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6.2直观图北师大版（ 2019）高中数学必修第二册
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
如图所示，表示水平放置的的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为( )
A.
B.
C.
D.
正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图如图，则原图形的周长是( )
A. B. C. D.
如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则下列叙述正确的是( )
A. 原图形是正方形 B. 原图形是非正方形的菱形
C. 原图形的面积是 D. 原图形的面积是
如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积是( )
A. B. C. D.
如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )
A.
B.
C.
D.
某水平放置的用斜二测画法得到如图所示的直观图，若，则中( )
A. B. C. D.
已知一个几何体的正视图和侧视图如图所示，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为的等腰直角三角形如图所示，则此几何体的体积为( )
A. B. C. D.
已知在“斜二测”画法下，的直观图是一个边长为的正三角形，则的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
下列说法中不正确的有( )
A. 正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长之比为，有一个内角为
B. 正三角形的直观图是一个底边长不变、高为原三角形高的一半的三角形
C. 不等边三角形的直观图是不等边三角形
D. 水平放置的平面图形的直观图是平面图形
如图，是水平放置的的直观图，，，则在原平面图形中，有( )
A.
B.
C.
D.
如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，为的中点，且轴，轴，那么在原平面图形中( )
A. 与相等
B. 的长度大于的长度
C. 的长度大于的长度
D. 的长度大于的长度
如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是( )
A. 是钝角三角形
B. 的面积是的面积的倍
C. 是等腰直角三角形
D. 的周长是
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形周长是 ．
已知用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为，那么原正方形的面积为
如图，是在斜二测画法下的直观图，其中，且，则的面积为 ．
如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原四边形的周长是__________．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，
画出它的原图形，
若，的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积．
本小题分
按图示的建系方法，画水平放置的正五边形的直观图．
本小题分
用斜二测画法画长、宽、高分别是，，的长方体的直观图．
本小题分
如图所示，正方形是一个水平放置的平面图形的直观图，其中．
求原图形的面积；
将原图形以所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积．注：图形与正方形的各点分别一一对应，如对应直观图中的
本小题分
下图是底面边长为、高为的正六棱锥的直观图，请指出底面、对角面、侧面的真实形状，并画出相应的图形．
本小题分
如图是一梯形的直观图，其直观图面积为求梯形的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查斜二测画法的应用，属于中档题．
设的边上的高为，因为，列出关于的方程，即可求解．
【解答】
解：设的边上的高为，
因为，
所以．
又，
所以．
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了画平面图形直观图的斜二测画法，熟练掌握斜二测画法的特征是解题的关键，属于中档题．
根据斜二测画法的规则，原图形的各边长度即可．
【解答】
解：如图，
，在中， ，
．
四边形的周长为．
故选B．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平面图形的直观图，其中原几何图形的面积：直观图的面积：，能够帮助我们快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化，属于中档题．
在原图中是一个锐角，，，即可判断、，由题意计算直观图的面积，据原几何图形的面积：直观图的面积：，可快速计算出答案．
【解答】
解：，在原图中是一个锐角，，，
故原图不是正方形，不是菱形，，B错误
由于原几何图形的面积：直观图的面积：，
又平行四边形的面积，
原图形的面积，故C正确，D错误．
故选C．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面图形的直观图，本题解题的关键是知道两个图形的面积之间的关系，属中档题．
根据所给的数据做出直观图形的面积，根据直观图的面积为原图的面积的，即可得到原图形的面积．
【解答】
解：平行四边形是一个平面图形的直观图，
其中，，，
直观图的面积是，
直观图的面积为原图的面积的，
原图形的面积是，
故选C．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是平面图形的直观图，为中档题．
由斜二测画法的规则画出原图，由此可以求得原图形的周长．
【解答】
解：由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在轴上，
可求得其长度为，
故在平面图中其在轴上，且其长度变为原来的倍，长度为，
其原来的图形如图所示，
故可得平行四边形的一边边长，
故原图形的周长是：，
故选A．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直观图与斜二测画法，属于中档题．
设 ，可得 ，将直观图还原，再逐项判断即可．
【解答】
解：设 ，
因为 ，
所以，
根据勾股定理可得 ，
将直观图还原，如图所示，
其中 ，
由图可知，，故A错误；
，
所以，，故B、C错误，D正确．
故选：

7.【答案】
【解析】
【分析】本题考查几何体的三视图，及直观图、棱锥的体积公式，属于基础题．
根据直观图可得该几何体的俯视图是一个直角边长分别是和的直角三角形，根据三视图可知该几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为，代入棱锥体积公式即可．
【解答】解：根据直观图可得该几何体的俯视图是一个直角边长分别是和的直角三角形，根据三视图可知该几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为，
所以体积．
故选B．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了斜二测画法中原图形与直观图面积之间的关系，属于中档题．
根据直观图为正三角形，求出原三角形的高和底，即可求出的面积．
【解答】
解：若轴，轴在直观图中的位置如图所示，
过作轴交轴于，
的边长为，
的高为．
，
，
对应的高，底，
的面积．
故选B．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查斜二测画法，属于中档题．
根据斜二测画法，对每个选项进行判断，从而选出正确选项．
【解答】
解：对于，若以该正方形的一组邻边所在的直线为轴、轴，则结论正确；
但若以该正方形的两条对角线所在的直线为轴、轴，
由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上或与坐标轴平行，
则其直观图中相邻两边长不一定符合“横不变，纵减半”的规则；
对于，水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，
高比原三角形高的一半还要短的三角形；
对于，只要坐标系选取的恰当，不等边三角形的水平放置的直观图可以是等边三角形，
根据直观图画法D正确，
故选ABC．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间几何体的直观图与斜二测画法，属于中档题．
将直观图还原为平面图形即可求解．
【解答】
解：在直观图中，过作于
，
，
又，所以，，，
所以利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，如图
，故选项B正确；
又，故选项A、D错误；
，故选项C正确；
故选BC．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查斜二测画法，熟记斜二测画法的步骤是关键，属于基础题．
由斜二测画出的三角形的直观图还原原图形，数形结合得结论．
【解答】
解：把斜二测画出的三角形的直观图还原原图形如图，
在原图形中，，为的中点，
则与相等，故A正确；
，故B错误，C正确；
与的大小不确定，故D错误．
故答案选：．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查斜二测画法的原理，考查学生空间想象能力，属于中档题．
根据斜二测画法规则可知在原图形中为的中点，且，，则是等腰直角三角形，再分别求得和的面积，即可得出结论．
【解答】
解：根据斜二测画法规则可知在原图形中为的中点，
因为，
所以，，
又原坐标轴中、轴互相垂直，即，
则是斜边为的等腰直角三角形，
故的周长是，面积是，故A错误，、D正确，
中，，过作轴的垂线，垂足为，
则，为等腰直角三角形，
，所以的面积为，故B错误．
故选CD．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查斜二测画法的规则，属于中档题．
结合题设直观图特征判定平面图特征并求得平面图形的边长，再求周长即可．
【解答】
解：由斜二测画法的规则知平面图为平行四边形且原图形中，
设与交于点，
由，，，
得原图中，
则，
则原图形的周长是．
故答案为．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直观图面积之间的关系，利用斜二测画法的原则是解决本题的关键，属于中档题．
根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积．
【解答】
解：设原正方形的边长为，
根据斜二测画法的原则可知，
，
高，
对应直观图的面积为，
即，
故原正方形的面积为，
故答案为：．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查空间几何体的直观图与斜二测画法，属于基础题．
过分别作轴的平行线，且交轴于点，，求出在原坐标系中，点，坐标，则可得的面积．
【解答】
解：过分别作轴的平行线，且交轴于点，，
，，
在原坐标系中，点，点，
．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查斜二测画法的规则，属于中档题．
结合题设直观图特征判定平面图特征并求得平面图形的边长，再求周长即可．
【解答】
解：由斜二测画法的规则知平面图为平行四边形且原图形中 ，
设 与 交于点 ，

由 ， ， ，
得原图中 ，
则 ，
则原图形的周长是 ，
故答案为．

17.【答案】解：原图形如下：
由作图知，原图形中，于点，
则为原图形中边上的高，且，
在直观图中作于点，
则的面积，
在直角三角形中，，
所以，
所以．
故原图形中边上的高为，原图形的面积为．
【解析】本题考查空间几何体的直观图与斜二测画法，属于中档题．
根据斜二测画法画出直观图；
根据斜二测画法确定各量的变化关系即可．
18.【答案】解：画法：在图中作轴于，作轴于．
在图中画相应的轴与轴，两轴相交于点，使．
在图中的轴上取，，，，
轴上取，分别过和作轴的平行线，
并在相应的平行线上取，．
连接，，，，并擦去辅助线，，轴与轴，便得到水平放置的正五边形的直观图如图．

【解析】本题主要考查直观图的画法，利用斜二测画法的原则是解决本题的关键，属于中档题．
首先在图中作轴于，作轴于，在图中作出相应的轴与轴，再找到点，，，，，，的位置，然后进行连接，即可得到答案．
19.【答案】 解：画轴．如图所示，画轴、轴、轴以及坐标原点，，
画底面．以点为中心，在轴上取线段，使；在轴上取线段，使分别过点和点作轴的平行线，过点和作轴的平行线，设它们的交点分别为，，，，四边形就是长方体的底面．
画侧棱．过，，，各点分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取长的线段，，，．
成图．顺次连结，，，，并加以整理去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，就得到长方体的直观图．
【解析】本题主要考查直观图的画法，利用斜二测画法的原则是解决本题的关键，依照画轴画底面画侧棱成图四步依次作图即可．
20.【答案】解：由正方形是一个水平放置的平面图形的直观图，其中，
得到平面图形，四边形是平行四边形，，，如图，

原图形的面积．
将原图形以所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，
将以为轴旋转一周的几何体是以为底面圆半径，以为高的圆锥，
将以为轴旋转一周所围成的几何体是以为底面圆半径，以为高的圆柱挖去一个同底等高的圆锥，
该几何体的表面积为：
，
该几何体的体积为：
．
【解析】本题考查由直观图还原空间图形的问题，考查圆柱、圆锥的表面积与体积的计算，属于中档题．
还原直观图，得出底，高，进而得解；
得出几何体的直观图，结合圆柱及圆锥的表面积和体积公式，即可求解．
21.【答案】解底面是边长为的正六边形．
设点是底面的中心如下图，在中，可知，，
则，于是对角面是两腰长约为、底边长为的等腰三角形．
侧面是两腰长约为、底边长为的等腰三角形．
它们的形状如下图比例尺．

【解析】本题考查斜二测画法下空间几何体的直观图，属基础题．
依题意，根据斜二测画法求得原几何体与直观图间的关系，求解即可．
22.【答案】解设，则原梯形是一个直角梯形且高为．
过作于，
则
由题意知．
即．
又原直角梯形面积为
所以梯形的面积为
【解析】本题考查了平面直观图形的面积与原图形的面积计算问题，是基础题．
设，则原梯形是一个直角梯形且高为；求出梯形的体积，由此表示出原直角梯形的面积．

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