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匀变速直线运动的速度与位移关系、重要推论与应用
深入理解
理解1 为什么要推导匀变速直线运动的速度与位移关系式？
在实际的生产科研中，有时候不关心时间，只需要知道在一定的位移下，物体的初速度或加速度需要多大，如航母上的舰载机要从一定长度的甲板上起飞，需要给舰载机一个多大的初速度？
通过和两式联立消去时间t，即可得到匀变速直线运动的速度与位移关系式．这个关系式揭示了匀变速直线运动中初速度v0、末速度v、加速度a和位移x之间的内在定量关系，是一个矢量式，关系式中涉及的4个物理量都是矢量．
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当v0=0时，有v2=2ax，对应物体做初速度为零的匀加速直线运动的情形．
当v=0时，有-v02=2ax，对应物体做匀减速直线运动直到静止的情形，例如刹车问题.
理解2 初速度为零的匀变速宜线运动的常用推论都有哪些？怎么推导？
初速度为零的匀变速直线运动是一种特殊的匀变速直线运动，由匀变速直线运动的基本公式，可以推导出一些揭示该种运动的特点并使解决问题变得简单的推论，如下两类所示：
等分运动时间（以T为时间单位）
1. 1T末，2T末，3T末，…，nT末的瞬时速度之比．
推导如下：
由v=at得．
2. 1T内，2T内，3T内，…，nT内的位移之比．
推导如下：
由得
3. 第一个T内，第二个T内，第三个T内，…，第n个T内的位移之比．
推导如下：
由得．
等分位移（以x为单位）
1. 通过x，2x,3x，…，nx，所用时间之比．
推导如下：
由得，故
2. 通过第一个x，第二个x，第三个x，…，第n个x，所用时间之比
推导如下：
由得．
3. x末，2x末，3x末，…，nx末的瞬时速度之比．
推导如下：
由得，故.
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推论公式常见考查类型
①火车匀加速启动时，则每节车厢经过人所用的时间之比为．
②一子弹以水平速度射入在水平面上固定的完全相同的三个木块，穿透最后一个木块时速度恰好为零，则子弹依次穿过每个木块时的速度之比为：：1，所用时间之比为．
③小球以一定初速度沿斜面向上运动，经过m后，速度为零，则连续相等时间的位移之比为n2：(n -1)2:（n-2）2.…．
理解3 重要推论△x=aT2是怎么推导出的？如何理解该推论？
1. 推导
设物体做匀变速直线运动，其加速度为a，从某时刻起开始计时，此时的速度为v0，则自计时时刻起T时间内的位移，在第2个T时间内的位移，，联立以上三式得△x=aT2．
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若xm和xn分别为第m个和第n个T时间内的位移，则xm-xn=(m-n)aT2.
2. 对该推论的理解
揭示出做匀变速直线运动的物体，在连续相等的时间内的位移差是一个定值，只适用于匀变速直线运动．T取值大小没有限制，T取任意值，都有△x=aT2，则该运动为匀变速直线运动．
拓展提升
拓展1 匀变速直线运动的常用公式的比较及其应用
比较项 公式 一般形式 v0=0 一般应用
速度公式 求末速度或加速度，或与位移公式综合应用
位移公式 已知初速度、加速度、时间求位移，或已知初速度、加速度、位移求时间
位移、速度关系式 求末速度或位移，或已知末速度求初速度
平均速度求位移公式 求中间时刻速度，或与速度公式综合应用
重要推论公式 求加速度
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匀变速直线运动涉及初速度v0、末速度v、加速度a、时间t和位移x五个物理量，已知其中三个，才能求解出另外两个．
2016年4月13日著名物理学家霍金宣布启动“突破摄星计划”，将质量为克级的“超微型飞船”送入太空后，通过强力激光向其展开的光帆发射光束，使飞船速度提升到光速的五分之一，而加速时间只有10 min，假设这一过程飞船做匀加速直线运动，可以求得什么？可行吗？
拓展2 匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度比中间位移的瞬时速度小
1. 通过逻辑分析即可理解
对于匀加速直线运动，由于速度越来越大，则时间t内，前一半时间运动的位移小于后一半时间运动的位移，则运动一半位移时的时刻比中间时刻晚，即，故中间时刻的瞬时速度比中间位移的瞬时速度小；对于匀减速直线运动，由于速度越来越小，则前一半时间运动的位移大于后一半时间运动的位移，则运动一半位移时的时刻比中间时刻早，即，因此中间时刻的瞬时速度还是比中间位移的瞬时速度小．
2. 借助于v-t图像分析能够比较直观地理解
分别作出匀加速直线运动的速度一时间图像和匀减速直线运动的速度一时间图像，如图甲、乙所示．由图甲可看出时刻的位移不到总位移的，因此中
间位移对应的时刻，所以，由图像可知；由图乙可知，.
拓展3 多过程匀变速直线运动
有一些运动过程非常复杂，整体上并不是匀变速直线运动，但是将整个过程分成不同的阶段后，每个阶段都是匀变速直线运动过程，因此可以分段应用匀变速直线运动规律求解．
解决这类问题时需要注意：
1. 前一过程的末速度与后一过程的初速度的关系是重要的隐含条件；
2. 各个阶段的时间之和等于总时间，各个阶段的位移之和等于总位移，这两个关系是解题的关键.
例 一电梯，启动后匀加速上升，加速度大小为2m/s2，制动后匀减速上升，加速度大小为1m/s，楼高54m．若上升的最大速度大小为6m/s，某次电梯先加速上升，然后匀速上升，最后减速上升至停止，全程共用时间为16.5s，求此次上升的最大速度大小．
【解析】加速阶段：，时间：；减速阶段：，时间；匀速阶段：．电梯上升的总高度x=x1+x2+x3．
联立以上各式，整理得v2-22v+72=0，并代入数据解得v1=4m/s，v2=18m/s（舍去）．
即此次电梯上升的最大速度大小是4m/s．
【答案】4m/s
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匀变速直线运动中间位移的瞬时速度推导
如图所示，设初位置为A，末位置为C，中点为B，AC间距离为x，则对AB段有；对BC段有，所以；即，可得.
拓展4 多个物体的匀变速直线运动
将几个物体的独立运动放在一起研究，彼此间可能会产生干扰，如果将“多个物体的运动”等效转化为“一个物体的运动”，自然会简化研究过程．
例 从斜面上某一位置每隔0.1s释放一个小球，在连续释放几个后，对在斜面上滚动的小球拍下照片，如图所示，测得xAB=15cm，xBC=20cm，g取10m/s2．试求：
(1)小球的加速度；(2)拍摄时B球的速度vB；(3)拍摄时C、D间的距离；(4)A球上面滚动的小球还有几个．
【解析】图示的4个小球可以等效为1个小球做匀加速直线运动在连续相等的时间内通过的位置．
(1)由匀变速直线运动的规律知，△x=xBC-xAB=aT2，所以．
(2).
(3)，故．
(4)设A点小球速度为vA，由于vB=vA+at，则vA=vB-at=1.25m/s，所以A球的运动时间，故A球上方正在滚动的小球还有2个．
【答案】(1)5 m/s2 (2)1.75m/s (3)25cm (4)2
拓展5 比例法的应用
对于初速度为零，且运动过程可分为等时间段或等位移段的匀加速直线运动，可优先考虑用推论求解．
例 一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下（斜面足够长），已知小球在第4s末的速度为4m/s．则第6s末的速度为__________，前6s内的位移为__________，第6s内的位移为____________．
【解析】因v∝t，则第4s末与第6s末的速度之比v4:v6=t4:t6=4:6=2:3，可得v6=6m/s．
，故第1s内位移.
因x∝t2，则前1s内与前6s内的位移之比x1:x6=1:62，得x6 =36x1=18m．
第1s内与第6s内位移之比xI:xⅥ=1:(2n-1) =1:(2×6-1) =1:11，
可得第6s内的位移xⅥ=11xI=5.5m．
【答案】6m/s 18m 5.5m
拓展6 逆向思维法在匀变速直线运动中的应用
所谓逆向思维，简单来说就是“倒过来想一想”．例如：末速度为零的匀减速直线运动可看成初速度为零、加速度大小相等的反向匀加速直线运动．
例 做匀减速直线运动的物体经4s停止，若在4s内的位移是32m，则最后1s内的位移是 ( )
A．3.5 m B．2m C．1m D．0
【解析】利用“逆向思维法”，把物体的运动看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，4s内的位移，逆向运动第1s内的位移，所以，故选项B正确．
【答案】B
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由和，消去v0，可得．若末速度v=0，则．这是“逆向思维法”的理论依据．

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