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2022年全国一卷新高考题型细分S2-4
——数列5 基础大题
试卷主要是2022年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计174套。
题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。
比较单一的题型按知识点、方法分类排版；综合题按难度分类排版，后面标注有该题目类型。
数列——基础大题
（2022年河北仿真二J44）在递增的等比数列中，前n项和为，若，.
（1）求数列的通项公式；（[endnoteRef:0]）
（2）若，求数列的前n项和.
（等比计算，易；等差求和，超级容易；） [0: 【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】小问1：由得，化为，从而求得公比，即可求通项公式；
小问2：利用的通项公式求得，根据等差求和公式即可求解．
【小问1详解】
设等比数列的公比为q，由得．
∴，即，∴.依题意，可知．
∴．
【小问2详解】
由（1）可得，∴，
故．
]
（2022年河北J47）已知数列的前n项和为，，．
（1）求数列的通项公式；（[endnoteRef:1]）（Sn型求通项，易；裂项求和，易；）
（2）设，若数列的前n项和为，证明：． [1: 【答案】（1）；（2）证明见解析；
【分析】（1）根据得到是首项为3，公比为3的等比数列，即可得到数列的通项公式；
（2）首先求出，令，再利用裂项相消法求和即可得证；
【详解】解：（1）因为，，当时，当时，，所以，即，即，又，所以是首项为3，公比为3的等比数列，即．
（2）由（1）知，，令，则，
所以．
]
（2022年湖北荆州中学J19）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=（an-1），n∈N．
（1）求数列{an}的通项公式；（[endnoteRef:2]）
（2）记，求数列{bn}的前100项的和T100．（Sn型求通项，易；分组求和，易；） [2: 18.【答案】解：（1）由Sn=（an-1），得Sn+1=（an+1-1），n∈N+，
两式相减得an+1=an+1-an，即an+1=-an，
又当n=1时，a1=S1=（a1-1），解得a1=-，
所以{an}是以-为首项，-为公比的等比数列，所以an=（-）n；
（2）由（1）可知bn=ansin=，n∈N+，
所以a1，a3，a5，a7，…，a97，a99是首项为a1，公比为-的等比数列，共有50项，所以T100=a1-a3+a5-a7+…+a97-a99===-+×．
]
（2022年湖北荆门四校J21）已知数列的前项和为，且
（1）求数列的通项公式；（[endnoteRef:3]）
（2），求数列的前项和；
（Sn型求通项，易；分组求和，易；） [3: 【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知得，两者作差可得，则可判断数列为等比数列，即可求其通项公式；
（2）利用分组求和的方法求和即可.
【小问1详解】
在数列中， 由可知，
两式作差可得，即，
当时，，，即，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
即；
【小问2详解】
由（1）知，
所以
.
]
（2022年湖北西北四校J45）记为数列的前项和，若，.
（1）求数列的通项公式；（[endnoteRef:4]）
（2）设，设数列的前项和为，求的值.（Sn型求通项，易；分组求和，易；） [4: 【答案】(1).(2)200.
【分析】（1）先由得到，两式作差，化简整理，即可证明数列为等差数列，进而可求出其通项公式；
（2）先由（1）的结果，得到，进而得到，再由求和公式，即可得出结果.
【详解】（1）当时，因为①
所以②
①-②得：
即
又即
所以数列是以19为首项-2为公差的等差数列，
所以.
（2）由（1）知
所以
因为当时，当时
所以
所以
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及含绝对值的等差数列的求和，熟记等差数列的通项公式、前项和公式即可，属于常考题型.
]
（2022年湖北腾云联盟J46）等差数列的公差d不为0，满足成等比数列，数列满足.
(1)求数列与的通项公式：（[endnoteRef:5]）
(2)若，求数列的前n项和.（等差等比混合，易；类似Sn求通项，易；错位求和，易；） [5: 【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据等比中项的性质及等差数列的通项公式得到方程求出公差，即可求出的通项公式，由，当时，求出，当时，两式作差，即可求出；
（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可；
(1)
解：由已知，又，所以
故
解得（舍去）或
∴
∵①
故当时，可知，∴，
当时，可知②
①②得
∴又也满足，故当时，都有；
(2)
解：由（1）知，
故③，
∴④，
由③④得
整理得.
]
（2022年湖北孝感J47）在等比数列中，，且，又的等比中项为16.
(1)求数列的通项公式；（[endnoteRef:6]）
(2)设，求数列的前n项和为.（等比计算，易；分组求和，易；） [6: 【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得，进而求得，得出公比即可求出通项公式；
（2）利用分组求和法可求出.
(1)
设数列的公比为q，
因为的等比中项为16，所以，
因为，所以，则可得，
∵，则，∴，∴；
(2)
由（1）可知，从而数列是首项为16 公比为4的等比数列，
]
（2022年河北石家庄J03）已知公差不为0的等差数列中，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；（[endnoteRef:7]）
（2）求数列的前项和为.（等差等比混合，易；错位求和，易；） [7: 【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项可求出结果；
（2）根据错位相减法可求出结果.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，由题意可知.
即，又，得，
因为，所以，.
故通项公式.
【小问2详解】
，
，
，
，
所以.
]
（2022年河北衡水中学一模J10）在①，②为等比数列，且，这两组条件中任选一组，补充在下面横线处，并解答下列问题．
已知数列，数列的前项和是，______．
（1）求数列通项公式；（[endnoteRef:8]）
（2）若数列的前项和为，证明：对任意均有恒成立．
（Sn型求通项，易；等比计算，易；错位求和，易；） [8: 【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）若选①，利用退一相减法可得通项公式；若选②，直接可得数列的首项及公比，进而可得通项公式；
（2）利用错位相减法可得，进而得证.
【小问1详解】
解：若选①，当时，，即；
当时，，，
作差可得，即，
所以数列为等比数列，其首项为，公比，
所以；
若选②，，则，即，
又数列为等比数列，所以，且，
所以；
【小问2详解】
证明：由（1）得，所以，
所以，
，
则
，
所以，
又，所以恒成立.
]
（2022年河北保定七校联考J31）已知数列是递增的等比数列，且.
（1）求数列的通项公式；（[endnoteRef:9]）
（2）求数列的前n项和.（等比计算，易；错位求和，易；） [9: 【17~18题答案】
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意列出方程求出公比可得；
（2）根据错位相减法及分组求和即可得解.
【小问1详解】
设数列的公比为，，则.
由得，由得，
所以，解得或（舍去），
所以.
所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
由条件知，设，
则，
将以上两式相减得，
所以.
设，
则.
]
（2022年河北廊坊J35）已知数列的首项的等比数列，其前项和中，
（1）求数列的通项公式；（[endnoteRef:10]）
（2）设，求.
（等比计算，易；裂项求和，易；） [10: 【18题答案】
【答案】（1）.（2）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）讨论等比数列的工笔q=1和,将数列的前n项和公式代入,求出基本量和,进而求出数列的通项公式; （2）化简,利用裂项相消法求出.
试题解析：
（1）若，则不符合题意，，
当时，由得
.
（2），
，
.
点睛: 在数列求和中，最常见最基本的求和就是等差、等比数列中的求和，这时除了熟练掌握求和公式外还要熟记一些常见的求和结论，再就是分清数列的项数，以免在套用公式时出错．裂项相消法.把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
]
（2022年湖南邵阳二中J42）已知数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；（[endnoteRef:11]）
（2）设，求数列的前n项和．（Sn型求通项，易；分组求和，易；） [11: 【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据所给条件先求出首项，然后仿写，作差即可得到的通项公式;
（2）根据（1）求出的通项公式，观察是由一个等差数列加一个等比数列得到，要求其前项和，需采用分组求和法，即可求出前项和．
【小问1详解】
∵，①
当时，，即
当时，．②
由①－②得，即
∴数列是以2为首项，4为公比的等比数列．
∴
【小问2详解】
由（1）知
∴，
∴．
]
（2022年湖南三湘名校J45）在前项和为的等比数列中，.
(1)求数列的通项公式；（[endnoteRef:12]）
(2)令，求数列的前项和.（等比计算，易；错位求和，易；） [12: 【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设数列的公比为，根据并利用等比数列通项公式求，再由求并验证值，即可写出通项公式.
（2）应用错位相减法求数列的前项和.
(1)
设数列的公比为，
由，有，得，解得或
①当时，由，有和，得和，矛盾，不可能
②当时，由，有和，得和，满足题意，
由上知：，数列的通项公式为.
(2)
由，
由，两边乘2，有，
两式作差得：，
∴.
]
（2022年湖南名校联考J48）已知是等差数列，其前项和为．若．
(1)求的通项公式；（[endnoteRef:13]）
(2)设，数列的前项和为，求．（等差计算，易；分组求和，易；） [13: 【答案】(1)
(2)
【分析】（1）、利用等差数列通项公式及前项和求出公差，即可求出的通项公式；
（2）、先求数列的通项公式，再利用分组求和法求解.
(1)
设等差数列的公差为．
，，，
又，，．
的通项公式为.
(2)
由（1）可知，
，，
，
，
．
]
（2022年福建漳州J20）已知数列的前n项和为，在①②，，③这三个条件中任选一个，解答下列问题：
（1）求的通项公式：（[endnoteRef:14]）
（2）若，求数列的前n项和
（Sn型求通项，易；类似Sn求通项，易；等差求和，易；） [14: 【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）若选①，由已知得， ，当时，两式相减有，再验证当时，是否满足，可得数列的通项；
若选②，由已知得，，当时，两式相减，得，再验证当时，是否满足，可得数列的通项；
若选③，由已知得，，
当时，两式相减，得，再验证当时，是否满足，可得数列的通项；
（2）由（1）得，由等差数列的定义得数列是以0为首项，为公差的等差数列，根据等差数列的求和公式可求得.
【小问1详解】
解：若选①，，则，
当时，，
当时，符合上式，
所以；
若选②，，
当时，
两式相减，得，即，
又，，所以，所以，
所以数列是首项为1，公比为等比数列，所以；
若选③，数列满足，
当时，，
两式相减，可得，所以，
当时，符合上式，
所以；
【小问2详解】
解：，
，又，
所以数列是以0为首项，为公差的等差数列，
所以.
]
（2022年福建三明一中J39）设数列的前n项和为，若．
（1）求数列的通项公式；（[endnoteRef:15]）
（2）设，求数列的前n项和．（Sn型求通项，易；错位求和，易；） [15: 【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据及等比数列的定义即可求得答案；
（2）由错位相减法即可求得答案.
【小问1详解】
因为．
所以，解得．
当时，，
所以，所以，即．
因为也满足上式，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以．
【小问2详解】
由（1）知，所以，
所以…①
…②
①-②得
，所以．
]
（2022年福建三明J40）已知等比数列满足，.
（1）求数列的通项公式；（[endnoteRef:16]）（等比计算，易；裂项求和，易；）
（2）设，求数列的前n项和. [16: 【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设公比为，根据等比数列的通项公式求出、，即可求出通项公式；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可；
【小问1详解】
解：因为为等比数列，且，，设公比为，
所以，所以，，
所以；
【小问2详解】
解：因为，
所以
]
（2022年湖南长沙长郡中学J17）已知单调递增的等差数列的前n项和为，成等比数列，正项等比数列满足.
（1）求与的通项公式；（[endnoteRef:17]）（等差等比混合，易；等比计算，易；裂项求和，易；）
（2）设，求数列的前n项和. [17: 【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）设数列的公差为d，则由已知可得，，从而可求出，则可求出，再由，可求出，从而可求出，
（2）由（1）可得，然后利用裂项相消求和可求得答案
【小问1详解】
设数列的公差为d，则，
由得，即①，
又成等比数列，所以，
所以，所以②，
联立①②及解得.
所以.
所以，
所以，解得，
又，所以，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，
所以.
]
（2022年江苏南京金陵中学J08）已知等比数列的前项和为，，且满足，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；（[endnoteRef:18]）
（2）记，求.（等差等比混合，易；错位求和，易；） [18: 【17~18题答案】
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，，利用基本量表示，运算即得解；
（2）乘公比错位相减法求和，即得解
【小问1详解】
设等比数列的公比为，
依题意，，则
∴，，
∴，∴
【小问2详解】
∵，∴，
由题意可得①
②
①-②得到
∴
∴
∴
∴
]
（2022年山东历城二中J01）在数列中，已知，，数列的前n项和为，且．
（1）求数列，的通项公式；（[endnoteRef:19]）
（2）求数列的前n项和．（类似Sn型求通项，易；Sn型求通项，易；错位求和，易；） [19: 【18~19题答案】
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】(1)利用作差法可求通项公式，根据通项公式与前n项和公式的关系可求的通项公式；
(2)根据数列通项公式的特征，采用错位相减法求其前n项和.
【小问1详解】
∵①，
∴当时，，得．
当时，②，
①－②得，，∴，
∵时也满足，
∴，
∴，当n=1时也成立
∵③，
当时，，即；
当时，④，
③－④得，，则，
∴是首项为2，公比为2的等比数列，故；
【小问2详解】
∵，
∴⑤，
⑥，
⑤－⑥得，
，
∴．
]
（2022年山东临沂二模J14）已知数列的前n项和为，，．
（1）求的通项公式；（[endnoteRef:20]）
（2）记，求数列的前n项和．（Sn型求通项，易；错位求和，易；） [20: 【答案】（1）.
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题中给出得递推关系式，以及，即可求解数列的通项公式；
（2）将数列的通项公式带入数列，进行化简，利用错位相减法进行求解.
【小问1详解】
由得，
∴，
∴.
又，，∴，整理得.
∴数列是首项为1，公比为2的等比数列，
∴数列的通项公式为：.
小问2详解】
由（1）得，∴.
∴，
即，
，
两式相减，得，
∴.
]
（2022年山东淄博三模J20）设为等差数列的前项和，已知，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；（[endnoteRef:21]）
（2）若，求数列的前项和．（等差等比混合，易；错位求和，易；） [21: 【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据等差数列通项公式，等比中项，列出方程求出公差、首项即可得解；
（2）由（1）求出，根据错位相减法求和即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，由得：，整理得，
因为，，成等比数列，所以，
解得（舍去），或，又由，
解得，，满足条件，故．
【小问2详解】
由（1）得，所以，
所以，
所以，
则，
两式相减得：
.
所以.
]
（2022年山东威海三模J27）已知等比数列的各项均为正值，是、的等差中项，，记．
（1）求数列和的通项公式；（[endnoteRef:22]）（等差等比混合，易，对数，易；裂项求和，易；）
（2）设数列的前项和为，证明：． [22: 【答案】（1），
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设数列的公比为，则，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得数列和的通项公式；
（2）求得，利用裂项相消法可证得结论成立.
【小问1详解】
解：设数列的公比为，则，
由题意知，可得，解得，
所以，，．
【小问2详解】
证明：因为，
所以
]
（2022年山东百师联盟J56）已知数列的前项和为，且有．
（1）求数列的通项公式；（[endnoteRef:23]）（类似Sn求通项，易；裂项求和，易；）
（2）设为数列的前项和，证明：． [23: 【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】(1)递推一项作差即可求解；
(2)根据题意求出，利用裂项相消求和即可证明.
【小问1详解】
由题，
当时，，∴；
当时，由，
所以，两式相减，
可得，∴．
当时，满足，∴．
【小问2详解】
由题，
所以，
∵，∴，∴．
]
（2022年山东J57）已知为等差数列的前项和，满足，．
（1）求数列的通项公式；（[endnoteRef:24]）（等差计算，易；等比求和，易；）
（2）若等比数列为递增数列，且，，，求数列的前项和． [24: 【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列通项公式和求和公式求解即可；
（2）根据题意得到的首项和公比求解即可.
【小问1详解】
因为数列为等差数列，所以，即，
又，即，所以，则，所以．
【小问2详解】
由题意可知，，，，
又因为等比数列为递增数列，所以，，，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以．
]
（2022年广东潮州三模J08）等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；（[endnoteRef:25]）（等差计算，易；分组求和，易；）
（2）设，求的值． [25: 【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）设等差数列公差为．根据，，由“”法求解；（2）由（1）得到，利用分组求和法求解；
【详解】（1）设等差数列公差为．
由已知得，
解得．
所以．
（2）由（1）可得．
所以，
，
，
.
【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法
(1)公式法：①等差数列的前n项和公式，②等比数列的前n项和公式；
(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.
(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
]
（2022年广东潮州二模J07）已知数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；（[endnoteRef:26]）（Sn型求通项，易；裂项求和，易；）
（2）设，求数列的前n项和． [26: 【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）当时，（1），（2），（1）－（2）即得解；
（2）由（1）得，再利用裂项相消法求和得解.
【小问1详解】
解：当时，，所以，
当时，（1），（2），
由（1）－（2）得，即，
所以是首项，公比为的等比数列，故．
【小问2详解】
解：由（1）得，
所以.
]
（2022年广东中山三模J25）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．
设等差数列的前n项和为，且,．
（1）求的最小值；（等差求和，最值分析，易；裂项求和，易；等比求和，易；综合，基础；）
（2）若数列满足[endnoteRef:27]____________，求数列的前10项和． [27: 【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）结合等差数列的通项公式和前项和公式求得，，利用二次函数的性质即可求解；
（2）选①，判断，进而求解；选②，利用裂项相消法即可求解；选③，，利用分组求和法即可求解.
【小问1详解】
由题，，，所以，
则，
所以当时，的最小值为.
【小问2详解】
设数列的前项和为，
选①，由（1），，令，即,
所以，
所以；
选②，由（1），，
所以；
选③，由（1），，，
所以
]
（2022年广东启光卓越J21）已知各项均为正数的数列满足，且.
（1）求的通项公式；（[endnoteRef:28]）（因式分解，等比数列，易；错位求和，易；综合，基础；）
（2）若，求的前项和. [28: 【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，可得，从而可得数列是以3为等比的等比数列，即可得解；
（2）求出数列的通项，再利用错位相减法即可得出答案.
【小问1详解】
解：因为，
所以，
又因，所以，
即，
所以数列是以3为等比的等比数列，
所以；
【小问2详解】
解：，
则，
，
两式相减得
，
所以.
]
（2022年广东湛江二模J24）已知数列的前n项和为.（[endnoteRef:29]）
（1）从①，②，③这三个条件中任选两个作为条件，证明另一个成立，并求的通项公式；（Sn型求通项，易；等比分组求和，易；综合，基础；）
（2）在第（1）问的前提下，若，求数列的前项和.
注：如果选择多种情况分别解答，按第一种解答计分. [29: 【答案】（1）；证明见解析.
（2）
【解析】
【分析】（1）选①②，结合题意证明数列是等比数列，公比为，首项为，进而求解；
选：②③，先根据题意得，进而证明数列等比数列，公比为，首项为，再求解即可；
选：①③，结合题意证明数列是等比数列，公比为，首项为，进而在求解即可.
（2）结合（1）得，再根据等比数列的求和公式求解即可.
【小问1详解】
解：选①②，因为，所以，
因为，，
所以，数列是等比数列，公比为，首项为，
所以，即
所以，当时，，
当时，，显然满足，
所以，.
选：②③，因为，，
所以，解得，故.
因为，
所以，即，
所以，整理得，
所以数列是等比数列，公比为，首项为，
所以.
选：①③，因为，，
所以，
所以，两式作差得，即，
所以数列是等比数列，公比为，首项为，
所以，，
所以，
所以.
【小问2详解】
解：由（1）得，故，
所以数列的前项和满足：
]
（2022年广东惠州三模J17）已知数列是公差大于1的等差数列，，前n项和为，
且___________.
请在下列三个条件中任选一个，补充到上述题目的条件中，并求解下面的问题.
①成等比数列；②是和的等差中项；③的前6项和是78.
（1）求数列通项公式；（[endnoteRef:30]）（等差等比混合，易；错位求和，易；综合，基础；）
（2）若，求数列的前n项和. [30: 【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设的公差为,再结合等差中项或等比中项或前项和公式求解得，再根据通项公式求解即可.
（2）由（1）知，再根据错位相减法求解即可.
【小问1详解】
设的公差为d，
选条件①：，则，
解得或，
，所以，
，
选条件②：由已知有，
，
即
解得：
选条件③：的前6项和是78，
即
解得：，
【小问2详解】
解：由（1）知：
则
]

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