资源简介

常用逻辑用语
”命题”这个词在新闻报道中经常可以见到．例如：“从最直接的生态保护方式之一植树造林，到多种
更具创新性的环保活动的开展，如何建立起公众与自然沟通的桥梁，引发人们对于自然环境的关注和思
考，成为时下的环保‘新命题’．”（2017年12月21日《中国青年报》）
我们在数学中也经常接触到”命题“这两个字，你知道新闻报道中的”命题”与数学中的”命题”有什么区
别吗
新闻报道中的”命题”往往是”命制的题目”的简写，常常指的是待研究的问题或需要完成的任务等．
需要注意的是，一般来说，数学中的”命题”与新闻报道中的”命题”不一样．
我们在初中的时候就已经学习过数学中的命题，知道类似”对顶角相等”这样的可供真假判断的陈述
语句就是命题，而且，判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题．数学中的命题，还经
常借助符号和式子来表达．例如，命题“9的算术平方根是3”可表示为 ．
1. 命题
一般地，在数学中我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题．其中判断为
真的语句称为 ，判断为假的语句称为 ．
中学数学中的许多命题可以写成“若 ，则 ”（或“如果 ，那么 ”）的形式．其中 称为命题的
条件， 称为命题的结论．后面我们主要讨论这种形式的命题．
经典例题
1. 判断下列语句是否是命题；如果是命题，写出其真假．
（ 1 ）实数是有理数．
（ 2 ）如果一个数是有理数，则这个数的平方也是有理数．
（ 3 ）苏必利尔湖位于美国和加拿大交界处，是世界上海拔最高的淡水湖．
（ 4 ）过直线外一点作直线的平行线．
（ 5 ）常泽昊老师长得很帅．
2. 下列命题是真命题的为（ ）．
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
巩固练习
3. 下列语句不是命题的有（ ）．
1
① ；②与一条直线相交的两直线平行吗？③ ；④ ．
A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④
4. 能够说明“设 是任意实数．若 ，则 ”是假命题的一组整数 的值依次
为 ．
2. 充分条件与必要条件
下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
（3）若 ，则 ；
（4）若平面内两条直线 和 均垂直于直线 ，则 ．
一般地，“若 ，则 ”为真命题，是指由 通过推理可以得出 ．这时我们就说，由 可以推出 ，记
作 ，此时称 是 的 ， 是 的 ．
如果“若 ，则 ”为假命题，那么由条件 不能推出结论 ，此时称 不是 的充分条件， 不是 的必
要条件．
将命题"若 ，则 "中的条件 和结论 互换，就得到一个新的命题“若 ，则 ”，称这个命题为原命题
的逆命题．
如果“若 ，则 ”和它的逆命题“若 ，则 ”均为真命题，即既有 ，又有 ，则记作
，此时 既是 的充分条件，也是 的必要条件，我们说 是 的 ，简称为
．显然，如果 是 的充要条件，那么 也是 的充要条件．概括地说，如果 ．那么 与 互为充
要条件．
类似的，如果 是 的充分不必要（必要不充分）条件，那么 就是 的必要不充分（充分不必要）条
件．
注意：对于某一命题，要首先明确谁是条件、谁是结论，对于条件才能判断其充分、必要性！
用集合间的关系描述充分性和必要性
设 { 满足条件 }， { 满足条件 }．
若 ，则 是 的 ；
若 ，则 是 的 ；
若 ，则称 是 的 ．
若 ，则称 是 的 ．
若 且 ，则称 是 的 ．
若 ，则称 是 的 ．
2
经典例题
5. 已知集合 ，则“ ”是“ ”的（ ）．
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 设 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 有限集合 中元素的个数记作 ，设 ， 都为有限集合，给出下列命题：
① 的充要条件是 ；
② 的 必要条件是 ；
③ 的充分条件是 ；
④ 的充要条件是 ；
其中真命题的序号是（ ） ．
A. ③④ B. ①② C. ①④ D. ②③
8. 已知集合 ， ，若 是 的必要不充分条件，求实
数 的取值范围．
巩固练习
9. 王昌龄的《从军行》中有两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句“攻破楼兰”是“返
回家乡”的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 关于 的方程 至少有一个负实根的充要条件是（ ）．
A. B.
C. D. 或
11. 三个逻辑学家走进酒吧，侍者问：“每个人都要来一杯啤酒吗？”
第一个逻辑学家说：“我不知道．”
第二个说：“我也不知道．”
第三个说：“是的！”
请问第三个人为什么知道每个人都要一杯啤酒
12. 已知 ，求证： 成立的充要条件是 ．
3
3. 量词
我们知道，命题是可以判断真假的陈述句．在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不
知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题．但是，如果在原语句的基础上，用一个短语
对变量的取值范围进行限定，就可以使它们称为一个命题，我们把这样的短语称为量词．
下面我们将介绍全称量词和存在量词，以及如何正确地对含有一个量词的命题进行否定．
1. 全称量词
（ ）概念：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．含有全称量词
的命题，叫做全称量词命题．
（ ）全称量词命题的符号记法：将含有 变量的语句用 ， ， ， 表示，变量 的取值范围
用 表示．那么，全称量词命题“对 中任意一个 ，有 成立．”可用符号简记为： ， ，
读作“对任意 属于 ， 成立”．
2. 存在量词
（ ）概念：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．含有存在量词
的命题，叫做存在量词命题．
（ ）存在量词命题的符号记法：“存在 中的一个 ，使 成立”可用符号简记为 ， ，读
作“存在一个 属于 ，使 成立”．
3. 命题的否定
你能说出命题 ：” 的相反数是 “和命题 ：” 的相反数不是 ”这两个命题之间的关系吗 它们的
真假性如何
可以发现，命题 是对命 的否定，命题 也是对命题 的否定．而且， 是真命题， 是假命题．一般
地，对命题ρ加以否定，就得到一个新的命题，记作” ”，读作”非 ”或” 的否定”．如果一个命题是真命
题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然．
4. 全称量词命题的否定
一般地，对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：
全称量词命题： ， ，
它的否定： ， ．
全称量词命题的否定是存在量词命题．
5. 存在量词命题的否定
一般地，对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：
存在量词命题： ， ，
它的否定： ， ．
4
存在量词命题的否定是全称量词命题．
经典例题
13. 用量词符号“ ， ”表示下列命题，并判断下列命题的真假．
（ 1 ）存在一对实数 ， ，使 成立．
（ 2 ）有理数 的平方仍为有理数．
14. 命题“ ， ”的否定是（ ）．
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
15. 命题“ ， ”的否定是 ．
16. 已知命题 ， ．若命题 是假命题，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
17. 已知 ， ， ， ，若命题 是真命题，且命题
是真命题，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
18. 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假．
（ 1 ） 是无理数 ， 是无理数．
（ 2 ）对任意实数 ，有 成立．
（ 3 ）有一个实数乘以任意一个实数都等于 ．
19. 写出下列命题的否定，并判断其真假.
（ ） ： ， 不是 的根；
（ ） ：有些质数是奇数；
（ ） ： ， ；
20. 已知命题 ： ，都有 ，则 为（ ）．
A. ，使得
B. ，都有
C. ，都有
5
D. ，使得
21. 已知 ： ， ， ： ， ，若 都为假命题，则实数 的
取值范围为（ ）．
A. B.
C. 或 D.
22. 已知 ，命题 ： ， ，命题 ： ， ．
（ 1 ）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；
（ 2 ）若命题“ ”命题“ ”一真一假，求实数 的取值范围．
23. 命题“ ， ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）．
A. B. C. D.
导图总结
你学会了吗？快用思维导图来总结本节课所学吧！
出门测
24. 已知命题 ：对任意实数 都有 恒成立；命题 ：关于 的方程 有实
数根；如果 与 中有且仅有一个为真命题，求实数 的取值范围．
25. 已知命题 ， ，则（ ）．
A. 命题 ， ，为假命题
B. 命题 ， ，为真命题
C. 命题 ， ，为假命题
D. 命题 ， ，为真命题
26. 含一个量词的命题“ ，使得 ”的否定是（ ）．
A. ，使得
B. ，使得
C. ，
D. ，
6
7常用逻辑用语
学习目标
1. 通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充分条件
的意义，理解判定定理与充分条件的关系；理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．
2. 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义；能正确使用存在量词对全称量词命题进行否
定；能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．
【备注】 本讲内容较少，可与集合合并．
常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的
基本语言．本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象、进行数学推
理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提高交流的严谨性与准
确性．
本节重点：命题；充分和必要条件；全称量词和存在量词．
本节难点：充分和必要条件的判定；命题的否定．
期末占比：10%．
”命题”这个词在新闻报道中经常可以见到．例如：“从最直接的生态保护方式之一植树造林，到多种
更具创新性的环保活动的开展，如何建立起公众与自然沟通的桥梁，引发人们对于自然环境的关注和思
考，成为时下的环保‘新命题’．”（2017年12月21日《中国青年报》）
我们在数学中也经常接触到”命题“这两个字，你知道新闻报道中的”命题”与数学中的”命题”有什么区
别吗
新闻报道中的”命题”往往是”命制的题目”的简写，常常指的是待研究的问题或需要完成的任务等．
需要注意的是，一般来说，数学中的”命题”与新闻报道中的”命题”不一样．
我们在初中的时候就已经学习过数学中的命题，知道类似”对顶角相等”这样的可供真假判断的陈述
语句就是命题，而且，判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题．数学中的命题，还经
常借助符号和式子来表达．例如，命题“9的算术平方根是3”可表示为 ．
1. 命题
一般地，在数学中我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题．其中判断为
真的语句称为 真命题 ，判断为假的语句称为 假命题 ．
中学数学中的许多命题可以写成“若 ，则 ”（或“如果 ，那么 ”）的形式．其中 称为命题的
条件， 称为命题的结论．后面我们主要讨论这种形式的命题．
1
【备注】（ ）并不是任何语句都是命题，只有那些能判断真假的语句才是命题．一般来说，疑问
句、祈使句、感叹句都不是命题．
（ ）一个命题要么是真的，要么是假的，但不能同时既真又假，也不能模棱两可、无法判
断其真假．
（ ）要判断一个命题是真命题，需进行论证，而要判断一个命题是假命题，只需举出一个
反例即可．
（ ）在数学或其他科学技术中，还有一类陈述句也经常出现，如：“每一个不小于 的偶数
都是两个奇素数之和（哥德巴赫猜想）”“在2100年前，将有人登上火星”等，虽然目前还不
能确定这些语句的真假，但是随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它们的真假，
人们把这一类猜想仍算为命题．
经典例题
1. 判断下列语句是否是命题；如果是命题，写出其真假．
（ 1 ）实数是有理数．
（ 2 ）如果一个数是有理数，则这个数的平方也是有理数．
（ 3 ）苏必利尔湖位于美国和加拿大交界处，是世界上海拔最高的淡水湖．
（ 4 ）过直线外一点作直线的平行线．
（ 5 ）常泽昊老师长得很帅．
【备注】 命题是可判断真假的陈述句，当命题来源于实际生活时，要动用生活常识去加以判
断，当命题与数学知识相关时，要结合其数学本质加以考虑，一般判断命题为假，举出反
例即可，判断真命题为真，则需谨慎地全面考虑．
世界上海拔最高的淡水湖是南美洲的的喀喀湖．
【答案】（ 1 ）是，假．
（ 2 ）是，真．
（ 3 ）是，假．
（ 4 ）不是．
（ 5 ）不是．
【标注】【知识点】命题的概念
2. 下列命题是真命题的为（ ）．
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【备注】一般判断命题为假，举出反例即可，判断真命题为真，则需谨慎地全面考虑．
2
【答案】D
【解析】A 选项：由“若 ，则x=1”可知 即 或 ，从而推不出 一定等于 ，
命题是假命题，故 错误；
B 选项：若 ，则 ，当 时不成立，命题为假命题，故 错误；
C 选项：若 ，则 ，当 时不成立，命题为假命题，故 错误；
D 选项：若 ，则 ，分数相等，分子都为 ，则分母必然相等，故 正确；
故选 D .
【标注】【知识点】针对不等式变形判断正误
巩固练习
3. 下列语句不是命题的有（ ）．
① ；②与一条直线相交的两直线平行吗？③ ；④ ．
A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④
【答案】C
【解析】① ，无法判断真假，故①不是命题；
②由命题的概念知，命题不能是疑问句，故②不是命题；
③ ，这个语句不成立，因为这个语句能判断真假，故③是命题；
④ ，无法判断真假，故④不是命题．
故选 ．
【标注】【知识点】命题的判断
4. 能够说明“设 是任意实数．若 ，则 ”是假命题的一组整数 的值依次
为 ．
【答案】
【解析】解：设 是任意实数．若 ，则 ”是假命题， 则若 ，则
”是真命题， 可设 的值依次 (答案不唯一)， 故答案为：
．
【标注】【知识点】反证法
【知识点】不等式的性质
3
【知识点】四种命题
【知识点】命题的真假判断
2. 充分条件与必要条件
下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
（3）若 ，则 ；
（4）若平面内两条直线 和 均垂直于直线 ，则 ．
【备注】 在命题（1）（4）中，由条件 通过推理可以得出结论 ，所以它们是真命题；在命题
（2）（3）中，由条件 不能得出结论 ，所以它们是假命题．
一般地，“若 ，则 ”为真命题，是指由 通过推理可以得出 ．这时我们就说，由 可以推出 ，记
作 ，此时称 是 的 充分条件 ， 是 的 必要条件 ．
如果“若 ，则 ”为假命题，那么由条件 不能推出结论 ，此时称 不是 的充分条件， 不是 的必
要条件．
将命题"若 ，则 "中的条件 和结论 互换，就得到一个新的命题“若 ，则 ”，称这个命题为原命题
的逆命题．
如果“若 ，则 ”和它的逆命题“若 ，则 ”均为真命题，即既有 ，又有 ，则记作
，此时 既是 的充分条件，也是 的必要条件，我们说 是 的 充分必要条件 ，简称为 充要条
件 ．显然，如果 是 的充要条件，那么 也是 的充要条件．概括地说，如果 ．那么 与 互为充
要条件．
类似的，如果 是 的充分不必要（必要不充分）条件，那么 就是 的必要不充分（充分不必要）条
件．
注意：对于某一命题，要首先明确谁是条件、谁是结论，对于条件才能判断其充分、必要性！
用集合间的关系描述充分性和必要性
设 { 满足条件 }， { 满足条件 }．
若 ，则 是 的 充分条件 ；
若 ，则 是 的 必要条件 ；
若 ，则称 是 的 充分不必要条件 ．
若 ，则称 是 的 必要不充分条件 ．
若 且 ，则称 是 的 既不充分也不必要条件 ．
4
若 ，则称 是 的 充分必要条件 ．
经典例题
5. 已知集合 ，则“ ”是“ ”的（ ）．
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【备注】 条件推结论判断充分性，由 ，可推出 和 的关系只能是 ，充分性成立；
结论推条件判断必要性，由 ，可推出 或 ，必要性不正确．
【答案】A
【解析】 ，
，
且 ， 或 ，
“ ”是“ ”的的充分而不必要条件．
【标注】【知识点】充要条件与集合结合
6. 设 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【备注】 条件推结论判断充分性，充分性成立；
结论推条件判断必要性，必要性不正确；可通过举反例来判定．
【答案】A
【解析】解 得 且 ，
而当 时，由 不能推出 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选 ．
【标注】【知识点】充要条件与不等式结合
7. 有限集合 中元素的个数记作 ，设 ， 都为有限集合，给出下列命题：
① 的充要条件是 ；
② 的必要条件是 ；
5
③ 的充分条件是 ；
④ 的充要条件是 ；
其中真命题的序号是（ ） ．
A. ③④ B. ①② C. ①④ D. ②③
【备注】充分必要条件与集合的综合
选项①，若 ，则集合 和 中每个元素都不相同，此时
，反之亦然，因此充分性和必要性都成立，该选项
正确；
选项②，条件 不能推出结论 ，反例如
，而结论可以推出条件，因此必要性成立，充分性不成立，该选项正确；
选项③，条件 不能推出结论 ，反例如
，充分性不成立；
选项④，条件 不能推出结论 ，充分性不满足．
【答案】B
【标注】【知识点】充要条件与其他知识点结合
8. 已知集合 ， ，若 是 的必要不充分条件，求实
数 的取值范围．
【备注】 条件和结论的关系， 是 的必要不充分条件，转化为集合间的关系就是 ，须
留意 的情况．
【答案】 ．
【解析】由已知得 ，因为 是 的必要不充分条件，
所以 ，
根据集合中元素的个数对集合 进行分类，
讨论： ， 或 ，
当 时，方程 无实数解， ，解得
，
当 或 时，
，无解，
或
综上所述， 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】充要条件与其他知识点结合；一元二次方程根的分布；描述法；真子集
6
巩固练习
9. 王昌龄的《从军行》中有两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句“攻破楼兰”是“返
回家乡”的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】 “攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”的前提一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返
回家乡”的必要不充分条件．
故选 ．
【标注】【知识点】充要条件与其他知识点结合
10. 关于 的方程 至少有一个负实根的充要条件是（ ）．
A. B.
C. D. 或
【答案】C
【解析】由题意可得，方程 的判别式 ， ．
①当 时，显然方程 没有等于零的根．
若方程有两异号实根，则由两根之积 ，求得 ；
若方程有两个负的实根，则必有 ，故 ．
②当 时，可得 也适合题意．
综上知，若方程至少有一个负实根，则 ．
反之，若 ，则方程至少有一个负的实根，
因此，关于 的方程 至少有一个负的实根的充要条件是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】充要条件与函数结合
11. 三个逻辑学家走进酒吧，侍者问：“每个人都要来一杯啤酒吗？”
第一个逻辑学家说：“我不知道．”
7
第二个说：“我也不知道．”
第三个说：“是的！”
请问第三个人为什么知道每个人都要一杯啤酒
【答案】答案见解析．
【解析】第一个人的意思是：我要，但是我不确定其他两位要不要；第二位同上；所以第三位知
道前两位的意思，也知道自己的意思，所以说“是的”．
第一个人要啤酒，是“每个人都要啤酒”的必要条件，但不是充分条件，因此第一个人推不
出“每个人都要啤酒”这一结论．第二位同上；只有第三位知道了两位的意思，也知道自己
的意思，此时条件才充分满足，能得出最终结论．
如果第一个人是不要啤酒的，此时“每个人都要啤酒”的必要条件不成立，那么他就可以下
结论说“不是”！也就是“每个人都要啤酒”成立要三个环节，否定却只要一个环节．
【标注】【知识点】充要条件与其他知识点结合
12. 已知 ，求证： 成立的充要条件是 ．
【备注】 充要条件的证明，须从条件证结论以证明充分性，从结论证明条件以证明必要性．
【答案】证明见解析．
【解析】（ ）充分性（条件 结论）：
因为 ， ，
所以
，
所以充分性成立；
（ ）必要性（结论 条件）：
因为 ，
且 ，
所以
．
而 ，
又 ，
8
所以 ， ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以必要性成立．
综上，当 时， 成立的充要条件是 ．
【标注】【知识点】充要条件与其他知识点结合
3. 量词
我们知道，命题是可以判断真假的陈述句．在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不
知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题．但是，如果在原语句的基础上，用一个短语
对变量的取值范围进行限定，就可以使它们称为一个命题，我们把这样的短语称为量词．
下面我们将介绍全称量词和存在量词，以及如何正确地对含有一个量词的命题进行否定．
1. 全称量词
（ ）概念：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．含有全称量词
的命题，叫做全称量词命题．
（ ）全称量词命题的符号记法：将含有 变量的语句用 ， ， ， 表示，变量 的取值范围
用 表示．那么，全称量词命题“对 中任意一个 ，有 成立．”可用符号简记为： ， ，
读作“对任意 属于 ， 成立”．
【备注】（ ）全称量词命题是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题，判定全称量词命题
， 是真命题，必须对限定集合 中的每个元素 ，验证 成立；但要判定其
是假命题，只需要举出一个反例即可．
（ ）常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等等．
（ ）一个全称量词命题可以包含多个变量．如 ， ， ．
（ ）在某些全称量词命题中，有时全称量词可以省略．例如，正数大于 ，它指的是“所有
的正数都大于 ”．在判断某命题是否为全称量词命题时要特别注意．
2. 存在量词
（ ）概念：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．含有存在量词
的命题，叫做存在量词命题．
（ ）存在量词命题的符号记法：“存在 中的一个 ，使 成立”可用符号简记为 ， ，读
作“存在一个 属于 ，使 成立”．
【备注】（ ）存在量词命题是陈述某集合中有（存在）一些元素具有某种性质的命题，要判定存在
量词命题 ， 是真命题，只要举例说明即可，但要判定其是假命题，却需要说明
9
集合 中每一个 ，都使得 不成立．
（ ）常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等等．
（ ）存在量词命题可以包含多个变量，如 ， ，使 ．
（ ）含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”
“有一个”等特征的命题都是存在量词命题
3. 命题的否定
你能说出命题 ：” 的相反数是 “和命题 ：” 的相反数不是 ”这两个命题之间的关系吗 它们的
真假性如何
可以发现，命题 是对命 的否定，命题 也是对命题 的否定．而且， 是真命题， 是假命题．一般
地，对命题ρ加以否定，就得到一个新的命题，记作” ”，读作”非 ”或” 的否定”．如果一个命题是真命
题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然．
4. 全称量词命题的否定
一般地，对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：
全称量词命题： ， ，
它的否定： ， ．
全称量词命题的否定是存在量词命题．
【备注】 对上述法则，我们可以这样理解：要否定全称量词命题“ ， ”，只需在 中
找到一个 ，使得 不成立．亦即“ ， ”成立．
5. 存在量词命题的否定
一般地，对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：
存在量词命题： ， ，
它的否定： ， ．
存在量词命题的否定是全称量词命题．
【备注】 对上述法则，我们可以这样理解：要否定存在量词命题“ ， ”，需要验证对
中的每一个 ，均有 不成立．也就是命题“ ， ”成立．
经典例题
13. 用量词符号“ ， ”表示下列命题，并判断下列命题的真假．
（ 1 ）存在一对实数 ， ，使 成立．
（ 2 ）有理数 的平方仍为有理数．
10
【备注】 明确量词符号的数学含义和应用场景．
【答案】（ 1 ）假命题， ， ， ．
（ 2 ）真命题， ， ．
【标注】【知识点】命题的真假判断
14. 命题“ ， ”的否定是（ ）．
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【备注】 存在量词命题： ， ，
它的否定： ， ．
前半部分，存在量词改成全称量词，变量 的取值范围不变；后半部分， 改成
．
【答案】D
【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题．
“ ”的否定是“ ”， 的否定是 ．
∴命题“ ， ”的否定是“ ， ”．
故选 ．
【标注】【知识点】全称量词与存在量词；全称量词命题与存在量词命题的否定
15. 命题“ ， ”的否定是 ．
【备注】 全称量词命题： ， ，
它的否定： ， ．
前半部分，全称量词改成存在量词，变量 的取值范围不变；后半部分， 改成
．
【答案】 ，
【解析】对于“ ”，其否定为“ ”．
对于后半部分，否定为“ ”．
故答案为“ ， ”．
【标注】【知识点】全称量词命题与存在量词命题的否定；逻辑联结词；全称量词与存在量词
11
16. 已知命题 ， ．若命题 是假命题，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 须注意留意边界条件，如不确定，可单独考虑边界能否取等．
本题也可从反面考虑，命题 为假，即 为真．
【答案】A
【解析】由已知可得命题非 ， 为真命题，
则只需要 即可，解得 ，
故选 ．
【标注】【知识点】全称量词与存在量词
17. 已知 ， ， ， ，若命题 是真命题，且命题
是真命题，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】 分别求出 和 是真命题时，a的取值范围，然后取交集．
【答案】D
【解析】若 ， 为真命题，则 的最小值，
即 ，
∴当命题 是真命题时，命题 为假命题，
从而 ，
若 ， 为真命题，
则 ，
解得 ，
所以命题 是假命题，且命题 是真命题，
需满足 ，解得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】全称量词与存在量词；根据命题真假求参数的范围
12
巩固练习
18. 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假．
（ 1 ） 是无理数 ， 是无理数．
（ 2 ）对任意实数 ，有 成立．
（ 3 ）有一个实数乘以任意一个实数都等于 ．
【答案】（ 1 ）存在性命题，真命题．
（ 2 ）全称命题，真命题．
（ 3 ）存在性命题，真命题．
【解析】（ 1 ）存在性命题，真命题．
（ 2 ）∵ ，
∴ ．
（ 3 ） ， ，有 ；存在性命题，真命题， 即满足．
【标注】【知识点】全称量词与存在量词
19. 写出下列命题的否定，并判断其真假.
（ ） ： ， 不是 的根；
（ ） ：有些质数是奇数；
（ ） ： ， ；
【答案】（ ） ： ， 是 的根，真命题．
（ ） ：每一个质数都不奇数，假命题．
（ ） ： ， ，假命题．
【标注】【知识点】全称量词命题与存在量词命题的否定；命题的真假判断；全称量词与存在量词
20. 已知命题 ： ，都有 ，则 为（ ）．
A. ，使得
B. ，都有
C. ，都有
D. ，使得
【答案】D
13
【解析】已 知命题 ： ，都有 ，
则 ： ，使得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】全称量词命题与存在量词命题的否定；全称量词与存在量词
21. 已知 ： ， ， ： ， ，若 都为假命题，则实数 的
取值范围为（ ）．
A. B.
C. 或 D.
【答案】A
【解析】 、 均为假命题，
∴ 、 都为真命题，
：对任意 ， 成立，得 ，
：存在 ， ， ， 或 ，综上
．
故选 ．
【标注】【知识点】全称量词与存在量词
22. 已知 ，命题 ： ， ，命题 ： ， ．
（ 1 ）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；
（ 2 ）若命题“ ”命题“ ”一真一假，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） 或 ．
【解析】（ 1 ）令 ，根据题意，若命题 为真命题，只要 时，
即可，也就是 ，即 ．
（ 2 ）由(1)可知，当命题 为真命题时， ，命题 为真命题时，
，解得 或 ．
命题 与 一真一假，当命题 为真，命题 为假时， ，当命题 为假，命
题 为真时， ．
综上： 或
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【标注】【知识点】根据命题真假求参数的范围；逻辑联结词
23. 命题“ ， ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵ ， ，
∴当 时，有 恒成立，
∴当 时， ，
∴ ，
即 ， 为真命题的一个充分不必要条件可以为 ，故 正确．
故选 ．
【标注】【知识点】已知充要条件求参数范围；根据命题真假求参数的范围
导图总结
你学会了吗？快用思维导图来总结本节课所学吧！
【备注】
出门测
24. 已知命题 ：对任意实数 都有 恒成立；命题 ：关于 的方程 有实
数根；如果 与 中有且仅有一个为真命题，求实数 的取值范围．
15
【答案】 ．
【解析】对任意实数 都有 恒成立 或 ；
关于 的方程 有实数根 ；
如果 正确，且 不正确，有 ，且 ；
∴ ，
如果 正确，且 不正确，有 或 ，且 ，
∴ ．
所以实数 的取值范围为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】二次函数相关的恒成立问题
25. 已知命题 ， ，则（ ）．
A. 命题 ， ，为假命题
B. 命题 ， ，为真命题
C. 命题 ， ，为假命题
D. 命题 ， ，为真命题
【答案】D
【解析】∵命题 ， ，
∴命题 ， ，为真命题．
故选 ．
【标注】【知识点】全称量词与存在量词；全称量词命题与存在量词命题的否定
26. 含一个量词的命题“ ，使得 ”的否定是（ ）．
A. ，使得
B. ，使得
C. ，
16
D. ，
【答案】C
【解析】∴ 为 ， ．
故选 ．
【标注】【知识点】全称量词命题与存在量词命题的否定；全称量词与存在量词
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