资源简介

三角恒等变换
学习目标
1. 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
2. 能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差，和差化积，半角公式，这三组公式要求
记忆）．
【备注】本节重点：和差角公式，二倍角公式，辅助角公式；
本节难点：三角恒等变换的综合应用，和积互化公式；
前置知识：同角三角函数的关系，诱导公式；
后置知识：三角函数综合．
一、 和差角公式
1. 差角的余弦公式
下面我们运用几何知识进行探究
如下图：
y
α终边
P1
A1 β终边
α-β终边
P
A
O x
在平面直角坐标系 内作单位圆 ，与 轴的正半轴相交于点 ，以 轴非负半轴为始边作
角 ， ， ，它们的终边分别于单位圆相交于点 ， ，
1
．
显然 ，所对的弦 ，根据两点间距离公式有：
化简可得：
此公式不仅在如上图所示的 ， ， 为第一象限角时成立，也适用于其他角的情况．
我们将这个公式称为差角的余弦公式，简记作 ．
有了公式 以后，我们只要知道 、 、 、 的值，就可以求得 的值
了．
2. 和角的正弦余弦，差角的正弦公式推导
有了 ，就可以以之为基础推导出另外三个公式：
例如： ，
根据 ，有 ，
接下来根据诱导公式（三） ， ，
整合上面的等式，有 ，
这样，就得到了两角和的余弦公式 ： ．
请仿照着相同的思路，把下面的空白补充完整：
1． ： ___________________．
2． ： ________________．
经典例题
1. 计算 （ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 用和差角公式计算具体角的三角函数值，一般尽可能转化为三角函数值熟知的特殊
角．
【答案】D
【解析】
．
故选 ．
2
【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用；两角和与差的余弦
2. 已知 ， ，则 （ ）．
A.
B.
C.
D. 或
【备注】 留意判断 的正负．
【答案】B
【解析】∵已知 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
故选 ．
【标注】【知识点】利用正弦和差角公式直接求值
3. 若 ， ， 、 为锐角，则 的值是 ．
【备注】 树立整体的思想，切忌拆开计算，留意正弦值符号的判断．
【答案】
【解析】由题意可知： ， ，
故 ．
【标注】【素养】数学运算；数学抽象
【知识点】已知正弦余弦正切或其关系求值；利用正弦和差角公式凑角求值
3
4. 已知 ， ，则 的值是 ．
【备注】 正切化弦，观察有可以整体求算的部分，这是利用三角恒等变换化简求值的常用技
巧．
【答案】
【解析】由 ，得 ，①
由 ，得 ，②
① ②得 ，③
① ②得 ，④
③
得 ．
④
【标注】【知识点】同角三角函数的基本关系式；和差角公式化简求值综合运用；两角和与差的正
弦
巩固练习
5. 求 的值．
【答案】
【解析】原式
．
【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用；两角和与差的余弦
6. 已知 ， ， ，则 等于（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵ ，∴ ，
∴ ， ，
∴
4
．
又 ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】利用正弦和差角公式凑角求值
7. 已知 ， ， ， ，则 的
值为 ．
【答案】
【解析】∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
，
∴ ．
【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用；两角和与差的正弦
8. 若 ， ，则 （ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由 得 ，①；
由 得 ，②；
5
① ②得 ；② ①得 ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】两角和与差的余弦；和差角公式化简求值综合运用；两角和与差的正弦
9. 已知 ， ，则 的值是 ．
【答案】
【解析】
．
【标注】【知识点】两角和与差的正切；和差角公式化简求值综合运用
3. 和角与差角正切公式的推导
有了上述四个公式，利用同角三角函数基本关系式和弦化切的技巧，可以轻松得出 、
两个公式，请将你得到的结果填入下面空白处：
1． ： _______________．
2． ： ________________．
公式 、 、 给出了任意角 ， 的三角函数值与其和角 的三角函数值之间的关
系．为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式．
类似地， 、 、 都叫做差角公式．
从以上推导过程可以看出，这 个和与差的三角函数公式之间具有紧密的逻辑联系．这种联系可用
框图形式表示如下：
6
经典例题
10. 设 ， ，则 的值是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】 利用差角正切公式整体求算．
【答案】A
【解析】
，故选 ．
【标注】【知识点】两角和与差的正切；和差角公式化简求值综合运用
【素养】数学运算
11. 若 ，则 的值为 ．
【备注】 和 常作为整体代换，以应用和差角的正切公式．
【答案】
【解析】 ，
又 ，
∴ ．
【标注】【素养】逻辑推理；数学运算
【知识点】利用正切和差角公式凑角求值
12. 的值是（ ）．
7
A. B. C. D.
【备注】 通过配凑和差角公式，向常用角（如本题中的 ）的正切趋近．
【答案】C
【解析】根据
，
得到 ，
可得 ，
同理得到 ，
即 ，
．
故选 ．
【标注】【知识点】利用正切和差角公式凑角求值
巩固练习
13. 已知 ， ， （ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵ ， ，
∴
　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　 ．
8
故选 ．
【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用；两角和与差的正切
14. 求值： ．
【答案】
【解析】因为
，
所以 ，
故 ．
【标注】【知识点】利用正切和差角公式凑角求值
15. ．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，
∴原式
．
【标注】【知识点】两角和与差的正切
【素养】数学运算
二、 二倍角公式
选取三个和角公式 、 、 ，令 ，这样就得到了三个倍角公式，请完成以下空
白：
： __________________．
9
： _________________．
： __________________； 且 ．
对于 ，根据同角三角函数基本关系式 ，还可以得到另外两种形式，即
_______________ ________________．
以上这些公式都叫做倍角公式．倍角公式给出了 的三角函数与 的三角函数之间的关系．
【备注】（1）这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去．
（2）“倍”是描述两个数量之间关系的， 是 的二倍， 是 的二倍， 是 的二倍，
这里蕴含着换元的思想．
（3）要重视倍角公式的逆用，比如 ，这体
现了配凑的思想；
（4）观察 的三种表达式，发现 和 只含有 的一种三角函数值，
比较利于求值，而 具有平方差公式的外形，保持这种外形往往有利于化简；
（5）对于 和 ，对角 没有限制，但是在使用 时，要保证分母 有意义而
且 有意义，那么 具体范围大家可以求解一下（答案： 且
）．
二倍角公式的常见变换
1．链式变换：
2．平方差变换：
3．降幂变换：
； ；
4．升幂变换：
； ．
5． 与 相加减可以得到 和 ，相比得到 ．
6． 与 相加减可以得到 和 ，相比得到 ．
经典例题
16. 设 为锐角，若 ，则 ．
【备注】①从题干形式看，本题显然是要用到二倍角公式；
②用诱导公式将 转化为便于利用二倍角的形式 ；
③根据 为锐角，求出 ，利用正弦二倍角公式求算．
10
【答案】
【解析】依题意，得 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
又因为 ，
，
，
，
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】诱导公式；同角三角函数的基本关系式的化简和求值；同角三角函数的基本关
系式；利用诱导公式化简；二倍角的正弦；半角公式
17. 已知锐角 满足 ，则 （ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 三角恒等变换化简求值的路径往往不止一条．例如本题，除了可以如解析中用”切化弦
“的思路以外，还可以用正切的二倍角公式：
或
须留意的是，无论是哪一种路径，都需要根据 进一步自行缩小范
围，这是非常重要的一步．
【答案】C
【解析】∵锐角 满足 ，∴ ，
∴ ，平方可得 ， ，
11
∵ ，∴ ，∴ 还是锐角，故 ，
则 ，
故选 ．
【标注】【知识点】二倍角公式化简求值综合运用
18. 已知 ，则 ．
【备注】 常用的链式变换是与二倍角的正弦相关，
．
【答案】
【解析】 ，
．
【标注】【知识点】同角三角函数的基本关系式；半角公式
19. 若 ，且 ，则 （ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 平方差变换与二倍角的余弦相关，
．在本题中求算正余弦的差式
时，须留意根据角的范围判断正负 ．
【答案】A
【解析】将 两边平方得 ，
，
∴ ，
由 可知， ， ，
∴ ，
∴
．
故选 ．
12
【标注】【知识点】同角三角函数的基本关系式的化简和求值；同角三角函数的基本关系式
20. 已知 ，则 ．
【备注】 二倍角公式与三角函数齐次化处理的综合．
【答案】
【解析】由题意得 ，
，
所以 ，
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】二倍角的正弦；同角三角函数的基本关系式的化简和求值
【素养】数学运算
21. 设 ， ．求 ， 的值（ ）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【备注】 应用二倍角公式化简求值，公式 具有三种等价形式，比较灵活且最为常用．
【答案】A
【解析】技巧：把 抵消后，因式分解即可．
∵ ，∴ ，
化简得 ，即 ，
又∵ ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，
即 ，则 ， ．
【标注】【知识点】二倍角公式化简求值综合运用
22. 若 ，则 （ ）．
A. B.
13
C. D.
【备注】 逆用二倍角公式（半角公式）求值．
【答案】B
【解析】 ，
∴ ，又 ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】二倍角公式化简求值综合运用；利用诱导公式化简
23. 求值： ．
【备注】 配凑二倍角公式化简求值．
【答案】 ．
【解析】 ，
原式 ．
【标注】【素养】逻辑推理
【知识点】二倍角的正弦
巩固练习
24. 若 ，且 ，则 的值为 ．
【答案】
【解析】由 ，故 ， ，由此
解得 ，故 ．
【标注】【知识点】二倍角的余弦
25. 已知 ，则 （ ）．
14
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ，
，
．
，
，
．
∴ ，
，
．
故选 ．
【标注】【知识点】二倍角的余弦
26. 若 ，且 ，则 （ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵ ，
∴ ，
解得 或 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
故选 ．
【标注】【知识点】二倍角的正切；半角公式
15
27. 已知 且 ，则 的值是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵ ，
∴ ，即
而 ，
故 ．
【标注】【知识点】同角三角函数的基本关系式
28. 已知 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】同角三角函数的基本关系式的化简和求值；同角三角函数的基本关系式；半角
公式；二倍角的余弦
29.
已知 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ， ，
16
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】二倍角的余弦；同角三角函数的基本关系式的化简和求值；利用诱导公式化简
30. 求值 ．
【答案】
【解析】原式
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】诱导公式；二倍角公式化简求值综合运用
31. 已知 ， ，则 （ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】方法一：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
17
故选 ．
方法二：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ （舍去）或 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】二倍角公式化简求值综合运用
32. 求值： ．
【答案】 ．
【解析】
．
【标注】【知识点】半角公式；二倍角的正弦
三、 辅助角公式
下面介绍利用和角公式推导出来的一个很有用的结论，即辅助角公式：
对于形如 （ 是不同时为零的实数）这样的表达式，如何去研究它的值域、
周期以及单调区间？
由于之前我们学习过正弦型函数的相关性质，一个自然的想法是，若可以把它恒等变化为正弦型函
数，问题自然就解决了，那么是否能够将其整合成为一个正弦型函数呢？答案是肯定的，如下：
考察以 为坐标的点 ，设以 为终边的一个角是 ，则由三角函数的定义，有：
18
， ．
于是：
其中 角所在象限由 、 的符号确定， 角的值由 ， 共同确定．
温馨提示：若中间的符号为减号，形如： ，只需把最终形式中的加号变为减号！！
【备注】 由上面的推导可见，利用辅助角公式可以将同角的正弦和余弦的线性组合式
缩成一个正弦型函数，这样做有利于函数式的化简，进而可以研究它的周
期，值域，单调性等一系列性质．
经典例题
33. 用辅助角公式化简下列各式：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
【备注】 辅助角公式的熟练应用建立在熟悉常用特殊角的三角函数（特别是正余弦之间的比
例）的基础上．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
（ 4 ）
【标注】【知识点】辅助角公式
19
34. 求值： ．
【备注】 利用辅助角公式化简求值：向特殊角趋近方便求值．
【答案】
【解析】原式
．
【标注】【知识点】利用诱导公式化简；诱导公式；半角公式；二倍角的正弦
35. 已知函数 ， ，则函数 （ ）．
A. 最小正周期为 ，最大值为
B. 最小正周期为 ，最大值为
C. 最小正周期为 ，最大值为
D. 最小正周期为 ，最小值为
【备注】 利用二倍角和辅助角公式将函数转化成正弦型函数的形式，方便研究其各项性质．
【答案】C
【解析】
故 ，
最大值为 ，
因此选 ．
【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质；正弦型函数的图象与性质
36. 已知 ，则 （ ）．
A. B.
C. D.
20
【备注】 利用辅助角公式时，有时需要对三角函数重新组合．当然本题也可以应用后面讲到的
和差化积公式：
．
【答案】B
【解析】由 ，
可得： ，
所以有 ，
故 ．
故选： ．
【标注】【知识点】辅助角公式；倍角、和差角公式综合
37. 若函数 没有零点，则 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 正难则反思想的体现．
【答案】C
【解析】假设函数 存在零点 ，即 ，
由题意， ，
根据诱导公式得： ，
即 ，
要使该方程有解，则 ，
即 （ ，取得最小），
所以 ，
因此，当原函数 没有零点时， ，
所以， 的取值范围是： ．
故选为 ．
【标注】【知识点】正弦型函数与零点综合问题
21
巩固练习
38. ．
【答案】
【解析】
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】辅助角公式
39. 设 ， ， ，则 ， ， 大小关系（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵ ，
，
；
又函数 在 上是增函数，
∴ ，即 ．
故选 ．
【标注】【知识点】辅助角公式
40. 函数 的图象的一个对称中心是（ ）．
A.
B.
C.
D.
22
【答案】B
【解析】
，
令 ， ， ， ，当 时， ，
所以函数图象的一个对称中心为 ．
【标注】【知识点】求正弦型函数的对称中心；辅助角公式
41. 关于 的方程 有解，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
．
∴ ．
又∵ ，
∴ ，即 ．
解得： ．
∴选 ．
【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质
42. 函数 的最大值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】化简 ，
故最大值为 ．
23
【标注】【知识点】二倍角公式化简求值综合运用
43. 若 ，化简 为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】∵ ，故 ，
∴ ， ，
∴
．
故选 ．
【标注】【知识点】辅助角公式；半角公式
四、 和积互化公式（拓展）
积化和差公式：
左侧是互余积时，右边是正弦的和、差；左侧是同名积时，右侧是余弦的和、差．
24
和差化积公式：
和差化积的作用有些类似于代数中的因式分解．需要注意的是，和差化积公式只对系数绝对值相等
且同为正弦或余弦的和与差才能直接应用，如不是同名三角函数，须先用诱导公式进行转化．
【备注】 和积互化中的”和差“与”积“是指三角函数间的关系而言，并不是指角的关系．
经典例题
44. 利用和差化积公式，求下列函数的最值：
（ 1 ）
（ 2 ）
【备注】 在使用积化和差、和差化积公式时，应注意两个角的和或差以后往往会出现特殊角；
式子结构会变化，因此有可能产生互消项或者互约因式，从而有利于化简求值．
【答案】（ 1 ）最大值为 ，最小值为
（ 2 ）最大值为 ，最小值为
【解析】（ 1 ） ，所以最大值为 ，最小值为
（ 2 ） ，所以最大值为 ，最小值为
【标注】【知识点】求固定区间正弦型函数值域
45. 化简： （ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 先用诱导公式化成同名三角函数．
【答案】D
【解析】
．
25
综上所述，答案选择： ．
【标注】【知识点】诱导公式；利用诱导公式化简；和差角公式化简求值综合运用；积化和差与和
差化积
巩固练习
46. ．
【答案】
【解析】 ．
【标注】【知识点】积化和差与和差化积；和差角公式化简求值综合运用
47. 求 的值．
【答案】 ．
【解析】
．
【标注】【知识点】积化和差与和差化积；二倍角的正弦
五、 三角函数综合
经典例题
26
48. 已知函数 ．
（ 1 ）求 的最小正周期和最大值；
（ 2 ）讨论 在 上的单调性．
【备注】 解决此类问题的基本思路是：利用诱导公式和三角恒等变换化简，将函数转化为正弦
型函数研究．
【答案】（ 1 ） 的最小正周期为 ，最大值为 ．
（ 2 ） 在 上单调递增，在 上单调递减．
【解析】（ 1 ）
因此 的最小正周期为 ，最大值为 ．
（ 2 ）当 时， ，
从而
当 ，即 时， 单调递增，
当 ，即 时， 单调递减．
综上可知 在 上单调递增，在 上单调递减．
【标注】【知识点】求固定区间正弦型函数值域；求正弦型函数的单调区间
巩固练习
49. 已知函数 ．
（ 1 ）求 的最小正周期和 图象对称轴的直线方程．
（ 2 ）求 在区间 上的最小值，以及取到最小值时 的值．
【答案】（ 1 ） 的最小正周期 ，对称轴为 ， ．
（ 2 ）最小值为 ，当 时取得．
【解析】（ 1 ）∵
，
∴ 的最小正周期 ；
27
令 ， ，
得 ， ，
∴ 图象对称轴的直线方程为 ， ．
（ 2 ）∵ ，
∴ ，
∴当 ，即 时， 取得最小值 ，
∴ 在区间 上的最小值为 ，当 取最小值时 ．
【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质
50.
已知函数 ．
（ 1 ）化简 ．
（ 2 ）若 ， ，求 值．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）
．
（ 2 ）由 ，得 ，
两边平方得 ，
即 ，
解得 或 ．
∵ ，
∴ ，
则 ．
∴ ．
【标注】【知识点】利用诱导公式化简；利用正切和差角公式直接求值
28
导图总结
你学会了吗？快来用思维导图总结本节课所学吧！
【备注】
出门测
51. 已知 ，且 ，则 ， .
【答案】 ;
【解析】∵ ，
∴ ，
由万能公式 ，
解得 或 ，
∵ ，
且 ，
∴ ，
∴ （舍去），故 ．
29
【标注】【知识点】二倍角的正弦
52. 已知函数 的图象向右平移 个单位后关于 轴对
称，则 在区间 上的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】知函数 ， 的图
象向右平移 个单位后，
可得 的图象，
再根据所得图象关于 轴对称，可得 ， ，故 ，
，
在区间 上， ， ，
故 的最小值为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质；求固定区间正弦型函数值域；正余弦型、正切型函数
图象变换；倍角、和差角公式综合；辅助角公式
53. 已知函数 ， ．
（ 1 ）求函数 的最大值；
（ 2 ）若 ，求函数 的单调递增区间．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ） 的递增区间为
【解析】（ 1 ）由已知
当 ，即 ， 时，
（ 2 ） 当 时， 递增 即 ，
令 ，且注意到
函数 的递增区间为
30
【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质；求固定区间正弦型函数值域；辅助角公式
31三角恒等变换
一、 和差角公式
1. 差角的余弦公式
下面我们运用几何知识进行探究
如下图：
y
α终边
P1
A1 β终边
α-β终边
P
A
O x
在平面直角坐标系 内作单位圆 ，与 轴的正半轴相交于点 ，以 轴非负半轴为始边作
角 ， ， ，它们的终边分别于单位圆相交于点 ， ，
．
显然 ，所对的弦 ，根据两点间距离公式有：
化简可得：
此公式不仅在如上图所示的 ， ， 为第一象限角时成立，也适用于其他角的情况．
我们将这个公式称为差角的余弦公式，简记作 ．
有了公式 以后，我们只要知道 、 、 、 的值，就可以求得 的值
了．
1
2. 和角的正弦余弦，差角的正弦公式推导
有了 ，就可以以之为基础推导出另外三个公式：
例如： ，
根据 ，有 ，
接下来根据诱导公式（三） ， ，
整合上面的等式，有 ，
这样，就得到了两角和的余弦公式 ： ．
请仿照着相同的思路，把下面的空白补充完整：
1． ： ___________________．
2． ： ________________．
经典例题
1. 计算 （ ）．
A. B.
C. D.
2. 已知 ， ，则 （ ）．
A.
B.
C.
D. 或
3. 若 ， ， 、 为锐角，则 的值是 ．
4. 已知 ， ，则 的值是 ．
巩固练习
5. 求 的值．
6. 已知 ， ， ，则 等于（ ）．
A. B.
C. D.
7.
2
已知 ， ， ， ，则 的
值为 ．
8. 若 ， ，则 （ ）．
A. B.
C. D.
9. 已知 ， ，则 的值是 ．
3. 和角与差角正切公式的推导
有了上述四个公式，利用同角三角函数基本关系式和弦化切的技巧，可以轻松得出 、
两个公式，请将你得到的结果填入下面空白处：
1． ： _______________．
2． ： ________________．
公式 、 、 给出了任意角 ， 的三角函数值与其和角 的三角函数值之间的关
系．为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式．
类似地， 、 、 都叫做差角公式．
从以上推导过程可以看出，这 个和与差的三角函数公式之间具有紧密的逻辑联系．这种联系可用
框图形式表示如下：
经典例题
10. 设 ， ，则 的值是（ ）．
A. B. C. D.
11. 若 ，则 的值为 ．
12. 的值是（ ）．
A. B. C. D.
3
巩固练习
13. 已知 ， ， （ ）．
A. B. C. D.
14. 求值： ．
15. ．
二、 二倍角公式
选取三个和角公式 、 、 ，令 ，这样就得到了三个倍角公式，请完成以下空
白：
： __________________．
： _________________．
： __________________； 且 ．
对于 ，根据同角三角函数基本关系式 ，还可以得到另外两种形式，即
_______________ ________________．
以上这些公式都叫做倍角公式．倍角公式给出了 的三角函数与 的三角函数之间的关系．
二倍角公式的常见变换
1．链式变换：
2．平方差变换：
3．降幂变换：
； ；
4．升幂变换：
； ．
5． 与 相加减可以得到 和 ，相比得到 ．
6． 与 相加减可以得到 和 ，相比得到 ．
经典例题
16. 设 为锐角，若 ，则 ．
17. 已知锐角 满足 ，则 （ ）．
4
A. B.
C. D.
18. 已知 ，则 ．
19. 若 ，且 ，则 （ ）．
A. B.
C. D.
20. 已知 ，则 ．
21. 设 ， ．求 ， 的值（ ）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
22. 若 ，则 （ ）．
A. B.
C. D.
23. 求值： ．
巩固练习
24. 若 ，且 ，则 的值为 ．
25. 已知 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
26. 若 ，且 ，则 （ ）．
A. B.
C. D.
27. 已知 且 ，则 的值是（ ）．
A. B.
C. D.
28. 已知 ，则 等于（ ）．
5
A. B. C. D.
29.
已知 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
30. 求值 ．
31. 已知 ， ，则 （ ）．
A. B.
C. D.
32. 求值： ．
三、 辅助角公式
下面介绍利用和角公式推导出来的一个很有用的结论，即辅助角公式：
对于形如 （ 是不同时为零的实数）这样的表达式，如何去研究它的值域、
周期以及单调区间？
由于之前我们学习过正弦型函数的相关性质，一个自然的想法是，若可以把它恒等变化为正弦型函
数，问题自然就解决了，那么是否能够将其整合成为一个正弦型函数呢？答案是肯定的，如下：
考察以 为坐标的点 ，设以 为终边的一个角是 ，则由三角函数的定义，有：
， ．
于是：
其中 角所在象限由 、 的符号确定， 角的值由 ， 共同确定．
温馨提示：若中间的符号为减号，形如： ，只需把最终形式中的加号变为减号！！
6
经典例题
33. 用辅助角公式化简下列各式：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
34. 求值： ．
35. 已知函数 ， ，则函数 （ ）．
A. 最小正周期为 ，最大值为
B. 最小正周期为 ，最大值为
C. 最小正周期为 ，最大值为
D. 最小正周期为 ，最小值为
36. 已知 ，则 （ ）．
A. B.
C. D.
37. 若函数 没有零点，则 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
巩固练习
38. ．
39. 设 ， ， ，则 ， ， 大小关系（ ）．
A. B. C. D.
40. 函数 的图象的一个对称中心是（ ）．
A.
B.
C.
D.
7
41. 关于 的方程 有解，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
42. 函数 的最大值是（ ）．
A. B. C. D.
43. 若 ，化简 为（ ）．
A.
B.
C.
D.
四、 和积互化公式（拓展）
积化和差公式：
左侧是互余积时，右边是正弦的和、差；左侧是同名积时，右侧是余弦的和、差．
和差化积公式：
和差化积的作用有些类似于代数中的因式分解．需要注意的是，和差化积公式只对系数绝对值相等
且同为正弦或余弦的和与差才能直接应用，如不是同名三角函数，须先用诱导公式进行转化．
经典例题
44. 利用和差化积公式，求下列函数的最值：
（ 1 ）
8
（ 2 ）
45. 化简： （ ）．
A. B.
C. D.
巩固练习
46. ．
47. 求 的值．
五、 三角函数综合
经典例题
48. 已知函数 ．
（ 1 ）求 的最小正周期和最大值；
（ 2 ）讨论 在 上的单调性．
巩固练习
49. 已知函数 ．
（ 1 ）求 的最小正周期和 图象对称轴的直线方程．
（ 2 ）求 在区间 上的最小值，以及取到最小值时 的值．
50.
已知函数 ．
（ 1 ）化简 ．
（ 2 ）若 ， ，求 值．
导图总结
你学会了吗？快来用思维导图总结本节课所学吧！
出门测
51. 已知 ，且 ，则 ， .
52.
9
已知函数 的图象向右平移 个单位后关于 轴对
称，则 在区间 上的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
53. 已知函数 ， ．
（ 1 ）求函数 的最大值；
（ 2 ）若 ，求函数 的单调递增区间．
10

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