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匀变速直线运动的位移与时间的关系
学习目标
1．理解匀变速直线运动的v-t图像所围面积与
其位移的对应关系，并能由面积求其位移
2．理解公式的特点，掌握公式的应用方法
3．会推导速度与位移的关系，理解公式特点，掌握公式的应用方法
预习案
知识清单
1．匀速直线运动的位移
（1）做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x=__________．
（2）做匀速直线运动的物体，其v-t图像是一条平行于__________的直线，其位移在数值上等于v-t图线与对应的时间轴所包围的矩形的__________．如图所示．
2．匀变速直线运动的位移
（1）位移在v-t图像中的表示：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v-t图像中的图线和__________包围的面积．如图所示，在0~t时间内的位移大小等于__________的面积．
（2）位移公式：x=__________．
①公式中x、v0、a均是__________，应用公式解题应先根据正方向明确它们的正负值．
②当v0=0时，，表示初速度为零的匀加速直线运动的__________与时间的关系．
3．位移—时间图像
（1）匀速直线运动的x-t图像为一条__________的直线，静止物体的x-t图像为一条__________的直线．
（2）x-t图像的物理意义：描述了物体的__________随时间的变化关系．
（3）x-t图像的斜率等于物体的__________．
4．在匀变速直线运动中，将速度公式v=v0+at和位移公式联立，消去时间t即可得到速度和位移的关系式：____________________．若物体初速度v0=0，则上述公式可写为____________________．
5．如果所求匀变速直线运动的问题中，已知量和未知量都不涉及__________，利用位移和速度的关系来求解，往往会使问题的求解变得简单、方便．
自我检测
思考辨析
1．判断：在匀变速直线运动中，位移的大小和路程相等．（ ）
2．判断：x-t图像描述物体相对于出发点的位移随时间的变化情况．（ ）
3．判断：能通过x-t图像得出对应时刻物体所在的位置．（ ）
4．判断：因为，，所以物体的末速度v一定大于初速度v0．（ ）
探究案
情景探究
由做匀速直线运动物体的v-t图像可以看出，在时间t内的位移x对应图中着色部分的矩形面积．那么，做匀变速直线运动的物体，在时间t内的位移与时间会有怎样的关系？
课堂探究
探究1 匀变速直线运动的位移公式的理解
核心归纳
1．公式推导过程中的微分与极限思想
在推导位移公式过程中，将梯形分割成许多份，每一份用矩形面积表示，这就是物理学中常用的微元方法，即微分思想；当n的取值趋向于无穷大时，也就是把梯形无限细分，所有矩形面积的和就趋近于梯形的面积，即矩形面积总和的极限等于梯形面积．这就是物理学中常用的极限方法．
特别提醒
（1）对于任何形式的直线运动的v-t图像中图线与时间轴所围的“面积”都等于物体的位移．
（2）如果一个物体的v-t图像如图所示，图线与t轴围成两个三角形，面积分别为x1和x2，此时x1<0，x2>0，则0~t2时间内的总位移x=|x2|-|x1|或x=x1+x2．若x>0，位移为正；若x<0，位移为负．
（3）位移公式是矢量式，因为v0、a、x均为矢量，使用公式时应先规定正方向．一般以v0的方向为正方向．
（4）应用位移公式解决问题的一般步骤
①选择研究对象，分析运动是否为匀变速直线运动，并选择研究过程．
②分析运动过程的初速度v0以及加速度a和时间t、位移x，若有三个已知量，就可用求第四个物理量．
③规定正方向（一般以v0方向为正方向），判断各矢量的正负代入公式计算．
典型例题
例1 一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下（斜面足够长），已知小球在第4 s末的速度为4 m/s．求：
（1）第6 s末的速度大小；
（2）前6 s内的位移大小；
（3）第6 s内的位移大小．
思路分析：先根据已知条件利用速度公式求出加速度，再分别求解．
尝试解答
方法点拨
（1）分析已知条件，综合运用匀变速直线运动的速度公式和位移公式求解问题．
（2）注意区别前6 s内的位移和第6 s内的位移，第6 s内的位移是前6 s内的位移与前5 s内的位移之差．
拓展练习
1．以36 km/h的速度行驶的汽车，刹车后做匀减速直线运动，若汽车在刹车后前2 s内的位移是16 m，求：
（1）刹车后物体的加速度大小；
（2）刹车后6 s内的位移是多少．
探究2 对x-t图像和v-t图像的理解
核心归纳
x-t图像和v-t图像的比较
比较项图像 x-t图像 v-t图像
典型图像
图线上的点 对应某一时刻物体所处的位置 对应某一时刻物体的速度
线段 可求物体在某段时间内发生的位移 可求物体在某段时间内速度的变化量
斜率 对应物体运动的速度 对应物体运动的加速度
图像中各图线的交点 同一时刻各物体处于同一位置 同一时刻各物体运动的速度相同
纵轴截距 初位置 初速度
与时间轴所围面积 无意义 位移
特别提醒
（1）x-t图像中，“x的正负”表示位移方向的正负；斜率的正负表示速度方向的正负．
（2）v-t图像中，“v的正负”表示速度方向的正负；斜率的正负表示加速度方向的正负．
典型例题
例2 （多选）如图所示，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移—时间（x-t）图像．由图可知（ ）
A．在时刻t1，a车追上b车
B．在时刻t2，a、b两车运动方向相反
C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减小后增加
D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大
思路分析：注意图像中坐标与斜率的意义．
尝试解答
方法点拨
x-t图像反映物体相对坐标原点的位移大小，斜率反映运动的快慢及方向．
拓展练习
2．某一直线运动物体的v-t图像如图所示，根据图像求：
（1）物体距出发点最远的距离；
（2）前4 s物体的位移；
（3）前4 s物体通过的路程．
探究3 对速度与位移关系式的理解
核心归纳
1．速度与位移的关系式为矢量式，应用它解题时，一般先规定初速度v0的方向为正方向．
（1）物体做加速运动时，a取正值，做减速运动时，a取负值．
（2）x>0，说明位移的方向与初速度的方向相同；x<0，说明位移的方向与初速度的方向相反．
2．适用范围：匀变速直线运动．
3．公式特点：关系式中未涉及时间t．
典型例题
例3 某航母跑道长200 m，飞机在航母上滑行的最大加速度为6 m/s2，起飞需要的最低速度为50 m/s．那么，飞机在滑行前，需要借助弹射系统获得的最小初速度为（ ）
A．5 m/s B．10 m/s
C．15 m/s D．20 m/s
思路分析：题目中无运动时间，也不需要求运动时间，一般可选择公式．
尝试解答
方法点拨
不涉及时间t的匀变速直线运动的计算可直接选用．
拓展练习
3．一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为l，火车头经过某路标时的速度为v1，而车尾经过此路标时的速度为v2，求：
（1）列车的加速度a；
（2）列车中点经过此路标时的速度v；
（3）整列火车通过此路标所用的时间t．
随堂检测
1．（多选）关于匀加速直线运动，下列说法正确的是（ ）
A．位移与时间的平方成正比
B．位移总是随时间的增加而增加
C．加速度、速度、位移三者方向一致
D．加速度、速度、位移的方向并不是都相同
2．（多选）如图所示是质点M在0～10 s内的位移—时间图像，下列说法正确的是（ ）
A．质点第1 s的位移是4 m
B．质点第5 s的位移是8 m
C．质点前6 s的位移是8 m
D．质点后4 s的位移是16 m
3．甲、乙两质点沿同一直线、同向、同时开始运动，甲的位移与时间的关系满足（x的单位是m，t的单位是s），乙的速度与时间的关系满足v=3t（v的单位是m/s，t的单位是s），下列判断正确的是（ ）
A．甲，乙均做匀加速直线运动
B．甲、乙均做匀减速直线运动
C．t=2 s时，甲、乙的速度相等
D．甲、乙的加速度大小均为2 m/s2
4．（多选）如图所示为汽车在行驶过程中通过交叉路口时的速度—时间图像，由图像可知（ ）
A．汽车在路口等候的时间为10 s
B．汽车减速过程的加速度大小为2.5 m/s2
C．汽车减速运动过程的位移大小为20 m
D．汽车启动过程中做的是加速度增大的加速运动
5．（多选）一辆汽车在平直的公路上做刹车实验，运动过程的位移（单位m）与速度（单位m/s）的关系式为x=（25-v2），下列分析错误的是（ ）
A．汽车做匀减速且加速度大小为1 m/s2
B．刹车过程持续的时间为10 s
C．t=0时刻汽车的初速度为25 m/s
D．刹车过程的位移为25 m
6．近年来，我国高速公路网发展迅速，为了确保安全，高速公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离，已知某高速公路的最高限速v0=24 m/s．某司机驾车在该高速公路上以限定的最高速度行驶，突然前方约90 m处有一车辆因故障停车挡住去路，司机从发现后便操作紧急刹车，到汽车开始匀减速所经历的时间（即反应时间）为t0=0.50 s（注：在反应时间内汽车做匀速运动），刹车时汽车的加速度大小为4.0 m/s2，试通过计算说明是否会发生追尾事故．
参考答案
预习案
知识清单
1．（1）vt （2）时间轴 面积
2．（1）时间轴 梯形 （2） ①矢量 ②位移
3．（1）倾斜 平行于时间轴 （2）位移 （3）速度
4． v2=2ax
5．时间
自我检测
思考辨析
1．× 2．√ 3．√ 4．×
探究案
情景探究
可以证明匀变速直线运动位移与v-t图像所围面积与匀速直线运动物体有相同的规律：匀变速直线运动的位移可用v-t图像与坐标轴所围面积表示．
课堂探究
典型例题
例1 （1）6 m/s （2）18 m （3）5.5 m
解析：（1）由v=at得小球的加速度，
小球在第6 s末的速度v2=at2=1×6 m/s=6 m/s．
（2）前6 s内的位移．
（3）第6 s内的位移．
拓展练习
1．（1）2 m/s2 （2）25 m
解析：（1）v0=36 km/h=10 m/s，前2 s内的位移，代入数据解得a=2 m/s2．
（2）车停下来时间为t2，v0=at2，解得．
根据，
解得x2=25 m．
典型例题
例2 BC 解析：本题运动图像为x-t图像，图像中切线的斜率反映速度的大小，a做匀速直线运动，b先正向运动速度减小，减到0后负向运动速度增大，选项B、C正确，选项D错误．x-t图像中交点表示相遇，所以在t1时刻a、b相遇，b追上a，选项A错误．
拓展练习
2．（1）6 m （2）5 m，方向沿规定的正方向 （3）7 m
解析：在v-t图像中，速度图像和t轴所围成的面积数值等于位移的大小．
（1）物体距出发点最远的距离应为最大位移的大小，对应t轴上方图线所围正面积．
（2）前4 s物体的位移对应图像上t轴上方的正面积减去t轴下方的负面积，即，
方向沿规定的正方向．
（3）前4 s物体通过的路程等于图像中的正面积与负面积绝对值之和，即．
典型例题
例3 B 解析：飞机在滑行过程中，做匀加速直线运动，根据速度与位移的关系解决问题．
由题知，v=50 m/s，a=6 m/s2，x=200 m，根据得飞机获得的最小速度．故选项B正确．
拓展练习
3．（1） （2） （3）
随堂检测
1．BC 2．AC
3．C 解析：对甲，根据知，甲的初速度为v甲=8 m/s，加速度为a甲=-1 m/s2，做匀减速直线运动；对乙，根据v=3t知，乙做初速度为零、加速度a乙=3 m/s2的匀加速直线运动，故选项A、B、D错误；t=2 s时，甲的速度v=V甲+a甲t=8 m/s-1×2 m/s=6 m/s，乙的速度v′=3×2 m/s=6 m/s，故甲乙的速度大小相等，故选项C正确．
4．BC 解析：由图看出，汽车在路口等候的时间为t=10.0 s-4.0 s=6.0 s．故选项A错误；在0~4 s内汽车减速过程的加速度大小为，故选项B正确；汽车在减速过程中的位移大小，故选项C正确；10 s后汽车启动，因图像切线的斜率不断减小，则加速度不断减小，故选项D错误．
5．BD 解析：由匀变速直线运动的速度位移公式：得：，由题意可知：x=（25-v2），则：，，解得：a=-0.5 m/s2，v0=5 m/s，故选项A、C错误．刹车过程持续的时间：，故选项B正确．当v=0时，汽车停止，则刹车过程的位移为x=25 m，故选项D正确．
6．不会发生追尾事故 解析：汽车在反应时间内的位移x1=v0t0=24×0.50 m=12 m，
汽车匀减速直线运动停下来0=v0-at，得t=6 s，
，x2=72 m．
因为x=x1+x2=12 m+72 m=84 m<90 m，可知汽车不会发生追尾事故．

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