
例10、在数列中，，．
（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
例11、已知数列中，，且且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求满足的所有正整数的值．
练习18、在数列中，．
（1）证明数列为等比数列，并求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
练习19、已知数列中，，且满足，．
（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，求满足的的最小值．
练习20、已知数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且数列的前项和为，求．
练习21、设是首项为1的正项数列，且，（n∈N*），求数列的通项公式
练习22、 数列中，，且，（n∈N*），求通项公式.
考法四、倒数法——适用于（）
已知，，求。
已知数列满足，求数列的通项公式。
练习1、数列满足，，则数列的前2021项的和为　　
B． C． D．
练习2、已知数列满足，，求数列的通项公式
练习3、已知数列满足，，求数列的通项公式；
练习4、在数列中，若且，求数列的通项公式
练习5、已知数列满足，，若，则数列的通项公式
练习6、在数列中，，且，求数列的通项公式
练习7、数列中，则数列的通项公式.
练习8、已知数列满足数列的通项公式
练习9、 已知数列中，，n≥2时，求通项公式.
考法五、对数变换法——适用于(其中p,r为常数)型 p>0，
设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.
练习1、 数列中，，（n≥2），求数列的通项公式.
练习2、已知数列满足，，求数列的通项公式。
考法六、阶差法（逐项相减法）
1、递推公式中既有，又有
方法：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。
已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。
已知数列的前项和为，求数列的通项公式。
练习1、已知数列的前项和为，满足，，求数列的通项公式。
练习2、已知数列的前n项和为，且满足，求数列的通项公式。
练习3、设为数列的前项和，，且，求数列的通项公式；
练习4、已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式；
练习5、已知数列的前n项和为，，，求数列的通项公式
练习6、已知数列中, 且,求数列的通项公式.
练习7、已知数列前n项和.
求与的关系； （2）求通项公式.
练习8、已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
练习9、在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．
设首项为的数列的前项和为，且满足______（只需填序号）
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和项和．
2、对无穷递推数列
例1、 已知数列满足，求的通项公式。
例2、已知数列满足，求数列的通项公式；
练习1、已知数列，，满足：，若是首项为2，公比为2的等比数列，，则数列的前项的和是　　
A． B．
C． D．
练习2、已知数列中，，，则数列的通项公式为　　
A． B．
C． D．
练习3、已知数列满足，．数列的通项公式
练习4、数列满足：，，则数列的通项公式
练习5、在正项等比数列中，，是与的等差中项，数列满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
练习6、已知是首项为，公差不为的等差数列：成等比数列.数列满足.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求证：.
练习7、在数列中，为其前项和，且，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
练习8、定义为数列的“匀称值”，若数列的“匀称值”为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，的前项和为，求．
练习9、已知数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
考法七、不动点法 目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法
不动点的定义：函数的定义域为，若存在，使成立，则称为的不动点或称为函数的不动点。
分析：由求出不动点，在递推公式两边同时减去，在变形求解。
1、形如
例1、 已知数列中，，求数列的通项公式。
2、形如 （当b=0时 可用取到数法）
分析：递归函数为
那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。
例2、数列求数列的通项公式.
例3、已知数列满足性质：对于且求的通项公式.
练习1、已知数列满足：对于都有
（1）若求（2）若求（3）若求
（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？
练习2、设数列满足,求数列的通项公式.
练习3、 已知数列满足，求数列的通项公式。
练习4、已知满足，求的通项
练习5、已知数列满足，求数列的通项
练习6、已知数列满足， .
令，证明：是等比数列；
(Ⅱ)求的通项公式。
考法八：周期数列
例1、若数列满足，若，则的值为___________。
例2、在数列中，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
例3、已知数列中，，()，则等于（ ）
A． B． C． D．2
练习1、设是数列的前项和，若，，则
A． B． C． D．
练习2、已知数列满足，，则数列的前50项和为（ ）
A．48 B． C．52 D．
练习3、数列中，，，则______.
练习4、已知数列的首项，则_________．
练习5、已知数列为等差数列，数列的前n项和为，若，=6，则S2020=____________.
练习6、在数列中，，，则的值为

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