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三角函数的图象与性质
学习目标
1. 能画出正弦、余弦、正切函数的图象，借助图象理解三角函数的周期性、奇偶性、单调性、最大
（小）值；
2. 结合具体实例，了解正弦型函数 的实际意义，能借助图象理解参数 的
意义，了解参数的变化对函数图象的影响．
【备注】本节重点：三角函数的图象与性质，正弦型函数，三角函数的图象变换；
本节难点：正弦型函数；
前置知识：三角函数的概念；
后置知识：辅助角公式．
一、 三角函数的图象与性质
1. 正弦函数的图象与性质
（1）图象：
（2）定义域： ．
（3）值域： ．
（4）单调性： （ ）为增函数； （ ）
为减函数．
（5）奇偶性：奇函数．
（6）最小正周期： ．
（7）对称性：对称轴 ；对称中心 ．
2. 五点作图法
观察正弦函数的图象，在函数 的图象上，以下五个点：
1
在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数 的图象形状就基本确定
了．因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦
函数的简图．这种近似的“五点（画图）法”是非常实用的．
3. 余弦函数的图象与性质
（1）图象
（2）定义域： ．
（3）值域： ．
（4）单调性： （ ）为增函数； （ ）减函数．
（5）奇偶性：偶函数．
（6）最小正周期： ．
（7）对称性：对称轴 ；对称中心 ．
4. 正切函数的图象与性质
（1）图象：
（2）定义域： ．
（3）值域： ．
（4）单调性：在 （ ）增函数．
2
（5）奇偶性：奇函数．
（6）最小正周期： ．
（7）对称性：对称中心 ．
【注意！】正切函数图象并不连续！
经典例题
1. 已知正切函数 的图象关于点 对称，则 （ ）．
A. 或 B. 或
C. 或 或 D. 或
【备注】 三角函数的图象与性质须熟练掌握．
【答案】C
【解析】∵正切函数 的图象关于点 对称，
∴ 是正切函数 的图象的对称中心，
∴ ， ．
故 ， ， ．
故选 ．
【标注】【知识点】正切函数的图象和性质
2. 下列三角函数值大小比较正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【备注】 利用三角函数的性质比大小．利用周期性和对称性（或诱导公式），将待比较的函数
值置于同一个三角函数的同一个单调区间中．通过这道题，不难感受到，诱导公式实际就
是反映了三角函数的周期性和对称性．
【答案】C
【解析】A 选项： ， ，
∵ ，
∴ ，
3
故 错误；
B 选项： ， ，
∵ ，
∴ ，
故 错误；
C 选项： ，
，
∵ ，
∴ ，
故 正确；
D 选项： ， ，
∵ ，
∴ ，
故 错误；
故选 C .
【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质；正切函数的图象和性质；余弦函数的图象和性质
3. 若 ，且 ，则 的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【备注】 利用三角函数的图象和性质解三角函数不等式．
【答案】D
【解析】∵ ，且 ，
∴ ，
作出图象：
4
结合图象得：
或 ．
∴α的取值范围是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质
4. 函数 （ 且 ）的图象可能为（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 对于含有三角函数的图象判断问题，可先从定义域、奇偶性等宏观性质入手，例如，
本题可以由奇函数，快速排除 ，然后可取特殊点或某一区间观察观察局部性质，如本
题可选择特殊点 或者 段， ，可判断出 正确．
【答案】D
【解析】函数 可以看作是
与 两个函数的乘积，
其中 且 ．
分别研究函数 与 在各个区间的正负性
可知函数 的正负性符合D项．
5
【标注】【知识点】余弦函数的图象和性质
5. 方程 在区间 上根的个数为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】 三角函数与函数零点问题的综合，由于 显然不成立，可转化为
在 上交点个数的问题．
【答案】C
【解析】∵ ，当 时显然不成立，
当 时， ，即 和 的图象交点．
y
2
x
O π 2π
当 时， 恒成立．
若 与 有交点，则 ．
∵ 时， ，
∴ 与 在 和 分别有一个交点．
故 在 上有 个根．
故选 ．
【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质
6. 已知函数 ，则下列结论中正确的是（ ）．
A. 的定义域是
B. 的值域是
C. 是奇函数
D. 是周期为 的函数
【备注】 应用复合函数的性质，逐个检验即可．
6
【答案】D
【解析】 定义域是 ， 错误；
∵ ，故 ， 错误；
，
故 是偶函数， 错误；
故 正确．
【标注】【知识点】复合函数；余弦型三角函数的图象与性质
巩固练习
7. 函数 的定义域为 ．
【答案】
【解析】有题得 ， ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】求具体函数（包括复合函数）的定义域；正切函数的图象和性质
8. 在 上满足 ， 的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】 时，满足 ，
由 ，在 上单调递减， 上单调递增，
， ，
∴ ， ．
故 正确．
【标注】【知识点】三角函数不等式；余弦函数的图象和性质
7
9. 若函数 为 上的奇函数，且在定义域上单调递减，又 ， ，则
的取值范围是（　　）．
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】∵函数 为 上的奇函数，又 ，
∴ ，
∴ ，
又在定义域上单调递减，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】函数单调性与奇偶性综合问题；利用函数单调性解不等式；三角函数不等式
10. 如图所示，函数 （ 且 ）的图象是（ ）．
A. B.
M J
J
C. D.
8
【答案】C
【解析】
∵ ，
∴函数 （ 且 ）的图象是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质
11. 方程 的根的个数为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在同一坐标系内画出 和 的图象，如图所示．
y
x
–4π –3π –2π –π O π 2π 3π
根据图象可知方程有 个实数解．
【标注】【知识点】函数零点的概念
12. 已知函数 则下面结论中正确的是（ ）．
A. 是奇函数
B. 的值域是
C. 是偶函数
D.
9
的值域是
【答案】D
【解析】在坐标系中，做出函数 的图象如图，由图象可知 的值域是
y
x
故答案为 ．
【标注】【知识点】余弦函数的图象和性质；正弦函数的图象和性质
二、 正弦型函数的性质
正弦型函数： ，其中 常被称为振幅， 常被称为相位．
（1）定义域： ．
（2）值域： ．
（3）最小正周期： ．
（4）单调性：
① ，
增区间：令 ，求出 的范围即为单调递增区间；
减区间：令 ，求出 的范围即为单调递减区间．
② ，
增区间：令 ，求出 的范围即为单调递增区间；
减区间：令 ，求出 的范围即为单调递减区间．
（5）对称性：
对称轴：令 ，求得 即为对称轴；
对称中心：令 ，求得 即为对称中心横坐标．
【备注】 研究余弦型函数 和正切型函数 的周期性、
10
单调性和对称性的方式与研究正弦型函数的方式十分类似，都可当成复合函数，秉持整体
代换、同增异减等原则求解．
经典例题
13. 已知函数 ．
（ 1 ）求函数 的单调递增区间．
（ 2 ）求函数 的对称轴和对称中心．
（ 3 ）求函数 在区间 上的最大值和最小值．
【备注】 典型的正弦型函数诸性质的求算．
【答案】（ 1 ） ， ．
（ 2 ）对称轴为 ， ，对称中心为 ， ．
（ 3 ）最大值为 ，最小值为 ．
【解析】（ 1 ）令 ， ，
解得 ， ，
所以函数 的单调递增区间为 ， ．
（ 2 ）令 ， ，
解得 ， ，
即函数 的对称轴为 ， ，
令 ， ，
解得 ， ，
即函数 的对称中心为 ， ．
（ 3 ） ，则 ，
，
所以 ，
所以函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ．
【标注】【知识点】求正弦型函数的单调区间；求固定区间正弦型函数值域；求正弦型函数的对称
轴
14. 求函数 ．
（ 1 ）周期和定义域．
11
（ 2 ）单调增区间．
（ 3 ）对称中心坐标．
【备注】 类比正弦型函数的研究方法．
【答案】（ 1 ）函数的定义域为 ；最小正周期 ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ ，
令 ，
∴ ，
∴函数的定义域为 ．
最小正周期 ．
（ 2 ）令 ，
∴ ，
∴单调递增区间为 ．
（ 3 ）由正切函数图像知，
的对称中心为 ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的对称中心坐标是 ．
【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质
15. 已知函数 的一部分图象如图所示，如果 ， ， ，则（
）．
A. B.
12
C. D.
【备注】 根据函数求解正弦型函数 的解析式，一般步骤如下:
① ； ；
②由周期求解 ；
③由特殊点（最好是最值点）求解相位 ．
【答案】C
【解析】根据函数最大值和最小值可得：
可得 ， ，
，
∴ ，
∴ ．
当 时，取最大值，即 ，
， ，
∵ ，∴ ，
故选 ．
【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质
16. 已知函数 在区间 上的最小值是 ，则 的最小值等于 ．
【备注】 已知正弦型函数的性质求 ．
可直接带" "运算．
存在 使得
得： 且 ;
不难发现， 可取的最小正值为 ．
【答案】
【解析】方法一：函数 在区间 上的最小
值是 ，
而 ，
当 ， 时，函数有最小值 ，
13
∴ 或 ，
∴ 即 的最小值是 ．
方法二：先求单调增区间，因为 ，
令 ，
解得 ，即增区间为 ，
又已知函数 在 有最小值 ，
所以有 ， ， ，
所以有 ，
既有 ．
【标注】【知识点】正弦型函数ω求最值问题；求固定区间正弦型函数值域
17. 已知函数 的图像关于直线 对称，则 可能是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 已知正弦型函数的性质，求相位 ，相位 常常不唯一，须留意题干中的限制条件．
【答案】D
【解析】∵函数 的图像关于直线 对称，
∴ ， ，
∴ ， ，
当 时， ．
故选 ．
【标注】【知识点】已知正弦型函数图象求参数值
【素养】数学运算
18. 设函数 ，若函数 恰有三个零点 ，
， ，则 的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
14
D.
【备注】 正弦型函数与零点问题的综合．此类问题要善加利用正弦型函数的对称性和周期性，
将多变量问题转化为单变量问题；同时利用数形结合的思想可以较快地判断变量的取值范
围．
【答案】A
【解析】作出 的图像如图所示，
易知 关于 对称，
∴ 为定值，
又 的周期为 ，
∴显然 ，而 ，∴ ，
∴ ．
【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质
19. 已知函数 （ ， ， 均为正的常数）的最小正周期为 ，当 时，函数
取得最小值，则下列结论正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 正弦型函数性质的应用．本题的单调区间是明确的，可利用周期性和对称性，将待比
较的 转化到同一个单调减区间 上，
利用单调性进行比较，这样可以不必求解函数解析式．
15
【答案】A
【解析】由题意得， 的周期为 ，
∵ ，
∴ ，
又当 时，函数 取得最小值，
∴ ， ，
可解得： ， ，
∴ ，
∴ ，
，
，
又∵ ，
而 在区间 是单调递减，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质
巩固练习
20. 已知函数 ， ．
（ 1 ）求 的最小正周期．
（ 2 ）求 的单调递增区间和单调递减区间．
（ 3 ）当 时，求 值域．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）单调递增区间为 ， ，单调递减区间为
， ．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）由解析式得 ，
则函数的最小周期 ．
（ 2 ）由 ， ，
16
得 ， ，
即 ， ，
即函数的单调递增区间为 ， ，
由 ， ，
得 ， ，
即函数的单调递减区间为 ， ．
（ 3 ）当 时， ， ，
则当 时，函数 取得最大值，此时 ，
当 时，函数 取得最小值，此时 ，
即 值域为 ．
【标注】【知识点】求正弦型函数的周期；求固定区间正弦型函数值域；求正弦型函数的单调区间
21. 函数 的单调递增区间为（ ）．
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】A
【解析】对于函数 ，令 ，
求得 ，
故函数的增区间为： ．
故选 ．
【标注】【知识点】正切型三角函数的图象与性质
22. 若函数 的局部图象如图所示，则函数 的解析
式为（ ）．
17
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】∵ ，
∴ ，
又由图象可得： ，可得： ，
∴ ，
∴ ， ．
∴ ，
又∵ ，
∴当 时， ，可得： ．
故选 ．
【标注】【知识点】已知正弦型函数图象求参数值；正弦函数的图象和性质
23. 已知函数 的图象的一个对称中心为 ，且 ，则 的最
小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由 知，
， ， ，
， ，
18
故 ， ．
由 知， ，
， ，
， ，
即 ，
，取 ．
故选 ．
【标注】【知识点】正弦型函数ω求最值问题
【素养】数学运算
24. 已知点 ， ， ，若这三个点中有且仅有两个点在函数 的
图像上，则正数 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】将 点代入， ， 或 ，
∴ 或 ， ；
将 点代入， ， ，
∴ ， ；
将 点代入， ， ，
∴ ， ；
显然 是偶数，
时，三个点都在 上，不满足； 时，只有 不在 上，满足题意．
【标注】【知识点】正弦型函数ω求最值问题
25. 如果函数 的图象关于点 中心对称，那么 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】方法一：对称中心： ， ，
19
将 代入化简得 ， ，
则 的最小值为 ．
故选 ．
方法二：由题意得
， 则
， ，解得 ， ，所以 ．
故选 ．
【标注】【知识点】求余弦型函数的对称中心
26. 已知函数 为偶函数，则函数 在 上
的值域为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由 为偶函数知， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
，
∵ ，∴ ，
∴当 ，即 时， ，
当 ，即 时， ，
∴当 时， ．
故选 ．
【标注】【知识点】求固定区间余弦型函数值域
27. 定义在 上的奇函数 的最小正周期为 ，当 时， ，
， 的图象如图所示，则 在区间 上所有零点之和为（ ）．
20
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当 时， ，∴ ，
∴ 过点 ， ，
， ，
∴ ，
又 ，∴ ， ，
令 ，得 ， ，
又 ，
∴ ，即 ，
又 为奇函数，且最小正周期为 ，
∴ ， ， ，
又 为奇函数，则 ，
又 的周期为 ，则 ，
故 ．
所以 在 上的零点和为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】正弦型函数与零点综合问题
三、 三角函数的图象变换
21
1. 平移变换
函数 的图象可以看做将函数 的图象上的所有的点向左（当
时）或向右（当 时）平移 个单位而得到．
如下图中的 ：
（1） 的图象与 的图象形状是完全一样的，二者可以通过左右平移变换得到，
称此变换为平移变换或相位变换；更一般的结论：任何平移变换均不会改变图象的形状．
（2）左右平移是针对自变量 本身而言的，因此如果 有一系列诸如负号或者系数的前缀，应该将其提
取之后再进行左右平移．
2. 伸缩变换
函数 （ 且 ）的图象可以看做是把 的图象上所有的点的横
坐标缩短为（当 时）或伸长（当 时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到．
如下图中的 ：
（1）由上面的变换发现， 可以控制变化函数的“胖瘦”，进而影响函数的周期．
22
（2） 的图象与 的图象的形状不同，此种变换为横向伸缩变换，也称周
期变换．
（3）推广到一般结论：函数 （ 且 ）的图象，可以看作是把函数 的图象上的点的
横坐标缩短（当 时）或伸长（当 时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到．
3. 振幅变换
函数 （ 且 ）的图象可以看做是将 的图象上所有的点
的纵坐标伸长（当 时）或缩短（当 时）到原来的 倍（横坐标不变）而得到．
如下图中的 ：
（1）由上面的变化发现， 可以控制函数的“高矮”，进而影响函数的振幅．
（2）函数 的值域是 ．
（3） 的大小，反映了曲线纵向波动幅度的大小．
（4） 的图象与 的图象形状不同，此种变换称为纵向伸缩变换，也
叫振幅变换．
（5）推广到一般结论：函数 （ 且 ）的图象，可以看作是把函数 的图象
上的点的纵坐标伸长（ ）或缩短（ ）到原来的 倍（横坐标不变）而得到．
经典例题
28. 为了得到函数 的图象，只需将 的图象上的所有点（ ）．
A. 横坐标伸长 倍，再向上平移 个单位长度
B. 横坐标伸长 倍，再向下平移 个单位长度
C. 横坐标缩短 倍，再向上平移 个单位长度
D. 横坐标缩短 倍，再向下平移 个单位长度
【备注】 练习三角函数的图象变换．
23
【答案】C
【解析】将 的图象上的所有点的横标缩短原来的 倍，
得到 的图象，
再将函数的图象向上平移 个单位，
即可得到函数 的图象．
故选： ．
【标注】【知识点】正余弦型、正切型函数图象变换
29. 已知函数：① ，② ，③ ，④ ，其中周期为 ，且在
上单调递增的是（ ）．
A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①③④
【备注】 对于正弦、余弦和正切函数的图象与性质要做到熟练掌握，并能画出它们经过简单的
函数图象变换（如本题中的翻折）所得的新函数的图象．
【答案】B
【解析】①函数 中 ，故周期 ；因为利用正切函数图像可得在 上单调
递增，所以 正确；
② 为偶函数，根据图像判断它不是周期函数．
③由于函数 周期为 ，利用正弦函数的图像可得在 上单调递增，故正
确；
④ 是周期为 的三角函数，利用余弦函数的图像可得在 上单调递减，故
不正确．
【标注】【知识点】正切函数的图象和性质
30. 将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数（ ）．
A. 在区间 上单调递减
B. 在区间 上单调递增
C. 在区间 上单调递减
D. 在区间 上单调递增
【备注】 对三角函数进行图象变换，其对称轴、对称中心、单调区间也会发生相应的变换，常
24
可以根据图象变换直接得出新的对称轴、对称中心、单调区间．
【答案】B
【解析】由题可知，将函数 的图像向右平移 个单位长度得到函数
的图像．
由 ， ，
得 ， ，
则函数 的单调递增区间为 ， ．
令 得函数 的一个递增区间为 ，故 正确．
画出函数 在区间 上的简图，如图，
可知 在区间 上不具有单调性，故 ， 错误．
故选 ．
【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质
31. 已知函数 的图象两相邻对称轴之间的距离是 ，若将
的图象先向右平移 个单位，再向上平移 个单位，所得函数 为奇函数．
（ 1 ）求 的解析式．
（ 2 ）求 的对称轴及单调区间．
（ 3 ）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【备注】 涉及函数图象变换的正弦型函数综合题．
【答案】（ 1 ） ．
25
（ 2 ） ， ，增区间为 ，减区间为
．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 为奇函数，
且 ，则 ， ，
故 ．
（ 2 ）令 ，
求得 ， ，
可得 的图象的对称轴为 ， ，
令 ，
求得 ，
可得函数的增区间为 ，
令 ，
求得 ，
可得函数的减区间为 ．
（ 3 ）由于 ，
故 ，
∵ 恒成立，
整理可得 ，
由 ，
得： ，
故 ，
即 取值范围是 ．
【标注】【知识点】不等式中的恒成立与能成立问题
巩固练习
26
32. 先把函数 的图象上所有的点先向右平移 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变）， 得到的函数图象的解析式为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题可知，得到的函数依次为 ，故选
．
【标注】【知识点】正余弦型、正切型函数图象变换
33. 为了得到函数 的图象，只需将 的图象上每一点（ ）．
A. 向左平移 个单位长度 B. 向左平移 个单位长度
C. 向右平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度
【答案】B
【解析】将 的图象向左平移 得到 ．
【标注】【知识点】正余弦型、正切型函数图象变换
34. 设函数 ，则 （ ）．
A. 在区间 上是增函数
B. 在区间 上是减函数
C. 在区间 上是增函数
D. 在区间 上是减函数
【答案】A
【解析】递增区间为 ， ，
即 ， ，
令 可得到 正确；
递减区间为 ， ，
即 ， ；
27
， ， 选项经验证后均错误．
故选 ．
【标注】【知识点】求正弦型函数的单调区间
35. 已知函数 的最小正周期是 ，将函数 的图象向左平移
个单位长度后所得的函数图像过点 ，则函数 （ ）．
A. 有一条对称轴
B. 有一个对称中心
C. 在区间 上单调递减
D. 在区间 上单调递增
【答案】A
【解析】由 的最小正周期 ，得 ，
将 的图象向左平移 个单位长度后得到
，其图象过点 ，
则 ，
又 ，则 ，则 ，
项， ，
则函数 的图象关于直线 对称，故 正确；
项， ，
则函数 的图象不关于点 对称，故 错误；
项，当 时， ，
则函数 在区间 上先增后减，故 错误；
项，当 时， ，
则 在区间 上先减后增，故 错误．
故选 ．
【标注】【知识点】正弦型函数的图象与性质；正弦函数的图象和性质；正余弦型、正切型函数图
象变换
36.
28
已知函数 的图象两相邻对称轴之间的距离是 ，若将
的图象先向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度后，所得图象关于 轴对称且经过坐
标原点．
（ 1 ）求 的解析式．
（ 2 ）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）由题意知： ，
∴ ，
右
上
，
设 过原点且关于原点对称，
且 ，
， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
（ 2 ） ， ，
∴ ，
∴ ，
令 ，
恒成立 恒成立，
恒成立 ，
令 ，
， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
29
【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质；一元二次不等式
37. 若不等式 对 恒成立，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】方法一：如图，作出函数 在 上的图象，
为使不等式 对 恒成立，则函数
的图象经过函数 的零点，
由 ，得 ， ，
所以 ，
所以 ．
故选 ．
方法二：令 ，
作出函数 在 上的图象，
则函数 的图象必经过 ， 两点，
则 ．
故选 ．
方法三：当 时， ， ，
所以， ，即 ，
30
所以 ，当 时， ，
，
所以 ，
则 或 ，
所以 ，
综上 ．
故选 ．
【标注】【知识点】正弦型函数与零点综合问题；不等式中的恒成立与能成立问题
导图总结
你学会了吗？快来用知识导图来总结本节课所学吧！
【备注】
出门测
38. 函数 在下列所给区间上单调递增的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】 ， ， ．
故选 ．
【标注】【知识点】求余弦型函数的单调区间
31
39. 若函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，则 （
）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】方法一：因为 过原点，
所以当 ，即 时， 是增函数；
当 ，即 时， 是减函数．
由 在 上单调递增，在 上单调递减知， ，所以
．
方法二：由题意知，函数在 处取得最大值 ，所以 ．
故选 ．
【标注】【知识点】已知正弦型函数图象求参数值
40. 先把函数 的图象上所有的点先向右平移 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变）， 得到的函数图象的解析式为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】将函数 的图象向右平移 个单位长度，
可得函数 的图象；
再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），
可得函数 的图象，
故选： ．
【标注】【知识点】正余弦型、正切型函数图象变换
41. 已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）．
32
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】D
【解析】 ， ．
由五点作图法知， ， ．
【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质
【素养】数学运算
33三角函数的图象与性质
一、 三角函数的图象与性质
1. 正弦函数的图象与性质
（1）图象：
（2）定义域： ．
（3）值域： ．
（4）单调性： （ ）为增函数； （ ）
为减函数．
（5）奇偶性：奇函数．
（6）最小正周期： ．
（7）对称性：对称轴 ；对称中心 ．
2. 五点作图法
观察正弦函数的图象，在函数 的图象上，以下五个点：
在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数 的图象形状就基本确定
了．因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦
函数的简图．这种近似的“五点（画图）法”是非常实用的．
3. 余弦函数的图象与性质
（1）图象
1
（2）定义域： ．
（3）值域： ．
（4）单调性： （ ）为增函数； （ ）减函数．
（5）奇偶性：偶函数．
（6）最小正周期： ．
（7）对称性：对称轴 ；对称中心 ．
4. 正切函数的图象与性质
（1）图象：
（2）定义域： ．
（3）值域： ．
（4）单调性：在 （ ）增函数．
（5）奇偶性：奇函数．
（6）最小正周期： ．
（7）对称性：对称中心 ．
【注意！】正切函数图象并不连续！
经典例题
1. 已知正切函数 的图象关于点 对称，则 （ ）．
2
A. 或 B. 或
C. 或 或 D. 或
2. 下列三角函数值大小比较正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
3. 若 ，且 ，则 的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
4. 函数 （ 且 ）的图象可能为（ ）．
A. B.
C. D.
5. 方程 在区间 上根的个数为（ ）．
A. B. C. D.
6. 已知函数 ，则下列结论中正确的是（ ）．
A. 的定义域是
B. 的值域是
C. 是奇函数
D. 是周期为 的函数
3
巩固练习
7. 函数 的定义域为 ．
8. 在 上满足 ， 的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
9. 若函数 为 上的奇函数，且在定义域上单调递减，又 ， ，则
的取值范围是（　　）．
A.
B.
C.
D.
10. 如图所示，函数 （ 且 ）的图象是（ ）．
A. B.
M J
J
C. D.
11. 方程 的根的个数为（ ）.
A. B. C. D.
12. 已知函数 则下面结论中正确的是（ ）．
A. 是奇函数
4
B. 的值域是
C. 是偶函数
D. 的值域是
二、 正弦型函数的性质
正弦型函数： ，其中 常被称为振幅， 常被称为相位．
（1）定义域： ．
（2）值域： ．
（3）最小正周期： ．
（4）单调性：
① ，
增区间：令 ，求出 的范围即为单调递增区间；
减区间：令 ，求出 的范围即为单调递减区间．
② ，
增区间：令 ，求出 的范围即为单调递增区间；
减区间：令 ，求出 的范围即为单调递减区间．
（5）对称性：
对称轴：令 ，求得 即为对称轴；
对称中心：令 ，求得 即为对称中心横坐标．
经典例题
13. 已知函数 ．
（ 1 ）求函数 的单调递增区间．
（ 2 ）求函数 的对称轴和对称中心．
（ 3 ）求函数 在区间 上的最大值和最小值．
14. 求函数 ．
（ 1 ）周期和定义域．
（ 2 ）单调增区间．
（ 3 ）对称中心坐标．
15. 已知函数 的一部分图象如图所示，如果 ， ， ，则（
）．
5
A. B.
C. D.
16. 已知函数 在区间 上的最小值是 ，则 的最小值等于 ．
17. 已知函数 的图像关于直线 对称，则 可能是（ ）．
A. B.
C. D.
18. 设函数 ，若函数 恰有三个零点 ，
， ，则 的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
19. 已知函数 （ ， ， 均为正的常数）的最小正周期为 ，当 时，函数
取得最小值，则下列结论正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
巩固练习
20. 已知函数 ， ．
（ 1 ）求 的最小正周期．
（ 2 ）求 的单调递增区间和单调递减区间．
（ 3 ）当 时，求 值域．
21. 函数 的单调递增区间为（ ）．
A. ，
B. ，
6
C. ，
D. ，
22. 若函数 的局部图象如图所示，则函数 的解析
式为（ ）．
A.
B.
C.
D.
23. 已知函数 的图象的一个对称中心为 ，且 ，则 的最
小值为（ ）．
A. B. C. D.
24. 已知点 ， ， ，若这三个点中有且仅有两个点在函数 的
图像上，则正数 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
25. 如果函数 的图象关于点 中心对称，那么 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
26. 已知函数 为偶函数，则函数 在 上
的值域为（ ）．
A. B.
C. D.
27. 定义在 上的奇函数 的最小正周期为 ，当 时， ，
， 的图象如图所示，则 在区间 上所有零点之和为（ ）．
7
A. B.
C. D.
三、 三角函数的图象变换
1. 平移变换
函数 的图象可以看做将函数 的图象上的所有的点向左（当
时）或向右（当 时）平移 个单位而得到．
如下图中的 ：
（1） 的图象与 的图象形状是完全一样的，二者可以通过左右平移变换得到，
称此变换为平移变换或相位变换；更一般的结论：任何平移变换均不会改变图象的形状．
（2）左右平移是针对自变量 本身而言的，因此如果 有一系列诸如负号或者系数的前缀，应该将其提
取之后再进行左右平移．
2. 伸缩变换
8
函数 （ 且 ）的图象可以看做是把 的图象上所有的点的横
坐标缩短为（当 时）或伸长（当 时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到．
如下图中的 ：
（1）由上面的变换发现， 可以控制变化函数的“胖瘦”，进而影响函数的周期．
（2） 的图象与 的图象的形状不同，此种变换为横向伸缩变换，也称周
期变换．
（3）推广到一般结论：函数 （ 且 ）的图象，可以看作是把函数 的图象上的点的
横坐标缩短（当 时）或伸长（当 时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到．
3. 振幅变换
函数 （ 且 ）的图象可以看做是将 的图象上所有的点
的纵坐标伸长（当 时）或缩短（当 时）到原来的 倍（横坐标不变）而得到．
如下图中的 ：
（1）由上面的变化发现， 可以控制函数的“高矮”，进而影响函数的振幅．
（2）函数 的值域是 ．
（3） 的大小，反映了曲线纵向波动幅度的大小．
9
（4） 的图象与 的图象形状不同，此种变换称为纵向伸缩变换，也
叫振幅变换．
（5）推广到一般结论：函数 （ 且 ）的图象，可以看作是把函数 的图象
上的点的纵坐标伸长（ ）或缩短（ ）到原来的 倍（横坐标不变）而得到．
经典例题
28. 为了得到函数 的图象，只需将 的图象上的所有点（ ）．
A. 横坐标伸长 倍，再向上平移 个单位长度
B. 横坐标伸长 倍，再向下平移 个单位长度
C. 横坐标缩短 倍，再向上平移 个单位长度
D. 横坐标缩短 倍，再向下平移 个单位长度
29. 已知函数：① ，② ，③ ，④ ，其中周期为 ，且在
上单调递增的是（ ）．
A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①③④
30. 将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数（ ）．
A. 在区间 上单调递减
B. 在区间 上单调递增
C. 在区间 上单调递减
D. 在区间 上单调递增
31. 已知函数 的图象两相邻对称轴之间的距离是 ，若将
的图象先向右平移 个单位，再向上平移 个单位，所得函数 为奇函数．
（ 1 ）求 的解析式．
（ 2 ）求 的对称轴及单调区间．
（ 3 ）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
巩固练习
32. 先把函数 的图象上所有的点先向右平移 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变）， 得到的函数图象的解析式为（ ）．
A. B.
C. D.
33. 为了得到函数 的图象，只需将 的图象上每一点（ ）．
10
A. 向左平移 个单位长度 B. 向左平移 个单位长度
C. 向右平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度
34. 设函数 ，则 （ ）．
A. 在区间 上是增函数
B. 在区间 上是减函数
C. 在区间 上是增函数
D. 在区间 上是减函数
35. 已知函数 的最小正周期是 ，将函数 的图象向左平移
个单位长度后所得的函数图像过点 ，则函数 （ ）．
A. 有一条对称轴
B. 有一个对称中心
C. 在区间 上单调递减
D. 在区间 上单调递增
36. 已知函数 的图象两相邻对称轴之间的距离是 ，若将
的图象先向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度后，所得图象关于 轴对称且经过坐
标原点．
（ 1 ）求 的解析式．
（ 2 ）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
37. 若不等式 对 恒成立，则 （ ）．
A. B. C. D.
导图总结
你学会了吗？快来用知识导图来总结本节课所学吧！
出门测
38. 函数 在下列所给区间上单调递增的是（ ）．
A. B.
C. D.
39. 若函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，则 （
）．
11
A. B. C. D.
40. 先把函数 的图象上所有的点先向右平移 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变）， 得到的函数图象的解析式为（ ）．
A. B.
C. D.
41. 已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）．
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
12

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