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【题型归纳】2023年高考数学一轮题型全突破（新高考地区专用）
专题01 集合的基本概念
1.元素与集合
（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
（2）集合与元素的关系：若a属于集合A，记作；若b不属于集合A，记作．
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
（4）五个特定的集合及其关系图：
N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．
2.与集合中的元素有关的问题的三种求解策略
(1)研究一个用描述法表示的集合时，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件.
(2)根据元素与集合的关系求参数时要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
(3)集合中的元素与方程有关时注意一次方程和一元二次方程的区别.
题型一 判断是否为同一集合
1．下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．下列集合与集合相等的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列结论正确的有（ ）
①集合，，集合是4的因数，与是同一个集合；
②集合与集合是同一个集合；
③由1，，，，0.5这些数组成的集合有5个元素；
④集合，、是指第二和第四象限内的点集．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
题型二 根据集合相等关系进行计算
4．设a，b∈R，集合P＝{0，1，a}，Q＝{－1，0，－b}，若P＝Q，则a＋b＝（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．2
5．已知、，若，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．或
6．设，集合，则（ ）
A．1 B．－1
C．2 D．－2
题型三 根据元素与集合的关系求参数
7．已知集合，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设集合，若，则的值为（ ）．
A．，2 B． C．，，2 D．，2
9．已知集合，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型四 根据集合中元素的个数求参数
10．已知集合A={x∈N|1A．k≥4 B．k>4 C．k≥8 D．k>8
11．若集合中只有一个元素，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．或
12．已知集合．若中有两个元素，则实数m的不同取值个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型五 利用集合元素的互异性求参数
13．已知集合、集合，且，则下列结论正确的是（ ）
A．有可能 B．
C． D．
14．已知集合，且，则（ ）
A．-1 B．-3或-1 C．3 D．-3
15．设集合，则（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
题型六 利用集合中元素的性质求集合元素个数
16．已知集合，则中的元素个数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
17．已知集合，则A中元素的个数为（　　）
A．9 B．8 C．5 D．4
18．已知集合，，则集合的元素个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
题型七 集合元素互异性的应用
19．若集合中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
20．定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（ ）
A．16 B．18 C．14 D．8
21．由实数所组成的集合，最多可含有（ ）个元素
A．2 B．3 C．4 D．5
22．已知集合，若，则（ ）
A．-1 B．0 C．2 D．3
23．下列元素与集合的关系表示不正确的是（ ）
A． B． C． D．
24．用表示集合A中的元素个数，若集合，，且.设实数的所有可能取值构成集合M，则=（ ）
A．3 B．2 C．1 D．4
25．下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
26．以下五个写法中：①；② ；③；④ ；⑤；正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
27．下列表述正确的是（ ）
A． B． C． D．
28．给出下列关系：
①；②；③；④；⑤，
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
29．已知集合，，则下列说法正确的是（ ）
A．对任意，有 B．对任意，有
C．存在，使得 D．存在，使得
30．已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
31．下列各式中关系符号运用正确的是（ ）
A． B．
C． D．
32．已知集合，则下列选项中说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
33．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
34．已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命题，则a的取值范围是（ ）
A．a≥－3 B．a>－3
C．a≤－3 D．a<－3
35．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
36．下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与非常接近的全体实数
B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．高一年级很有才华的老师
37．若集合，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
38．（多选题）已知集合，则有（ ）
A． B． C． D．
39．下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
40．下列各组对象能构成集合的是（ ）
A．拥有手机的人 B．2020年高考数学难题
C．所有有理数 D．小于的正整数
41．已知全集为，，是的非空子集且，则下列关系一定正确的是（ ）
A．，且 B．，
C．，或 D．，且
三、填空题
42．若集合有且只有一个元素，则的取值集合为__________．
43．已知集合，则实数的取值范围是________．
44．设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2两个元素，Q中含有1，6两个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中，，则中元素的个数是_________．
45．已知集合，若，求实数a的值_______
46．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________．
47．已知集合，若A的子集个数为2个，则实数a＝______.
四、解答题
48．已知全集，集合，．
(1)求；
(2)若且，求实数的值；
(3)设集合，若的真子集共有个，求实数的值．
49．已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，
（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；
（2）若A是空集，求a的取值范围；
（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
50．设集合，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）当时，求的非空真子集个数；
（3）当时，不存在元素使与同时成立，求实数的取值范围.
51．已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
(1)；
(2)恰有一个元素.
52．已知集合其中．
(1)试分别判断，与集合A的关系；
(2)若，，则是否一定为集合A的元素？请说明你的理由．
53．设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集．
(1)当时，写出集合A的生成集B；
(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；
(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由．
参考答案：
1．B【分析】两个集合相等的充要条件是两个集合的元素相同.
【详解】解：对于A选项，点和点不是同一个点，则；
对于B选项，集合和中的元素相同，则；
对于C选项，集合为点集，集合为数集，则；
对于D选项，集合为数集，集合为点集，则.
故选：B.
【点睛】考查集合相等的判断，基础题
2．C【分析】通过确认各个选项中的集合中的元素即可得到结果.
【详解】集合表示数字和的集合.
对于A：集合中的元素代表点，与集合不同，A错误；
对于B：集合中的元素代表点，与集合不同，B错误；
对于C：由得：或，与集合元素相同，C正确；
对于D：表示两个代数式的集合，与集合不同，D错误.
故选：C.
3．A【分析】①整数的因数是指能被整除的整数，②两集合相等是指两集合中元素完全相同，③集合中元素必需满足互异性，④当，或时也适合不等式．
【详解】解：①是4的因数，，，1，2，，所以，所以①错误；
②集合是数集，表示曲线上的点，是一个点集，所以两个集合不是同一个集合，所以②错误；
③，，由1，，，，0.5这些数组成的集合有3个元素，所以③错误；
④当或也满足，所以集合，、是指第二和第四象限内或坐标轴上的点集．所以④错误．
故选：A．
4．A【分析】直接根据集合相等得到，，得到答案.
【详解】，，，则，，.
故选：A.
5．C【分析】根据集合相等则元素相同，再结合互异性，计算即可得解.
【详解】由 且，则，
∴，于是，解得或,
根据集合中元素的互异性可知应舍去，
因此，,
故．
故选：C.
6．C【分析】根据集合相等判断出的值，即可得出答案.
【详解】因为，，所以，则
所以.所以
故选：C
【点睛】本题主要考查了由集合相等求参数的值，属于基础题.
7．C【详解】，，，即，
则实数a的取值范围是，
故选:C.
8．D【分析】由集合中元素确定性得到：，或，通过检验，排除掉.
【详解】由集合中元素的确定性知或．
当时，或；当时，．
当时，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当时，满足集合中元素的互异性，故满足要求；
当时，满足集合中元素的互异性，故满足要求．
综上，或．
故选：D．
9．C【分析】结合元素与集合的关系得到，解不等式即可求出结果.
【详解】由题意可得，解得，
故选：C
10．D【分析】首先确定集合A，由此得到log2k > 3，即可求k的取值范围.
【详解】∵集合A={x∈N|1∴A={2,3}，则log2k > 3，可得k > 8.
故选：D.
11．D【解析】分和两种情况讨论，结合集合中只有一个元素可求得实数的值.
【详解】当时，，合乎题意；
当时，关于的方程有两个相等的实根，则，解得.
综上所述，或.
故选：D.
12．B【分析】由中有两个元素，得到，由此能求出实数的不同取值个数．
【详解】解：集合，1，，，，
中有两个元素，
，解得，
实数的不同取值个数为1．
故选：B．
13．B【分析】由交集结果和集合中元素的互异性可知.
【详解】，，，
若，由集合中元素互异性知：，；
若，同理可知：，；
综上所述：.
故选：B.
14．D【解析】令集合中的元素与分别为-3，求得的值，再利用集合的互异性，进行取舍.
【详解】因为，故：
令，
解得或；
当时，不满足集合的互异性，故舍去；
当时，集合，满足集合互异性，故；
令，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去；
综上所述：，
故选：D.
【点睛】易错点睛：注意集合中元素的互异性，可以对参数的值进行取舍.
15．C【分析】根据集合的互异性，进行分类讨论，然后求解即可
【详解】①当时, ,
则或，
当时，该方程组无解，当时，解得
②当时，，则或.
当时，该方程组无解，当时，解得
③当，即时，显然，则，此时，
当时，该方程组无解，当时，该方程组无解.
综上所述，，或，，故
故选：C
【点睛】本题考查集合的互异性，考查学生的分类思想，属于基础题
16．B【分析】解一元二次不等式化简集合B，再根据已知列出不等式，求解判断作答.
【详解】解不等式得：，即，而，
由解得：，又，显然满足的自然数有9个，
所以中的元素个数为9.
故选：B
17．A【分析】根据为整数，分析所有可能的情况求解即可
【详解】当时，，得，
当时，，得
当时，，得
即集合A中元素有9个，
故选：A．
18．B【分析】先化简集合B，再根据集合，列举求解.
【详解】解：由，解得，
所以．
所以，共有7个元素，
故选：B．
19．D【分析】根据集合元素的互异性即可判断.
【详解】由题可知，集合中的元素是的三边长，
则，所以一定不是等腰三角形．
故选：D．
20．A【分析】由题设，列举法写出集合，根据所得集合，加总所有元素即可.
【详解】由题设知：，
∴所有元素之和.
故选：A.
21．B【解析】把分别可化为，，，，，，根据集合中元素的互异性，即可得到答案．
【详解】由题意，当时所含元素最多，
此时分别可化为，，，
所以由实数所组成的集合，最多可含有3个元素．
故选：B
22．C【分析】根据元素与集合的关系列方程求解即可.
【详解】因为，所以或，
而无实数解，所以.
故选：C.
23．D【解析】根据元素与集合的关系直接判断即可.
【详解】根据元素与集合的关系可得，，，，故D不正确，符合题意.
故选：D.
24．A【分析】根据题设条件，可判断出d（A）的值为1或3，然后研究的根的情况，分类讨论出a可能的取值．
【详解】由题意，，，可得的值为1或3，
若，则仅有一根，必为0，此时a=0，则无根，符合题意
若，若仅有一根，必为0，此时a=0，则无根，不合题意，故有二根，一根是0，另一根是a，所以必仅有一根，所以，解得，此时的根为1或，符合题意，
综上，实数a的所有可能取值构成集合，故．
故选：A．
【点睛】本题考查方程的根的个数的判断以及集合中元素个数，综合性较强，考查了分类讨论的思想及一元二次方程根的个数的研究方法，难度中等．
25．B【分析】根据特定字母表示的具体数集判断元素是否在集合中
【详解】因为﹣1是整数，不是自然数，所以A不正确；
因为0不是正整数，所以B正确；
因为是无理数，不是有理数，所以C不正确；
因为是实数，所以D不正确.
故选：B
26．B【分析】根据元素与集合以及集合与集合之间的关系表示方法作出判断即可.
【详解】对于①：是集合与集合的关系，应该是，①不对；
对于②：空集是任何集合的子集，，②对；
对于③：是一个集合，是集合与集合的关系，，③不对；
对于④：根据集合的无序性可知，④对；
对于⑤：是空集，表示没有任何元素，应该是，⑤不对；
正确的是：②④．
故选：B．
27．C【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系判断即可；
【详解】解：对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故满足，故C正确；
对于D：，故D错误；
故选：C
28．B【解析】利用实数的理论和元素与集合之间的关系即可得出．
【详解】解：（1），正确；
（2）是无理数，，不正确；
（3），正确；
（4），不正确．
（5）∵0是自然数，∴，不正确.
综上可知：正确命题的个数为2．
故选：．
【点睛】本题借助于几个数所属数集的关系，着重考查了集合的元素与集合的关系和大写字母表示数集的含义等知识点，属于基础题．
29．D【分析】根据集合间的关系，全称命题、特称命题的真假判断可得答案.
【详解】由于，，所以，故存在，使得．
故选：D．
30．B【解析】本题可根据得出，然后通过计算以及元素的互异性得出、的值，即可得出结果.
【详解】因为，
所以，解得或，
当时，不满足集合元素的互异性，
故，，，
故选：B.
【点睛】易错点睛：通过集合相等求参数时，要注意求出参数后，检验集合中的元素是否满足互异性，考查计算能力，是中档题.
31．C【分析】根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.
【详解】根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；
根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；
根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.
故选：C.
32．B【分析】根据元素与集合的关系判断选项B，根据集合与集合的关系判断选项A、C、D.
【详解】由题意得，集合．所以，B错误；
由于空集是任何集合的子集，所以A正确；
因为，所以C、D中说法正确．
故选：B．
33．D【分析】先求得集合M，再根据元素与集合的关系，集合与集合的关系可得选项.
【详解】因为集合，所以，
故选：D.
34．D【分析】利用不等式的解法和命题的否定即可得出.
【详解】∵x＋3≥0，∴A＝{x|x≥}，
又∵a∈A是假命题，即aA，∴a<.
故选：D
【点睛】本题考查命题的真假判断与应用、元素与集合的关系，属于基础题.
35．A【分析】根据元素和集合的关系得到答案.
【详解】，则，，，.
故选：.
【点睛】本题考查了元素和集合的关系，属于简单题.
36．B【分析】由集合中元素的性质可直接得到结果.
【详解】对于ACD，集合中的元素具有确定性，但ACD中的元素不确定，故不能构成集合，ACD错误；
B中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B正确.
故选：B.
37．D【解析】由集合的特征判断集合中元素为整数，，结合元素与集合的关系即可判断
【详解】因为，所以中元素全是整数，因为，所以，
故选：D．
【点睛】本题考查元素与集合的关系的判断，属于基础题
38．ACD【分析】先化简集合,再对每一个选项分析判断得解.
【详解】由题得集合，
由于空集是任何集合的子集，故A正确：
因为，所以CD正确，B错误.
故选ACD.
【点睛】本题主要考查集合的化简，考查集合的元素与集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
39．BC【分析】根据、、、表示的数集，结合元素与集合之间的关系即可做出判断.
【详解】由表示自然数集，知，故A正确；
由为无理数且表示有理数集，知，故B错；
由表示正整数集，知，故C错；
由表示整数集，知，故D正确.
故选：BC.
40．ACD【分析】根据集合元素的性质可判断.
【详解】根据集合的概念，可知集合中元素的确定性，可得选项A、C、D中的元素都是确定的，故选项A、C、D能构成集合，但B选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合．
故选：ACD.
41．AB【分析】根据给定条件画出韦恩图，再借助韦恩图逐一分析各选项判断作答.
【详解】全集为，，是的非空子集且，则，，的关系用韦恩图表示如图，
观察图形知，，且，A正确；
因，必有，，B正确；
若，则，此时，，即且，C不正确；
因，则不存在满足且，D不正确.
故选：AB
42．##【分析】讨论集合A中的条件属于一次方程还是二次方程即可求解.
【详解】①若，则，解得，满足集合A 中只有一个元素，所以符合题意；
②若，则为二次方程，集合A有且只有一个元素等价于，解得.
故答案为：.
43．【分析】根据题意可得，解不等式即可得答案；
【详解】，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查集合为空集的概念，属于基础题.
44．4【分析】求得的元素，由此确定正确答案.
【详解】依题意，，
所以共有个元素.
故答案为：
45．## 【分析】根据题意，可得或，然后根据结果进行验证即可.
【详解】由题可知：集合，
所以或，则或
当时，，不符合集合元素的互异性，
当时，，符合题意
所以，
故答案为：
46．3【分析】根据集合与元素的关系，分类求得m的值，然后利用集合元素的互异性检验取舍.
【详解】由题意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，
解得m＝2或m＝0或m＝3，经验证，
当m＝0或m＝2时，
不满足集合中元素的互异性，
当m＝3时，满足题意，
故m＝3.
答案：3
47．1或【分析】由题意可知，方程只有一个解，分和讨论即可求解
【详解】∵集合，且A的子集个数为2个，
∴只有一个实数解，
当时，即时，即为，解得，满足条件；
当时，即时，只有一个实数根，
，解得.
∴实数a的值为1或.
故答案为：1或.
48．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）解出集合、，利用补集的定义可求得；
（2）由已知可得出关于的等式，结合可求得实数的值；
（3）分、两种情况讨论，求出集合，根据集合的真子集个数可求得实数的值.
（1）
解：因为，，
因此，.
（2）
解：若，则或，解得或．
又，所以．
（3）
解：，，
当时，，此时集合共有个真子集，不符合题意，
当时，，此时集合共有个真子集，符合题意，
综上所述，.
49．（1）详见解析；（2）；（3）或【分析】（1）根据方程为一次方程与二次方程分类讨论，对应求解得结果，（2）根据方程无解条件列不等式，解得结果，（3）A中至多只有一个元素就是A为空集，或有且只有一个元素，所以求（1）（2）结果的并集即可.
【详解】（1）若A中只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个实根，
当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x=-，
当a≠0，此时△=4-4a=0，解得：a=1，此时x=-1，
（2）若A是空集，
则方程ax2+2x+1=0无解，
此时△=4-4a＜0，解得：a＞1.
（3）若A中至多只有一个元素，
则A为空集，或有且只有一个元素，
由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥1.
【点睛】本题考查方程的解与对应集合元素关系，考查基本分析求解能力，属基础题.
50．（1）（2）254 （3）【分析】（1）对集合B分空集和非空集两种情况讨论得解；（2）当时，，再求的非空真子集个数；（3）分和两种情况讨论得解.
【详解】（1）当，即时，，满足.
当，即时，要使成立，
只需即.
综上，当时，的取值范围是.
（2）当时，，
∴集合的非空真子集个数为.
（3）∵，且，，
又不存在元素使与同时成立，
∴当，即，得时，符合题意；
当，即，得时，
或解得.
综上，所求的取值范围是.
【点睛】本题主要考查集合的关系和真子集的个数的计算，考查集合的元素和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
51．(1)
(2)
【分析】若，则关于x的方程没有实数解，则，且，由此能求出实数m的取值范围．
若A恰有一个元素，所以关于x的方程恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围．
(1)
若，则关于x的方程没有实数解，
则，且，
所以，实数m的取值范围是；
(2)
若A恰有一个元素，
所以关于x的方程恰有一个实数解，
讨论：当时，，满足题意；
当时，，所以．
综上所述，m的取值范围为．
52．(1)，
(2)，理由见解析
【分析】（1）将，化简，并判断是否可以化为，的形式即可判断关系.
（2）由题设，令，，进而判断是否有，的形式即可判断.
(1)
，即符合；
，即符合.
(2)
．理由如下：
由，知：存在，，，，使得，，
∴，其中，，
∴.
53．(1)
(2)7
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.
（2）设，且，利用生成集的定义即可求解；
（3）不存在，理由反证法说明.
（1）
，
（2）
设，不妨设，
因为，所以中元素个数大于等于7个，
又，，此时中元素个数大于等于7个，
所以生成集B中元素个数的最小值为7.
（3）
不存在，理由如下：
假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集，
不妨设，则集合A的生成集
则必有，其4个正实数的乘积；
也有，其4个正实数的乘积，矛盾；
所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集
【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.
知识归纳
题型分类
强化训练
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