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力的合成和分解
学习目标
1．利用等效的思想掌握合力与分力的关系，并理解力的合成与力的分解互为逆过程
2．通过实验探究求合力的方法，掌握矢量的运算法则——平行四边形定则
3．掌握利用作图法和三角形知识进行求合力与分力的技巧
预习案
知识清单
1．合力与分力
如果一个力单独产生的__________和某几个力共同产生的效果__________，这个力就叫作那几个力的合力，原来的那几个力叫这一个力的__________．
2．力的合成与分解
在物理学中，我们把求几个力的合力的过程叫作力的__________，我们把求一个力的分力的过程叫作力的__________．
3．力的平行四边形定则
两个力合成时，可以用表示这两个力的线段为邻边作__________，__________就表示合力的大小和方向，这个规律叫作平行四边形定则．
4．力的分解是力的合成的__________，同样遵守__________．即把一个已知力F作为平行四边形的__________，画平行四边形，那么，与已知力F共点的平行四边形的__________就表示力F的两个分力．如果没有限制，同一个力可以分解为__________对大小和方向不同的分力．
5．矢量和标量
在物理学中，既有__________，又有__________，并且在合成时遵守__________的物理量，叫矢量．只有大小没有方向的物理量叫__________，标量按__________法则求和．
自我检测
思考辨析
1．判断：两个大小和方向都确定的共点力，其合力的大小确定，方向不确定．（ ）
2．判断：两个大小一定的力的合力，合力总大于原来的任意一个分力．（ ）
3．判断：一切矢量的合成都遵循平行四边形定则．（ ）
4．判断：以两个分力为邻边的平行四边形的两条对角线都是它们的合力．（ ）
5．判断：将一个力F分解为两个分力F1和F2，物体同时受到F1、F2和F三个力的作用．（ ）
探究案
情景探究
根据力的平行四边形定则作图，可以看出，两个力F1、F2的合力F的大小和方向随着F1、F2的夹角而变化．当夹角分别等于0°和180°时，怎样确定合力F的大小与方向？
课堂探究
探究1 实验探究求合力的方法
核心归纳
1．实验原理：等效替代法．
2．探究过程
（1）仪器的安装
①钉白纸：用图钉把一张白纸钉在方木板上，将方木板放在水平桌面上．
②拴绳套：用图钉把橡皮条的一端固定在木板上的A点，在橡皮条的另一端拴上两条细绳套．
（2）操作与记录
①两力拉：用两个弹簧测力计分别钩住两个细绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条伸长，结点到达某一位置O（如图所示）．用铅笔描下结点O的位置和两条细绳套的方向，并记录弹簧测力计的读数．
②一力拉：只用一个弹簧测力计，通过细绳套把橡皮条的结点拉到与前面相同的位置O，记下弹簧测力计的读数和细绳套的方向．
（3）作图对比
①按选好的标度，用铅笔和刻度尺在白纸上按比例从O点开始作出两个弹簧测力计的拉力F1和F2的图示，如图所示．
②按同样的比例用刻度尺从O点起作出一个弹簧测力计拉橡皮条时拉力F′的图示．
③思考F1和F2与F′可能的关系，尝试得出结论．
（4）重复
改变两个分力F1和F2的大小和夹角，重复上述实验，看结论是否相同．
3．注意事项
（1）同一次实验中，橡皮条拉长时结点O必须到达同一位置．
（2）细绳套适当长一些，便于确定力的方向；不要直接沿细绳套的方向画直线，应在细绳套的末端用铅笔画一个点，去掉细绳套后，再将所标点与O点连线确定力的方向．
（3）在同一次实验中，画力的图示所选定的标度要相同，并且要恰当选取标度，使所作力的图示稍大一些．
（4）用两个弹簧测力计分别钩住两个细绳套，互成角度地拉橡皮条，其夹角不宜太小，也不宜太大，以60°到120°之间为宜．
典型例题
例1 在“探究求合力的方法”实验中，某同学用两个弹簧测力计将橡皮筋的端点拉到点O，作出这两个拉力F1、F2的图示（如图甲所示），然后用一个弹簧测力计将橡皮筋的端点仍然拉到O，弹簧测力计示数F′如图乙所示．
（1）（多选）用两个弹簧测力计将橡皮筋的端点拉到点O点，为了确定两个分力的大小和方向，这一步操作中必须记录的是__________；
A．橡皮条固定端的位置
B．描下O点位置和两条细绳套的方向
C．橡皮条伸长后的总长度
D．两个弹簧测力计的读数
（2）弹簧测力计的示数F′=__________N；
（3）请帮他在图甲中画出力F′的图示（图中a为记录F′方向时所记录的一点）；
（4）（多选）该同学用虚线把F′的箭头末端分别与F1、F2的箭头末端连起来．他观察图形后受到了启发．你认为他紧接着应进行的两个实验步骤是__________；
A．整理实验器材
B．提出求合力方法的猜想
C．改变F1、F2的大小和方向，重复上述实验
D．与同学交流讨论实验结果，得出结论
（5）如图所示，是甲、乙两位同学在做本实验时得到的结果，其中F是用作图法得到的合力，F′是通过实验测得的合力，则哪个实验结果是符合实验事实的？__________（选填“甲”或“乙”）．
思路分析：本实验采用的是“等效替代”的方法，即一个合力与两个分力共同作用的效果相同，可以互相替代，明确“理论值”和“实验值”的区别．
尝试解答
方法点拨
（1）根据弹簧秤的最小刻度，读出弹簧秤的示数．
（2）根据图示法画出力F′的图示．
（3）根据实验的原理以及操作中的注意事项得出正确的实验步骤．
解答实验的出发点为明确实验原理、实验步骤、数据处理，明确合力和分力之间的关系，同时注意应用所学物理基本规律解决实验问题．
拓展练习
1．（多选）在“探究求合力的方法”实验中，先将橡皮条的一端固定在水平木板上，另一端系上带有绳套的两根细绳．实验时，需要两次拉伸橡皮条，一次是通过两细绳用两个弹簧测力计互成角度地拉橡皮条，另一次是用一个弹簧测力计通过细绳拉橡皮条．实验对两次拉伸橡皮条的要求中，下列说法正确的是（ ）
A．将橡皮条拉伸相同长度即可
B．将橡皮条沿相同方向拉到相同长度
C．将弹簧测力计都拉伸到相同刻度
D．将橡皮条和绳的结点拉到相同位置
探究2 求物体受到的合力的方法
核心归纳
1．作图法：根据平行四边形定则用作图工具作出平行四边形，然后用测量工具测量出合力的大小、方向，具体操作流程如下：
2．计算法：可以先根据平行四边形定则作出分力及合力的示意图，然后由几何知识求解对角线，即为合力．以下为求合力的两种常见的特殊情况：
（1）相互垂直的两个力的合成（即α=90°）
，F合与F1的夹角正切值，如图甲所示．
（2）两个等大的力的合成
平行四边形为菱形，利用其对角线互相垂直平分的特点可解得：
，F合与每一个分力的夹角为，如图乙所示．
若α=120°，则，即合力大小等于分力大小．
典型例题
例2 如图所示，两个人共同用力将一个牌匾拉上墙头，其中一人用了450 N的拉力，另一人用了600 N的拉力，如果这两个人所用拉力的夹角是90°，求它们的合力．
思路分析：作出力的示意图和力的平行四边形，然后根据几何关系或三角函数求解．
尝试解答
方法点拨
（1）F1与F2垂直时求出合力，构成直角三角形，直接应用勾股定理即可求出大小和方向．
（2）若两力大小相等，夹角为120°时，合力大小等于每个分力，这是一个临界点，若θ>120°时，则合力小于每一个分力；若θ<120°时，则合力大于每一个分力．
拓展练习
2．已知F1=F2=10 N，F1与F2成120°角，求合力F的大小和方向．
探究3 合力和分力的大小关系
核心归纳
1．两个共点力求合力
（1）合力随两分力间夹角的增大而减小，随夹角的减小而增大．
合力大小的范围为|F1-F2|≤F≤F1+F2．
（2）合力可以比其中任一个分力大，也可以比其中任一个分力小，还可以等于其中任一个力．
2．三个共点力求合力
先把任意两个力合成，求出其合力范围，看第三个力是否在这个范围内，如果在，三力合力的最小值为零；若不在那两个力的合力范围内，则最小合力等于最大力与另两力和的差，最大值则为三力之和．
典型例题
例3 两个共点力的大小分别为F1=15 N，F2=8 N，它们的合力大小不可能等于（ ）
A．9 N B．25 N C．8 N D．21 N
思路分析：求出F1、F2的合力范围是F1-F2≤F≤F1+F2，即可知正确选项．
尝试解答
方法点拨
两个共点力合力的范围是|F1-F2|≤F≤F1+F2．合力最大值为两力同向时，最小值为两力反向时．当分析三力合成范围时，应特别注意对最小值的分析，不一定是三力在一条直线上合力最小，还应明确三力的大小是否构成一个封闭的三角形，如能，则合力为零，否则为三力差的绝对值．
拓展练习
3．关于两个大小不变的共点力F1、F2与其合力F的关系，下列说法正确的是（ ）
A．F大小随F1、F2间夹角的增大而增大
B．F大小随F1、F2间夹角的增大而减小
C．F大小一定小于F1、F2中最大者
D．F大小不能小于F1、F2中最小者
4．物体受到三个力的作用，其中两个力的大小分别为5 N和7 N，这三个力的合力最大值为21 N，则第三个力的大小为多少？这三个力的合力最小为多少？
探究4 有限制条件的力的分解
核心归纳
力分解时有解或无解，关键看代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段是否能构成平行四边形或（三角形），若能，即有解；若不能，则无解，具体情况有以下几种：
（1）已知合力和两个分力的方向时，有唯一解．
（2）已知合力和一个分力的大小和方向时，另一分力有唯一解．
（3）已知合力F以及一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小时，若F与F1的夹角为α，有下面几种情况：
①当Fsin α②当F2=Fsin α时，有唯一解，如图乙所示．
③当F2④当F2≥F时，有唯一解，如图丁所示．
典型例题
例4 （多选）将已知力F分解为两个不为零的力，下列情况具有唯一解的是（ ）
A．已知两个分力的方向，并且不在同一直线上
B．已知一个分力的大小和另一个力的方向
C．已知两个分力的大小
D．已知一个分力的大小和方向
思路分析：按平行四边定则作图，然后根据三角形边角关系确定分力的大小和方向．
尝试解答
方法点拨
（1）力的三角形定则是力的平行四边形定则的简化，因此运用三角形定则分析力的合成分解问题会更简便．
（2）力分解时何时能得到唯一确定解，何时有多解，何时无解，通过画合力分力组成的矢量三角形，可进一步加深理解．
拓展练习
5．将一个有确定方向的力F=10 N分解成两个分力，已知一个分力有确定的方向，与F成30°夹角，另一个分力的大小为6 N，则在分解时（ ）
A．有无数组解
B．有两组解
C．有唯一解
D．无解
随堂检测
1．（多选）一件行李重为G，被绳OA和OB吊在空中，OA绳和OB绳的拉力分别为F1、F2，如图所示，则（ ）
A．F1、F2的合力是G
B．F1、F2的合力是F
C．行李对绳OA的拉力方向与F1方向相反，大小相等
D．行李受到重力G、OA绳拉力F1、OB绳拉力F2，还有F共四个力
2．关于合力与其两个分力的关系，下列说法错误的是（ ）
A．合力的作用效果与两个分力共同作用的效果一定相同
B．合力的大小可能小于它的任一个分力
C．合力的大小不可能等于某一个分力的大小
D．合力的大小在任何情况下都不能大于两个分力的大小之和
3．下列哪组力作用在物体上，有可能使物体处于平衡状态（ ）
A．3 N，4 N，8 N B．7 N，9 N，6 N
C．4 N，3 N，8 N D．3 N，5 N，1 N
4．已知力F的一个分力F1跟F成30°角，F1大小未知，如图所示，当另一个分力F2取最小值时，分力F1大小为（ ）
A． B．
C． D．F
5．有两个力，它们的合力为0，现把其中一个向东的6 N的力改为向南（大小不变），它们的合力大小是多少？方向如何？
6．两个力F1和F2间的夹角为θ，两力的合力为F，以下说法是否正确？
（1）若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F就越大；
（2）合力F总比分力F1和F2中的任何一个力都大；
（3）如果夹角θ不变，F1大小不变，只要F2增大，合力F就必然增大．
参考答案
预习案
知识清单
1．效果 相同 分力
2．合成 分解
3．平行四边形 这两个邻边之间的对角线
4．逆运算 平行四边形定则 对角线 两个邻边 无数
5．大小 方向 平行四边形定则 标量 代数
自我检测
思考辨析
1．× 2．× 3．√ 4．× 5．×
探究案
情景探究
当F1与F2的夹角等于0°时，其合力F=F1+F2；当F1与F2的夹角等于180°时，其合力F=|F1-F2|，方向与较大的那个力方向相同．
课堂探究突破
典型例题
例1 （1）BD （2）2.8 （3）见解析 （4）BC （5）乙
解析：（2）弹簧测力计的最小刻度为0.2 N，可知弹簧测力计的示数F′=2.8 N．
（3）根据图示法作出F′的图示，如图所示．
（4）用虚线把F′的箭头末端分别与F1、F2的箭头末端连起来．
观察图形后受到了启发．提出求合力方法的猜想，然后改变F1、F2的大小和方向，重复上述实验，故选项B、C正确．
（5）F1、F2合力的理论值是指通过平行四边形定则求出的合力值，而其实验值是指一个弹簧测力计拉橡皮条时所测得的数值，一定沿AO方向，由此可知F是F1、F2合力的理论值，F′是合力的实验值；由于误差的存在，作图法得到的合力与实验值有一定的差别，故乙更符合实验事实．
拓展练习
1．BD 解析：实验中两次拉伸橡皮条时，应要求两次的作用效果完全相同，即橡皮条被拉伸的方向、长度完全相同，所以正确选项为B、D．
典型例题
例2 750 N，与较小拉力的夹角为53°
解析：设F1=450 N，F2=600 N，合力为F．
由于F1与F2间的夹角为90°，根据勾股定理得
，
合力F与F1的夹角θ的正切值，所以θ=53°．
拓展练习
2．F=10 N F与F1夹角θ=60°．
解析：当F1与F2互成120°角时，作出平行四边形，由于F1=F2，故所得平行四边形为菱形，且F平分F1、F2的夹角，如图所示，F1、F2与F构成一等边三角形．即这种情况下，F=F1=F2=10 N，F与F1的夹角θ=60°．
典型例题
例3 B 解析：F1、F2的合力范围是F1-F2≤F≤F1+F2，故7 N≤F≤23 N，不在此范围的是25 N，应选择B项．
拓展练习
3．B 解析：合力随两分力间夹角的增大而减小，合力大小的范围为|F1-F2|≤F≤F1+F2．例如，当F1=5 N、F2=6 N时，1 N≤F≤11 N，F可比F1、F2中的最小者小，也可以比F1、F2中的最大者大，故只有选项B正确．
4．9 N 0
解析：5 N和7 N的合力范围是2 N到12 N，等于12 N时，整体合力最大，所以第三个力是21 N-12 N=9 N，所以合力最小值是9 N-9 N=0．
典型例题
例4 AD
拓展练习
5．B 解析：由三角形定则作图如图所示，由几何知识知另一分力的最小值，而题中分力的大小为6 N，大于最小值5 N，小于F=10 N，所以有两组解．
随堂检测
1．BC 2．C 3．B
4．C 解析：根据平行四边形定则知，当另一个分力与F1垂直时，F2最小．如图所示．则．故选项C正确．
5． 方向西偏南45°
解析：当两个力的合力为0时，由于一个力向东，大小为6 N，则另一个力的方向必向西，大小也为6 N．将方向向东的、大小为6 N的力改为向南时，二力相互垂直，它们的合力的大小为，方向为西偏南45°．
6．（1）正确 （2）错误 （3）错误

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