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【题型归纳】2023年高考数学一轮题型全突破（新高考地区专用）
专题02 集合间的基本关系
1.集合间的基本关系
(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A B或B A.
(2)真子集：若A B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA.
(3)相等：若A B，且B A，则A＝B.
(4)空集的性质： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
2.(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．
(2)要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．
(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．
【易错警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
题型一 判断集合的子集（真子集）的个数
1．已知集合，，则的子集个数为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
2．已知集合为质数，则的非空子集个数为（ ）
A．4 B．7 C．8 D．
3．已知集合，则的真子集共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．8个
题型二 求集合的子集（真子集）
4．集合的一个真子集可以为（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合满足，则集合A可以是（ ）
A． B． C． D．
6．符合关系的集合A的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
题型三 判断两个集合的包含关系
7．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
9．已知，，则集合M、N之间的关系为（ ）
A． B．
C． D．
题型四 根据集合的包含关系求参数
10．已知集合， 若， 则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．设集合，集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
题型五 判断两个集合是否相等
13．已知集合，则与集合相等的集合为（ ）
A． B．
C． D．
14．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
15．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型六 根据两个集合相等求参数
16．设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（ ）
A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}
17．已知集合，，若A=B，则a+2b=（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
18．设，则集合，若，则（ ）
A． B． C． D．
题型七 空集的相关问题
19．下列四个集合中，是空集的是（ ）
A． B．
C． D．
20．若集合为空集，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．下列集合中，是空集的是
A． B．
C． D．
22．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
23．已知集合，则的子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
24．已知集合，，若，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
25．已知集合，，若，则（ ）
A． B． C． D．或
26．设集合，，则集合的真子集的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
27．若集合，，满足，则下面选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
28．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
29．若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
30．集合至多有1个真子集，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
31．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
32．已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
33．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
34．已知集合A=，集合，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
35．设全集，若集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
36．对任意A，，记，则称为集合A，B的对称差．例如，若，，则，下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若A，且，则
B．若A，且，则
C．若A，且，则
D．存在A，，使得
37．设：，：.若是的必要不充分条件，则实数可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
38．设集合，则集合的子集个数为________
39．高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，与阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名，高斯函数也应用于生活、生产的各个领域.高斯函数也叫取整函数，其符号表示不超过的最大整数，如：，，定义函数：，则值域的子集的个数为：________．
40．集合的子集个数为______．
41．已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数的取值范围为___________.
四、解答题
42．已知集合，．
(1)当时，求以及；
(2)若，求实数m的取值范围．
43．已知全集，集合，集合．
（1）若，求和；
（2）若，求实数的取值范围．
44．不等式对一切实数x恒成立的k的取值集合为A，集合
(1)求集合A；
(2)若___________，求实数m的取值范围．
在①；②“”是“”的充分条件；③“”是“”的必要条件这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并给出解答．
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一种情况解答给分
45．已知集合，集合.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
46．不等式对一切实数x恒成立的k的取值集合为A，集合
(1)求集合A；
(2)若___________，求实数m的取值范围.
在①“”是“”的充分条件；②“”是“”的必要条件这两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并给出解答.
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一种情况解答给分
47．在①；②“”是“”的充分条件：③“”是“”的必要条件，在这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若________，求实数的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
参考答案
1．B【分析】由交集的运算与子集个数结论求解
【详解】由题意得，所以，
故的子集个数为8．
故选：B
2．B【分析】由题意易知，则可求出答案.
【详解】结合交集的运算易得，共含有3个元素，其非空子集个数为.
故选：B.
3．B【分析】根据交集运算得集合P，再根据集合P中的元素个数，确定其真子集个数即可.
【详解】解：
，的真子集是共3个.
故选：B.
4．C【分析】首先解一元二次不等式，即可求出集合，再根据选项判断即可；
【详解】解：由，即，解得，
所以，所以的一个真子集可以为．
故选：C
5．D【分析】由题可得集合A可以是，.
【详解】，
集合A可以是，.
故选：D.
6．C【分析】由题意一一列举出集合A的情况即可得出答案．
【详解】由题意知：符合关系的集合A可能为，，，，，，，共7个.
故选：C.
【点睛】本题考查满足条件的集合个数的求法，关键是做到不重不漏，是基础题．
7．C【分析】化简集合与，可知中的元素都在中，即得.
【详解】因为，
，
当时，为整数，为奇数，
所以.
故选：C.
8．C【分析】解一元二次不等式求得集合，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】，解得或，
所以.
所以，AB选项错误.
反之不成立，故C选项正确，D选项错误.
故选：C
9．C【分析】解一元二次不等式求集合M，解分式不等式求集合N，即可判断M、N之间的关系.
【详解】由，
由等价于，可得，
所以.
故选：C
10．C【分析】讨论m的取值，写出A，使其满足条件即可.
【详解】时， ， ，，所以 即；
时， ， ，不可能；
时， ，，不可能.
故选：C .
11．D【分析】直接由求解即可.
【详解】由可得.
故选：D.
12．D【分析】求解一元二次不等式解得集合，根据集合的包含关系，列出的不等关系，即可求得结果.
【详解】或，
因为，故可得，即实数的取值范围是.
故选：D.
13．D【分析】求出每个选项的集合，即可比较得出.
【详解】对A，，故A错误；
对B，，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：D.
14．B【分析】解不等式，得到，进而判断两集合的关系.
【详解】，解得：，所以，故，其他选项均不正确.
故选：B.
15．B【分析】根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.
【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；
②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确；
③空集是任意集合的子集，故，正确；
④空集没有任何元素，故，错误；
⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误；
⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；
∴②③正确.
故选：B.
16．C【分析】利用集合相等求解.
【详解】解：因为，
所以，
解得或，
的取值集合为，
故选：C
17．D【分析】根据进行分类讨论，由此求得进而求得.
【详解】由于，
所以
（1），结合集合元素的互异性可知此方程组无解.
（2）解得.
故选：D
18．C【分析】由集合的描述写出集合，根据求，进而可求.
【详解】由题意，得，
∵，
∴仅当时符合题意，故.
故选：C.
19．D【分析】对每个集合进行逐一检验，研究集合内的元素是否存在即可选出.
【详解】选项A，；
选项B，；
选项C，；
选项D，，方程无解，.
选:D.
20．D【分析】题意说明不等式无实解，分类讨论和两种情况．
【详解】由题意不等式无实解，
时，不等式为，不成立，无实解．
时，，解得，
综上，．
故选：D.
【点睛】本题考查不等式恒不成立问题，即不等式无实解．注意要对最高次系数分类讨论．
21．D【详解】试题分析：由于= ，而，所以该集合空集,故选D．
考点：空集的概念．
22．C【分析】先由对数函数的单调性化简集合，再由集合知识判断即可.
【详解】
A错误，B错误，C正确，D错误.
故选：C
23．D【分析】根据集合交集的定义，结合子集个数公式进行求解即可．
【详解】由题意，因此它的子集个数为4．
故选：D．
24．D【分析】解绝对值不等式，再由，利用数轴数形结合求的范围.
【详解】集合，，要使，
则有：.
故选：D.
【点睛】对于区间的包含关系，一般结合数轴辅助求解，要注意边界处等号是否成立.
25．A【分析】根据集合的包含关系可得出关于实数的等式，结合集合元素的互异性可得结果.
【详解】由题意可得或，解得.
故选：A.
26．D【分析】利用交集的定义可得，进而可得其真子集的个数.
【详解】，，
集合，集合的真子集为，，，，，，共有个．
故选：．
27．D【分析】根据交集的结果可知，结合韦恩图即可判断各选项的正误.
【详解】由知：，即A错误，
∴，即B错误；仅当时，即C错误；，即D正确.
故选：D.
28．D【分析】根据绝对值不等式的解法和二次函数的性质，分别求得集合，即可求解.
【详解】由，解得，即，即，
又由，即，
所以.
故选：D.
29．D【分析】理解充分不必要条件的含义；解不等式；理解解集间的关系.
【详解】由题意可得 ，而
则 ，故，
故选：D
30．D【分析】由题意得元素个数，分类讨论求解
【详解】当时，，满足题意，
当时，由题意得，得，
综上，的取值范围是
故选：D
31．D【分析】首先解分式不等式求出集合，再根据补集的定义求出、，再根据集合间解得基本关系判断可得；
【详解】解：由，等价于，解得，
所以，
又，所以，
所以
故选：D
32．C【分析】使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则不等式的解集是的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解.
【详解】解：由得，
因为使不等式成立的任意一个，都满足不等式
则不等式的解集是的子集，
又由得，
当，，符合；
当，，则，，
当，，符合，
故实数的取值范围为.
故选：C.
33．A【分析】先求出集合，再由真子集的定义即可求出答案.
【详解】，所以，所以，
所以，所以 .
故选：A.
34．ACD【分析】由已知可求得，依次判断各选项即可得出结果.
【详解】A=，,.
,A正确，，B错误，,C正确，，D正确.
故选：ACD
35．ABD【解析】首先画出韦恩图，由图判断选项.
【详解】如图所示，当时，，，故AB正确；，故C不正确；，故D正确.
故选：ABD
36．ABD【分析】根据新定义及交、并、补集运算，逐一判断即可．
【详解】解：对于A选项，因为，所以，所以，且B中的元素不能出现在中，因此，即选项A正确；
对于B选项，因为，所以，即与是相同的，所以，即选项B正确；
对于C选项，因为，所以，所以，即选项C错误；
对于D选项，时，，，D正确；
故选：ABD．
37．BD【解析】分别解分式不等式与一元二次不等式，求出成立时对应的的范围，再根据包含关系列不等式求解即可.
【详解】由不等式，解得.
由，得.
因为是的必要不充分条件，
是的真子集，
所以，解得，
故实数的取值范围是，只有B，D满足题意.
故选：BD.
38．16【分析】先化简集合A，再利用子集的定义求解.
【详解】解：，
故A的子集个数为，
故答案为：16
39．8【解析】依题意求出函数的值域，再根据含有个元素的集合含有个子集；
【详解】解：依题意，表示向下取整，即取值均为整数，所以，可以看做在取整数时的函数，由于的最小正周期；
在内，有
所以函数的值域为，故值域的子集的个数为个
故答案为：
【点睛】本题考查集合的子集，含有个元素的集合含有个子集；
40．32【分析】由n个元素组成的集合，集合的子集个数为个.
【详解】解：由题意得，则A的子集个数为．
故答案为：32.
41．【分析】根据必要条件的定义可得到两集合的包含关系，由包含关系可构造不等式组求得结果.
【详解】是的必要条件
，解得：，
即的取值范围为.
故答案为：
42．(1)，
(2)
【分析】（1）解不等式求出集合，根据集合的交并补运算可得答案；
（2）由集合的包含关系可得答案.
（1）
，
当时，，∴，
，，
∴.
（2）
由题可知，
所以，
解得，
所以实数m的取值范围为.
43．（1）或；；（2）.【分析】（1）先化简集合A，再分别利用集合的补集和交集运算求解.
（2）根据，利用子集的定义求解.
【详解】（1）因为全集，集合，
所以或；
当时，集合，
所以.
（2）因为，
所以，
解得，
所以实数的取值范围是．
44．(1)
(2)
【分析】（1）由不等式对一切实数恒成立，分和两种情况讨论，当时可得，再求解即可；
（2）选①②③都有，即在恒成立，得不等式组，再求解即可.
(1)
解：当时，显然恒成立，
当时不等式对一切实数都成立，
则，解得，综上可得，
(2)
解：若选①，则，又，
即在上恒成立，
令，则，
解得，
所以的取值范围为；
选②“”是“”的充分条件，则有，同理得的取值范围为 ；
选③“”是“”的必要条件，则有，同理得的取值范围为；
45．(1)
(2)
【分析】（1）根据集合交集的定义进行求解即可；
（2）根据子集的性质进行求解即可.
(1)
当时，，∵，∴.
(2)
当，即时，，此时成立，符合题意，
当，即时，由，且，可得，解得，
综上所述：实数的取值范围是.
46．(1)
(2)
【分析】（1）当时，显然成立；当时由求解即可；
（2）由题设得，即在上恒成立，由解出m的取值范围即可.
(1)
当时，显然恒成立，当时不等式对一切实数x都成立，
则，解得，综上可得；
(2)
选①②都有又，即在上恒成立，
令，则，解得，所以m的取值范围为；
47．(1)
(2)
【分析】（1）首先解一元二次不等式得到集合，再求出集合，最后根据交集的定义计算可得；
（2）根据所选条件均可得到，即可得到不等式，解得即可；
(1)
解：由，解得，所以，当时，，所以
(2)
解：若选①，则，所以，解得，即；
若选②“”是“”的充分条件，所以，所以，解得，即；
若选③“”是“”的必要条件，所以，所以，解得，即；
知识归纳
题型分类
强化训练
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