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专题08 等高线问题
一、单选题
1．（2021·陕西·千阳县中学模拟预测（理））已知函数，若方程的个不同实根从小到大依次为，，，，有以下三个结论：①且；②当时，且；③．其中正确的结论个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
绘制出函数与有四个交点的图像，然后依次判断三个结论的对错即可.
【详解】
由题绘制函数如图所示，
可知函数的图象关于直线对称，
又，可得且，
故结论①正确，
当时，由解得，
即或，解得，，，，
此时和均成立，
故结论②正确，
由图可知，
则由得，
解得，即，
同理可得，
由①有，，
则，
解得，
则结论③正确.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了函数图像的绘制，方程根与函数图像交点横坐标之间的关系，属于中档题.
2．（2021·江苏省天一中学高三月考）已知函数，若方程有3个不同的实根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求导函数，由导函数确定函数的单调性，极值，函数的变化趋势，得出有3个不等实根时的范围，同时可得出中间根的范围，然后化简，引入新函数，再用导数求得函数的值域．
【详解】
，当或时，，时，，
所以在和上都递增，在上递减，
极大值，极小值，
当时，，时，，
所以当时，有三个不同的实根，
设3个不同的实根为，则，．
，
设，则，
时，，递减，时，，递增，
所以，又，，
所以的取值范围是，即为的取值范围．
故选：A．
【点睛】
本题考查用导数研究方程根的问题，用导数求函数的值域．解题关键是用导数确定出函数的极值后，要得出方程有3个根的范围时还需确定函数的变化趋势，本题中不是说在极大值和极小值之间方程就有3个根的，需确定函数的变化趋势才能得出正确结论，这也是易错的地方．
3．（2021·浙江·高一单元测试）已知函数，其中，若方程有四个不同的实根、、、，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
作出函数的图象，求出的取值范围，利用韦达定理求得的值，求出、关于的表达式，可得出，再利用函数的单调性结合不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】
由，可得，，可得，即，
所以，，作出函数的图象如下图所示：
因为方程有四个不同的实根，则，解得，
由已知可得、是方程的两根，则，
满足，可得，
满足，可得，
因此，，
当时，随着的增大而增大，则，
因此，.
故选：B.
4．（2021·山东烟台·高三期末）已知函数，若方程有个不同的实根，从小到大依次为，，，…，，则下列说法错误的是（ ）
A． B．当时，
C．当且时， D．当时，
【答案】D
【分析】
令，判断的奇偶性，即可判断选项A；利用分段函数的解析式得到是函数的一个零点，利用为偶函数，只需研究的情况，作出函数和的图像，数形结合判断选项B、C、D.
【详解】
令，则，所以为偶函数，所以零点关于对称，则所有的零点之和为0，故A正确；
因为，所以，所以是函数的一个零点，
由上述过程可知，为偶函数，故只需研究的情况即可，
当时，令，即，作出函数和的图像，
观察可知，当时，与至少有一个交点，即至少有3个根，不符合n=1；
当时，图中直线为临界值，设其斜率为，此时与相切，
若，则n=1，
若，则n至少为3；
再作出斜率的直线，观察与的位置关系可知，，
所以n=1时，，故B正确；
当且时，即为B选项中讨论的，此时直线与相切，
设切点，则有3个不同的实数根，
的导数为，故有，消去k得：，所以
，故C正确；
作出如图示的和，其中和相切，的斜率为，
设的斜率为，则.
当时，即，与有3个交点，此时n=7；
当时，与有2个交点，此时n=5；
当时，与有1个交点，此时n=3；
故D错误.
故选：D.
【点睛】
判断函数有零点(方程有根)的常用方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
5．（2021·四川省新津中学高一开学考试）已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
作出函数图象，根据图象关系，得出，，即可求解的取值范围.
【详解】
作出函数的图象，如图所示：
方程有四个不同的实根，，，，满足，
则，
即：，所以，
，所以，根据二次函数的对称性可得：，
，
考虑函数单调递增，
，
所以时的取值范围为.
故选：A
【点睛】
此题考查函数零点的综合应用，涉及分段函数，关键在于根据对数函数和二次函数的图象性质找出零点的等量关系，构造函数关系求解取值范围.
6．（2021·河北·沧州市一中高一开学考试）已知函数，若方程有4个不同的实根，且，则
A．12 B．16 C．18 D．20
【答案】D
【分析】
根据函数图象的翻折，做出图象，寻找出相对应的关系
【详解】
可以画出如上图的图象，由性质可知：
，
，
故选择D.
【点睛】
本题是一道函数及其图象的综合性考题，难度很大，该类型考题首先考查利用函数的平移、伸缩、翻折得出复杂函数的图象，并根据跟的分布得出对应交点横坐标的关系，而不是蛮干.
7．（2021·重庆市第七中学校模拟预测）已知函数，若方程有四个不等实根，时，不等式恒成立，则实数的最小值为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
画出函数f（x）的图象，结合对数函数的图象和性质，可得x1 x2＝1，x1+x22，（4﹣x3） （4﹣x4）＝1，且x1+x2+x3+x4＝8，则不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，可化为：k
恒成立，求出的最大值，可得k的范围，进而得到实数k的最小值．
【详解】
函数f（x）的图象如下图所示：
当方程f（x）＝m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，
|lnx1|＝|lnx2|，即x1 x2＝1，x1+x22，
|ln（4﹣x3）|＝|ln（4﹣x4）|，即（4﹣x3） （4﹣x4）＝1，
且x1+x2+x3+x4＝8，
若不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，
则k恒成立，
由[（x1+x2）﹣48]≤2
故k≥2，
故实数k的最小值为2，
故选C．
【点睛】
本题考查的知识点是分段函数的应用，对数函数的图象和性质，函数的最值，函数恒成立问题，综合性强，转化困难，属于难题．
8．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，方程有四个不同根，，，，且满足，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
作出函数的图象，可得出当直线与函数的图象有四个交点时的取值范围，求出实数的取值范围，将代数式转化为关于的函数，利用双勾函数的基本性质求出的取值范围.
【详解】
作出函数图像可得，从而得，且，从而得，所以，令则，在上递增，所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数零点的取值范围，解题时要充分利用图象的对称性以及对数的运算性质，并将所求代数式转化为以某个变量为自变量的函数，转化为函数值域求解，考查化归与转化思想、函数方程思想的应用，属于中等题.
9．（2021·江西·九江一中高二开学考试）已知f(x)＝ 若关于x的方程有四个实根（其中x1A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题画出函数的图象，利用数形结合可得.
【详解】
关于x的方程有四个实根,则与有四个交点，横坐标为，
则且，即，
∴，
令，
则，所以在上单调递减，
∴，
即的取值范围为.
故选：D.
10．（2021·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数的图象关于对称，当时，，若方程有四个不等实根，，，时，都有成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
作出函数的图象，如图，作直线，由此可得，，，的关系及范围，而不等式可转化为，令，求出范围，并把变成的函数，由导数求出它的范围，从而得的范围．
【详解】
作出函数的图象，如图，作直线，它与图象的四个交点的横坐标依次为，，，，
因为函数的图象关于对称，所以，
，即，且，
显然，不等式变形为，
，
，
所以，
由勾形函数性质知在时是增函数，所以，
令，则，，，
当时，，单调递减，所以，
所以，即的最小值是．
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：本题考查方程的根函数零点问题，解题方法是数形结合思想，作出函数图象，及相应直线，通过两者交点观察出方程根的性质，范围，不等式就可参数分离变形为，再利用刚才的关系范围求出不等式右边的式子的取值范围即可得．
11．（2021·江西师大附中高一期末）已知，若关于x的方程有四个不相等的实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
画出函数的图象，可看作与有四个不同的交点，结合两段函数图象分别与有2个交点可得交点的范围，再利用基本不等式可得答案.
【详解】
，
，
由函数的图象可知方程有四个不同的实根时，
设与的交点的横坐标为，
设，则，且，，
设与交点的横坐标为，则，
由得，，
，
.
故选：D.
【点睛】
本题考查了方程实根问题，关键点是转化为函数图象交点问题，利用数形结合得到的范围，考查了学生分析问题、解决问题的能力及数形结合的思想.
12．（2021·福建·仙游一中高一期末）定义在上函数，若关于的方程(其中)有个不同的实根，，…，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
化简，得及，作出函数图像，数形结合可知，有五个根，且，代入解析式即可求解出.
【详解】
由，得.
或及，函数图像如图所示，由图可知，共有五个根，，，，，且，和关于对称，和关于对称，所以为，.
故选：A.
【点睛】
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
13．（2021·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知函数（其中是自然对数的底数），若关于的方程恰有三个不等实根，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设，则根据题意得必有两个不相等的实根，不妨设，故，再结合的图象可得，，，进而，再构造函数，研究函数的最值即可得答案.
【详解】
由题意设，根据方程恰有三个不等实根，
即必有两个不相等的实根，不妨设
，则，
作出的图象，函数与三个不等实根，且，
那么，可得，，
所以，
构造新函数
当时，在单调递减；
当时，在单调递增；
∴当时，取得最小值为，即的最小值为；
故选：A
【点睛】
本题考查复合函数与分段函数的应用，同时考查导数的综合应用及最值问题，应用了数形结合的思想及转化构造的方法，是难题.本题解题的关键在于设，进而，，再结合的图像可得，，，将问题转化为求函数的最值问题.
14．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，若关于的方程恰有两个不等实根，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
作函数的大致图象如下，结合图象可得，有，令，求导函数，分析导函数的正负，得出所令函数的单调性，求得最值得选项．
【详解】
作函数的大致图象如下，结合图象易知，使得，，，
故，
令，则，令，则，当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
∴，∴，
故选：D.
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
15．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．在区间上是增函数
B．
C．若方程恰有个实根，则
D．若函数在上有 6个零点，则
【答案】C
【分析】
作出函数的图象，根据函数为周期为 的函数，可判定A错误；根据函数为周期为的函数，求得，可判定B错误；由直线 恒过定点，结合的图象和函数 的图象有三个交点，可判定C正确；由，关于直线 对称，关于直线对称，可判定D错误.
【详解】
由题意，作出函数的图象，如图所示，
对于A中，当，若，即，
可得，
当时，为周期为的函数，作出 在区间的函数，
可知在区间上先增后减，所以A错误；
对于B中，因为时，函数为周期为的函数，
又由，所以， ，
所以，所以B错误；
对于C中，直线恒过定点，
函数的图象和函数的图象有三个交点，
当，设与相切于点 ，则，解得 ，
当，根据对称性可知，当与 相切时，，则，即 ，
综上可得，当函数的图象和函数的图象有三个交点时， ，
所以C正确．
对于D中，又由函数在上有6 个零点，
故直线与在 上由6个交点，
不妨设，
由图象可知关于直线对称， 关于直线对称，
关于直线对称，所以 ，所以D错误.
故选：C.
【点睛】
利用函数的图象求解方程的根的个数问题的策略：
1、利用函数的图象研究方程的根的个数：当方程与基本性质有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数与 轴的交点的横坐标，方程的根据就是函数 和图象的交点的横坐标；
2、利用函数研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
16．（2021·上海市实验学校高三月考）已知，方程有三个实根，若，则实数
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
判断f（x）与2 的大小，化简方程求出x1、x2、x3的值，根据得x3﹣x2＝2（x2﹣x1）得出a的值．
【详解】
由1﹣x2≥0得x2≤1，则﹣1≤x≤1，，
当x＜0时，由f（x）＝2，即﹣2x＝2．
得x2＝1﹣x2，即2x2＝1，x2，则x，
①当﹣1≤x时，有f（x）≥2，
原方程可化为f（x）+2f（x）﹣22ax﹣4＝0，
即﹣4x﹣2ax﹣4＝0，得x，由﹣1
解得：0≤a≤22．
②当x≤1时，f（x）＜2，原方程可化为42ax﹣4＝0，
化简得（a2+4）x2+4ax＝0，解得x＝0，或x，
又0≤a≤22，∴0．
∴x1，x2，x3＝0．
由x3﹣x2＝2（x2﹣x1），得 2（），
解得a（舍）或a．
因此，所求实数a．
故选B．
【点睛】
本题主要考查函数与方程的应用，根据分段函数的表达式结合绝对值的应用，确定三个根x1、x2、x3的值是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
17．（2021·全国·高二专题练习）已知函数，若关于的方程有两个不等实根，且，则的最小值是（）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】
先判断出函数的奇偶性和单调性，令，根据题意结合函数的图象，得到仅在上有一解，再根据的解析式求出，得到，然后构造函数，利用导数即可求出函数的最小值．
【详解】
由函数的定义域为，且，所以函数为奇函数．
考虑函数在上的单调性，由于，
当时，，可得；
当时，，，所以，
即当时，总有，
故函数在上单调递增，而函数为奇函数，即函数在R上递增，
令，作出函数的图象，如图所示：
由图以及题意可知，仅在上有一解，即，
由，解得，即有，
设，可得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递减增，
所以.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查函数的性质奇偶性和单调性的应用，方程的根与两函数的图象的交点之间的关系应用，以及
利用导数求函数的最值，意在考查学生的转化能力，直观想象能力和数学运算能力，属于中档题．
18．（2021·黑龙江·嫩江市高级中学高三月考（文））已知函数，若关于的方程恰好有4个实根，，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意，作出函数的图象，利用方程恰好有4个实根，可得，设，进而可得，可得，故可得结论.
【详解】
由题意，函数，则函数的图象为：
由图象可知，方程恰好有4个实根，则实数，
设，则为方程的两个实根，故，
由，即，即，
所以，，而，
故的取值范围为.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力，分析能力，属于基础题.
19．（2021·重庆市永川北山中学校高一期末）已知函数的定义域为R，若关于x的方程有5个不同的根，则的值为（ ）
A． B．16 C．5 D．15
【答案】D
【分析】
根据函数解析式画出图像，结合方程根的情况，判断函数交点情况，从而求得参数的值，进而求得交点横坐标，从而解决问题.
【详解】
由函数解析式作出函数图像如下：
由方程有5个不同的根知，必有一个解为1，
即，
则，
则方程另一个解为，设
则，
故
故选：D.
【点睛】
方法点睛：数形结合找到方程有5个不同根对应的交点情况，然后求得参数值.
20．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，若关于的方程有四个不等根，则的值是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【分析】
先利用方程求出，再利用奇偶函数的定义判断出函数为奇函数，结合题意利用奇函数的性质分析求解即可得到答案．
【详解】
由方程可得，
因为函数，
设，则，则，
所以为奇函数且，，，是的根，
所以，
不妨有，，
所以．
故的值是0．
故选：．
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是要读出题目函数为奇函数，然后再运用奇函数的性质获解，函数问题，要多思考函数的性质.
21．（2021·河南·高三月考（理））已知函数（），其中，若方程恰好有3个不同解，，（），则与的大小关系为（ ）
A．不能确定 B． C． D．
【答案】A
【分析】
先求出，得到（极大值），（极小值），（极大值），（极小值）．再分三种情况讨论结合数形结合分析得解.
【详解】
，．
当时，，
即，
当时，，
若，则，；
若，则，，
又，∴，
又（极大值），（极小值），（极大值），
（极小值）．
要使恰好有3个不同解，结合图象得：
①当，即时，得，不存在这样的示数．
②当，即时，解得，
此时，又因为与关于对称，
∴，∴．
③当，即时，解得．
此时，，是方程的两实根，
所以，而，所以.
故选：A．
【点睛】
方法点睛：研究函数的零点问题常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数得到分析函数的图象即得解）. 数形结合是高中数学的一种重要数学思想，要注意灵活运用，提高解题效率.
22．（2021·内蒙古·赤峰二中模拟预测（理））已知函数，若关于的方程恰有两个不同解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由函数图像可得，，，，，构造函数，对函数求导，进而求出取值范围.
【详解】
如图，因为的两根为，所以，，，从而．
令，，则，．
因为，所以，，，
所以在上恒成立，从而在上单调递增．
又，，所以，
即的取值范围是．
故选：D
【点睛】
关键点点睛：结合函数图像得出，，，把所求转化为求函数值域问题是本题的关键.本题考查了运算求解能力、转化的数学思维和逻辑推理能力，属于难题.
23．（2020·宁夏大学附属中学高三月考（理））已知函数，若关于x的方程有四个不同实数解，且，则的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
作出函数图象，由图象得出函数单调性，再作直线，由直线与函数图象交点得满足的性质，再求得其范围．
【详解】
作出函数的图象，如图，作直线，当时，直线与函数图象有四个交点，由图象知，，即，，
，，所以，
所以，由对勾函数性质知函数在上是减函数，所以时，．
故选：A．
【点睛】
本题考查方程解的问题，解题方法是把方程的解转化为直线与函数图象交点问题，作出函数图象与直线，利用数形结合思想得出解具有的性质，然后再求解.
24．（2019·江西·南昌县莲塘第一中学高一月考）已知函数，若方程
有四个不同解，且，则的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
试题分析：作的图象，易知是图象的一个对称轴，最大值为2，所以，又，则，所以，，
．显然是减函数，因此当时，．故选A．
考点：函数与方程．
【名师点睛】本题考查函数与方程．在解决与方程根有关问题，常常把方程的根转化为函数图象交点（特别是一个函数的图象与一条直线的交点），在方程含有参数时，利用它们相交的情况可以确定交点个数即方程根的个数，在方程不含参数（象本题）要讨论根的范围时，由图象可以很快估计出其中根的范围，根的关系，如，，等等，从而有助于问题的解决．
25．（2021·江西上饶·高一期末）已知函数，若方程有四个不同的实数解，，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
画出函数的图象，根据题中条件，结合图形，得出，，化所求式子为，再确定的范围，构造函数，（），判定其单调性，由单
调性求出值域，即可得出结果.
【详解】
作出函数的图象如下：
因为方程有四个不同的解，，，，且，
所以有，，
故，
再由可得或，即，
令，（），
任取，则，，
所以，即，
所以函数在上单调递减，
又，，所以.
即的取值范围是.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：
已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
二、填空题
26．（2021·湖北·高一期中）已知函数，若当方程有四个不等实根，，，时，若不等式恒成立，则实数k的取值范围是______．
【答案】
【分析】
依题意画出函数图象，结合对数函数的图象和性质，可得，，且，则不等式恒成立，可化为：恒成立，令，根据二次函数的性质得到实数的取值范围．
【详解】
解：函的图象如右图所示：
当方程有四个不等实根，，时，
由，即，，且，
不等式恒成立，则恒成立
令，，，
则，
，，故为所求．
故答案为：
27．（2021·全国全国·模拟预测）已知函数，，若方程有4个不同的实根，，，，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】
先做出函数，的大致图象，利用图像的对称性得到， ，
再由得，，所以．
规定函数设，利用导数判断单调性，求出的取值范围
【详解】
作出，的大致图象如图所示，
由，的图象都关于直线对称可得，，
由得，，
所以．
设，则，
所以在上单调递增，的取值范围是．
故答案为：
【点睛】
（1）与对称有关的常用结论：
①若点，关于直线对称，则；
②若的图象关于直线对称，则；
③若，则的图象关于直线对称；
④若，则的图象关于点对称．
（2）数形结合法解决零点问题：①零点个数：几个零点；②几个零点的和；③几个零点的积 .
28．（2021·全国·高一专题练习）已知函数．若存在正实数，使得方程有三个互不相等的实根，，，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】
分离参数可得，做出的函数图象，根据二次函数的对称性求出的值，并求出的范
围即可得出答案．
【详解】
由可看到，
令，
作出的函数图象如图所示：
有三个不相等的实数根，，，
直线与的图象有三个交点，
设三个交点的横坐标从小到大分别为，，，
由二次函数的对称性可知，
令可得或（舍，
，．
即的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】
结论点睛：函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.
29．（2021·山西·太原五中高三月考（理））已知函数，若方程有四
个不等的实根，，，，则的取值范围是______.
【答案】（10，12）
【分析】
作出函数的图像，设，可得，，且，则，得出答案.
【详解】
作出函数的图像，设，如图.
方程有四个不等的实根，则
所以为在上与的两个交点的横坐标.
由，即，
所以，即，所以
为在上与的两个交点的横坐标.
所以
当时的两个实数根为 ，则
则，且
所以
故答案为：
【点睛】
关键点睛：本题考查利用数形结合解决方程的根的个数的相关问题，解答本题的关键是由，即，得到，以及，属于中档题.
30．（2021·全国·高三专题练习（理））函数.若关于的方程 有且只有两个不相等的实根，，则的值是_________.
【答案】
【分析】
根据解析式画出函数图像，由题意，得到函数与有两个不同交点，结合图像，即可求出结果.
【详解】
画出的图像如下，
因为有且只有两个不等实根，
即函数与有两个不同交点，
由图像可得，，
所以，，关于直线对称，
则.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查求方程根的和，根据数形结合的方法求解即可，属于常考题型.
31．（2021·河南郑州·高二期末（文））已知函数有五个不同的零点，且所有零点之和为，则实数的值为______．
【答案】
【分析】
将换为，可得，则的图象关于直线对称，由题意可得，解得，再由，根据对称性得，代入求得的值．
【详解】
解：函数，
将换为，可得，
则的图象关于直线对称，则中间的一个零点为
由所有零点之和为，
则可得，解得，
则，
由的图象关于直线对称，
可得有个一零点为，即，
得，解得.
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：本题关键点为利用函数的对称性，利用对称性及零点的和求出的值，从而得出有一个零点为，代入即可求得所求结果.
32．（2021·福建·福州四中高一期末）已知函数，若有5个零点，则这五个零点之和的取值范围是____________．
【答案】
【分析】
根据题意，作出函数的图象，将函数的零点转化为交点问题解决，得到零点之间的关系以及范围，得到结果.
【详解】
作出函数的图象，
则的零点相当于直线与的交点的横坐标，
欲使有五个零点，则，
设此五个零点从小到大依次为，
由和的对称性可知，
而，因此这五个零点之和取值范围是，
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：该题考查的是有关函数零点的问题，解题方法如下：
（1）在同一坐标系中画出的图象以及直线；
（2）将函数的零点转化为直线与的交点的横坐标来研究；
（3）根据的图象与直线有五个交点时直线所处的位置，得到相应的范围；
（4）根据图象的对称性以及，得到结果.
33．（2021·天津市第四十七中学高三月考）已知函数，（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程恰有三个不等实根，且，则的最大值
为___________.
【答案】
【分析】
设，则根据题意得必有两个不相等的实根，不妨设，故，，再结合的图象可得，，，进而，再构造函数，分析函数的单调性，求得最大值.
【详解】
由题意设，根据方程恰有三个不等实根，
即必有两个不相等的实根，不妨设
，则，
方程或有三个不等实根，且，
作出图象如图所示：
那么，可得，，
所以，
构造新函数，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以,
所以的最大值为.
故答案为：.专题08 等高线问题
一、单选题
1．（2021·陕西·千阳县中学模拟预测（理））已知函数，若方程的个不同实根从小到大依次为，，，，有以下三个结论：①且；②当时，且；③．其中正确的结论个数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·江苏省天一中学高三月考）已知函数，若方程有3个不同的实根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·浙江·高一单元测试）已知函数，其中，若方程有四个不同的实根、、、，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·山东烟台·高三期末）已知函数，若方程有个不同的实根，从小到大依次为，，，…，，则下列说法错误的是（ ）
A． B．当时，
C．当且时， D．当时，
5．（2021·四川省新津中学高一开学考试）已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·河北·沧州市一中高一开学考试）已知函数，若方程有4个不同的实根，且，则
A．12 B．16 C．18 D．20
7．（2021·重庆市第七中学校模拟预测）已知函数，若方程有四个不等实根，时，不等式恒成立，则实数的最小值为
A． B． C． D．
8．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，方程有四个不同根，，，，且满足，则的取值范围是
A． B． C． D．
9．（2021·江西·九江一中高二开学考试）已知f(x)＝ 若关于x的方程有四个实根（其中x1A． B． C． D．
10．（2021·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数的图象关于对称，当时，，若方程有四个不等实根，，，时，都有成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·江西师大附中高一期末）已知，若关于x的方程有四个不相等的实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·福建·仙游一中高一期末）定义在上函数，若关于的方程(其中)有个不同的实根，，…，，则
（ ）
A． B． C． D．
13．（2021·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知函数（其中是自然对数的底数），若关于的方程恰有三个不等实根，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，若关于的方程恰有两个不等实根，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．在区间上是增函数
B．
C．若方程恰有个实根，则
D．若函数在上有 6个零点，则
16．（2021·上海市实验学校高三月考）已知，方程有三个实根，若，则实数
A． B． C． D．
17．（2021·全国·高二专题练习）已知函数，若关于的方程有两个不等实根，且，则的最小值是（）
A．2 B． C． D．
18．（2021·黑龙江·嫩江市高级中学高三月考（文））已知函数，若关于的方程
恰好有4个实根，，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．（2021·重庆市永川北山中学校高一期末）已知函数的定义域为R，若关于x的方程有5个不同的根，则的值为（ ）
A． B．16 C．5 D．15
20．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，若关于的方程有四个不等根，则的值是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
21．（2021·河南·高三月考（理））已知函数（），其中，若方程恰好有3个不同解，，（），则与的大小关系为（ ）
A．不能确定 B． C． D．
22．（2021·内蒙古·赤峰二中模拟预测（理））已知函数，若关于的方程恰有两个不同解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．（2020·宁夏大学附属中学高三月考（理））已知函数，若关于x的方程有四个不同实数解，且，则的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
24．（2019·江西·南昌县莲塘第一中学高一月考）已知函数，若方程有四个不同解，且，则的取值范围为
A． B． C． D．
25．（2021·江西上饶·高一期末）已知函数，若方程有四个不同的实数解，，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
26．（2021·湖北·高一期中）已知函数，若当方程有四个不等实根，，，时，若不等式恒成立，则实数k的取值范围是______．
27．（2021·全国全国·模拟预测）已知函数，，若方程有4个不同的实根，，，，则的取值范围是______．
28．（2021·全国·高一专题练习）已知函数．若存在正实数，使得方程有三个互不相等的实根，，，则的取值范围是__________．
29．（2021·山西·太原五中高三月考（理））已知函数，若方程有四个不等的实根，，，，则的取值范围是______.
30．（2021·全国·高三专题练习（理））函数.若关于的方程 有且只有两个不相等的实根，，则的值是_________.
31．（2021·河南郑州·高二期末（文））已知函数有五个不同的零点，且所有零点之和为，则实数的值为______．
32．（2021·福建·福州四中高一期末）已知函数，若有5个零点，则这五个零点之和的取值范围是____________．
33．（2021·天津市第四十七中学高三月考）已知函数，（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程恰有三个不等实根，且，则的最大值为___________.

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