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自由落体运动 直上抛运动规律及应用
深入理解
理解1 自由落体运动的特点
1. 物体只在重力作用下由静止开始下落的运动叫自由落体运动，即只受重力作用和初始时刻静止这两个条件都具备时，物体的下落运动才是自由落体运动．
2. 自由落体运动的实质是初速度v0=0、加速度a=g的匀加速直线运动，规定竖直向下的方向为正方向，将v0=0、a=g代入匀变速直线运动各关系式中，即得自由落体运动的运动规律：．
小贴士
极限跳伞运动中运动员受到的空气阻力不能忽略，因此并不是自由落体运动．
3. 初速度为零的匀变速直线运动的所有比例关系也都适用于自由落体运动．
理解2 伽利略研究自由落体运动的科学方法
伽利略的研究思路可以概括如下：
问题——猜想——数学推理——实验验证——合理外推——得出结论
1. 逻辑分析：伽利略分析，若将重物与轻物捆绑在一起，与重物比较下落快慢，将得出应该更慢和应该更快两个互相矛盾的结论，伽利略认为：重物与轻物应该下落得同样快．
2. 大胆猜想：通过思考和数学演算，猜想物体下落时速度与时间成正比．
3. 数学推理：通过数学运算得出，如果物体初速度为零，且v∝t，则x∝t2．
4. 实验验证：让铜球沿阻力很小的斜面滚下时，常数，即x∝t2．换用不同质量的小球，改变斜面的倾角，x∝t2仍成立，并且斜面倾角一定时，的值一定，的值随斜面倾角的增大而增大．
5. 合理外推：伽利略认为，如果把斜面倾角增大到90°，即小球竖直下落时，x∝t2仍成立，且所有物体竖直下落时的值大小相同．
小贴士
伽利略科学研究方法的核心是把实验和逻辑推理（包括数学演算）和谐地结合起来，从而发展了人类的科学思维方式和科学研究方法，打开了近代科学的大门．
斜面倾角一定时，的值一定，的值随斜面倾角的增大而增大．
理解3 应用打点计时器测重力加速度
实验注意事项
1. 为尽量减小空气阻力的影响，重物应选体积小、密度大的物体，如小铁球等．
2. 打点计时器应竖直固定好．
3. 重物应靠近打点计时器释放，且要先开启打点计时器电源，再让重物下落．
4. 改变重物质量，重复实验．
数据处理方法
1. 图像法：求出各点瞬时速度，画出v-t图像，得到一条过原点的直线，求出其斜率即为重力加速度g的值．若作出的是图像，则斜率也为g．
2. 逐差法：
3. 解析法：根据位移公式得等，测量多组h、t的值，求出多个g的值取平均值．
小贴士
如图所示，调节水龙头，让水一滴滴流出，在水龙头的正下方放一薄金属盘，水滴到盘上时能发出清晰的击打声，再调节水龙头直至一滴水落到盘上时，恰好另一滴水从水龙头处开始下落，用停表测时间，从听到某滴水的击打声开始计时，并计数为1，数到n时，计时结束，共用时间为t，用刻度尺测得水龙头口到盘子间的距离为h，则重力加速度．
理解4 竖直上抛运动
对竖直上抛运动的理解
将物体以一定的初速度竖直向上抛出，物体只在重力作用下的运动叫竖直上抛运动．竖直上抛运动实质上是一个匀变速直线运动，初速度竖直向上，如果以初速度方向为正方向，则加速度a=-g．取竖直向上的方向为正方向，则：v= v0-gt，，v2-v02=-2gh；物体能上升的最大高度，上升到最大高度所需时间，从抛出到回到出发点所需时间．
竖直上抛运动的两种处理方法
1. 分段法：把竖直上抛运动的全过程分为上升阶段和下降阶段，上升阶段做末速度vt=0、加速度a=g的匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动．
2. 全程法：把竖直上抛运动看成一个初速度为v0、加速度为-g的匀变速直线运动．
拓展提升
拓展1 自由落体运动的下落时间和末速度，以及等间隔时间、空间问题
1. 做自由落体运动的物体下落高度为h时，下落时间，末速度．
2. 物体做自由落体运动时，连续相等时间内的位移之比：；
运动连续相等位移所用时间之比：.
拓展2 频闪照相法测重力加速度
频闪照相是研究匀变速运动常用的实验手段．在暗室中，照相机的快门处于常开状态，频闪仪每隔一定时间发出一次短暂的强烈闪光，照亮运动的物体以及旁边竖直放置的刻度尺，于是胶片上记录了物体在几个闪光时刻的位置，如图所示，点之间的时间间隔T等于频闪仪相邻两次闪光的时间间隔，数值上等于，f是频闪仪的闪光频率．应用频闪照相法测重力加速度的数据处理方法与应用打点计时器测重力加速度的方法相同．
拓展3 竖直上抛运动的对称性
时间的对称性
如图所示，物体以初速度v0竖直上抛，A、B为途中的任意两点，C为最高点，则物体上升过程中从A到C所用时间tAC和下降过程中从C到A所用时间tCA相等，且tBC=tCB，同理tAB=tBA.
速度的对称性
物体上抛时的初速度与物体又落回原抛出点时的速度大小相等、方向相反，上升阶段和下降阶段经过同一个位置时（如A点）的速度大小相等、方向相反．
此外，解题时需要注意，所取的距离抛出点h的点，可能在抛出点上方，也可能在抛出点下方.
小贴士
上升阶段和下降阶段通过同一位置时，速度大小相等、方向相反．
拓展4 杆状物体呈竖直状下落问题
杆状物体呈竖直状下落时，相同时刻杆上各点的速度相同，但是因为杆有长度，杆上不同点到空间同一位置的距离不同，有时需要将杆的两个端点作为两个质点分别处理，将杆的运动时间和两个端点运动到达的位置分析清楚．
1. 杆穿过空心管的时间为杆的下端开始进入空心管的时刻到杆的上端离开空心管的时刻，这个时间可用两种情形下杆的下端运动的位移所用时间的差值求解．
2. 杆进入空心管时的速度是杆的下端进入空心管时的速度，杆离开空心管时的速度是杆的上端离开空心管时的速度．
小贴士
t1为杆从开始运动至抵达B点的时间，t2为杆从开始运动至穿过B点的时间．
例 如图所示，一根直棒长度为L1=5m，用手提着其上端，在其下端的正下方10 m处有一长度为L2=5m、内径比直棒大得多的空心竖直管，放开后让直棒做自由落体运动（重力加速度g取10m/s2）．求：
(1)直棒通过该空心管所用的时间；
(2)直棒离开空心管时的速度．
【解析】(1)由题意知，开始时直棒下端距空心管上端距离h=10m，直棒做自由落体运动，
由得直棒下端下落至空心管上端口时所用的时间．
直棒从开始下落到其上端离开管下端口的时间，
直棒通过该空心管所用的时间△t=t2-t1=0.59s．
(2)直棒离开空心管时的速度v=gt2=20m/s．
【答案】(1)0.59s (2)20m/s
疑难突破
突破1 自由落体运动和竖直上抛运动中的多体问题
竖直上抛运动和自由落体运动中的多体问题一般具有如下特征：
1. 每个物体都经历相同的运动过程；
2. 每个物体开始运动的时间差相等．
对此类问题如水龙头滴水、杂技演员连续抛球问题，可把多体问题转化为单体问题求解，等效成一个物体在不同时刻的位置，由此可用△x=aT2，即初速度为零的匀变速直线运动的比例关系或者平均速度法求解．
例 屋檐每隔一定时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高Im的窗子上、下沿，如图所示，g取10m/s2．求：
(1)此屋檐离地面的高度；
(2)滴水的时间间隔．
【解析】在解决这个问题时可以将这5滴水的运动等效为一滴水的自由落体运动，并且将这一滴水运动的全过程分成时间相等的4段，设时间间隔为T，则这一滴水在O时刻、T末、2T末、3T末、4T末所处的位置分别对应第5滴水、第4滴水、第3滴水、第2滴水、第1滴水所处的位置．
(1)初速度为零的匀加速直线运动从开始运动起，在连续相等的时间间隔内的位移之比为1：3：5：7：…：（2n-1），据此设相邻两水滴之间的间距从上到下依次是h0、3h0、5h0、7h0，则窗高为5h0，即5h0=1m，得h0=0.2m．
屋檐总高h=h0+3h0+5h0+7h0=16h0=3.2m．
(2)由知，滴水时间间隔为．
【答案】(1)3.2 m (2)0.2 s
突破2 自由落体运动与竖直上抛运动中物体的相遇问题
当两个物体从不同位置先后做自由落体运动或两个物体分别做自由落体运动与竖直上抛运动时，两物体在空中相遇的条件都是两物体在同一时刻位于同一位置．可以以地面为参考系结合位移关系和时间关系求解；也可以以其中一个物体为参考系，则另一物体相对其做匀速直线运动，根据相对位移和时间关系即可求解．
例 在高为h处，小球A由静止开始自由落下，与此同时，在A的正下方地面上以初速度v0竖直向上抛出另一小球B，求A、B在空中相遇的时间与位置，并讨论A、B相遇的条件．(不计空气阻力作用，重力加速度为g)
【解析】设相遇时间为t，相遇点离地面高度为y，则，即v0t=h．
所以相遇时间．
将t代入y的表达式中，，即为相遇地点离地面的高度．
讨论：若A、B能在空中相遇，则y>0，即，
，故 为A、B能在空中相遇的条件．
若在B球上升到最高点时相遇，应有，，解得．
当时，在B球下降过程中两球相遇；
当时，恰在B球上升到最高点时两球相遇；
当时，在B球上升过程中两球相遇．
【答案】见解析
小贴士
两个分别做自由落体运动与竖直上抛运动的物体在空中相遇的问题，还可以结合竖直上抛运动的临界条件如“恰好到达最高点”“恰好返回地面”等，求解在其上升过程或下降过程中两物体相遇的条件等问题．

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