资源简介

对数运算与对数函数
一、 对数和对数运算
1. 对数的概念
（一） 对数的定义与对数恒等式
一般地，如果 （ 且 ）的 次幂等于 ,即
,
那么就称 是以 为底 的对数，记作
,
其中， 叫做对数的底数， 叫做底数的真数.
根据对数的定义，可以得到对数和指数间的关系：
当 ， 时， .
由指数与对数的这个关系可以得到关于对数的如下结论：
① 和 没有对数；
②
③
④对数恒等式：由 可得： ， =
（二）常用对数和自然对数
通常将以 为底的对数称为常用对数，为了方便起见，对数 简记为 .
在科学技术中，常常使用以 为底的对数，这种对数称为自然对数.
是一个无理数，正数 的自然对数 一般简记为 .
经典例题
1. 若 ，则 ．
2. 计算： ．
巩固练习
3. 计算： （ ）．
A. B. C. D.
1
4. ．
2. 对数的运算性质
根据指数幂的运算性质，我们可以得到对数的运算性质：
①积的对数等于对数的和：
推广：
②商的对数等于对数的差：
③
其中， 且 ， ， .
经典例题
5. ．
6. 已知 ，则 的最小值为 ．
7. 若 ，则 （ ）．
A. B.
C. D.
巩固练习
8. 设 ， ， ，则（ ）．
A. B. C. D.
9. 已知 ，则 的最小值是 ．
10. 如果函数 图像上任意一点的坐标 都满足方程 ，那么正确的选项
是（ ）．
A. 是区间 上的减函数，且
B. 是区间 上的增函数，且
C. 是区间 上的减函数，且
D. 是区间 上的减函数，且
二、 对数换底公式及其变形
设 ，则 ，于是
根据前面介绍的对数的运算性质
2
可得：
即有
我们把上式叫做对数换底公式．
经过变形，我们还可以得到：
①
②
③ ．
由③可得：
④ ；
⑤
⑥
以上 ．
经典例题
11. 化简 ＝ ．
12. 若 ， ，则 （ ）．
A. B.
C. D.
13. 已知 ，则 ．
巩固练习
14. 已知 ， ，则 可表示为 ．
15. 设 ，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
16. 设 ， ，则（ ）．
A. B. C. D.
三、 对数函数
1. 对数函数的定义
3
为了求 （ 且 ）当中的 ，我们把 改写成对数式为
（ 且 ）
对于每一个给定的 ，都有唯一的 与之对应，把 看成自变量， 就是因变量，这样我们就得到了
一个新函数！
习惯上，我们一般用 表示自变量， 表示因变量。故我们可以把上述函数改写为
（ 且 ）.
一般地，我们将这一函数叫做对数函数，它的定义域是 .
经典例题
17. 下列函数是对数函数的是（ ）．
A.
B. 且
C. 且
D.
18. 已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 ．
巩固练习
19. 函数 是对数函数，则实数 的范围为 ．
20. 已知函数 ．
（ 1 ）当 时，求函数 的定义域．
（ 2 ）当函数 定义域为 时，求实数 的取值范围．
2. 对数函数的图象和性质
4
图 象
定义域
值域
定点 过定点
单调性 在 上是 函数 在 上是 函数
时， 时，
性
质 值变化
时， 时，
越 ，图象越靠近 越 ，图象越靠近
底数对图象的影响
轴 轴
经典例题
21. 函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线 上，其中 ，
，则 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
22. 函数① ，② ，③ ，④ 的图象如右图，则 、 、 、 的大小关
系是 （用 连接）.
5
23. 已知函数 ，则 的单调递增区间为 ．
24. 函数 的值域为（ ）．
A. B.
C. D.
巩固练习
25. 函数 的图象恒过定点 ，则点 的坐标为 ．
26. 如图，已知 ， 是函数 图象上的两点， 是函数 图象上的一点，且
直线 垂直于 轴，若 是等腰直角三角形（其中 为直角顶点），则点 的横坐标
为 ．
B
A
C
O
27. 关于函数 ，有下列命题：
①函数 的图象关于 轴对称；
②当 时， 是增函数；当 时， 是减函数；
③函数 的最小值是 ；
④当 或 时， 是增函数．
其中正确命题的序号是 ．（把所有正确命题的序号都填上）
28.
6
已知函数 ，若对于任意实数 ，总存在实数 ，使得 成立，则实
数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
3. 对数函数的应用
(一) 解对数方程
①解对数方程的基本思路是除了将对数式作为整体外，还力求将未知数都置于同底的对数中．
②与指数方程不同，解对数方程时，必须对求得的解进行检验，因为在利用对数的性质将对数方程变形
的过程中，如果未知数的允许值范围增大那么可能产生增解．
③对于括号内含有指数式的方程，可将对数方程化为指数方程求解．
经典例题
29. 解下列方程：
（ 1 ）
（ 2 ） ；
（ 3 ） ．
30. 已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
31. 方程 的解集为 ．
32. 已知 ，若 ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
(二) 利用对数比大小
①底数相同真数不同
当底数大于1时，真数越大函数值越大．当底数小于1时真数越大函数值越小．
②底数不同真数相同
可采用函数图象法，将两个不同底数的对数函数图象画在同一个坐标系中，当取同一个真数时，即可比
较大小，也可取倒数，化为同底数指数，不过须注意正负．
③底数不同真数不同
找中间值（一般为 或 ），用原来的两个值与中间值比较．
7
经典例题
33. 设 ， ， ，则（ ）．
A. B. C. D.
34. 设 ， ， ，则(　　)
A. B. C. D.
35. 若 ，则（ ）．
A. B.
C. D.
巩固练习
36. 设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是(　　)
A. B. C. D.
37. 已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是(　　)
A. B. C. D.
38. 已知 ， ．设 ， ， ，则(　　)
A. B. C. D.
（三）解对数不等式
①在解决对数不等式时，常将对数式作为一个整体，先求解不等式中对数式整体的范围；
②或者将不等号两侧转化为同底的对数形式，再根据对数式的单调性等求解未知数的范围．
③如果对数底数不确定，须分类讨论；
④所求得解必须满足原不等式中所有对数的定义域要求．
例题讲解
39. ．
40. 实数 满足不等式 ，则函数 的值域为 ．
41. 已知 ，则实数 的取值范围是 ．
巩固练习
42. 已知 ，且 ，若函数 有最大值，则关于 的不等式
的解集为 ．
8
43. 已知函数 （常数 ）．
（ 1 ）当 时，求不等式 的解集．
（ 2 ）当 时，求 的最小值．
44. 若 ，则实数 的取值范围是_________．
四、 反函数（选学）
1. 反函数的定义和求法
（一）反函数与指对函数
研究对数函数时，我们利用指数和对数之间的关系，由指数函数引出对数函数的概念．
由定义域为 、值域为 的指数函数 得到定义域为
、值域为 的对数函数 ．对数函数的定义域、值域分别
是指数函数的值域和定义域．这时我们就说，对数函数 是指数函数
的反函数．
通常，我们用自变量 表示自变量， 表示函数．为此将 写成 ．一般地，对数
函数 与指数函数 互为反函数，它们的定义
域和值域正好互换．
（二）求反函数的一般步骤
（1）从原函数中解出 ；
（2）对调 和 ；
（3）写出反函数的定义域（需求原函数的值域）．
特别地，对于分段函数的反函数，先分段求，再合在一起写出解析式（仍为分段函数）．
经典例题
45. 已知点 在函数 的图象上，则 的反函数 ．
巩固练习
46. 已知函数 是 （ ， ）的反函数，则函数 的图象
恒过定点 ．
2. 反函数存在性定理
函数 ， 存在反函数 在 上， 与 是一一对应，即任给 ， , ，有
9
；
在 上的单调函数必有反函数；反之不然，如 有反函数，但它在定义域上不单调．
经典例题
47. 函数 在区间 上存在反函数的充分必要条件是（ ） ．
A.
B.
C.
D.
巩固练习
48. 函数 在 上不存在反函数，则实数 的取值范围为 ．
3. 反函数的图象与性质
（1）原函数图象与反函数的图象关于直线 对称；
（2）原函数上点 关于直线 的对称点 在反函数上；
（3）互为反函数的两个函数在对应的区间上具有相同的单调性．
经典例题
49. 已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则（ ）．
A.
B.
C.
D.
巩固练习
50. 已知 ，则函数 （ ，且 ）与函数 （ ，且
）的图像可能是（ ）．
A. B.
C. D.
10
51. 若 满足 ， 满足 ，则 = ．
导图总结
你学会了吗？快来用思维导图总结本节课所学吧！
出门测
52. 已知函数 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
53. 已知 ， ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
54. 函数 的单调递增区间为（ ）．
A. B.
C. D.
11对数运算与对数函数
学习目标
1. 理解对数的概念和运算性质，了解自然对数或常用对数，掌握换底公式的应用；
2. 会画对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；
3. 知道对数函数 与指数函数 互为反函数
【备注】本节重点：对数的运算性质，换底公式，对数函数的图象与性质，对数函数的应用；
本节难点：换底公式，对数函数的应用；
前置知识：指数运算与指数函数．
一、 对数和对数运算
1. 对数的概念
（一） 对数的定义与对数恒等式
一般地，如果 （ 且 ）的 次幂等于 ,即
,
那么就称 是以 为底 的对数，记作
,
其中， 叫做对数的底数， 叫做底数的真数.
根据对数的定义，可以得到对数和指数间的关系：
当 ， 时， .
由指数与对数的这个关系可以得到关于对数的如下结论：
① 负数 和 没有对数；
②
③
④对数恒等式：由 可得： ， =
（二）常用对数和自然对数
通常将以 为底的对数称为常用对数，为了方便起见，对数 简记为 .
在科学技术中，常常使用以 为底的对数，这种对数称为自然对数.
是一个无理数，正数 的自然对数 一般简记为 .
1
经典例题
1. 若 ，则 ．
【备注】 掌握对数计算的前提是对指数计算足够熟悉．
【答案】
【解析】∵ ，即 ，∴ ．
【标注】【知识点】对数的运算
2. 计算： ．
【备注】 常用对数和自然对数的计算．
【答案】 ．
【解析】原式 ．
【标注】【知识点】对数的运算
巩固练习
3. 计算： （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【标注】【知识点】对数的运算
4. ．
【答案】
【解析】 ，
．所以原式
．
2
【标注】【知识点】对数的运算
【素养】数学运算
2. 对数的运算性质
根据指数幂的运算性质，我们可以得到对数的运算性质：
①积的对数等于对数的和：
推广： ．
②商的对数等于对数的差：
③
其中， 且 ， ， .
经典例题
5. ．
【备注】 是常用对数的常用结论，也是对数化简和计算中常见的配凑目标．
【答案】
【解析】
．
【标注】【知识点】对数的运算
6. 已知 ，则 的最小值为 ．
【备注】 对数运算性质与基本不等式的综合，由于对数运算中真数都是正数，因此常常与基本
不等式的应用条件相契合．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ，其中 ， ；
3
∴ ，当且仅当 时，“ ”成立；
∴ 的最小值为 ．
故答案为 ．
【标注】【知识点】已知等式关系求最值；对数的运算
7. 若 ，则 （ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 综合运用对数的三条运算性质．
【答案】C
【解析】 ， ， 故选 ．
【标注】【知识点】解对数方程；对数的运算
【素养】数学运算
巩固练习
8. 设 ， ， ，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵ ， ， ，
而 ，
∴ ．
故选： ．
【标注】【知识点】对数函数的图象及性质；对数的运算
9. 已知 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【解析】已知 ，
4
则 ，
即 ， ，
由题意可知： ， ，
∴ ，
当且仅当 时等号成立．
故 的最小值为 ．
【标注】【知识点】已知等式关系求最值；对数的运算
10. 如果函数 图像上任意一点的坐标 都满足方程 ，那么正确的选项
是（ ）．
A. 是区间 上的减函数，且
B. 是区间 上的增函数，且
C. 是区间 上的减函数，且
D. 是区间 上的减函数，且
【答案】C
【解析】
由 ，得 ，
由 得： ，
解得： ．
再由 得： （ ）．
设 ，
则 ．
因为 ，
所以 ， ．
则 ，即 ．
所以 是区间 ， 上的减函数，
综上， 是区间 ， 上的减函数，且 ．
故选 ．
【标注】【知识点】对数函数的图象及性质；解对数方程；利用基本不等式求最值
【素养】数学运算
5
二、 对数换底公式及其变形
设 ，则 ，于是
根据前面介绍的对数的运算性质
可得：
即有
我们把上式叫做对数换底公式．
经过变形，我们还可以得到：
①
②
③ ．
由③可得：
④ ；
⑤
⑥
以上 ．
经典例题
11. 化简 ＝ ．
【备注】 本题属于换底公式的直接应用．一般可先对对数进行化简，这样方便观察和后续处
理．
【答案】
【解析】原式
．
【标注】【知识点】对数的运算
12. 若 ， ，则 （ ）．
A. B.
6
C. D.
【备注】 本题涉及用已知对数表示未知对数
（1）若已知对数同底，则利用已知对数的底数将未知对数换底；
（2）若已知对数不同底，则全部对数换成同一个底．
例如本题可以采取如下思路：
；
本题解析中的使用常用对数作为基元换元的思路也是一种行之有效的方法，将未知对数表
示为若干个常用对数的组合，然后再用已知对数对应的参数表示常用对数之间的关系
【答案】B
【解析】
∵ ，
且 ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】利用换底公式表示对数式
13. 已知 ，则 ．
【备注】 指对互化，将指数 表示成同底数的对数形式，然后利用换底公式进行计算．当然，
本题也可从指数出发直接求解： ， ，
．大部分指对互化的题目，都可以从指数出发直接求解．
【答案】
【解析】根据题意， ，
则 ， ，
则 ， ，
则 ，
故答案为： ．
7
【标注】【知识点】换底公式及其变形运用
巩固练习
14. 已知 ， ，则 可表示为 ．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ．
【标注】【知识点】换底公式及其变形运用
15. 设 ，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】方法一：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ． 故选 ．
方法二：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ 或 （舍去）．
故选 ．
【标注】【知识点】对数的概念及其运算
16. 设 ， ，则（ ）．
A. B. C. D.
8
【答案】B
【解析】方法一：∵ ， ．
∴ ， ．
∴ ．
∴ ，即 ．
又∵ ， ，
∴ ．
即 ．
方法二：
，
，
其中 ， ， ， ，
∴ ， ，
而 ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】对数比大小
三、 对数函数
1. 对数函数的定义
为了求 （ 且 ）当中的 ，我们把 改写成对数式为
（ 且 ）
对于每一个给定的 ，都有唯一的 与之对应，把 看成自变量， 就是因变量，这样我们就得到了
一个新函数！
习惯上，我们一般用 表示自变量， 表示因变量。故我们可以把上述函数改写为
（ 且 ）.
9
一般地，我们将这一函数叫做对数函数，它的定义域是 .
经典例题
17. 下列函数是对数函数的是（ ）．
A.
B. 且
C. 且
D.
【备注】 与指数函数一样，对数函数的形式也有严格的要求.
【答案】D
【解析】利用对数函数的定义， 且
分析 ， ， ， 四个函数的形式，
得到 是对数函数，
故选 ．
【标注】【知识点】对数函数的概念
18. 已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 ．
【备注】 对数函数的定义域问题.
【答案】
【解析】由题意 ，解得 ．
【标注】【知识点】已知定义域求参数的取值范围
巩固练习
19. 函数 是对数函数，则实数 的范围为 ．
【答案】 且
【解析】由题意知， 恒成立，
则 且 ，
解得： 且 ．
10
【标注】【知识点】对数函数的概念
20. 已知函数 ．
（ 1 ）当 时，求函数 的定义域．
（ 2 ）当函数 定义域为 时，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
【解析】（ 1 ）当 时，要使函数 有意义，
有不等式 ①成立，
当 时，不等式①等价于 ，即 ，∴ ；
当 时，不等式①等价于 ，∴无解；
当 时，不等式①等价于 ，即 ，∴ ；
综上，函数 的定义域为 ．
（ 2 ）∵函数 的定义域为 ，∴不等式 恒成立，
∴只要 即可，
又∵ （当且仅当
时取等号），
即 ,∴ 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】对数型函数的其它类型
2. 对数函数的图象和性质
11
图 象
定义域
值域
定点 过定点
单调性 在 上是 减 函数 在 上是 增 函数
时， 时，
性
质 值变化
时， 时，
越 小 ，图象越靠近 越 大 ，图象越靠近
底数对图象的影响
轴 轴
经典例题
21. 函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线 上，其中 ，
，则 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】 对数函数过定点问题与基本不等式的综合，对数函数过定点，抓住使对数括号内为 即
可.
【答案】A
【解析】令 ，则 ，
∴函数 恒过定点 ，
即 ，
∵点 在直线 上，
12
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，当且仅当 ，
即 时等号成立，
∴ ，
即 的最小值为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】对数函数恒过定点问题；倒数和形式
22. 函数① ，② ，③ ，④ 的图象如右图，则 、 、 、 的大小关
系是 （用 连接）.
【备注】 判断对数函数底数的大小，一般做直线 ，观察其与各对数函数交点的相关位
置，交点横坐标越小，底数也就越小.
【答案】
【解析】由对数函数图像的性质知 .
【标注】【知识点】对数函数的图象及性质
23. 已知函数 ，则 的单调递增区间为 ．
【备注】 对数函数的单调性常与复合函数单调性结合考查．一般先求定义域．由于对数函数本
身是单调函数，因此，如底数已知，根据同增异减的原则，分析内函数的单调性即可；如
底数未知，则须分类讨论．
13
【答案】
【解析】由 ，得 或 ，
令 ，则 的单调递减区间为 ．
又∵ ，
∴ 的单调递增区间为 ．
【标注】【知识点】求单调区间
24. 函数 的值域为（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 对数函数的值域或最值问题也常与复合函数结合起来考查（常以对数函数为外函数，
以二次函数或分式函数为内函数），一般来说，如求值域或最值，则先求内函数的值域，
然后摘取正数部分取对数即可；如已知值域或最值求参数，则先利用外函数的单调性求内
函数的值域，据此求解参数，此时也须留意定义域的限制．
【答案】B
【解析】 ，
．
故选 ．
【标注】【知识点】对数函数与二次函数复合；求复合函数的值域
巩固练习
25. 函数 的图象恒过定点 ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【解析】当 时， ，所以恒过点 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】对数函数恒过定点问题
26. 如图，已知 ， 是函数 图象上的两点， 是函数 图象上的一点，且
直线 垂直于 轴，若 是等腰直角三角形（其中 为直角顶点），则点 的横坐标
14
为 ．
B
A
C
O
【答案】
【解析】设 ， ， ，
则 ， ，
， ，
由 是等腰直角三角形（其中 为直角顶点），
可得 ，
，
即有 ，
，
化简可得 ，
，
即 ，
解得 ，
故答案为： ．
【标注】【素养】数学运算；逻辑推理
【知识点】对数函数的图象及性质；对数的运算
27. 关于函数 ，有下列命题：
①函数 的图象关于 轴对称；
②当 时， 是增函数；当 时， 是减函数；
③函数 的最小值是 ；
④当 或 时， 是增函数．
其中正确命题的序号是 ．（把所有正确命题的序号都填上）
15
【答案】①③④
【解析】①定义域为 ，又满足 ，
所以函数 的图象关于 轴对称，正确．
②令 ，在 上是减函数，在 上是增函数，不正确．
③ ，又是偶函数，
所以函数 的最小值是 ，正确．
④当 或 时函数 是增函数，
根据复合函数知， 是增函数，正确．
【标注】【知识点】复合函数；判断复合函数单调性；利用定义判断函数奇偶性；一个函数的自对
称问题；对数函数的图象及性质
28. 已知函数 ，若对于任意实数 ，总存在实数 ，使得 成立，则
实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵函数 ，
若对于任意实数 ，总存在实数 ，使得 成立，
则函数 的值域为 ，
故 能取任意正数，
故 ，或 ，
解得： ，故选： ．
【标注】【知识点】求复合函数的值域；对数函数的图象及性质
3. 对数函数的应用
(一) 解对数方程
①解对数方程的基本思路是除了将对数式作为整体外，还力求将未知数都置于同底的对数中．
②与指数方程不同，解对数方程时，必须对求得的解进行检验，因为在利用对数的性质将对数方程变形
的过程中，如果未知数的允许值范围增大那么可能产生增解．
16
③对于括号内含有指数式的方程，可将对数方程化为指数方程求解．
经典例题
29. 解下列方程：
（ 1 ）
（ 2 ） ；
（ 3 ） ．
【备注】（1）将等号两侧化为同底数的对数，须留意对求得的解进行检验；
（2）以对数为整体，进行换元；
（3）将对数方程转化为指数方程求解．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ） 或
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）
解得
（ 2 ）令
或
或
（ 3 ）将对数函数转化为指数函数
令
（舍去），
．
【标注】【知识点】解对数方程
30. 已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】 整体换元后解方程，须留意新元的取值范围问题，得到 之间的关系后，构造基本不
17
等式求解．
【答案】B
【解析】∵ ，
∴令 ，
又∵ ，
∴ ，解得 或 （舍），
∴ ，即 ，
∴ ，
当且仅当 ，即 且 时等号成立．
故选 ．
【标注】【知识点】换底公式综合运用；利用基本不等式求最值
【素养】数学运算
巩固练习
31. 方程 的解集为 ．
【答案】
【解析】方程
令 ， ．
则 ．
由定义域知： ，解得 ．
故方程的解集为
【标注】【知识点】解对数方程
32. 已知 ，若 ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ，
18
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，可得 ．
∴ ，
化为： ，
解得 ．
故选： ．
【标注】【知识点】指数函数与对数函数的关系；指对化简求值
(二) 利用对数比大小
①底数相同真数不同
当底数大于1时，真数越大函数值越大．当底数小于1时真数越大函数值越小．
②底数不同真数相同
可采用函数图象法，将两个不同底数的对数函数图象画在同一个坐标系中，当取同一个真数时，即可比
较大小，也可取倒数，化为同底数指数，不过须注意正负．
③底数不同真数不同
找中间值（一般为 或 ），用原来的两个值与中间值比较．
经典例题
33. 设 ， ， ，则（ ）．
A. B. C. D.
【备注】 本题中既含有底数相同真数不同的对数的比较，也含有底数和真数都不同的对数的比
较，可先使用中间值法，以 为中间值，判断 最大；再由对数函数单调性和
，可判断 的相对大小．
【答案】D
【解析】由于 ，故 ，
故选 ．
【标注】【知识点】对数比大小
19
34. 设 ， ， ，则(　　)
A. B. C. D.
【备注】 本题涉及底数不同真数相同的对数的比较，以及指数对数之间的比较，对于前者，可
用解析中的倒数法或者用图象法判断 之间的关系，对于后者，可用中间值法，以 为中
间值判断c为最小．
【答案】C
【解析】解： ， ，
，
．
，
又 ，
．
综上可得， ．
故选：C．
【标注】【知识点】对数比大小
35. 若 ，则（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 本题涉及简单的构造法比大小，本题构造的新函数 的单调性可用单
调性的运算法则判断．
【答案】A
【解析】由 ，得 ，
又∵函数 与 在 上单调递增，
∴函数 在 上单调递增，
∴ ，则 ，
∴ ，
故选 ．
【标注】【知识点】用单调性比较大小；对数函数的图象及性质
20
巩固练习
36. 设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解： ，
，
，
．
故选：D．
【标注】【知识点】对数比大小；幂值比大小
37. 已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解： ，
由 ，得 ，
，
．
故选：B．
【标注】【知识点】幂值比大小；对数比大小
38. 已知 ， ．设 ， ， ，则(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】方法一：解：
，
；
21
，
，
，
；
，
，
，
，
综上， ．
故选：A．
方法二：对两个不等关系取对数可得
模仿构造：
综上：
【标注】【知识点】对数比大小
（三）解对数不等式
①在解决对数不等式时，常将对数式作为一个整体，先求解不等式中对数式整体的范围；
②或者将不等号两侧转化为同底的对数形式，再根据对数式的单调性等求解未知数的范围．
③如果对数底数不确定，须分类讨论；
④所求得解必须满足原不等式中所有对数的定义域要求．
例题讲解
39. ．
【备注】 化为同底数指数，须留意定义域的限制．
【答案】
【解析】原不等式等价于 ，解 得 ，解
得 ， 原不等式解集为 ．
【标注】【知识点】解对数不等式
22
40. 实数 满足不等式 ，则函数 的值域为 ．
【备注】 整体换元．
【答案】
【解析】 ，
得 ，
此函数对称轴为 ，能取到，
在此处取得最小值 ，
最大值在 处取得为 ，
∴值域为 ．
【标注】【知识点】复合函数；求复合函数的值域；解对数不等式
41. 已知 ，则实数 的取值范围是 ．
【备注】 须对底数进行分类讨论，同时留意定义域的限制．
【答案】
【解析】① 即 时， ， ，
则 ，则 ，不存在 满足题意；
② 即 时，由 可得 ，
由 可得 ，则 ，
则 ，
则 ，
综上 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】解对数不等式；对数函数的图象及性质；解不等式中的分类讨论
23
巩固练习
42. 已知 ，且 ，若函数 有最大值，则关于 的不等式
的解集为 ．
【答案】
【解析】由 ，
可知 ，
要使函数 有最大值，则 ，
∴ 为减函数，
由 ，
可知 ，
解得 ，
∴不等式解析为 ．
【标注】【知识点】单调性；求复合函数的值域；指数函数的图象及性质；解对数不等式；对数函
数的图象及性质
43. 已知函数 （常数 ）．
（ 1 ）当 时，求不等式 的解集．
（ 2 ）当 时，求 的最小值．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）
．
【解析】（ 1 ）当 时，
，
令 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴不等式 的解集为 ．
（ 2 ） ，
24
令 ，
∵ ，
∴ ，
，
∴对称轴为直线： ，
当 时，即 时， ，
当 时，即 时， ，
当 时，即 时， ，
综上， ．
【标注】【知识点】解对数不等式；对数函数与二次函数复合；动轴定区间求值域
44. 若 ，则实数 的取值范围是_________．
【答案】 或
【解析】由题意， 且 ，即 且 ；
当 时， ，则 ，解得 ；
当 时， ，则 ，解得 ；
综上，实数 的取值范围是 或 ．
【标注】【知识点】解对数不等式
四、 反函数（选学）
1. 反函数的定义和求法
（一）反函数与指对函数
研究对数函数时，我们利用指数和对数之间的关系，由指数函数引出对数函数的概念．
由定义域为 、值域为 的指数函数 得到定义域为
、值域为 的对数函数 ．对数函数的定义域、值域分别
25
是指数函数的值域和定义域．这时我们就说，对数函数 是指数函数
的反函数．
通常，我们用自变量 表示自变量， 表示函数．为此将 写成 ．一般地，对数
函数 与指数函数 互为反函数，它们的定义
域和值域正好互换．
（二）求反函数的一般步骤
（1）从原函数中解出 ；
（2）对调 和 ；
（3）写出反函数的定义域（需求原函数的值域）．
特别地，对于分段函数的反函数，先分段求，再合在一起写出解析式（仍为分段函数）．
经典例题
45. 已知点 在函数 的图象上，则 的反函数 ．
【备注】 按前述步骤求解即可，须留意定义域不能忘加．
【答案】
【解析】 ，故 ，
∴
∴ ．
【标注】【知识点】求反函数
巩固练习
46. 已知函数 是 （ ， ）的反函数，则函数 的图象
恒过定点 ．
【答案】
【解析】∵ 是 的反函数，
∴ ，
∴ ，
当 即 时， ．
∴函数图象过定点 ．
26
故答案为： ．
【标注】【知识点】指数函数的图象及性质；求反函数
2. 反函数存在性定理
函数 ， 存在反函数 在 上， 与 是一一对应，即任给 ， , ，有
；
在 上的单调函数必有反函数；反之不然，如 有反函数，但它在定义域上不单调．
经典例题
47. 函数 在区间 上存在反函数的充分必要条件是 （ ）．
A.
B.
C.
D.
【备注】 反函数存在，对于二次函数来说只要在该区间内没有两个相等的点即可，也就说对称
轴不能位于该区间内，但可以与区间边界重合．
【答案】D
【解析】∵ 的对称轴为 ，
∴ 在 上存在反函数的充要条件为 或 ，
即 或 ．
故选 ．
【标注】【知识点】反函数的概念
巩固练习
48. 函数 在 上不存在反函数，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意，得：对称轴为 ，
∴ ，
∴ ．
27
【标注】【知识点】反函数的概念
3. 反函数的图象与性质
（1）原函数图象与反函数的图象关于直线 对称；
（2）原函数上点 关于直线 的对称点 在反函数上；
（3）互为反函数的两个函数在对应的区间上具有相同的单调性．
经典例题
49. 已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 （ ） ．
A.
B.
C.
D.
【备注】根据反函数图象的性质，可以便捷地求出 ；
如不使用反函数地结论，可用一般方法，求对称函数图象：
设 上一点 其关于直线 的对称点 ，在曲线 上，即有
．
【答案】D
【解析】本题考查了互为反函数的两个函数图象的对称性及函数解析式的求解．
是 的反函数，
，
应选 .
【标注】【知识点】求反函数
巩固练习
50. 已知 ，则函数 （ ，且 ）与函数 （ ，且
）的图像可能是（ ）．
A. B.
28
C. D.
【答案】B
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴函数 与函数 互为反函数，
故选 ．
【标注】【知识点】反函数法确定图象
51. 若 满足 ， 满足 ，则 = ．
【答案】
【解析】方法一：由题意 ①
②
所以由①得： ，
即 ，
令 代入上式得：
，
即 ，
又∵由②的： ，易知 ．
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于是 ．
即 ．
故答案为： ．
方法二：
满足
满足
令 ， 与 互为反函数，关于 对称；
因此直线 与两曲线的交点，关于其与 交点 对称;
故
【标注】【知识点】解指数方程；解对数方程
导图总结
你学会了吗？快来用思维导图总结本节课所学吧！
【备注】
出门测
52. 已知函数 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
30
【解析】∵ ，
∴
又∵ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】对数的运算
53. 已知 ， ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由于 ， ， ，所以 ，
又
所以 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】对数比大小
54. 函数 的单调递增区间为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】令 得 ，
又∵ 对称轴为 ，
∴二次函数在 递增，
在 单调递减，
又∵ 在 单调递减，
∴ 的递增区间为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】对数型复合函数的性质；判断复合函数单调性；复合函数
31
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