资源简介

等式的性质与不等式的性质
学习目标
1. 梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质；
2. 掌握比较大小的常用方法；
3. 了解不等关系证明的常用方法．
【备注】相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础．
本节重点：不等式的性质．
难点：比较大小的常用方法．
后置知识：基本不等式、一元二次不等式、函数．
【引入】
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与
矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，
就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示．本节，我们就将在梳理等式性质的基础上，学
习掌握不等式的性质．
一、 等式的性质
对称性：如果 ，那么 ；
传递性：如果 ，且 ，则 ；
可加性：如果 ，则 ；
可乘性：如果 ，则 ；
可除性：如果 ， ，则 ．
经典例题
1. 已知 ， ， ，那么 ．
【备注】 三个线性等式中含有三个参数，我们可以通过换元法，去尝试求解参数的具体值．
【答案】
【解析】由 ， 可得 ，由 可得 ，
因此有 ， ．
1
故答案为： ．
【标注】【知识点】等式性质2
2. 若 ，则 ．
【备注】 三个等式含有四个未知数，一般不能将四个未知数的具体值全部求出，同时本题中三
个分式的形式是高度对称的，不妨对其进行整式化，然后求和处理．另外，本题中
的情形，比较容易被忽略．
【答案】 或
【解析】由 ，
可得 ，相加得 ， ①若 ，则
； ②若 ，则 ； 综上 的值为 或 ．
【标注】【知识点】等式性质2
巩固练习
3. 如果 ，则下列成立的等式是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】方法一：由题意得 成立．
故选 ．
方法二： 选项： ，故 错误；
选项： ， ，故 错误；
选项： ，故 正确；
选项： ，故 错误．
故选 ．
【标注】【知识点】等式性质2
4. 已知实数 、 、 满足 ，有下列结论：
2
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若 、 、 中只有两个数相等，则 ．
其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上）．
【答案】①③④
【解析】①∵ ，∴ ，故①正确；
②∵ ，则 ， ， ，∴ ，故②错误；
③∵ ，∴ ，∴ ， ，故③正确；
④∵ 、 、 中只有两个数相等，若 ，则 ，
∴ ，或 ，
当 时， ，不合题意，当 时， ， ，∴ ．
若 ，则 ，则 ，不符合题意，舍去．
若 ，同理 ，不符合题意，舍去．故④正确．
【标注】【知识点】等式的性质
【能力】运算能力
二、 不等式的性质与应用
1. 不等式的性质
对称性：如果 ，那么 ；如果 ，那么 ；
传递性：如果 ，且 ，则 ；
可加性：如果 ，则 ；
可加性的推论：如果 ，则 （移项法则）；
如果 ，则 （“大加大大于小加小”）；
可乘性：如果 ， ，则 ；如果 ， ，则 ；
可乘性的推论：如果 ，那么 ，
如果 ， 则 （”大正乘大正大于小正乘小正“）．
2. 比较大小的常用方法
3
比较两数大小常见的方法有：
①作差比较法：确定它们的差与 的大小关系；
②作商比较法：当两数同号时，比较它们的商与 的大小关系；
③利用中间值：常见中间值有 和 ；
④特殊值法；
⑤学习了函数单调性之后，利用指对幂等函数的单调性．
经典例题
5. 若 ，则下列不等式总成立的是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 本题中 选项满足可加性的推论（大加大大于小加小），其余选项可用作差法或特殊
值法予以论证排除．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，故 错误；
取 ， ，得 ，故 错误；
由 得 ，所以 ，故 正确；
因为 ，所以 ，故 错误．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】针对不等式变形判断正误
6. 已知 ，若 ，则（ ）．
A. B. C. D.
【备注】 本题可以如解析中，严谨地作差求解各参数之间的关系，也可以从不等式的变形出
发，寻找必然满足不等式性质的选项：
不难发现，选项 ： 即
，由可乘性的推论（大正乘大正大于小正乘小正），满足
题干条件 ，因此可判断出选 ．
【答案】A
4
【解析】
∴
移项后因式分解得：
∵ ，∴ ．
同理 ，∴ ．
【标注】【知识点】针对不等式变形判断正误
7. 已知 ， ，则 、 的大小关系为（ ）．
A. B. C. D. 无法确定
【备注】 本题中 和 都大于 ，且 的分母和 的分子可构成平方差公式，因此不难联想到使
用作商法，与 比较．
【答案】C
【解析】∵ ，
，
，故
当且仅当 时取等号．
故选 ．
【标注】【知识点】作商法比较大小
8. 已知 ，比较 的大小关系为(　　)．
A.
B.
C.
D.
【备注】 本题除了如解析中使用作商法以外，也可以中间值比较法，以 为中间值，对 和
进行比较，再利用可乘性，不难判断 和 ．
5
【答案】C
【解析】 ， ， ，
， ， ．
【标注】【方法】作商法
【方法】构造法
【素养】逻辑推理
【素养】数学运算
【知识点】作商法比较大小
9. 设 ， ，若 ，则下列不等式中正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 本题是比较典型的适合使用特殊值法的比较大小题，例如可取 ，就可以
快速排除掉 三个选项．至于为什么取这样的一组特殊值，这是由于本题是涉及绝对
值的不等式，所要判断的也是两项和与差的正负性，故而应当对 的正负产生的影响予以凸
显，如果特殊值取两个正值意义就比较小．
【答案】C
【解析】令 ， ，代入选项进行一一排除，可知选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】针对不等式变形判断正误
10. 比较下列两个数的大小：
（ 1 ） 与 ．
（ 2 ） 与 ．
【备注】 对具体的实数比大小时，代数式常用的方法，如作差、作比、中间值等都可以使用；
对于类似本题中的根式，如果两个式子都为正，移项平方去根号一般的通用方法，对左右
两个式子进行同步的平方或加减，两者的之间大小关系不会改变（一般将含根式的放一
边，不含的放另一边）经过若干次的移项去根号，可以将左右两侧都变成容易比较的不含
根号的式子，便可确定大小关系．
6
不过，本题比较特殊的是，可以使用平方差公式进行分子有理化，可以快速比较出大
小如 ．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【标注】【知识点】比较法；不等式的性质
11. 已知 ， ， ， ， ， ，则（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题可以如解析中一样人为设定三个数的相对大小（两负一正），也可以采用特殊值法．
【答案】B
【解析】由 ， ，
可知：三个数中一正两负，不妨设 ， ， ，
则
，
∵ ， ， ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】针对不等式变形判断正误
巩固练习
12. 若 ， 都是正整数，则 成立的充要条件是(　　)
A. B. ， 至少有一个为
C. D. 且
【答案】B
7
【解析】解： ，
．
， ，
，
，故 或 ，
故选：B．
【标注】【知识点】针对不等式变形判断正误；充要条件与不等式结合
【素养】逻辑推理
13. 设实数 ， ， 满足 ， ，则 ， ， 的大小关系
是 ．
【答案】
【解析】 ，
∴ ，
由已知得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【标注】【知识点】比较法；不等式的性质
14. 设 ， ，试比较 与 的大小．
【答案】 （当且仅当 时等号成立）．
【解析】由 ， ，可知 ， ．两式子符号相同，考虑用作商法进行比较．
∵ ， ，
8
∴ ， ，
．
当 时， ， ，
则 ，
∴ ．
当 时， ， ，
，
∴ ．
当 时， ， ，
则
∴ ．
综上所述，当 ， 时， （当且仅当 时等号成立）．
【标注】【知识点】不等式的性质；比较法
15. 若 ， ， ， ，则 ， ， 的
大小顺序是 ，
【答案】
【解析】方法一：∵ ，
∴ ，
又 ，
，
，
∴ ，
故答案为： ．
方法二： ，∴ ，
同理，可得 ，∴ ．
方法三：令 ， ， ，则 ， ， ，故 ．
【标注】【知识点】比较法；不等式的性质
16. 设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
9
【答案】B
【解析】 ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
即 ．
综上可得： ．
故选 ．
【标注】【知识点】针对不等式变形判断正误
【素养】数学运算
17. 已知 ，且 ， ，则 ， 的大小关系是（ ）．
A. B. C. D. 不能确定
【备注】 还可用特殊值法．
【答案】A
【解析】由于 ，
所以 ， ，
所以
，
所以 ．
故选： ．
【标注】【素养】逻辑推理
【知识点】针对不等式变形判断正误
18. 已知 ，则 的值（ ）．
10
A. 大于 B. 小于 C. 不小于 D. 不大于
【答案】D
【解析】 ， ，
．
【标注】【知识点】等式的性质与方程的解集
19. 已知实数 ， ，且 ，则下列不等式成立的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】当 时，A错误， ， ，故 ，B错误．
， ，C正确； ，故 ，D错误．
【标注】【知识点】针对不等式变形判断正误
【素养】逻辑推理
20. 甲乙两位同学同时从实验室回教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间
跑步，如果两人步行速度相同，跑步速度也相等，则（ ）．
A. 甲先到教室 B. 乙先到教室 C. 两人同时到教室 D. 不能确定谁先到
【备注】 总路程一定，跑步的路程越长，越早到教室．
【答案】B
【解析】不妨设路程为 ，步行速度为 ，跑步速度为 ，
则甲用时为 ，
设乙用时为 ，则 ，解得 ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，即 ，
11
显然跑步速度大于步行速度，故 ，
即 ，故乙先到教室，故选 ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
3. 不等关系的证明（拓展）
（一）综合法
从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合
法．
（二）反证法
首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．这种得到数学结论
的方法通常称为反证法．
【备注】 反证法常涉及到全称量词命题的否定或存在量词命题的否定．
（三）分析法
分析法中，最重要的推理形式是”要证 ，只需证明 "，这可以表示为 ，其中 是需要证明的结
论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件．
经典例题
21. 已知 ， 为正实数，试证明 ．
【备注】本题除了如解析中用综合法证明外，
也可用反证法证明：假设
即有
即为
12
不等式左边显然是大于等于 的，因此假设不正确，故原命题正确．
还可以通过分析法的思路
要证
即证
即证
即证
该不等式在a,b为正数的情况下恒成立．
【答案】见解析
【解析】（一）综合法
作差法：
，
∵ 为正实数，
∴ ， ， ，
∴ ，当且仅当 时等号成立，
∴ （当且仅当 时等号成立）．
作商法：
．
当且仅当 时取等号．
∵ ， ，
∴ （当且仅当 时取等号）．
（平方后作差）：
，
13
，
，
， ， ，
又 ， ，
故 ．
【标注】【知识点】作差法比较大小；作商法比较大小
巩固练习
22. 已知 ， ， 为正实数，且 ，求证： ．
【备注】①可用分析法推理
要证
即证
即证
即
显然成立
②也可用综合法求证
左边减右边
可得证不等式成立
③还可以尝试反证法
假设 为正实数， ，使得
则有
则有
即
因此假设错误， 为正实数且 ， 都成
立，原命题正确．
【答案】证明见解析．
14
【解析】由 得 ，
则 ，
∴ ．
【标注】【知识点】利用基本不等式证明其它不等式
23. 证明不等式： ．
【答案】证明见解析．
【解析】 ．
【标注】【知识点】不等式的证明
导图总结
你学会了吗，快来用思维导图总结本节课所学吧！
【备注】
出门测
24. 下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ）．
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
15
【答案】D
【解析】等式的性质 ：等式的两边同时加上或者减去同一个数，等式仍成立．故 正确；
等式的性质 ：等式的两边同时乘以或者除以同一个不为 的数，等式仍成立，故 、 正
确， 不正确．
故选 ．
【标注】【知识点】判断等式变形是否正确
25. 如果 且 ，那么以下不等式正确的个数是（ ）．
① ．② ．③ ．④ ．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 成立，
∴ ．∴①正确．
∵ 且 ，
∴ ，
∴ ， ， ．
∴②，④正确．
成立,
∴ ．∴③错误．
故答案为： ．
【标注】【知识点】针对不等式变形判断正误
【素养】逻辑推理
26. 若 ，则下列不等式成立的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】 选项， 选项：由 得 ，所以 ，故 错误，
正确；
16
选项， 选项：若 ，则当 时， ；当 时， ；当 时，
，故 错误， 错误；
【标注】【素养】逻辑推理
【知识点】针对不等式变形判断正误
27. 已知 ， 比较下列各题中两个代数式值的大小：
（ 1 ） 与 .
（ 2 ） 与 ．
【答案】（ 1 ） .
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ ，
∴ .
（ 2 ） ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【标注】【知识点】不等式的性质
28. 若 ， ，则 、 的大小关系是（ ）．
A. B.
C. D. 由 的取值确定
【答案】C
17
【解析】∵要证 ，只要证 ，
只要证： ，
只要证： ，
只要证： ，
∵ 成立，
∴ 立．
故选C．
【标注】【知识点】分析法
18等式的性质与不等式的性质
【引入】
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与
矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，
就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示．本节，我们就将在梳理等式性质的基础上，学
习掌握不等式的性质．
一、 等式的性质
对称性：如果 ，那么 ；
传递性：如果 ，且 ，则 ；
可加性：如果 ，则 ；
可乘性：如果 ，则 ；
可除性：如果 ， ，则 ．
经典例题
1. 已知 ， ， ，那么 ．
2. 若 ，则 ．
巩固练习
3. 如果 ，则下列成立的等式是（ ）．
A. B.
C. D.
4. 已知实数 、 、 满足 ，有下列结论：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若 、 、 中只有两个数相等，则 ．
其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上）．
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二、 不等式的性质与应用
1. 不等式的性质
对称性：如果 ，那么 ；如果 ，那么 ；
传递性：如果 ，且 ，则 ；
可加性：如果 ，则 ；
可加性的推论：如果 ，则 （移项法则）；
如果 ，则 （“大加大大于小加小”）；
可乘性：如果 ， ，则 ；如果 ， ，则 ；
可乘性的推论：如果 ，那么 ，
如果 ， 则 （”大正乘大正大于小正乘小正“）．
2. 比较大小的常用方法
比较两数大小常见的方法有：
①作差比较法：确定它们的差与 的大小关系；
②作商比较法：当两数同号时，比较它们的商与 的大小关系；
③利用中间值：常见中间值有 和 ；
④特殊值法；
⑤学习了函数单调性之后，利用指对幂等函数的单调性．
经典例题
5. 若 ，则下列不等式总成立的是（ ）．
A. B.
C. D.
6. 已知 ，若 ，则（ ）．
A. B. C. D.
7. 已知 ， ，则 、 的大小关系为（ ）．
A. B. C. D. 无法确定
8. 已知 ，比较 的大小关系为(　　)．
A.
2
B.
C.
D.
9. 设 ， ，若 ，则下列不等式中正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
10. 比较下列两个数的大小：
（ 1 ） 与 ．
（ 2 ） 与 ．
11. 已知 ， ， ， ， ， ，则（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
12. 若 ， 都是正整数，则 成立的充要条件是(　　)
A. B. ， 至少有一个为
C. D. 且
13. 设实数 ， ， 满足 ， ，则 ， ， 的大小关系
是 ．
14. 设 ， ，试比较 与 的大小．
15. 若 ， ， ， ，则 ， ， 的
大小顺序是 ，
16. 设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
17. 已知 ，且 ， ，则 ， 的大小关系是（ ）．
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A. B. C. D. 不能确定
18. 已知 ，则 的值（ ）．
A. 大于 B. 小于 C. 不小于 D. 不大于
19. 已知实数 ， ，且 ，则下列不等式成立的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
20. 甲乙两位同学同时从实验室回教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间
跑步，如果两人步行速度相同，跑步速度也相等，则（ ）．
A. 甲先到教室 B. 乙先到教室 C. 两人同时到教室 D. 不能确定谁先到
3. 不等关系的证明（拓展）
（一）综合法
从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合
法．
（二）反证法
首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．这种得到数学结论
的方法通常称为反证法．
（三）分析法
分析法中，最重要的推理形式是”要证 ，只需证明 "，这可以表示为 ，其中 是需要证明的结
论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件．
经典例题
21. 已知 ， 为正实数，试证明 ．
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巩固练习
22. 已知 ， ， 为正实数，且 ，求证： ．
23. 证明不等式： ．
导图总结
你学会了吗，快来用思维导图总结本节课所学吧！
出门测
24. 下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ）．
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
25. 如果 且 ，那么以下不等式正确的个数是（ ）．
① ．② ．③ ．④ ．
A. B. C. D.
26. 若 ，则下列不等式成立的是（ ）．
A. B.
C. D.
27. 已知 ， 比较下列各题中两个代数式值的大小：
（ 1 ） 与 .
（ 2 ） 与 ．
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28. 若 ， ，则 、 的大小关系是（ ）．
A. B.
C. D. 由 的取值确定
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