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匀变速直线运动的位移与时间的关系
学习目标
1．理解并能运用匀变速直线运动的推理公式
2．掌握匀速直线运动各个公式的特点并能选用合适的公式解决问题
预习案
知识清单
1．匀变速直线运动的速度与时间的关系v=__________．
2．匀变速直线运动的位移与时间的关系x=__________．
3．匀变速直线运动的位移与速度的关系x=__________．
4．平均速度的定义式__________．
自我检测
思考辨析
1．判断：速度与位移的关系式适用于任何运动．（ ）
2．判断：因为加速度a为矢量，所以加速度与规定的正方向相反时，取负值．（ ）
3．判断：匀变速直线运动的位移是均匀增加的．（ ）
4．判断：平均速度的定义式适用于任何运动．（ ）
探究案
课堂探究
探究1 两个重要推论
核心归纳
1．推论1：平均速度
做匀变速直线运动的物体在一段时间t内的平均速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初末速度代数和的一半，即．
（1）推导过程：
（2）适用条件：仅适用于匀变速直线运动．
（3）匀变速直线运动的位移又可表示为，此式不涉及加速度，可灵活运用，简化运算．
2．推论2： x=aT2（逐差相等）
在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即 x=xⅡ-xⅠ=aT2．
推导：时间T内的位移，
在时间2T内的位移，
则xⅠ=x1，xⅡ=x2-x1，
由以上三式得 x=xⅡ-xⅠ=aT2．
此推论经常在根据纸带求物体的加速度时使用．
典型例题
例1 一辆汽车在笔直的公路上做匀变速直线运动，该公路每隔15 m安置一个路标，如图2-3-8所示，汽车通过AB两相邻路标用了2 s，通过BC两路标用了3 s，求汽车通过A、B、C三个路标时的速度．
思路分析：尝试用位移公式或速度公式求解．
尝试解答
方法点拨
匀变速直线运动问题的解决方法较多，所以在解决有关问题时，要注意一题多解，既要掌握最基本的解题方法，也要注意分析题目的特点，选用灵活巧妙的解题方法．
拓展练习
1．一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和64 m每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度和末速度及加速度．
探究2 匀变速直线运动的基本公式的比较
核心归纳
关于基本公式的比较
一般形式 v0=0 涉及的物理量 不涉及
速度公式 v=v0+at v=at v、v0、a、t 位移x
位移公式 x、v0、t、a 末速度v
速度与位移关系公式 v2=2ax v、v0、a、x 时间t
平均速度求位移公式 x、v0、v、t 加速度a
特别提醒
解题时选取公式的基本原则
（1）为基本公式，原则上可解决任何匀变速直线运动问题，如果问题中涉及运动时间，一般优先考虑用两个基本公式求解问题．
（2）如果题中无运动时间t，也不让求运动时间，一般选用导出公式．
（3）如果题中无加速度a，也不涉及加速度的问题，用计算比较方便．
典型例题
例2 以54 km/h的速度行驶的火车，因故需要中途停车，如果停留的时间是1 min，刹车引起的加速度大小是0.3 m/s2，启动产生的加速度大小是0.5 m/s2，求火车因临时停车所延误的时间．
思路分析：延误的时间是指相比匀速行驶走过这段位移所多用的时间．不只是火车在车站停留的时间，还包括因火车速度变慢而延长的时间．
尝试解答
方法点拨
解决本题的关键是分析火车的运动过程，搞清整个运动过程按运动性质的转换可分为哪几个运动阶段，各个阶段遵循什么规律，各个阶段间存在什么联系．
拓展练习
2．一物体做匀变速直线运动，第3 s内的位移为15 m，第8 s内的位移为5 m．求物体的初速度和加速度．
探究3 初速度为零的匀加速直线运动的几个比例关系
核心归纳
1．1T末、2T末、3T末…nT末瞬时速度之比为v1：v2：v3：…：vn=1：2：3：…：n．
2．1T内、2T内、3T内…nT内的位移之比为x1：x2：x3：…：xn=12：22：32：…：n2．
3．第一个T内、第二个T内、第三个T内…第n个T内的位移之比为xⅠ：xⅡ：xⅢ：…：xn=1：3：5：…：（2n-1）．
4．通过前x、前2x、前3x…前nx时的速度之比为．
5．通过前x、前2x、前3x…前nx的位移所用时间之比为
．
6．从速度为零开始通过连续相等的位移所用时间之比为
．
特别提醒
（1）以上比例成立的前提是物体做初速度为零的匀加速直线运动．
（2）对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成反方向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例关系，可使问题简化．
典型例题
例3 一滑块自静止开始从足够长的斜面顶端匀加速下滑，第5 s末的速度是6 m/s，试求：
（1）第4 s末的速度；
（2）运动后7 s内的位移；
（3）第3 s内的位移．
思路分析：初速度为零的匀变速直线运动问题求解时可用基本公式，也可用比例式．
尝试解答
方法点拨
利用比例式处理运动学问题时要注意其适用条件——初速度为零的匀加速直线运动．
拓展练习
3．（多选）如图所示，完全相同的三块木块并排固定在水平面上，一颗子弹以速度v水平射入，若子弹在木块中做匀减速运动，且穿过第三块木块后速度恰好为零，则子弹依次射入每块木块时的速度之比和穿过每块木块的时间之比分别为（ ）
A．v1：v2：v3=3：2：1
B．
C．
D．
随堂检测
1．（多选）一质点从O点由静止做匀加速直线运动，依次经过A、B、C三点，已知AB间距离为7 m，质点经过C点的速度是A点的4倍，经过AB、BC段的时间都为2 s，则质点的加速度a和OA间距离s分别为（ ）
A． B．
C． D．
2．一小球从静止开始做匀加速直线运动，在第15 s内的位移比第14 s内的位移多0.2 m，则下列说法正确的是（ ）
A．小球前15 s内的平均速度为3 m/s
B．小球加速度为0.1 m/s2
C．小球第15 s的初速度为2.8 m/s
D．第15 s内的平均速度为0.2 m/s
3．（多选）如图所示，光滑斜面AE被分成四个长度相等的部分，即AB=BC=CD=DE，一物体从A点静止释放沿斜面做匀加速直线运动，下列结论正确的是（ ）
A．物体到达各点的速率
B．物体从A运动到E全过程的平均速度
C．物体从A点到达各点所经历的时间之比
D．物体通过每一部分时，其速度增量vB-vA=vC-vB=vD-vC=vE-vD
4．如图所示，一小球（可视为质点）沿斜面匀加速下滑，依次经过A、B、C三点．已知AB=18 m，BC=30 m，小球经过AB和BC两段所用的时间均为2 s，则小球经过A、B、C三点时的速度大小分别是（ ）
A．12 m/s，13 m/s，14 m/s
B．10 m/s，14 m/s，18 m/s
C．8 m/s，10 m/s，16 m/s
D．6 m/s，12 m/s，18 m/s
5．（多选）一辆汽车由静止开始做匀加速直线运动，运动了6 s，由于前方突然有巨石滚下，堵在路中央，所以又立即刹车，做匀减速运动，经4 s停在巨石前．则关于汽车的运动情况，下列说法正确的是（ ）
A．加速、减速过程中的平均速度大小之比等于1：1
B．加速、减速过程中的加速度大小之比a1：a2等于2：3
C．加速、减速过程中的加速度大小之比a1：a2等于3：2
D．加速、减速过程中的位移之比x1：x2等于3：2
6．某娱乐节目设计了一款在直轨道上运动的“导师战车”，坐在“战车”中的导师按下按钮，“战车”从静止开始先做匀加速运动，后做匀减速运动，冲到学员面前刚好停止．若总位移大小L=10 m，加速和减速过程的加速度大小之比为1：4，整个过程历时5 s．求：
（1）全程平均速度的大小；
（2）加速过程的时间；
（3）全程最大速度的大小．
参考答案
预习案
知识清单
1．v0+at 2． 3． 4．
自我检测
思考辨析
1．× 2．√ 3．× 4．√
探究案
课堂探究
典型例题
例1 8.5 m/s 6.5 m/s 3.5 m/s
解析：方法一：汽车从A到C做的是匀减速运动，设汽车通过路标A时速度为vA，通过AB的时间t1=2 s，通过BC的时间t22=3 s．根据位移公式，研究AB运动的过程，有．
研究AC运动过程，有．
其中t=t1+t2=5 s，
解得：vA=8.5 m/s，a=-1 m/s2．
再根据速度公式得
vB=vA+at1=6.5 m/s，
vC=vA+at=3.5 m/s．
方法二：设汽车通过A、B、C三个路标时的速度分别为vA、vB、vC．由匀变速直线运动的平均速度公式得
， ①
， ②
． ③
由①②③解得vA=8.5 m/s，vB=6.5 m/s，vC=3.5 m/s．
拓展练习
1．1 m/s 21 m/s 2．5 m/s2
解析：方法一：基本公式法．
由位移公式得，
，
vC=vA+a·2T，
将x1=24 m，x2=64 m，T=4 s代入，
解得a=2.5 m/s2，vA=1 m/s，vC=21 m/s．
方法二：平均速度公式法．
连续两段时间T内的平均速度分别为
，
，
，，
由于B是A、C的中间时刻，则
，
解得vA=1 m/s，vC=21 m/s，
其加速度为．
方法三：逐差法．
由 x=aT2可得
． ①
又， ②
vC=vA+a·2T， ③
由①②③解得vA=1 m/s，vC=21 m/s．
典型例题
例2 100 s
解析：火车速度v=54 km/h=15 m/s．
从刹车到停止做匀减速运动，所用时间
，
所经过的位移．
从启动到达到速度v做匀加速运动，所用时间
，
所经过的位移．
火车停留的时间t0=60 s，
如果火车以速度v通过上述两段位移所用时间
，
所以火车因临时停车延误的时间
t=t1+t2+t0-T=100 s．
拓展练习
2．20 m/s -2m/s2，方向与初速度方向相反
解析：解法一：设物体的初速度为v0，加速度为a．则
，
．
由以上两式可解得a=-2 m/s2，v0=20 m/s．
解法二：由x2-x1=aT2有x8-x3=5aT2，
解得．
再由解法一中的任一式即可解得初速度v0= 20 m/s．
典型例题
例3 （1）4.8 m/s （2）29.4 m （3）3 m
解析：（1）因为v0=0，所以v=at，即v∝t，故v4：v5=4：5，所以第4 s末的速度：．
（2）前5 s的位移．由于x∝t2，所以x7：x5=72：52，故前7 s内位移．
（3）利用xⅠ：xⅢ=1：5（xⅠ为第1 s内位移，xⅢ为第3 s内位移），x1：x5 =12：52 =1：25（x1为前1 s内位移，x5为前5 s内位移）．故，所以第3 s内的位移xⅢ=5x1=5×0.6 m=3 m．
此题也可用基本公式求解．
拓展练习
3．BD 解析：子弹的逆向运动为一初速度为零的匀加速直线运动，由知，，故选项B正确．设每块木块的厚度均为L，由，知，，，．故正确选项为B、D．
随堂检测
1．AC 解析：设质点经过A、C两点的速度大小分别为v、4v，质点的加速度大小为a．质点从A到C过程中，有：；质点从A到B过程中，有：，解得v=2 m/s，，选项A正确，选项B错误；，选项C正确，选项D错误．
2．C 解析：根据 x=aT2得：，第15 s末的速度为：v15=at15=0.2×15 m/s=3 m/s，则小球前15 s内的平均速度为：，故选项A、B错误．小球在第15 s初的速度即为14 s的末速度：v=at14=0.2×14 m/s=2.8 m/s，故选项C正确．根据匀变速直线运动的推论：平均速度等于中间时刻的瞬时速度，则第15 s内的平均速度为14.5 s的瞬时速度，v′=at14.5=0.2×14.5 m/s=2.9 m/s，故选项D错误．
3．AB 解析：根据v2=2as得，因为AB、AC、AD、AE的位移之比为1：2：3：4，则，故选项A正确；某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，因为AB和BE之比为1：3，可以知道B点为AE的中间时刻，则AE段的平均速度，所以选项B正确；根据知，，则物体到达各点经历的时间，故选项C错误；因为通过连续相等位移所用的时间不等，根据 v=at知，通过每一部分的速度增量不等，故选项D错误．
4．D 解析：根据 x=at2得，B点的瞬时速度等于AC段的平均速度，则，则C点的速度vC=vB+at=12 m/s+3×2 m/s=18 m/s，A点的速度vA=vB-at=12 m/s-3×2 m/s=6 m/s，故选项D正确．
5．ABD 解析：根据匀变速直线运动的平均速度公式得加速阶段和减速阶段的平均速度之比为1：1，故选项A正确．设加速阶段的末速度为v，则加速阶段的加速度大小为，减速阶段的加速度大小，则加速度大小之比为2：3，故选项B正确，选项C错误．根据，知加速阶段和减速阶段的位移之比为3：2，故选项D正确．
6．（1）2 m/s （2）4 s （3）4 m/s
解析：（1）全程的平均速度．
（2）设加速过程的末速度为v，则有加速过程的加速度大小，减速过程的加速度大小，
根据题意，有，总时间t1+t2=5 s，联立解得t1=4 s．
（2）加速过程的位移，减速过程的位移，总位移L=x1+x2，
联立得，解得．

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