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指数运算与指数函数
一、 指数幂运算
1. 次方根
一般地，如果一个实数 满足 （ ），那么称 为 的 次实数方根.
若 （ ），
当 时，若 ,则 ，若 ,则 ;
当 时，若 ,则 ，若 ,则 在实数内无解!
我们规定： 的 次实数方根等于0．
其中，式子 叫做根式，其中 叫做根指数， 叫做被开方数．
2. 分数指数幂
一般地，我们规定，
（ ， ， 均为正整数），
这就是正数 的正分数指数幂的意义.
我们规定 （ ， ， 均为正整数）， 的正分数指数幂等于 ， 的负分数指数幂
没有意义！
3. 有理数指数幂
规定了分数指数幂的意义之后，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
其中 ， .
4. 实数指数幂
一般地，当 且 是一个实数时， 也是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质对实数指
数幂同样适用.
其中 , .
1
经典例题
1.
化简 的值等于 ．
2.
计算： ．
3. 已知 ，其中 ，求 ．
巩固练习
4. 已知 ，则 化为（ ）．
A. B.
C. D.
5. 计算 ．
6. 已知 ，则 的值是 ．
二、 幂函数补充（分数指数）
分数指数幂函数 ， 互质 ：
①当 为偶数， 为奇数时， 为 ；
②当 为奇数， 为奇数时， 为 ；
③当 为偶数， 为奇数时， 的定义域不关于 轴对称，是 ；
）的单调性取决于 的正负，指数的正负也影响函数定义域．
经典例题
7. 如图所示是函数 （ 、 且 与 互质）的图象，则（ ）．
A. 、 是奇数，且
B. 是偶数， 是奇数，且
2
C. 是偶数， 是奇数，且
D. 是奇数， 是偶数，且
巩固练习
8. 给定一组函数解析式① ．② ．③ ．④ ．⑤ ．⑥ 和一组
函数图象．请把图象对应的解析式号码填在下图的括号内．
（ 1 ）
（ ）．
（ 2 ）
（ ）．
（ 3 ）
（ ）．
（ 4 ）
3
（ ）．
（ 5 ）
（ ）．
（ 6 ）
（ ）．
三、 指数函数
1. 指数函数的定义
一般地，形如
（ 且 ）
的函数叫做指数函数，它的定义域是 .
经典例题
9. 在下列的关系式中，是指数函数的有 ．
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ；
（5） ； （6） ； （7） ； （8） （ 且 ）．
A. （ ）（ ） B. （ ）（ ）
C. （ ）（ ） D. （ ）（ ）
巩固练习
10. 已知 是指数函数，则实数 （ ）．
A. B. C. D.
2. 指数函数的图象与性质
4
图 象
定义域
值域
定点 过定点
单调性 在 上是 函数 在 上是 函数
时， 时，
性
值变化 时，
质
时，
与 的图象关于
对称性
轴对称
越小，图象越靠近 越大，图象越靠近
底数对图象的影响
轴 轴
经典例题
11. 函数 的图象过定点（ ）．
A. B. C. D.
12. 函数 的图象一定经过（ ）．
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限
13. 如图是指数函数 ； ； ； 的图象，则 、 、 、
与 的大小关系是（ ）．
5
y
x
O
A.
B.
C.
D.
14. 设 且 ，则函数 与 在同一坐标系中的图象可. 能. 是（ ）．
A. y B. y
x x
C. y D. y
x x
15. 已知函数 是定义域 上的减函数，则实数 的取值范围是（
）．
A. B.
C. D.
巩固练习
16. 函数 （ 且 ）的图象恒过定点（ ）．
A. B. C. D.
17. 若函数 的图象在第二、三、四象限内，则（ ）．
A. B. ，且
C. ，且 D.
6
18. 已知 ， ， ， ，则在同一坐标系内，它们的图像为（ ）．
A. B.
C. D.
19. 在下图中，二次函数 与指数函数 的图象只能是（ ）．
A. B.
C. D.
20. 已知 是 上的单调递增函数，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
21. 已知函数 满足： 且 ， ．（ ）．
7
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
3. 指数函数的应用
(一) 解简单的指数方程
我们把指数里含有未知数的方程叫做指数方程．
解指数方程时，常利用指数函数的性质： ，其中 将指数式作为一
个整体，将指数方程化为整式方程求解．
经典例题
22. 方程 的解集是(　　)．
A. B.
C. D.
巩固练习
23. 设关于 的方程 ．
（ 1 ）若常数 ，求此方程的解．
（ 2 ）若该方程在 内有解，求 的取值范围．
（二）利用指数函数比大小
（1）化同底：化为同底后即可仿照同底指数比较大小的步骤比较大小，因此能够化成同底的尽量化成
同底．
（2）商比法：不同底但是可以化为同指数的两数比较大小，用商比法即可迎刃而解，但是此时要注意
除数的正负．
（3）取中间值：不同底也不同指数时比较大小，宜先与中间值 或 比较，然后利用不等式传递性得到
答案．
（4）估算法：利用估算法可以快速达到比较大小的目的，它是一种必备的数学技能，需要有意识培养
并深造．
（5）图解法：涉及到同一自变量的不同函数值比较大小时，可以抽取出所有函数，将其画在同一坐标
系中，然后按照给出范围选取自变量的值观察函数值大小即可．
经典例题
8
24. 设 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
25. 设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
26. 已知 ， ， ，则（ ）．
A. B. C. D.
27. 已知 ， ， 则 ， ， 的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
(三) 解简单的指数不等式
解指数不等式时，同样将指数式作为一个整体，先求解不等式中指数式整体的范围，再根据指数式
的单调性等求解未知数 的范围．
经典例题
28. 不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
巩固练习
29. 若 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
30. 已知函数 ， ，若 ， ，使得 ，则
实数 的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
四、 指数型复合函数
1. 型
9
经典例题
31. 函数 的图象大致为（ ）．
A. y B. y
x x
O O
C. D. y
x
O
32. 函数 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
33. 已知 ， 是实数，且 ，则下式中成立的是（ ）．
A. B. C. D.
34. 已知函数 ，若在其定义域内存在实数 满足 ，则称函数 为“局部奇函数”，
若函数 是定义在 上的“局部奇函数”，则实数 的取值范围是 ．
35. 如果函数 在区间 上是增函数，那么实数 的取值范
围是（ ）．
A. B.
C. D.
巩固练习
36. 某同学在研究函数 时，分别给出下面几个结论：
①函数 是奇函数；②函数 的值域为 ；③函数 在 上是增函数；
其中正确结论的序号是（ ）．
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
10
37. 函数 （ 且 ）在区间 上的最大值为 ，则它在这个区间上
的最小值为 ．
38. 已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值
范围为（ ）．
A. B.
C. D.
39. 已知函数 （ 且 ）在 上的最大值与最小值之差为 ．
（ 1 ）求实数 的值．
（ 2 ）若 ，当 时，解不等式 .
40. 已知函数 （ ， ），且 在区间 上的最大值比最小值大 ．
（ 1 ）求 的值．
（ 2 ）若函数 在区间 的最小值是 ，求实数 的
值．
2. 型
经典例题
41. 已知函数 ．
（ 1 ）若 ，求 的单调区间．
（ 2 ）若 有最大值 ，求 的值．
（ 3 ）若 的值域是 ，求 的取值范围．
42. 已知函数 在 上有最小值 ，则 等于（ ）．
A. B. C. 或 D.
巩固练习
43. 已知函数 （ ， 是常数，且 ）在区间 上有最大值 ，最小值 ，则
的值是（ ）．
A. B. C. D.
44. 函数 的增区间是 ，减区间是 ．
导图总结
11
你学会了吗？快来用思维导图总结本节课所学吧！
出门测
45. 函数 且 在 上的最大值比最小值大 ，则 的值是 ．
46. 已知函数 ， ，且 ，则下列结论中，一定成立的是（
）．
A. ， ， B. ， ，
C. D.
47. 函数 的定义域和值域分别为（ ）．
A. 定义域： ，值域：
B. 定义域： ，值域：
C. 定义域： ，值域：
D. 定义域： ，值域：
12指数运算与指数函数
学习目标
1. 通过对有理数指数幂 ( ，且 ； 为整数，且 )、实数指数幂 ( ，且 ；
)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质；
2. 通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；
3. 会画指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．
【备注】本节重点：有理数指数幂的运算，指数函数的图象与性质，指数函数的应用；
本节难点：指数函数的应用，指数型复合函数；
前置知识：整数指数幂的运算（初中），幂函数；
后置知识：对数运算与对数函数．
一、 指数幂运算
1. 次方根
一般地，如果一个实数 满足 （ ），那么称 为 的 次实数方根.
若 （ ），
当 时，若 ,则 ，若 ,则 ;
当 时，若 ,则 ，若 ,则 在实数内无解!
我们规定： 的 次实数方根等于0．
其中，式子 叫做根式，其中 叫做根指数， 叫做被开方数．
2. 分数指数幂
一般地，我们规定，
（ ， ， 均为正整数），
这就是正数 的正分数指数幂的意义.
我们规定 （ ， ， 均为正整数）， 的正分数指数幂等于 ， 的负分数指数幂
没有意义！
3. 有理数指数幂
规定了分数指数幂的意义之后，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
1
其中 ， .
4. 实数指数幂
一般地，当 且 是一个实数时， 也是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质对实数指
数幂同样适用.
其中 , .
【备注】注：一般情况下，我们以分数指数幂表示最终运算结果 .
经典例题
1.
化简 的值等于 ．
【备注】化为同底数幂，是指数幂运算中化简求值常用的基本技巧.
【答案】
【解析】
【标注】【知识点】实数指数幂运算
2.
计算： ．
【备注】指数幂的求值运算，细心计算即可.
【答案】 ．
【解析】原式
．
故答案为： ．
2
【标注】【知识点】实数指数幂运算
3. 已知 ，其中 ，求 ．
【备注】 形如 的式子，可通过平方再加减常数，来建立彼此之
间的联系，甚至于更高次的 也可用立方和差公式得到．
【答案】
【解析】
原式 ；
；
；
所以， ．
【标注】【知识点】实数指数幂运算
巩固练习
4.
已知 ，则 化为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
原式 ． 故选:B．
【标注】【知识点】实数指数幂运算
5. 计算 ．
【答案】
【解析】
3
原式
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】实数指数幂运算
6. 已知 ，则 的值是 ．
【答案】
【解析】两边除以 可得 ，
所以 ．
【标注】【知识点】实数指数幂运算
二、 幂函数补充（分数指数）
分数指数幂函数 ， 互质 ：
①当 为偶数， 为奇数时， 为 偶函数 ；
②当 为奇数， 为奇数时， 为 奇函数 ；
③当 为偶数， 为奇数时， 的定义域不关于 轴对称，是 非奇非偶函数 ；
）的单调性取决于 的正负，指数的正负也影响函数定义域．
【备注】 这里 互质的预设条件很重要，分数指数幂中一般不会出现 都为偶数（诸如
），定义域可能有歧义的情形．
经典例题
7. 如图所示是函数 （ 、 且 与 互质）的图象，则（ ）．
4
A. 、 是奇数，且
B. 是偶数， 是奇数，且
C. 是偶数， 是奇数，且
D. 是奇数， 是偶数，且
【备注】 本题考查指数参数对于幂函数图象的影响，可从对称（奇偶性）、单调性、曲线形状
（凹凸性）考虑，要求学生熟练掌握典型幂函数的图象，可用作参考．
【答案】C
【解析】由图象关于 轴对称可知， 是偶数， 是奇数；
再由图象在第一象限内的部分形状可知， ．
【标注】【知识点】指数a对幂函数图象的影响
巩固练习
8. 给定一组函数解析式① ．② ．③ ．④ ．⑤ ．⑥ 和一组
函数图象．请把图象对应的解析式号码填在下图的括号内．
（ 1 ）
（ ）．
（ 2 ）
5
（ ）．
（ 3 ）
（ ）．
（ 4 ）
（ ）．
（ 5 ）
（ ）．
（ 6 ）
（ ）．
【答案】（ 1 ）⑤．
（ 2 ）③．
（ 3 ）②．
（ 4 ）⑥．
6
（ 5 ）①．
（ 6 ）④．
【解析】（ 1 ）⑤．
（ 2 ）③．
（ 3 ）②．
（ 4 ）⑥．
（ 5 ）①．
（ 6 ）④．
【标注】【知识点】幂函数的图象及性质
三、 指数函数
1. 指数函数的定义
一般地，形如
（ 且 ）
的函数叫做指数函数，它的定义域是 .
【备注】 请思考为什么 且
经典例题
9. 在下列的关系式中，是指数函数的有 ．
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ；
（5） ； （6） ； （7） ； （8） （ 且 ）．
A. （ ）（ ） B. （ ）（ ）
C. （ ）（ ） D. （ ）（ ）
【备注】 指数函数的形式具有严格性．比较易错的是 ，转换了形式后，多了一个系
数 ．
【答案】A
【解析】根据指数函数定义可得：对于 形式， 且 时，才是指数函数．
故（ ）（ ）是指数函数，（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）不是指数函数．
7
【标注】【知识点】指数函数的概念
巩固练习
10. 已知 是指数函数，则实数 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】略
【标注】【知识点】指数函数的概念
2. 指数函数的图象与性质
图 象
定义域
值域
定点 过定点
单调性 在 上是 减 函数 在 上是 增 函数
时， 时，
性
值变化 时，
质
时，
与 的图象关于
对称性
轴对称
越小，图象越靠近 越大，图象越靠近
底数对图象的影响
轴 轴
8
经典例题
11. 函数 的图象过定点（ ）．
A. B. C. D.
【备注】指数函数图象过定点问题：
可以从函数图象变换的角度出发，原函数 经过怎样的图象变换得到新函数
，对原函数上的定点 做同样的图象变换就可得到新函数的定
点．
也可从方程的角度出发，定点 使等式 在 时恒成立，可知
．
【答案】C
【解析】 ， ，故过顶点 ．
故选 ．
【标注】【知识点】指数函数的图象及性质
12. 函数 的图象一定经过（ ）．
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限
【备注】 指数函数的图象变换．
【答案】D
【解析】函数 为减函数，且图象经过 、 ，
故它的图象经过第二、三、四象限，
故选： ．
【标注】【知识点】指数函数的图象及性质
13. 如图是指数函数 ； ； ； 的图象，则 、 、 、
与 的大小关系是（ ）．
9
y
x
O
A.
B.
C.
D.
【备注】 作直线 ，观察该直线与指数函数交点纵坐标的相对位置，交点越高，指数函数底
数越大．
【答案】B
【标注】【知识点】指数函数的图象及性质；指数a对幂函数图象的影响
14. 设 且 ，则函数 与 在同一坐标系中的图象可. 能. 是（ ）．
A. y B. y
x x
C. y D. y
x x
【备注】 本题考查参数对指数函数图象的影响，同时指数函数图象与直线图象时联动，可将各
选项逐个代入检验．
【答案】C
【解析】 ， 选项中，函数 在 上递增，且当 时， ，即
， ，
10
∴直线 ，斜率 ，与 轴交点纵坐标 ，故 ， 错误；
， 选项中，函数 在 上递减，且当 时， ，即
， ，
∴直线 ，斜率 ，与 轴交点纵坐标 ，故 正确，
错误．
故选 ．
【标注】【知识点】函数图象的识别问题；指数函数的图象及性质
15. 已知函数 是定义域 上的减函数，则实数 的取值范围是（
）．
A. B.
C. D.
【备注】 指数函数与分段函数单调性综合，须留意分段边界的取等条件．
【答案】B
【解析】若 是定义域 上的单调递减函数，
则满足 ，
即 ，即 ．
故选 ．
【标注】【知识点】指数函数的图象及性质；利用函数单调性解不等式
巩固练习
16. 函数 （ 且 ）的图象恒过定点（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意，由 得， ，
将 代入 得， ，
所以函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ．
11
故选 ．
【标注】【知识点】指数函数的图象及性质
17. 若函数 的图象在第二、三、四象限内，则（ ）．
A. B. ，且
C. ，且 D.
【答案】C
【解析】
如图所示： ， ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】指数函数的图象及性质
18. 已知 ， ， ， ，则在同一坐标系内，它们的图像为（ ）．
A. B.
C. D.
12
【答案】A
【解析】方法一：在第一象限内作直线 ，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知
选 ．
方法二： 与 单调递增，且 的图像上升得快， 与
的图像关于 轴对称； 与 的图像关于 轴对称，故选 ．
【标注】【知识点】指数函数的图象及性质；利用指数函数性质求最值
19. 在下图中，二次函数 与指数函数 的图象只能是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】 且 ，但 大于 还是小于 并不确定，只要两个函数图象中的 一致即可．
从指数函数图象看 ．
此时，抛物线的对称轴 ，故淘汰选项 、 ，
又因为选项 的零点除了 之外，另一个在 的左侧，
所以对称轴 不满足条件，故只能是 ．
【标注】【知识点】指数函数的图象及性质；函数图象的识别问题；二次函数的图象及性质
13
20. 已知 是 上的单调递增函数，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由 在 上是递增函数可得 ，
由 在 上是递增函数可得 ，
要使 是 上的增函数，必须满足
，
即 ，解得 ，
∴ 的取值范围是 ．
故选
【标注】【素养】逻辑推理；数学运算
【知识点】已知函数单调性求参数范围；分段函数
21. 已知函数 满足： 且 ， ．（ ）．
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】B
【解析】A. 利用不等式的传递性判断即可．
∵ ，
∴ ．
若 ，则 ，故 错误；
B.∵ ，
∴ ”．
若 ，则 ，故 ，故 正确；
14
C.若 且 ，无法推出 ，故 错误；
D.若 且 ，无法推出 ，故 错误．
故选 ．
【标注】【知识点】指数函数的图象及性质
3. 指数函数的应用
(一) 解简单的指数方程
我们把指数里含有未知数的方程叫做指数方程．
解指数方程时，常利用指数函数的性质： ，其中 将指数式作为一
个整体，将指数方程化为整式方程求解．
经典例题
22. 方程 的解集是(　　)．
A. B.
C. D.
【备注】 主要应用一：解简单的指数方程，常用方法是整体换元或通过化简使等号两侧为同底
数幂（一侧为常数也可）．
【答案】C
【解析】 ，∵ ，
∴ ，故选 ．
【标注】【知识点】解指数方程
【素养】数学运算
巩固练习
23. 设关于 的方程 ．
（ 1 ）若常数 ，求此方程的解．
（ 2 ）若该方程在 内有解，求 的取值范围．
【答案】（ 1 ） ．
15
（ 2 ） 的取值范围为 ．
【解析】（ 1 ）当 时，方程 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
所以 ，
所以方程的解为 ，
综上所述，结论为： ．
（ 2 ）由 可得 ，
所以 ，
令 ， ，则 ，
所以 ，
由 可得当 时， 最小为 ，
当 时， 最大为 ，
所以 ，即 ，
所以 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】函数零点的概念；已知零点情况求参数的取值范围；指数方程和指数不等式
（二）利用指数函数比大小
（1）化同底：化为同底后即可仿照同底指数比较大小的步骤比较大小，因此能够化成同底的尽量化成
同底．
（2）商比法：不同底但是可以化为同指数的两数比较大小，用商比法即可迎刃而解，但是此时要注意
除数的正负．
（3）取中间值：不同底也不同指数时比较大小，宜先与中间值 或 比较，然后利用不等式传递性得到
答案．
（4）估算法：利用估算法可以快速达到比较大小的目的，它是一种必备的数学技能，需要有意识培养
并深造．
（5）图解法：涉及到同一自变量的不同函数值比较大小时，可以抽取出所有函数，将其画在同一坐标
系中，然后按照给出范围选取自变量的值观察函数值大小即可．
经典例题
16
24. 设 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【备注】 主要应用之二：比较大小，一般化成同底数幂，利用指数函数的单调性比较．
【答案】D
【解析】 ， ， ，接下来根据 的单调性
判断大小即可．
【标注】【知识点】指数函数的图象及性质
25. 设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】 比较大小时，有时会涉及到幂函数与指数函数的综合，同底数幂可借由指数函数单调
性比较；指数相同的，可借由幂函数的单调性比较．比大小的常用方法，如特殊值法、构
造函数、中间值法等也很常用．
【答案】D
【解析】 中，底数 ，单调递减，
∴ ，即 ，
指数部分相同，底数不同，
利用图象可知 ．
故选 ．
【标注】【知识点】指对幂比较大小；指数函数的图象及性质；用单调性比较大小
巩固练习
26. 已知 ， ， ，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵ ，
17
∴ ，故选 ．
【标注】【知识点】幂值比大小
27. 已知 ， ， 则 ， ， 的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ．
故选 ．
【标注】【知识点】幂值比大小
(三) 解简单的指数不等式
解指数不等式时，同样将指数式作为一个整体，先求解不等式中指数式整体的范围，再根据指数式
的单调性等求解未知数 的范围．
经典例题
28. 不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 主要应用之三：解简单的指数不等式和不等关系的恒能成立问题，利用指数函数单调
性，将指数不等式转化为自变量之间的常见不等式．
【答案】B
【解析】由已知得 恒成立，
即 恒成立，
所以 ，
解得 ．
故答案为 ．
【标注】【知识点】指数函数的图象及性质
18
巩固练习
29. 若 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】 ．
【解析】原不等式 恒成立，即 ①
令 （设 ）．
由 得 ．
在 上最大值为 ，代入① 得， ，
解得 ．
故实数 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】不等式中的恒成立与能成立问题；含字母系数的不等式
30. 已知函数 ， ，若 ， ，使得 ，则
实数 的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】满足题意时应有： 在 的最小值不小于 在 的最小值，
由对勾函数的性质可知函数 在区间 上单调递减，
在 的最小值为 ，
当 时， 为增函数，
在 的最小值为 ，
据此可得： ，解得： ，
实数 的取值范围是 ，
故选： ．
【标注】【知识点】不等式中的恒成立与能成立问题；函数的值域；利用单调性求函数最值
四、 指数型复合函数
19
1. 型
经典例题
31. 函数 的图象大致为（ ）．
A. y B. y
x x
O O
C. D. y
x
O
【备注】 判断以指数函数为基元的复合函数图象，方法和常规的图象判断一致，一般先从定义
域、奇偶性等全局性质入手，然后考查特殊点和渐近线（趋势）等局部特性．
【答案】C
【解析】 ，当 时，函数 越来越接近 ，为单调递减
函数，当 时，函数 越来越接近 ，为单调递减函数，故 正确．
故选 ．
【标注】【知识点】函数图象的识别问题；图象法；指数函数的图象及性质
32. 函数 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】 在涉及 型求值问题时，对 进行整体换元是常用的方法．
【答案】D
【解析】 ，其中 ，∴ 的最小值为 ．
20
【标注】【知识点】求复合函数的值域；指数函数的图象及性质
33. 已知 ， 是实数，且 ，则下式中成立的是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】 构造函数 ，利用其单调性解决问题．
【答案】B
【解析】∵函数 在 上单调递增， 在 上单调递减，
∴ 在 上单调递增函数，
由题意得： ，即 ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】指数函数的图象及性质
34. 已知函数 ，若在其定义域内存在实数 满足 ，则称函数 为“局部奇函数”，
若函数 是定义在 上的“局部奇函数”，则实数 的取值范围是 ．
【备注】 本题中的局部奇函数，在定义域内存在 ，即指方程：
有解，形如 式子，常被用作整体换元（类似
），其在配凑方面的便利和奇偶性等特性，也常被用到．
【答案】
【解析】根据“局部奇函数”的定义可知，函数 有解即可；
即 ；
∴ ；
即 有解即可；
设 （ ），则方程等价为 在 时有解；
设 ，对称轴为 ；
①若 ，则 ，满足方程有解；
②若 ，要使 在 时有解，
21
则需： ；
解得 ；
综上得实数 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】函数的新定义问题；指数函数与二次函数复合
35. 如果函数 在区间 上是增函数，那么实数 的取值范
围是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 探索指数型复合函数的单调性时，如不知底数，须对底数进行分类讨论；本题在将指
数部分整体换元后形式上就成为了一个二次函数，此时须根据复合函数单调性同增异减的
原则，在不同底数情况下将区间 的单调增这一条件翻译成不等式组．
【答案】B
【解析】令 ， ，
若 ， 在 是增函数， ，不可能．
若 ， 在 上为减函数， ，
∴ ，
∴实数 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】指数函数的图象及性质
巩固练习
36. 某同学在研究函数 时，分别给出下面几个结论：
①函数 是奇函数；②函数 的值域为 ；③函数 在 上是增函数；
其中正确结论的序号是（ ）．
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】D
【解析】 ，
22
① ，
∴ 为奇函数，①正确．
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，②正确．
③令 ，则 ，
∴ ，
在 上是增函数，
又∵ 也是增函数，
∴ 是 上的增函数，③正确，
综上所述，①②③均正确，
故选 ．
【标注】【知识点】用分离常数法求值域；利用定义判断函数奇偶性；判断复合函数单调性
37. 函数 （ 且 ）在区间 上的最大值为 ，则它在这个区间上
的最小值为 ．
【答案】
【解析】令 则原函数化为 ， 在 上是递增的．
当 时， ， ，
所以 ；
当 时， ， ，
所以 ．
综上 在 上的最小值为 ．
【标注】【知识点】已知函数的最值求参数；求复合函数的最值
38. 已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值
范围为（ ）．
A. B.
C. D.
23
【备注】本题也可以用分离参数，换元，利用单调性求解： ，令
，注意 的范围．
【答案】C
【解析】求得
，
再由 ，
可得方程 在 上有解．
设 ，
则由题意可得函数 在区间 有解，
结合所给的选项可得，
，
故有 或 ，
或 ，
可得 的范围，
∵
，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，在 上有解，
设 ，
则由题意可得函数 在区间 有解，
结合所给的选项可得，
，
24
∴ 或 ，
或 ，
综上所述， 的范围为 ．
【标注】【知识点】一元二次方程根的分布
39. 已知函数 （ 且 ）在 上的最大值与最小值之差为 ．
（ 1 ）求实数 的值．
（ 2 ）若 ，当 时，解不等式 .
【答案】（ 1 ） 或 ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）当 时， ， ，
则 ，
解得 ，
当 时， ， ，
则 ，解得 ，
综上得： 或 ．
（ 2 ）当 时，由（ ）知 ， 为奇函数且在 上是增函数，
∴
或 ，
所以，不等式 的解集为 ．
【标注】【知识点】指数函数的图象及性质
40. 已知函数 （ ， ），且 在区间 上的最大值比最小值大 ．
（ 1 ）求 的值．
（ 2 ）若函数 在区间 的最小值是 ，求实数 的
值．
【答案】（ 1 ） ．
25
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）当 时， ，解得 ，或 （舍去），
当 时， ， 无实数解，
综上 ．
故答案为： ．
（ 2 ）函数
，
令 ， ，任取 ，
因
，
，所以 ，
有 ， ，所以 ，
则 在 上单调递增，故 ，
令 ，因此， ，所以问题转化为：
函数 在 上有最小值 ，求实数 的值，
因 ，对称轴方程为 ，
当 时， 在 上单调递增，
故 ，
由 ，
解得 与 矛盾，
当 时， ，
由 ，解得 或 （舍去），
综上， ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】用定义法证明函数的单调性；已知函数的最值求参数；利用指数函数性质求最
值
2. 型
经典例题
41. 已知函数 ．
26
（ 1 ）若 ，求 的单调区间．
（ 2 ）若 有最大值 ，求 的值．
（ 3 ）若 的值域是 ，求 的取值范围．
【备注】 在已知底数的情况下，可将复合函数的单调性、最值、值域等性质都转化成指数上的
函数的对应性质，对单调性的探索，遵循复合函数同增异减的原则．
【答案】（ 1 ）递增区间是 ，递减区间是 ．
（ 2 ） 的值等于 ．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）当 时， ， 令 ， 由于 在
上单调递增，在 上单调递减， 而 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 即函数 的递增
区间是 ，递减区间是 ．
（ 2 ）令 ， ，由于 有最大值 ， 所以 应有最小
值 ， 因此 ， 解得 ． 即当 有最大值 时， 的值等于
．
（ 3 ）由指数函数的性质知， 要使 的值域为 ． 应使
的值域为 ， 因此只能有 ． 因为若 ，则 为二
次函数，其值域不可能为 ． 故 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】已知函数的最值求参数；判断复合函数单调性
42. 已知函数 在 上有最小值 ，则 等于（ ）．
A. B. C. 或 D.
【备注】 在未知底数的情况下，须对底数进行分类讨论．
【答案】B
【解析】∵当 时， ，
当 时，当 取最小值，即 ，解得 舍去，
当 时，当 时，取最小值，即 解得 ，
故选： ．
【标注】【知识点】求复合函数的值域；指数函数与二次函数复合
27
巩固练习
43. 已知函数 （ ， 是常数，且 ）在区间 上有最大值 ，最小值 ，则
的值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令 ， ，最大值为 ，最小值为 ．
则 ， ，
当 时， 单调递增．
所以 ，解得 ，有 ．
故选 ．
【标注】【知识点】指数函数与二次函数复合
44. 函数 的增区间是 ，减区间是 ．
【答案】 ;
【解析】略
【标注】【知识点】判断复合函数单调性
导图总结
你学会了吗？快来用思维导图总结本节课所学吧！
【备注】
28
出门测
45. 函数 且 在 上的最大值比最小值大 ，则 的值是 ．
【答案】 或
【解析】当 时，由题意有 ，解得 ；
当 时，由题意有 ，解得 ，综上 的值为 或 ．
【标注】【知识点】用单调性观察法求值域
46. 已知函数 ， ，且 ，则下列结论中，一定成立的是（
）．
A. ， ， B. ， ，
C. D.
【答案】D
【解析】作出函数 的图象如下图中实线所示：
29
又 ，且 ，
结合图象知 ， ， ．
∴ ，∴ ．
∴ ，∴ ．
∴ ， ．
又 ，即 ．∴ ．
【标注】【知识点】指数函数的图象及性质
47. 函数 的定义域和值域分别为（ ）．
A. 定义域： ，值域：
B. 定义域： ，值域：
C. 定义域： ，值域：
D. 定义域： ，值域：
【答案】A
【解析】略
【标注】【知识点】用单调性观察法求值域；求具体函数（包括复合函数）的定义域；指数函数的
图象及性质
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