资源简介

常见不等式的解法
学习目标
1. 用函数观点看一元二次不等式，能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次
不等式的解集，了解一元二次不等式于相应函数、方程的联系；
2. 掌握简单绝对值不等式的解法，了解高次不等式、分式不等式、根式不等式等常见不等式的求法．
【备注】本节重点：用函数观点看一元二次不等式，绝对值不等式，分式不等式的解法；
本节难点：含参的一元二次不等式，绝对值三角不等式；
后置知识：函数．
一、 一元二次不等式
1. 一元二次不等式的解法
图象法：
解形如 的一元二次不等式，一般可分为三步：
（1）确定方程 的解；
（2）画出函数 的图象（简图）；
（3）由图象得出不等式的解集.
1
经典例题
1. 若 为 的解集，则 的解集为（ ）．
A. 或
B.
C.
D. 或
【备注】 建立二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的对应关系非常重要，二次函数
的零点、方程的根以及一元二次不等式解集的边界在数值上相等．因此，在本题中，第一
个一元二次不等式的解集的边界，就是对应的一元二次方程方程的两根，同样满足韦达定
理，故而可以求出系数 ，系数已知后，第二个一元二次不等式就不难解决了．
【答案】D
【解析】由题知， ， ，为方程 的两根，
∴ ， ，
则代入 ，
解得 或 ．
故选 ．
【标注】【知识点】一元二次不等式
【素养】数学运算
2. 不等式 的解集是（ ）．
A. 或
B.
C. 或
D.
【备注】 通过因式分解，将一元二次不等式改写成零点式： ，结合二次函
数图象的性质，不等式的解集就显而易见了．需要留意的是，求解一元二次方程和考查二
次函数的一般方法，对于一元二次不等式而言，也很常用．
【答案】C
【解析】 ，
即 ，
2
解集为 或 ．
故选 ．
【标注】【知识点】一元二次不等式
【素养】数学运算
巩固练习
3. 解下列不等式．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
【答案】（ 1 ） 或 ．
（ 2 ） ．
（ 3 ）不等式无解．
（ 4 ）不等式解为全体实数．
【解析】（ 1 ）原式化简得 或 ．
（ 2 ）原式化简得 ．
（ 3 ）原式化简得 ，
而 恒大于 ，
∴不等式无解．
（ 4 ）原式化简得 恒大于 ，
∴不等式解为全体实数．
【标注】【知识点】一元二次不等式
4. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集
为 ．
【答案】
【解析】∵ 的解集为 ，
3
∴ ， 是 的两根，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】韦达定理；一元二次不等式
5. 若关于 的不等式 的解集恰好是 ，则 的值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：令 ．对称轴为 ，
若 ，则 ， 是方程 的两个实根，解得 ， ，矛盾，易错选D；
若 ，则 ， ，相减得 ，代入可得 ，矛盾，易错
选C；
若 ，则 的顶点在 上， ，否则在顶点处不满足 ，所
以此时 的解集是 ．所以 的解集是 ，所以 ，由
，解得 ，由 解得 ，所以 ．
故选：B．
【标注】【知识点】一元二次不等式
2. 含参的一元二次不等式
含参问题的一元二次不等式的两类问题：
（1）恒成立与有解问题
①先讨论二次项系数和零的关系
②考虑对应二次函数的开口方向；
②用判别式法或将参数与变量分离（参变分离法）；
4
（2）能因式分解的一元二次不等式的分类讨论
①先讨论二次项系数和零的关系；
②因式分解后讨论两根的大小关系．
经典例题
6. 不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【备注】 本题是较为典型的一元二次不等式的恒成立问题，可应用一般性的解题步骤，分类讨
论：
首先考虑二次项系数能否取 ，本题中二次项系数为 时，原不等式为 恒成立；
再考虑二次项系数不为 时不等式对应的二次函数的开口方向，本题是恒小于 ，因此
开口应该向下，同时判别式小于 ，不难求解 的范围；
当然，最后不要忘记，将两类情形求得的结果取并集．
【答案】D
【解析】当 即 时，不等式为 ，符合，
当 时，要使不等式恒成立，
即 ，
解得 ，
综上所述， ．
故选： ．
【标注】【知识点】不等式中的恒成立与能成立问题；含字母系数的不等式
7. 已知命题“ ”是真命题，则实数 的取值范围为（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 本题中的关于一元二次不等式的存在性命题，属于能成立问题，等同于对应的一元二
次函数在区间上 得最大值为正，对于开口向上的二次函数而言，函数某一区间的最大
值一定在区间端点处取，因此只需 或 处函数值为正即可．
5
【答案】C
【解析】记 ，
则函数 的图象是开口向上的抛物线，
因命题“ ， ”是真命题，
故 或 ，
即 或 ，
故 或 ，
故 的取值范围为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】二次函数相关的恒成立问题；根据命题真假求参数的范围；一元二次不等式
8. 不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 本题中，参数都集中常数项（学过分式不等式的解法和基本不等式之后，一次项或二
次项参数也可用参变分离处理），因此自然很适合使用参变分离的方法，要证
恒成立，
即证 恒成立，
须使左边自变量多项式的最小值恒大于右边参数多项式，
解一元二次不等式 即可；
当然，本题使用判别式法也并不难解．
【答案】A
【解析】参变分离
要证 恒成立
即证 恒成立
∵
，
且若 对任意实数 恒成立，
则 ，解得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】二次函数相关的恒成立问题
6
9. 解关于 的不等式 ．
【备注】 本题是比较典型的能因式分解的含参一元二次不等式问题，并且二次项系数、一次项
系数和常数项上都含参数，这类题目对学生对于分类讨论思想的掌握具有一定要求．简要
来说，须针对不等式类型（二次项系数是否为 ）、对应的函数方程的开口方向、因式分解
所得到的两零点大小关系进行三个层面的分类讨论．
【答案】答案见解析．
【解析】（ ）当 时，原不等式为 ，解集为 ；
（ ） 时，不等式化为 ，
① 时，不等式等价为 ，
进一步讨论：（ ） ，解集为 ，
（ ） ，解集为 ，
（ ） ，解集为 ；
② 时，不等式等价为 ，进一步分类讨论：
（ ） ，解集为 ，
（ ） ，解集为 ，
（ ） ，解集为 ．
【标注】【思想】分类讨论思想
【知识点】一元二次不等式；解不等式中的分类讨论
【素养】数学运算
巩固练习
10. 若不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围
是 ．
【答案】
【解析】①当 时，得 或 ，
∵ 时，原式可化为 ，恒成立，符合题意．
当 时，原式可化为： ，对一切实数 不恒成立，故舍去；
∴ ；
② 时即 ，且 ，
7
∵ 对一切实数 恒成立，
∴有 ，
解得 ．
综上得 ．
【标注】【知识点】二次函数相关的恒成立问题；一元二次不等式
11. 已知命题 ：“至少存在一个实数 ，使不等式 成立”为真，则参数 的取
值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】方法一：由题意知： 在
上有解，
令 ，
则只需 或 ，
即 或 ，
整理得 或 ．
即 ，
故参数 的取值范围为 ．
故选 ．
方法二： ，
无解，
令 ，
则 ，
即 ，
解得 ．
故命题 中， ，
故参数 的取值范围为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】根据命题真假求参数的范围
8
12. 不等式 的解集是 ，其中 ，则不等式 的
解集是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】∵不等式 解集是 ，
∴ ，且有 ， 是方程 的两根，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴不等式 可变形为： ，
即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
所以不等式 的解集为 ，
故选 ．
【标注】【知识点】一元二次不等式；一元二次方程根的分布
13. 关于 的不等式 的解集中，恰有 个整数，则 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵关于 的不等式 的解集中，恰有 个整数，
∴
9
，
故 ．
故选 ．
【标注】【知识点】韦达定理
14. 若正实数 ， 满足 ，且不等式 恒成立，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵正实数 ， 满足 ，可得 ，
∴不等式 恒成立，
即 恒成立，
变形可得 恒成立，
即 恒成立，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
即 ，解不等式可得 ，或 （舍负）
可得 ，要使 恒成立，只需 恒成立，
化简可得 ，
即 ，解得 或 ，
故答案为： ．
【标注】【知识点】基本不等式与恒成立问题；基本不等式成立的条件；二次函数相关的恒成立问
题
二、 其他常见不等式
1. 绝对值不等式
10
（一）绝对值的几何意义：
① 是指数轴上 点 到原点 的距离；② 是指数轴上 ， 两点间 的距离
（二）绝对值不等式 和 的解法
①公式法
当 时， ,
当 时， 或 ， ；
当 时， ， ．
②平方法
当 时，也可以使用平方法， ， ；
③分类讨论法（针对绝对值符号内部分的正负进行分类讨论，先去绝对值符号，再解不等式）
例如， 的解集为， ．
经典例题
15. 解下列绝对值不等式．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
【备注】本题中的三道绝对值不等式分别代表了三种类型，
（1）只有一个含未知数的绝对值项，用公式法求解较为方便；
（2）一个含未知数的绝对值项与一个含未知数的非绝对值项，可先对绝对值内部正负进行
判断，去绝对值符号；
（3）两个含未知数的绝对值项；针对两个绝对值项的正负进行分类讨论．
【答案】（ 1 ） 或 ．
（ 2 ） 且 ．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）原不等式等价于 或 ，
解得 或 ，
所以原不等式的解集是 或 ．
（ 2 ）当 时，不等式恒成立，此时解集为 ；
当 时，原不等式等价于①
或② ，
解①，得 ；解②，得 或 ，
11
∴原不等式的解集为 且 ．
（ 3 ）分别令 ， 得零点为 ， ，
∴原不等式等价于：① 解集为 ；
或② ；
或③ ， ，
综上，不等式的解集为 ．
【标注】【知识点】含绝对值的不等式
16. 若关于实数 的不等式 无解，则实数 的取值范围是 ．
【备注】 本题解析中提供的几何解法是一种极为便捷的方法，
除此以外，作为含绝对值不等式的恒成立问题，本题等价于
, ， 求三个恒成
立问题的交集．
【答案】
【解析】由于 表示数轴上的 对应点到 和 对应点的距离之和，它的最小值为
，
故当 时，关于实数 的不等式 无解，
故答案为： ．
【标注】【知识点】含绝对值的不等式
【素养】数学运算
巩固练习
17. 不等式 的解集为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】不等式 可化为，
，或 ，
12
解得 ，或 ，
故不等式 的解集为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】含绝对值的不等式
18. 不等式 的解集为 ．
【答案】
【解析】 ，
．
∴ ．
．
【标注】【知识点】含绝对值的不等式
19. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令 ，
则当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
∴ ．
已知关于 的不等式 的解集为 ，则对 ，有 恒成
立，
∴ ，即实数 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】含绝对值的不等式；不等式中的恒成立与能成立问题
（三）绝对值三角不等式（拓展）
定理 ：若 为实数，则 ，当且仅当 ，等号成立；
13
定理 ：设 为实数，则 ，等号成立 ，即在数轴
上， 落在 之间．
推论 ：
推论 ：
一般来说可以这样记忆： ，且等号只能在一端取得．
回过头来看看前面的问题，是否可以用绝对值三角不等式，快速地得出答案呢？
【备注】 定理 的证明可以由两边平方作差得到，也可以根据几何意义在数轴上推导；定理 和
两个推论都可由定理 证明．
经典例题
20. 若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. 或 D.
【备注】 本题使用绝对值三角不等式求出
；后续求解就变得容易．
【答案】C
【解析】∵不等式 恒成立，
∴ 恒成立，
由绝对值三角不等式 ，
故 ，
解得： 或 ．
故选： ．
【标注】【知识点】不等式中的恒成立与能成立问题
21. 若 关于 的不等式 （ ）的解集为空集，则实数 的取值范围是（
）．
A. B. C. D.
【备注】 应用绝对值三角不等式便可快速地得出 的最小值．
【答案】A
14
【解析】 表示数轴上 对应的点到 和 对应的点的距离之和，其最小值等于 ．由
的解集为空集，
可得 恒成立，故有 ，
解得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】含绝对值的不等式；绝对值三角不等式
巩固练习
22. 若关于 的不等式 有实数解，则实数 的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】 在应用绝对值三角不等式的时候，有时需要灵活地调整绝对值内部的符号．
【答案】C
【解析】 ，
∵ 有实数解，
∴ 有解，
即 ，
∴ ，
∴ 的取值范围为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】不等式中的恒成立与能成立问题；含绝对值的不等式
23. 对于任意 、 ， 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵ ，当且仅当 时，等号成立，
，当且仅当 时，等号成立，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故选 ．
15
【标注】【知识点】绝对值三角不等式
2. 高次不等式
一般高次不等式用数轴穿根法（或称穿线引线法）求解，其步骤是：
（1）对高次不等式进行处理，使得不等号一侧为 ；另一侧最高次项的系数为正数；
（2）将不等号改为等号，因式分解；
（3）将每个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根，偶次方穿而不
过，奇次方根穿又过，即所谓的“奇穿偶不穿”）；
（4）观察不等号，如果不等号为" "，则取数轴上方，穿根线以内的范围，如果不等号为" "，则
取数轴下方，穿根线以内的范围．
例题讲解
24. 请解下列不等式：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
（ 5 ） ．
【备注】 须留意重根，奇穿偶不穿，如 ；同时须注意最高次项的系数正负，如 ，
可以如解析中一样改变穿根的起始位置，更建议改变不等号方向，以避免混淆．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
（ 4 ）
（ 5 ）
【解析】（ 1 ）
x
–3 –2 –1 O 1 2 3 4
（ 2 ） 恒成立，∴原不等式等价于 ，即 .
（ 3 ）
16
x
–3 –2 –1 O 1 2
（ 4 ）
x
–2 –1 O 1 2 3 4
（ 5 ）
–5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 x
【标注】【知识点】高次不等式
25. 设 ，若 时均有 ，则 ．
【备注】本题主要应用“奇穿，偶不穿”的结论，首先对 进行分类讨论：
若 ,易验证舍去；
若 ，则三个根中两负一正，因此 时，仅有一个奇次方根，必穿横轴，因此不满
足 时恒大于 的条件；
若 ，则三根中两正一负，为使 时，不等式恒成立，须使两个正根重合，为一个
偶次方根，不穿横轴．
【答案】
【解析】由题意知，此为高次方程讨论解集问题，故有如下情况：
①当 时，可检验不满足要求，舍去；
②当 时，令表达式等于零得根分别为 ， ，
，依据穿针引线法相关结论，知此时应有 才能满足要
求，
故将根 代入二次方程 ，得 ．
③当 时，令表达式等于零得根分别为 ， ，
17
，依据穿针引线法相关结论，可检验不满足要求，舍去
综上，
【标注】【方法】穿根法
【素养】数学运算
【思想】分类讨论思想
【知识点】高次不等式
【知识点】含字母系数的不等式
巩固练习
26. 解下列高次不等式：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）试根可得 为方程的一个解，
故对方程左边进行因式分解一定存在一个因子 ，
则原不等式可化为：
．
（ 2 ）略．
【标注】【知识点】高次不等式
27. 设 ， 在 上恒成立，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】∵ 在 上恒成立，
∴ ， 或 ， ，
①若 在 上恒成立，则 ，即 ，
此时当 时， 不成立，
18
②若 在 上恒成立，则 ，即 ，
若 在 上恒成立，则 ，即 ，
故 的最大值为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】一元二次不等式
【知识点】含字母系数的不等式
【知识点】截距型目标函数
【素养】逻辑推理
【素养】数学运算
3. 分式不等式
形如 （其中 与 均为整式， 中含有未知数）的代数式称为分式．
类似的，我们把分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．
因为两数相除为正数，等价于两数相乘为正数，所以解分式不等式的原则，就是利用等价转化的原
理，把除法变成乘法，将其转化为整式不等式．
例如：
或 ；
；
（移项通分） ．
由此看来，分式不等式就等价于高次不等式（组），具体我们不再赘述．
经典例题
28. 不等式 的解集是（ ）．
A.
B.
C. 或
D.
【备注】 注意移项和边界取等条件．
【答案】B
19
【解析】由 可得 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
解得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】分式不等式
29. 关于 的不等式 ，下列说法错误的是（ ）．
A. 时，不等式解集为
B. 时，不等式解集为
C. 时，不等式解集为
D. 或 时，不等式解集为
【备注】 转化为高次或二次不等式之后，对参数进行分类讨论．
【答案】D
【解析】A 选项： ，
的两个解为 ， ．
时，即 或 ，
时， ，不等式解集为 ， 正确；
B 选项： 时， ，不等式解集为 ， 正确；
C 选项： 即 ， 时，不等式的解集为 ，
∴ 正确；
D 选项： 即 ， 或 时，不等式解集为
，∴ 错．
故选 D .
【标注】【知识点】分式不等式
巩固练习
30. 的解集为 ．
20
【答案】
【解析】∵ 恒成立，
∴不等式 等价于 或 ，
根据穿根法，解 ，得 或 ，
∴原不等式的解集为： ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】分式不等式
31. 解关于 的不等式： ．
【答案】当 时,原不等式解集为 ．
当 时,原不等式的解集为 ．
当 时,原不等式的解集为 ；
当 时,原不等式的解集为 ．
当 时,原不等式的解集为 ．
【解析】原不等式化为 ．
当 时,原不等式化为 ,解集为 ．
当 时,原不等式化为 ．
又∵ ．
∴原不等式的解集为 ．
当 时,原不等式化为 ,
当 时,即 ．∴原不等式的解集为 ．
当 时,即 ．
∴原不等式的解集为 ．
当 时,即 ．、
∴原不等式的解集为 ．
综上所述,当 时,原不等式解集为 ．
当 时,原不等式的解集为 ．
21
当 时,原不等式的解集为 ；
当 时,原不等式的解集为 ．
当 时,原不等式的解集为 ．
【标注】【知识点】分式不等式
32. 不等式 的解集为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∴不等式的解集为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】含绝对值的不等式
4. 根式不等式
含有根号的不等式，即为根式不等式．
处理方法一般是平方，但是由于根式和被开方数的非负性，平方的时候还有一些需要注意的事项；
如果一次平方之后，还留有根式，那就分离根式和非根式部分，再次平方．
具体解法如下：
或 （比根式小，可以是负数）
（比根式大，必须是正数）．
经典例题
33. 解不等式：
22
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
【备注】 对于根式不等式而言，不要上来就盲目平方
如 须针对非根式部分的正负进行分类讨论 ；
如 的根式小于非根式的形式，不等号另一侧比根式大的部分也必须为正，
．
如 出现两个根式，
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）略．
（ 2 ）略．
（ 3 ）略．
【标注】【知识点】无理不等式；一元二次不等式；不等式的性质
34. 不等式 的解是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 本题不等号两侧在两个根式之外还有一个常数项，这样的根式不等式通常需要先进行
两次平方处理，才能去除不等式中的所有的根式，在平方处理时，一般要使得较小的一边
确定非负，这样可以避免分类讨论；若如本题中一样，一次平方后，分离根式与非根式，
可以发现非根式的一侧恒小于 ，那么就无需再平方处理，只要保证根号内的部分非负即
可．
【答案】A
【解析】
由不等式 ，可得 ，
23
∴ ，即 ①．
由于当 时， ， 恒成立，
解得①的解为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】无理不等式
巩固练习
35. 解不等式．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
【标注】【知识点】无理不等式
36. 不等式 的解集是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】定义域 ，当 时，显然合题；
当 时， ，即 ，解得 ，
综上： 或 ，故选 ．
【标注】【知识点】无理不等式
导图总结
24
你学会了吗？快用思维导图总结本节课所学吧！
【备注】
出门测
37. 若对于任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当 ，即 时，不等式为 恒成立，故 符合题意；
当 ，即 时，不等式 恒成立，则：
，解得 ．
综上所述，实数 的取值范围是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】一元二次不等式
【素养】数学运算
38. 已知常数 ，解关于 的不等式 ．
【答案】 ，解集为 ，
时，解集为 ，
时，解集为 ．
【解析】分解因式得 ，
① ，解集为 ，
② 时，解集为 ，
25
③ 时，解集为 ．
【标注】【知识点】解不等式中的分类讨论；一元二次不等式；含字母系数的不等式
39. 解不等式 ．
【答案】 ．
【解析】原不等式可化为 ，
或
解得 或 ，
综上，原不等式的解集是 ．
【标注】【知识点】含绝对值的不等式
【素养】逻辑推理
【素养】数学运算
40. 不等式 的解集是 ．
【答案】
【解析】根据题意，由于
．
故答案为： ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】分式不等式
【知识点】一元二次不等式
26常见不等式的解法
一、 一元二次不等式
1. 一元二次不等式的解法
图象法：
解形如 的一元二次不等式，一般可分为三步：
（1）确定方程 的解；
（2）画出函数 的图象（简图）；
（3）由图象得出不等式的解集.
经典例题
1. 若 为 的解集，则 的解集为（ ）．
A. 或
B.
C.
D. 或
2. 不等式 的解集是（ ）．
1
A. 或
B.
C. 或
D.
巩固练习
3. 解下列不等式．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
4. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集
为 ．
5. 若关于 的不等式 的解集恰好是 ，则 的值为(　　)
A. B. C. D.
2. 含参的一元二次不等式
含参问题的一元二次不等式的两类问题：
（1）恒成立与有解问题
①先讨论二次项系数和零的关系
②考虑对应二次函数的开口方向；
②用判别式法或将参数与变量分离（参变分离法）；
（2）能因式分解的一元二次不等式的分类讨论
①先讨论二次项系数和零的关系；
②因式分解后讨论两根的大小关系．
经典例题
6. 不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）．
A.
B.
C.
D.
2
7. 已知命题“ ”是真命题，则实数 的取值范围为（ ）．
A. B.
C. D.
8. 不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）．
A. B.
C. D.
9. 解关于 的不等式 ．
巩固练习
10. 若不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围
是 ．
11. 已知命题 ：“至少存在一个实数 ，使不等式 成立”为真，则参数 的取
值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
12. 不等式 的解集是 ，其中 ，则不等式 的
解集是（ ）．
A.
B.
C.
D.
13. 关于 的不等式 的解集中，恰有 个整数，则 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
14. 若正实数 ， 满足 ，且不等式 恒成立，则实数
的取值范围是 ．
二、 其他常见不等式
1. 绝对值不等式
3
（一）绝对值的几何意义：
① 是指数轴上 的距离；② 是指数轴上 的距离
（二）绝对值不等式 和 的解法
①公式法
当 时， ,
当 时， ， ；
当 时， ， ．
②平方法
当 时，也可以使用平方法， ， ；
③分类讨论法（针对绝对值符号内部分的正负进行分类讨论，先去绝对值符号，再解不等式）
例如， 的解集为， ．
经典例题
15. 解下列绝对值不等式．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
16. 若关于实数 的不等式 无解，则实数 的取值范围是 ．
巩固练习
17. 不等式 的解集为（ ）．
A. B.
C. D.
18. 不等式 的解集为 ．
19. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围为 ．
（三）绝对值三角不等式（拓展）
定理 ：若 为实数，则 ，当且仅当 ，等号成立；
定理 ：设 为实数，则 ，等号成立 ，即在数轴
上， 落在 之间．
推论 ：
推论 ：
一般来说可以这样记忆： ，且等号只能在一端取得．
4
回过头来看看前面的问题，是否可以用绝对值三角不等式，快速地得出答案呢？
经典例题
20. 若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. 或 D.
21. 若 关于 的不等式 （ ）的解集为空集，则实数 的取值范围是（
）．
A. B. C. D.
巩固练习
22. 若关于 的不等式 有实数解，则实数 的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
23. 对于任意 、 ， 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
2. 高次不等式
一般高次不等式用数轴穿根法（或称穿线引线法）求解，其步骤是：
（1）对高次不等式进行处理，使得不等号一侧为 ；另一侧最高次项的系数为正数；
（2）将不等号改为等号，因式分解；
（3）将每个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根，偶次方穿而不
过，奇次方根穿又过，即所谓的“奇穿偶不穿”）；
（4）观察不等号，如果不等号为" "，则取数轴上方，穿根线以内的范围，如果不等号为" "，则
取数轴下方，穿根线以内的范围．
例题讲解
24. 请解下列不等式：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
（ 5 ） ．
5
25. 设 ，若 时均有 ，则 ．
巩固练习
26. 解下列高次不等式：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
27. 设 ， 在 上恒成立，则 的最大值为 ．
3. 分式不等式
形如 （其中 与 均为整式， 中含有未知数）的代数式称为分式．
类似的，我们把分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．
因为两数相除为正数，等价于两数相乘为正数，所以解分式不等式的原则，就是利用等价转化的原
理，把除法变成乘法，将其转化为整式不等式．
例如：
或 ；
；
（移项通分） ．
由此看来，分式不等式就等价于高次不等式（组），具体我们不再赘述．
经典例题
28. 不等式 的解集是（ ）．
A.
B.
C. 或
D.
29. 关于 的不等式 ，下列说法错误的是（ ）．
A. 时，不等式解集为
B. 时，不等式解集为
C. 时，不等式解集为
D. 或 时，不等式解集为
巩固练习
6
30. 的解集为 ．
31. 解关于 的不等式： ．
32. 不等式 的解集为（ ）．
A.
B.
C.
D.
4. 根式不等式
含有根号的不等式，即为根式不等式．
处理方法一般是平方，但是由于根式和被开方数的非负性，平方的时候还有一些需要注意的事项；
如果一次平方之后，还留有根式，那就分离根式和非根式部分，再次平方．
具体解法如下：
或 （比根式小，可以是负数）
（比根式大，必须是正数）．
经典例题
33. 解不等式：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
34. 不等式 的解是（ ）．
A. B.
C. D.
巩固练习
35. 解不等式．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
7
36. 不等式 的解集是（ ）．
A.
B.
C.
D.
导图总结
你学会了吗？快用思维导图总结本节课所学吧！
出门测
37. 若对于任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
38. 已知常数 ，解关于 的不等式 ．
39. 解不等式 ．
40. 不等式 的解集是 ．
8

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