高一数学培优(第一学期)三角函数综合-学案(PDF版含答案)

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高一数学培优(第一学期)三角函数综合-学案(PDF版含答案)

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三角函数综合
一、 选填综合
经典例题
1. 函数 的最大值是 .
【备注】 类二次法研究三角函数:利用同角三角函数的关系,将待研究的函数转化为以三角函
数为内函数,二次函数为外函数的复合函数.
【答案】
【解析】

当 ,即 时,函数 取得最大值,且最大值为 .
【标注】【知识点】类二次三角函数问题;同角三角函数的基本关系式
2. 已知 , ,则 ( ).
A. B. C. D.
【备注】 齐次化构造与二倍角公式的综合,当然本题也可以用消元的方法,以方程解出正弦、
余弦的可能值.
【答案】C
【解析】把条件中的式子两边平方,得 ,
即 ,
所以 ,所以 ,
即 ,
解得 或 ,
所以 .
故选 .
1
【标注】【知识点】同角三角函数的基本关系式;二倍角的正弦
3. 若在 中, ,则 的形状一定是(  )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
【备注】 利用三角恒等变换判断三角形形状.
【答案】C
【解析】 在 中, ,




又 , 是 的内角,
,即 ,
为等腰三角形,
故选 .
【标注】【知识点】利用三角恒等变换判断三角形形状
4. 已知函数 ,则 的增区间 .
【备注】 一"拆"(用和差角公式拆出括号内角),二”降“(二倍角公式降幂),三"并"(用辅助
角公式得到正弦型函数).
【答案】
【解析】 ,


故答案为: .
【标注】【知识点】二倍角的正弦;二倍角的余弦;两角和与差的正弦;正弦函数的图象和性质
5. 已知函数 .有下列四个结论:
2
①函数的值域为 ;
②函数的最小正周期为 ;
③函数在 上单调递增;
④函数的图像的一条对称轴为 .
其中正确的结论是( ).
A. ②③ B. ②④ C. ①④ D. ①②
【备注】 可知 是函数 的一个周期,做出该函数在 上的图象,即不难进行选项判
断,本题体现了图象在解决三角函数问题中的重要性和泛用性.
y
3
2
1
–1 O 1 2 3 4 5 6 7 x
–1
–2
【答案】B
【解析】对于①:∵ , ,
若 ,且 ,
则 , ,
∴ ,
又 , ,
∴不成立;
又若 , ,
则 , ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,即满足,
3
此时 ,故①错;
对于②,当 时,

∴ ,
当 时, ,
∴ ,
当 时,

∴ ,
∴ 的最小正周期为 ,故②对;
对于③,∵ 在 上无单调性, 在 上单增,
在 上单减,
且 ,周期为 ,
∴ 在 上不单调递增,故③错;
对于④: ,

∴ ,
∴ 关于直线 对称,
故④正确;
故选 .
【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质
巩固练习
6. 已知函数 , 的值域为 ,则实数 的取值范围
是(  )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意,可知:
4
, .
令 ,则 ,
令 ,得 或 ,
由二次函数的图象即性质可知,
当 时, 的值域为 ,

故选: .
【标注】【知识点】类二次三角函数问题
7. 已知 , 则 的最大值为 .
【答案】
【解析】因为 , ,
所以

因为 ,

所以 ,
所以当 时 , 的最大值为:

【标注】【知识点】类二次三角函数问题
8. 若 ,则 , .
【答案】 ;
【解析】∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
5
即 ,
∴解得: ,
∴ , ,
∴ .
故答案为: ; .
【标注】【知识点】同角三角函数的基本关系式;同角三角函数的基本关系式的化简和求值;两角
和与差的正切;和差角公式化简求值综合运用
9. 已知在 中, , ,则 的值为( ).
A. 或 B. 或
C. D.
【答案】D
【解析】在 中, , , .
因为 ,所以 .
又 ,所以 ,所以 .
所以 为锐角,故 .
从而 .
【标注】【知识点】两角和与差的余弦
10. , , 是 的三个内角,且 , 是方程 的两个实数根,则
是( ).
A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 以上均有可能
【答案】A
【解析】由韦达定理可知, ,所以 , 故 , 为锐角,
, 故 为钝角,
答案为A.
【标注】【知识点】利用三角恒等变换判断三角形形状
6
11. 在 中,若 ,则 的形状为( ).
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】 ,即

即 .
故 或 .
即 为直角或等腰三角形.
故选 .
【标注】【素养】逻辑推理;数学运算
【知识点】利用三角恒等变换判断三角形形状
12. 已知函数 ,下列命题中的真命题有( ).
A. , 为奇函数
B. , 对 恒成立
C. , ,若 ,则 的最小值为
D. , ,若 ,则
【答案】BC
【解析】A 选项:由题意, ;
∵ 的图象如图所示:
y
x
O
( )
函数 的图象是 的图象向左或向右平移 个单位,
它不会是奇函数的,故 错误.
B 选项: ,∴

7
∴ ,∴ , ;
又 ,∴取 或 时,
∴ 对 恒成立, 正确.
C 选项: 时,
的最小值为 ,∴ 正确.
D 选项:当 时,
∴ 错误.
故选 B C .
【标注】【知识点】奇偶性;半角公式;二倍角的余弦;余弦型三角函数的图象与性质;余弦函数
的图象和性质
13. 函数 ,下列四个结论不正确的有( ).
A. 是以 为周期的函数
B. 图象的对称轴为直线
C. 当且仅当 时, 取得最小值
D. 当且仅当 时,
【答案】BC
【解析】如图可知, 最小正周期为 ,对称轴为 , ,
当 或 时,取最小值 ,
由 ,
得 ,
综上所述,正确的为 ,
此外,由之前的习题可知, 的解析式还可以写为

【标注】【知识点】正余弦、正切函数的图象性质综合考察
14. 若两个锐角 , 满足 ,则下列四个选项中成立的是( ).
8
A.
B.
C.
D.
【备注】 可用特殊值法或利用锐角的三角函数的不等关系: .
【答案】C
【解析】方法一: ,令 ,那么 ,又 为锐角,
故 , 在 上单调递减.


令 , ,
故 在 上单调递增,即 ,
(当 时)则 ,又 ,
则 , ;
② ,
令 , ,
故 在 单调递减,
(当 时),
故 ,且 ,故 ,即 ,
综上, .
故选 .
方法二:特殊值快解 令 ,则 ,

故选 .
方法三:(利用锐角三角函数的不等关系)




9


综上: .
故选 .
【标注】【知识点】通过构造函数证明不等式;利用公式和四则运算法则求导;二倍角的正弦
15. 已知 ,若 满足不等式 ,则 的取值范围是(  )
A. B.
C. D.
【备注】 构造单调性已知的函数.
【答案】A
【解析】解: ,

即 ,
则 且 .即 且 ,即 ,
设 , ,
则不等式 等价为 恒成立,
函数 ,则当 时, 恒成立,即 在定义域上为增函数,
则 等价于 恒成立,

,即 ,
即 ,即 的取值范围是 ,
故选:A.
【标注】【知识点】利用导数证明不等式恒成立问题
二、 三角函数的实际应用
经典例题
10
16. 摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑,如深圳前海的“湾区之光”摩天轮,如图所示,某摩天轮最
高点离地面高度 米,转盘直径为 米,设置若干个座舱,游客从离地面最近的位置进舱,开启
后按逆时针匀速旋转 分钟,当 时,游客随舱旋转至距离地面最远处.以下关于摩天轮的说法
中,正确的是( ).
A. 摩天轮离地面最近的距离为 米
B. 若旋转 分钟后,游客距离地面的高度为 米,则
C. 若在 , 时刻,游客距离地面的高度相等,则 的最小值为
D. , ,使得游客在该时刻距离地面的高度均为 米
【备注】 仿照用在单位圆上研究三角函数,得出高度 关于时间 的函数.
【答案】BC
【解析】A 选项: 米,
∴离地面最近的距离为 米,故 错误;
B 选项:∵ 时,旋转角度为 ,
∴ 分钟后角度 ,
∴ ,
∴ ,故 正确;
C 选项:若在 , 时刻,游客距离地面高度相等,则在摩天轮转一圈内,

∴ ,但摩天轮不止转一圈,当第二次高度相等时, ,故
,故 正确;
D 选项:设 ,则 时,存在 使 米, ,当 时,
最小, ,
11
∴不存在 , ,使高度均为 米,故 错误.
故选 B C .
【标注】【知识点】三角函数的实际应用
17. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用.如
图,一个半径为 的筒车按逆时针方向每分钟转 圈,筒车的轴心 距离水面的高度为 米.设筒
车上的某个盛水筒 到水面的距离为 (单位: )(在水面下则 为负数),若以盛水筒 刚浮出水
面时开始计算时间,则 与时间 (单位: )之间的关系为
.则盛水筒出水后到达最高点的最少时间为
( ).
水面
A. B.
C. D.
【备注】 可直接利用角速度解决本问题.
【答案】D
【解析】振幅 即为半径,即 ,
∵逆时针方向每分钟转 圈,
∴ , ,
∵ 时, ,
∴ ,
又∵ ,
∴ ,即 .
12
当 ,即 时, 取最大值,
当 时, .
故选 .
【标注】【知识点】三角函数的实际应用
巩固练习
18. 如图,一个水轮的半径为 ,水轮轴心 距离水面的高度为 ,已知水轮按逆时针匀速转动,每
分钟转动 圈,当水轮上点 从水中浮现时的起始(图中点 )开始计时,记 为点 距离水面的
高度关于时间 的函数,则下列结论正确的是( ).
A.
B.
C. 若 ,则
D. 不论 为何值, 是定值
【答案】BD
【解析】如图,以水轮所在面为坐标平面,以水轮的轴心 为坐标原点, 轴和 轴分别平行和垂
直于水面建立平面直角坐标系,
依题意得 在 内所转过的角度为 ,
则 ,
则点 的纵坐标为 ,
点 距离水面的高度关于时间 的函数 ;
,选项 错误;
, , ,选
项 正确;
由 得, 解得 ,选项 错误;
,
13
展开整理,得 为定值,选项 正确,
故答案为 .
【标注】【素养】数学建模
【知识点】三角函数的实际应用
【思想】数形结合思想
19. 《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动,刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中
最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”,掷铁饼者的手臂长约
为 米,肩宽约为 米,“弓”所在圆的半径约为 米,则掷铁饼者双手之间的距离约为( ).
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】B
【解析】 “弓”所在弧长 ,
对应的圆心角为 ,
故两手间的距离 ,
故 项错误, 项正确.
14
故选 .
【标注】【知识点】三角函数的实际应用
三、 解答综合
经典例题
20. 已知 , , , .
( 1 )求 的值.
( 2 )求角 的大小.
【备注】 应用三角恒等变换求三角函数值、求角的问题.注意整体代换或角度范围.
【答案】( 1 ) .
( 2 ) .
【解析】( 1 )∵ , ,
∴ ,
∴ .
( 2 )

∵ , ,
∴ ,
∴ .
【标注】【知识点】利用正切和差角公式凑角求值;已知正弦余弦正切或其关系求值
21. 已知函数 .
( 1 )求函数 的单调递增区间和对称中心.
( 2 )当 时,求函数 的值域.
15
( 3 )当 时,解不等式 .
【备注】 应用三角恒等变换化简,转换成正弦型函数.
【答案】( 1 )单调递增区间: , ,对称中心 ,

( 2 ) .
( 3 ) .
【解析】( 1 )

令 , ,
解得 , ,
即 的单调递增区间为 , .
令 , ,解得 , ,
即 的对称中心为 , .
( 2 ) ,则 ,则 ,
故 的值域为 .
( 3 ) ,则 ,
要使 ,即 ,则

由 图象可得 或 或

解得 .
【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质
22. 定义函数 .
( 1 )求函数 的最小正周期.
( 2 )将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象关于 轴对称,求
的最小值.
( 3 )判断方程 的根的个数.(不需写出解答过程)
16
【备注】 正弦型函数与函数图象变换、函数零点综合的问题,解决此类问题的核心思想是数形
结合.
【答案】( 1 ) .
( 2 ) .
( 3 ) .
【解析】( 1 )函数 的最小正周期 ,
函数 的最小正周期 .
故答案为: .
( 2 )将函数 的图象向左平移 个单位得到
,由其图象关于 轴对称可得
, , ,
又 ,故 的最小值为 .
故答案为: .
( 3 )函数 的图象与函数 的图象有 个交点,故方程
的根的个数为 个.
故答案为: .
y
x
O
【标注】【知识点】正弦型函数与零点综合问题
巩固练习
23. 已知 , ,且 ,
( 1 )求 和 .
( 2 )求 的值.
【答案】( 1 ) , .
( 2 ) .
【解析】( 1 )∵ ,
17

∴ ,

( 2 )∵ ,
∴ ,

即 ,
又 ,
∴ ,

∴ ,
又∵ 且 ,
∴ .
【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用;两角和与差的正弦;同角三角函数的基本关系
式;同角三角函数的基本关系式的化简和求值
24. 化简: .
【答案】 .
【解析】解法一:
原式

解法二:原式

18
【标注】【知识点】倍角、和差角公式综合
25. 已知函数 , , ,且 ,

( 1 )求 的解析式.
( 2 )若 .
1 求 的单调递增. 区间.
2 求 的图象位于 轴右. 侧. 的. 第. 三. 条. 对称轴方程.
( 3 )若 在区间 上恰. 有. 个零点,求 的取值范围.
【答案】( 1 ) .
( 2 )1 , .
2 .
( 3 ) .
【解析】( 1 )∵ , , 且
, ,
∴ ,
即 ,
解得 , ,
∴ .
( 2 )1 ,
令 , ,
解得: , ,
则 的单调递增区间为 , .
2 令 , ,解得 , ,
则 的图象位于 轴右侧的第三条对称轴方程为 ,即 .
( 3 ) ,
当 时, ,
19
若 在区间 上恰有 个零点,则

解得: ,
即 的取值范围是 .
【标注】【知识点】函数求值问题;正弦型函数与零点综合问题;求正弦型函数的单调区间
26. 已知函数 ,函数 为奇函数.
( 1 )求函数 的单调递增区间.
( 2 )将函数 的图象向右平移 个单位,然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的
倍(纵坐标不变),得到函数 的图象,证明:当 时,

【答案】( 1 ) .
( 2 )证明见解析.
【解析】( 1 )由题意知: 为奇函数,
所以 , ,
因为 ,
所以 , ,
所以 ,
由 , ,
解得: , ,
所以 的单调递增区间为 .
( 2 )由题知:将 的图象向右平移 个单位得 即

再将图象各点的横坐标缩小到原来的 倍,得 ,
因为 ,
所以 ,
因此 ,
所以 .
【标注】【知识点】正余弦型、正切型函数图象变换;求正弦型函数的单调区间;求固定区间正弦
20
型函数值域;利用函数奇偶性求函数解析式
出门测
27. 已知 ,则 的值为( ).
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】

∴ .
故选: .
【标注】【知识点】倍角、和差角公式综合;辅助角公式;和差角公式化简求值综合运用;两角和
与差的余弦
28. 已知 ,则 ( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】

【标注】【知识点】半角公式;二倍角的余弦
29. 已知函数 .
( 1 )求 的最小正周期.
( 2 )若 在区间 上的图象与直线 有且仅有两个公共点,求实数 的取值范围.
21
【答案】( 1 ) 的最小正周期为 .
( 2 ) 的取值范围为 .
【解析】( 1 )

∴ 的最小正周期为 .
( 2 )若 ,
则 ,
由 的图象知,要使 与 有且仅有两个公共点,
则需 ,
即 ,
∴ 的取值范围为 .
【标注】【知识点】函数零点的概念;已知零点情况求参数的取值范围;正弦型函数的图象与性质
22三角函数综合
一、 选填综合
经典例题
1. 函数 的最大值是 .
2. 已知 , ,则 ( ).
A. B. C. D.
3. 若在 中, ,则 的形状一定是(  )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
4. 已知函数 ,则 的增区间 .
5. 已知函数 .有下列四个结论:
①函数的值域为 ;
②函数的最小正周期为 ;
③函数在 上单调递增;
④函数的图像的一条对称轴为 .
其中正确的结论是( ).
A. ②③ B. ②④ C. ①④ D. ①②
巩固练习
6. 已知函数 , 的值域为 ,则实数 的取值范围
是(  )
A. B.
C. D.
7. 已知 , 则 的最大值为 .
8. 若 ,则 , .
9. 已知在 中, , ,则 的值为( ).
A. 或 B. 或
1
C. D.
10. , , 是 的三个内角,且 , 是方程 的两个实数根,则
是( ).
A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 以上均有可能
11. 在 中,若 ,则 的形状为( ).
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
12. 已知函数 ,下列命题中的真命题有( ).
A. , 为奇函数
B. , 对 恒成立
C. , ,若 ,则 的最小值为
D. , ,若 ,则
13. 函数 ,下列四个结论不正确的有( ).
A. 是以 为周期的函数
B. 图象的对称轴为直线
C. 当且仅当 时, 取得最小值
D. 当且仅当 时,
14. 若两个锐角 , 满足 ,则下列四个选项中成立的是( ).
A.
B.
C.
D.
15. 已知 ,若 满足不等式 ,则 的取值范围是(  )
A. B.
C. D.
二、 三角函数的实际应用
经典例题
2
16. 摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑,如深圳前海的“湾区之光”摩天轮,如图所示,某摩天轮最
高点离地面高度 米,转盘直径为 米,设置若干个座舱,游客从离地面最近的位置进舱,开启
后按逆时针匀速旋转 分钟,当 时,游客随舱旋转至距离地面最远处.以下关于摩天轮的说法
中,正确的是( ).
A. 摩天轮离地面最近的距离为 米
B. 若旋转 分钟后,游客距离地面的高度为 米,则
C. 若在 , 时刻,游客距离地面的高度相等,则 的最小值为
D. , ,使得游客在该时刻距离地面的高度均为 米
17. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用.如
图,一个半径为 的筒车按逆时针方向每分钟转 圈,筒车的轴心 距离水面的高度为 米.设筒
车上的某个盛水筒 到水面的距离为 (单位: )(在水面下则 为负数),若以盛水筒 刚浮出水
面时开始计算时间,则 与时间 (单位: )之间的关系为
.则盛水筒出水后到达最高点的最少时间为
( ).
水面
A. B.
C. D.
巩固练习
18.
3
如图,一个水轮的半径为 ,水轮轴心 距离水面的高度为 ,已知水轮按逆时针匀速转动,每分
钟转动 圈,当水轮上点 从水中浮现时的起始(图中点 )开始计时,记 为点 距离水面的高
度关于时间 的函数,则下列结论正确的是( ).
A.
B.
C. 若 ,则
D. 不论 为何值, 是定值
19. 《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动,刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中
最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”,掷铁饼者的手臂长约
为 米,肩宽约为 米,“弓”所在圆的半径约为 米,则掷铁饼者双手之间的距离约为( ).
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
三、 解答综合
经典例题
20. 已知 , , , .
( 1 )求 的值.
( 2 )求角 的大小.
21. 已知函数 .
( 1 )求函数 的单调递增区间和对称中心.
( 2 )当 时,求函数 的值域.
( 3 )当 时,解不等式 .
4
22. 定义函数 .
( 1 )求函数 的最小正周期.
( 2 )将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象关于 轴对称,求
的最小值.
( 3 )判断方程 的根的个数.(不需写出解答过程)
巩固练习
23. 已知 , ,且 ,
( 1 )求 和 .
( 2 )求 的值.
24. 化简: .
25. 已知函数 , , ,且 ,

( 1 )求 的解析式.
( 2 )若 .
1 求 的单调递增. 区间.
2 求 的图象位于 轴右. 侧. 的. 第. 三. 条. 对称轴方程.
( 3 )若 在区间 上恰. 有. 个零点,求 的取值范围.
26. 已知函数 ,函数 为奇函数.
( 1 )求函数 的单调递增区间.
( 2 )将函数 的图象向右平移 个单位,然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的
倍(纵坐标不变),得到函数 的图象,证明:当 时,

出门测
27. 已知 ,则 的值为( ).
A. B.
C. D.
28. 已知 ,则 ( ).
A. B. C. D.
5
29. 已知函数 .
( 1 )求 的最小正周期.
( 2 )若 在区间 上的图象与直线 有且仅有两个公共点,求实数 的取值范围.
6

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