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函数的概念及其表示
学习目标
1. 掌握用集合和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，了解构成函数的要素，能求简单函数的定义
域和值域；
2. 会选择恰当的方法表示函数，理解函数图象的作用；
3. 了解简单的分段函数，并能简单应用．
【备注】本节重点：函数的要素：定义域、对应法则和值域，分段函数；
本节难点：抽象函数，求函数解析式，函数的新定义问题；
前置知识：集合，不等式；
后置知识：函数的单调性，函数奇偶性，导数．
一、 函数的概念
1. 函数的概念及表示方法
（一）函数的概念
设 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合
中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从数集 到数集 的一个函数，记作
， ．
其中， 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的 定义域 ；与 的值相对应的 值叫做函数值，函数
值形成的数集 叫做函数的 值域 ．因此根据函数的定义，有 ，即集合
必须包含值域的所有元素，但可以有更多的元素．
由定义可知，函数的值域完全由定义域和对应关系确定，所以确定一个函数只需要两个要素： 定
义域和对应关系 ．
【备注】【补充说明】
（1）函数的定义域和值域都是数集，且都不是空集．
（2）允许多个 对应一个 ，例如二次函数 ，但是不允许一个 对应多个 ，例如
不是函数，而 是函数．
（3）思考：函数的对应关系与解析式是否相同？为什么？
（二）函数及表示方法
1
初中阶段接触过的函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法，在高中阶段仍然可以使用．在使
用解析法表示函数时，须留意加上定义域，在使用图象法时，须留意边界条件在图象上的表示．
经典例题
1. 下列各图中，可表示函数 的图象的是（ ）．
A. y B. y
x x
O O
C. y D. y
x x
O
【备注】 不允许一个 对应多个 ．
【答案】D
【解析】由函数的定义可知，对定义域内的任何一个变量 ，都存在唯一确定的函数值 与之对
应．
选项：当 时，有两个 与之对应；
选项：当 时，有两个 与之对应；
选项：当 时，有两个 与之对应；
选项：中对任意 都只有唯一的 与之对应，只有 满足．
故选 ．
【标注】【知识点】函数图象的识别问题；函数的定义；判定是否为函数
2. 存在函数 满足，对于任意的 都有（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 像此类括号里为函数而非 的函数的判断，我们要求括号里的整体和函数值一一对应，
而非 与函数值一一对应．可观察是否存在诸如 选项， ，使得括号内
2
函数 而函数值为 和 ，此时即不满足一一对应的要求．或观察是否诸如 选
项，可通过整体换元，改写成 的典型函数形式．
【答案】C
【解析】A 选项： 时， ； 时， ，不成立；
B 选项： 时， ； 时， ，不成立；
C 选项： ，即
，存在；
D 选项： 时， ； 时， ．
故选 C .
【标注】【知识点】判定是否为函数；函数的定义
巩固练习
3. 下列式子中不能表示函数 的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【标注】【知识点】函数的定义；判定是否为函数
4. 下列对应关系中，不能成为函数关系的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A 选项：令 ，则
，
则 ，
故 正确；
B 选项：令 ，则
，
则 ，
3
故 错误；
C 选项：令 ，则
，
，
故 正确；
D 选项：令 ，则
，
，
故 正确．
故选 B .
【标注】【知识点】函数的定义
二、 函数的定义域
1. 具体函数的定义域
现阶段，除了人为给出的定义域，有三种形式的函数对定义域有天然的限制（以后我们会学习到其
它的形式）：
（1）偶次根号下不能是负数，例如 定义域为 ，又如 定义域
．
（2）分式分母不为零，例如熟知的反比例函数 定义域为 ．
（3） 没有意义，例如函数 的定义域为 ．
经典例题
5. 函数 的定义域为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【备注】 两个部分各自的天然定义域取交集．
4
【答案】C
【解析】依题意得 ，解得 ，即 ，且 ．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】求具体函数（包括复合函数）的定义域
6. 若函数 的定义域为实数集 ，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 本题是函数定义域与一元二次不等式的综合问题，须留意边界条件
【答案】D
【解析】函数 的定义域为实数集 ，则 恒成立，
∴ ， ，故 的取值范围为 ．
故选 ．
【标注】【素养】数学抽象；数学运算；逻辑推理
【知识点】已知定义域求参数的取值范围；二次函数相关的恒成立问题
巩固练习
7. 函数 的定义域是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】要使函数有意义，则需满足： ，
解得， 且 ，所以函数的定义域是 ．
【标注】【知识点】求具体函数（包括复合函数）的定义域
【知识点】复合函数
【知识点】幂函数的概念
5
【素养】数学运算
8. 函数 ．
（ 1 ）若 的定义域为 ，求实数 的值．
（ 2 ）若 的定义域为 ，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ 的定义域为 ，
∴ 的解集为 ，
即 的两个根为 .
，解得： ，
故 的取值为 ．
（ 2 ）若 ，则 ，
当 时， ，定义域为 ，符合要求；
当 时， ，定义域不为 ；
若 ， 为二次函数，
∵定义域为 ，
∴ 对任意 恒成立，
，
综上可得，实数 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】已知定义域求参数的取值范围；函数零点的概念
2. 抽象函数的定义域
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数
求解抽象函数的定义域的两个要点：
（1）当题目求解时指的是自变量 本身的范围，
（2） 括号内的式子范围一致，例如给定函数 的定义域是 ，那么函数 的
定义域则由 决定，也即 ．
6
经典例题
9. 已知 的定义域为 ，则函数 ，则 的定义域为（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 除了计算抽象函数 的定义域外，还须留意 对定义域的限制．
【答案】A
【解析】 ，则 ，
即定义域为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】求抽象函数的定义域；求具体函数（包括复合函数）的定义域
巩固练习
10. 若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由 得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】求具体函数（包括复合函数）的定义域；求抽象函数的定义域
3. 同一函数的判定
由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．因为值域是由定义域和对
应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数
值也相同，那么这两个函数是同一个．
简而言之，判断两个函数是否为同一函数的标准是：
两个函数的定义域相同，且对应关系相同 ．
7
例如， 和 ，表面看二者是同一个函数，实则不然，后者等价于 ，所以对应关
系不同，不是同一函数．
再例如， 和 ，表面看二者不是同一个函数，实则不然，两者都是
将 对应到 ，定义域和对应关系都相同，因此它们是同一函数！
经典例题
11. 下列各组函数表示同一函数的是（ ）．
A. 与
B. 与
C. 与
D. ， 与 ，
【备注】 定义域与对应关系都相同，才是同一函数．
【答案】C
【解析】 中， 的定义域是： ， 的定义域是 ，两函数定义域不
同，所以表示的不是同一个函数．
中， 与 的对应关系不同，所以表示的不是同一个函
数．
中，两个函数的定义域和对应关系都相同，所以表示的是同一个函数．
中， ， 与 ， 的对应关系不同，所以表示的不是同一个
函数．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】相同函数
巩固练习
12. 下列四组函数中，表示同一个函数的是（ ）．
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
8
【答案】A
【解析】 函数 ，两个函数的对应法则和定义域相同，是相等函数．
函数 ， ，两个函数的对应法则和定义域不相同，不是相等函
数．
函数 的定义域为 ，两个函数的定义域不相同，不是相等函数．
由 ，解得 ，
即函数 的定义域为 ，
由 ，解得 或 ，
即 的定义域为 或 ，
两个函数的定义域不相同，
不是相等函数．
【标注】【知识点】相同函数
13. 下列函数中，与函数 是同一个函数的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A 选项：函数 的定义域为 ，和 （ ）
的定义域不同，不是同一函数，故 错误；
B 选项：函数 的定义域为 ，和 的定义域不同，不
是同一函数，故 错误；
C 选项：函数 的定义域为 ，和 的定义域相同，对应法
则也相同，是同一函数，故 正确；
D 选项：函数 的定义域为 ，和 的对应法则不相同，不
是同一函数，故 错误．
故选 C .
【标注】【知识点】相同函数
三、 求函数的解析式的方法
9
1. 直接代入法
已知 的解析式，求 的解析式常用此法．
例一：已知 ，则 ，
．
在带入的过程中我们注意用括号内的整体代替原来的 ．
经典例题
14. 设 ，则 的函数表达式是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 直接代入，代入两次．
【答案】D
【解析】∵ ，
∴ ，
则 ，
故选 ．
【标注】【知识点】用直接带入法求解析式
巩固练习
15. 下列函数中，满足 的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A 选项：
，
，
∴ ．
故 项不符合．
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B 选项： ，
，
∴ ，
故 项不符合．
C 选项： ，
，
∴ ，
故 项不符合．
D 选项： ，
，
∴ ，
故 项符合．
故选 D .
【标注】【知识点】用直接带入法求解析式；解析法
2. 配凑法
例一： ，可以将右边凑成 的形式再求解
但此时需要注意所求函数的定义域，上述函数 ， ， ，后面的
范围必须做标注；
例二： ，可以将右边凑成 的形式再求解．
经典例题
16. 若 ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【备注】 本题可使用配凑法先求出 的解析式，然后求出某一点的值；
也可以利用一个等式中同一个参数都相等这一特性，令 ．
【答案】D
【解析】方法一： ， ，
令 ，则 ，
所以 ，则 ．
11
故选 ．
方法二：令 ，
则 ．
故选 ．
【标注】【知识点】解析法；用换元法求解析式
17. 已知函数 ，则 的解析式为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【备注】 配凑时须留意定义域会发生相应的变化．
【答案】B
【解析】∵ ，
∴ ．
故选： ．
【标注】【知识点】解析法；用换元法求解析式
巩固练习
18. 已知 ，则 的解析式为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设 ， ，
则 ， ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
由 ，得 ，
12
所以 （ ）．
故选： ．
【标注】【知识点】用换元法求解析式；解析法
19. 已知函数 满足 且 ，则实数 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令 ，则 ，
故 ， ，
由 ，
解得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】用换元法求解析式；解析法
3. 换元法
换元思想是高中解决问题常用的思想之一，换元的目的是使函数变得更加简洁，如果题目通过换元
变得更复杂，那么我们就要考虑尝试其他的方法了．
例一：已知 ，求解析式 ．
解：令 ， 代入原式变为 ， ，即
（注意定义域是否有限制）．
有相当部分可以配凑的题目，实际上都可以通过换元来完成．
经典例题
20. 设 ，则 的解析式可以是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【备注】 本题须将 用新元反解出来，使用换元法时，需注意定义域的限制，形如
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的分式取值范围是 ．
【答案】C
【解析】设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【标注】【知识点】解析法；用换元法求解析式
巩固练习
21. 已知函数 ，则函数 的表达式为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令 解得 ，
从而有 ，其中 ，
再令 可得 （ ）．
故选 ．
【标注】【知识点】解析法；用换元法求解析式
4. 待定系数法
如果已知函数类型，可用待定系数法，先设出函数的解析式，再利用条件制造方程（组）求出参
数，由此确定函数的解析式．
二次函数解析式设法相对多样，可根据题干条件灵活选择．一般来说，如已知对称轴或顶点可
设 顶点式 ；如已知与 轴交点则可设 双根式 ；如题干中给出的都是一般点或者没有几何特征则
设 一般式 ．
14
例如，已知二次函数 经过原点且在 时取得最大值 ，要求 解析式，可根据题意将
的解析式设为顶点式： ，再利用 解出 ，带回原解析式得到
．
经典例题
22. 已知 是一次函数，且 ，求 的解析式．
【备注】 一次函数一般设斜截式： ．
【答案】 或 ．
【解析】∵ 为一次函数，故可设 ，
∴ ，
∴ ，解得 或 ，
∴ 或 ．
【标注】【知识点】解析法；用待定系数法求解析式
23. 已知函数 是二次函数，且满足 ，则 ．
【备注】 本题可设一般式，整体代入后根据同次项系数对应相等求算参数．
【答案】
【解析】由题设可知：
为二次函数，则设
， ，
则由
，
即 ，
即 ，解得： ，
即 ，
故答案为： ．
【标注】【知识点】用直接带入法求解析式；用待定系数法求解析式；解析法
15
巩固练习
24. 已知二次函数 满足 ，且 ，则 的解析式为 ．
【答案】
【解析】设二次函数的解析式为 ，
由 得 ，
故 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
根据系数对应相等得 ，
所以 ，
所以 ．
【标注】【知识点】解析法；用待定系数法求解析式
25. 已知二次函数的图象过点 ， ，且顶点到 轴的距离等于 ，求此二次函数的解析式．
【答案】 或 ．
【解析】因为二次函数的图象过点 ， ，且顶点到 轴的距离为 ，所以其对称轴为
， 顶点的坐标为 或 ．
当顶点的坐标为 时，设二次函数为． ．因为函数图象过点
，所以 ，即 ．可得二次函数的解析式为 ．
同理，当顶点的坐标为 时，可得二次函数的解析式为 ．
因此，二次函数的解析式为 或 ．
【标注】【知识点】解析法；用待定系数法求解析式
26. 请解答下列各题：
（ 1 ）已知 ，求 的解析式．
（ 2 ）已知 是一次函数，且满足 ，求 的解析式．
【答案】（ 1 ） ， ．
16
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）由题设可知：
，则令 ，即 ，
则 ， ，
则 ， ．
（ 2 ）设 ，
则 ，
解得 ， ，
故 ．
【标注】【知识点】用待定系数法求解析式；用换元法求解析式；解析法
5. 用解方程组的思想求解函数解析式
如果已知信息是 与 组成的等式（或 与 ，这样具有"对称性"的形式），可对原
等式进行处理，令 (或 )，可得到第二个等式，这时将 与 看成两个未知数，我
们剩下的工作就是解一个二元方程组，为求简便，消去 求解 即可．
经典例题
27. 已知函数 满足 ，则函数 的解析式为 ．
【备注】 令 ，构建二元一次方程组即可．
【答案】
【解析】在已知等式中，将 换成 ，
得 ，
与已知方程联立得 ，
消去 ，
得 ，
故答案为 ．
【标注】【知识点】解析法；用联立方程组法求解析式
17
巩固练习
28. 已知 ，则 ．
【答案】
【解析】 ①
∴ ②
①②联立消去 得 ．
【标注】【知识点】解析法；用联立方程组法求解析式
四、 函数的值域
1. 直接求解法
经典例题
29. 函数 的定义域是 ，其值域是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【备注】 根据定义域计算即可．
【答案】A
【解析】∵ 在 和 上单调递减．
当 时图象如下：
18
∴值域是 ．
【标注】【知识点】函数的值域
巩固练习
30. 已知函数 ， ，对任意的 ，都存在 ，
使得 ，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设 ， 的值域分别为 ， ，对任意的 ，都存在 ，
使得 ，可知 ， 的值域 ，
的值域 ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】用单调性观察法求值域
2. 换元法
换元是一种十分重要的思想，这里我们再次提到，对于一些解析式并非一次函数二次函数的函数，
有的时候我们运用等价代换可以把函数等价成一个熟悉的函数．这种方法是求解函数值域的一种极重要
的方法．
例如，求 的值域．
可令 （ ）原式等价于 （ ），转化为熟知的二次函数处理，当然
在求值域时，需要注意定义域．
经典例题
31. 函数 ， 的值域为（ ）．
A. B.
C. D.
19
【备注】 含根式的函数常适合用换元法处理，换元后须留意定义域的变化．
【答案】C
【解析】令 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴当 时， 取得最小值，最小值为 ；
当 时， 取得最大值，最大值为 ，
∴ 的值域为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】用换元法求值域；用配方法求值域
巩固练习
32. 函数 的值域是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题可知 ，令 ，则 ，
则 ，
∴ ，即 ．
故选 ．
【标注】【知识点】用换元法求值域
33. 函数 的值域为（ ）．
A. B. C. D.
20
【答案】C
【解析】 为偶函数．
当 ，
令 ，则 ，
当 时， ，即当 ， ．
当 ， ．
综上 的值域为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】用换元法求值域
3. 分离常数法
对于形如 的函数，可采用分离常数的方法．
例如：求函数 的值域．
解：原式等价于 ，而 ，所以函数的值域为 ．
对于某些特殊形式的二次型分式，分离常数法也是有效的处理方法，例如：
，然后依据 ，就可求出函数值域．
【备注】 形如 的分式值域是 ，可作为常用结论介
绍．
经典例题
34. 函数 的值域是 ．
【备注】 分离常数即可．
【答案】
【解析】方法一： ．∵
，
∴ ．∴ ．
方法二：由 ，得 ，
∵ ，∴ ，解得 ．
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【标注】【知识点】用分离常数法求值域；用单调性观察法求值域
巩固练习
35. 函数 ，当 时，函数的值域为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】 ． ， ， 则
， ， 故选 ．
【标注】【知识点】用分离常数法求值域
4. 配方法
若函数为二次函数，则可以通过配方转化为给定区间求二次函数值域的问题，此种方法多与换元法
综合使用．
例如：求 的值域．
解： 注意到 ，所以直接求出 ，函数值域
为 ．
【备注】 给定区间求解二次函数的值域是基本功，一定要做到熟练掌握．
经典例题
36. 若函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的取值范围为（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 本题是二次函数的定轴动区间问题，可以配方解一元二次不等式，也可根据二次函数
的对称性及特殊点快速推导．
【答案】C
【解析】 的定义域为 ，
22
显然，在 时， ，
又值域 ，根据二次函数图象的对称性知 ．
故选 ．
【标注】【知识点】函数的值域；定轴动区间求值域
37. 已知 ，则 的值域为（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 先换元求出 的解析式，再配方求值域，须留意定义域．
【答案】B
【解析】设 ，则 ，
由二次函数的图象及性质可知， 在 上的值域为 ，
即 的值域为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】用配方法求值域
巩固练习
38. 知 满足 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故 的最小值为 ．
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【标注】【知识点】用配方法求值域
5. 判别式法求值域
对形如 的函数，可设 ，整理成类似一元二次
方程的形式，该方程应有实根．此时须分类讨论，①二次项系数为 ，求出 值，判断方程是否有实根；
②二次项系数不为 ，令 ，求 的范围．
如 的二次比二次的形式，也可依此法操作．
经典例题
39. 函数 的值域为 ．
【备注】 利用判别式法．
【答案】
【解析】方程 有实根，
①当 时， ;
②当 时， ，
解得
综上，
【标注】【知识点】用判别式法求值域
巩固练习
40. 函数 的值域为 ．
【答案】
【解析】设
则
而 （*）
则方程（*）有实数根．
①当 ，即 时，可得 ．
24
②当 时，则
．
解得： ．
∴函数 的值域为 ．
【标注】【知识点】用判别式法求值域
6. 分段函数求值域
生活中我们常常遇到分段问题．例如;某地实行节约用水政策，当每个家庭每月用水不超过 立方
米时，每立方米水价 元，当用水量超过 立方米不足 立方米时，超出部分每立方米水价 元，用水
超过 立方米时，每立方米水价 元，如果将用水量和水费写成函数，则函数如下：
这类函数叫做分段函数，定义域取不同的数值，有可能对应不同的解析式．
分段函数求值域，一般就是分段求，然后取并集．
经典例题
41. 若 ，则 值域为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】 分段求值域即可．
【答案】B
【解析】先将解析式化简，是一个分段函数，再求各段上的值域，求并集即可．
，
当 时， 单调递增，值域为 ，
所以函数 的值域为 ，
故选 ．
【标注】【知识点】分段函数
42. 如图，李老师早晨出门锻炼，一段时间内沿⊙ 的半圆形 路径匀速慢跑，
那么李老师离出发点 的距离 与时间 之间的函数关系的大致图象是（ ）．
25
A. B.
C. D.
【备注】 本题涉及分段函数的实际应用和分段函数的图像，需要抓住"变与不变",“增大减小”和
“增减快慢”这三方面的特征，同时留意一些特殊点的位置和取等条件．
【答案】D
【解析】在 这段，李老师离出发点 的距离与时间 之间的函数满足正比例关系，
为直线；
当在 这段，距离 的距离相等，都等于半径，此时为常数关系，
故图象 满足条件．
故选 ．
【标注】【知识点】函数图象的识别问题
巩固练习
43. 函数 的值域为 ．
【答案】
26
【解析】当 时， ，
当 时， ，
故函数的值域为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】用单调性观察法求值域
44. 如图，点 在边长为 的正方形边上运动， 是 的中点，则当 沿 运动时，
点 经过的路程 与 的面积 的函数 的图象的形状大致是下图中的（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】①当点 在 上时，如图：
（ ）．
②当点 在 上时，如图：
27
∵ ， ，
∴ 正方形
，
∴ （ ）．
③当点 在 上时，如图，
∵ ，
∴ （ ）．
综上①②③，得到的三个函数都是一次函数，由一次函数的图象与性质可以确定 与 的
图形．
只有 的图象是三个一次函数，且在第二段上 随 的增大而减小．
【标注】【知识点】分段函数模型
五、 函数的新定义问题
经典例题
45. ， 表示不超过 的最大整数．十八世纪， 被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函
数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中正确的是（ ）．
A. ，
B. ，
C. ， ，
28
D. 函数 的值域为
【备注】 本题给出了一种“新的”函数对应法则，这类题目一般会给出几个例子（除非如本题一
样，对应法则含义特别明确），在理解对应法则含义的基础上，可结合特殊值法等常用函
数研究方法解决．
【答案】CD
【解析】A 选项： ，故 错误；
B 选项：设 ，则
，
则 ，故 错误；
C 选项：
，故 正确；
D 选项： ，
故 正确．
故选 C D .
【标注】【素养】数学抽象；逻辑推理
【知识点】同号不等式的运算；函数的新定义问题
【特色题型】新定义
46. 已知函数 ．若存在常数 ，对任意 存在 ，使得 ，
则称函数 在 上的均值为 ．已知 ， ，则函数 在 上的
均值为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】 本题定义了函数“均值”这一性质，并且使用了全称量词和存在量词的复合增加了这一新
定义理解的难度．掐头去尾，本题新定义中比较难理解的主要是"对任意 存在
，使得 "．这是一个典型的双变量问题，且两个变量之间除了
定义域一致以外，并没有其他的关联，因此不妨一个一个地考查．不难发现，当 为任意
一个值 的时候，
，当 在定义域上变化时，这个区间也相应地发生变化，如果我们能够找到这些区间的只
29
包含一个值的交集，该值" "即为函数的均值，不难发现，该区间由 变化到 ，因
此可以得出均值为 ．
【答案】D
【解析】取 ，则 ， ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
取 ，则 ， ，即 ，
同理， ，
∴ ，
又∴ ，
∴ ．
应选 ．
【标注】【知识点】函数的新定义问题
巩固练习
47. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，
并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹 布劳威尔（
），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数 ，存在一个点 ，使得
，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】A 选项：当 时， ，方程
无解，
所以函数 不是“不动点”函数；
B 选项：
30
当 时，解得 或 ，
所以函数 是“不动点”函数；
C 选项：当 时， ，解得
或 ；
当 时， ，方程无解，
所以函数 是“不动点”函数；
D 选项：当 ，解得 ，
所以函数 是“不动点”函数；
故选 B C D .
【标注】【知识点】函数的新定义问题
48. 设定义在 上的函数 ，对于给定的正数 ，函数 ，则称函数 为
的“ 界函数”．关于函数 的“ 界函数”，下列等式不. 成. 立. 的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A 选项：令 ，解得 或 ，根
据“ 界函数”的定义，有 ，
或
所以 ， ，故 成立；
B 选项： ， ，故
不成立；
C 选项： ， ，故
成立；
D 选项： ， ，故
成立；
故选 B .
【标注】【知识点】函数求值问题；分段函数
导图总结
31
你学会了吗？快来用思维导图总结本节课所学吧！
【备注】
出门测
49. 下列各组中，函数 和 的图像相同的是（ ）．
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】C
【解析】 选项， 定义域为 ， 定义域为 ， 项错；
选项， 定义域为 ， 定义域为 ， 项错；
选项， 定义域为 ， 定义域为 ， ， 项正确；
选项， 定义域为 ， 定义域为 ， 项错．
32
【标注】【素养】数学运算
【知识点】相同函数
50. 已知 是一次函数，且满足 ，则 =（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】令 ，则 ，
所以 ，
即 ，
所以 ．
故选 ．
【标注】【知识点】解析法；用换元法求解析式
51. 已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为 ．
【答案】
【解析】由题意可得 ，解得 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】求抽象函数的定义域
52. 求函数 的值域．
【答案】 ．
【解析】做三角换元 ，
则 ， ，
根据正弦函数有界性，可得 ．
【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质；用换元法求值域
33
53. 对 ， ，记 ，函数 的最小值是（
）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】画出 和 的图象，如图所示，
y
2
1
x
–2 –1 O 1 2 3
由 知，其图象为图中的折线 ，
由 ，得 ，∴ ．故选 ．
【标注】【知识点】用图象法求值域
34函数的概念及其表示
一、 函数的概念
1. 函数的概念及表示方法
（一）函数的概念
设 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合
中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从数集 到数集 的一个函数，记作
， ．
其中， 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的 ；与 的值相对应的 值叫做函数值，函数
值形成的数集 叫做函数的 ．因此根据函数的定义，有 ，即集合
必须包含值域的所有元素，但可以有更多的元素．
由定义可知，函数的值域完全由定义域和对应关系确定，所以确定一个函数只需要两个要素：
．
（二）函数及表示方法
初中阶段接触过的函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法，在高中阶段仍然可以使用．在使
用解析法表示函数时，须留意加上定义域，在使用图象法时，须留意边界条件在图象上的表示．
经典例题
1. 下列各图中，可表示函数 的图象的是（ ）．
A. y B. y
x x
O O
C. y D. y
x x
O
2. 存在函数 满足，对于任意的 都有（ ）．
1
A. B.
C. D.
巩固练习
3. 下列式子中不能表示函数 的是（ ）．
A. B.
C. D.
4. 下列对应关系中，不能成为函数关系的是（ ）．
A. B.
C. D.
二、 函数的定义域
1. 具体函数的定义域
现阶段，除了人为给出的定义域，有三种形式的函数对定义域有天然的限制（以后我们会学习到其
它的形式）：
（1）偶次根号下不能是负数，例如 定义域为 ，又如 定义域
．
（2）分式分母不为零，例如熟知的反比例函数 定义域为 ．
（3） 没有意义，例如函数 的定义域为 ．
经典例题
5. 函数 的定义域为（ ）．
A.
B.
C.
D.
6. 若函数 的定义域为实数集 ，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
2
巩固练习
7. 函数 的定义域是（ ）．
A. B.
C. D.
8. 函数 ．
（ 1 ）若 的定义域为 ，求实数 的值．
（ 2 ）若 的定义域为 ，求实数 的取值范围．
2. 抽象函数的定义域
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数
求解抽象函数的定义域的两个要点：
（1）当题目求解时指的是自变量 本身的范围，
（2） 括号内的式子范围一致，例如给定函数 的定义域是 ，那么函数 的
定义域则由 决定，也即 ．
经典例题
9. 已知 的定义域为 ，则函数 ，则 的定义域为（ ）．
A. B.
C. D.
巩固练习
10. 若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）．
A. B.
C. D.
3. 同一函数的判定
由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．因为值域是由定义域和对
应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数
值也相同，那么这两个函数是同一个．
简而言之，判断两个函数是否为同一函数的标准是：
．
3
例如， 和 ，表面看二者是同一个函数，实则不然，后者等价于 ，所以对应关
系不同，不是同一函数．
再例如， 和 ，表面看二者不是同一个函数，实则不然，两者都是
将 对应到 ，定义域和对应关系都相同，因此它们是同一函数！
经典例题
11. 下列各组函数表示同一函数的是（ ）．
A. 与
B. 与
C. 与
D. ， 与 ，
巩固练习
12. 下列四组函数中，表示同一个函数的是（ ）．
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
13. 下列函数中，与函数 是同一个函数的是（ ）．
A. B.
C. D.
三、 求函数的解析式的方法
1. 直接代入法
已知 的解析式，求 的解析式常用此法．
例一：已知 ，则 ，
．
在带入的过程中我们注意用括号内的整体代替原来的 ．
经典例题
14. 设 ，则 的函数表达式是（ ）．
4
A. B.
C. D.
巩固练习
15. 下列函数中，满足 的是（ ）．
A. B.
C. D.
2. 配凑法
例一： ，可以将右边凑成 的形式再求解
但此时需要注意所求函数的定义域，上述函数 ， ， ，后面的
范围必须做标注；
例二： ，可以将右边凑成 的形式再求解．
经典例题
16. 若 ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
17. 已知函数 ，则 的解析式为（ ）．
A.
B.
C.
D.
巩固练习
18. 已知 ，则 的解析式为（ ）．
A. B.
C. D.
19. 已知函数 满足 且 ，则实数 的值为（ ）．
A. B. C. D.
3. 换元法
换元思想是高中解决问题常用的思想之一，换元的目的是使函数变得更加简洁，如果题目通过换元
5
变得更复杂，那么我们就要考虑尝试其他的方法了．
例一：已知 ，求解析式 ．
解：令 ， 代入原式变为 ， ，即
（注意定义域是否有限制）．
有相当部分可以配凑的题目，实际上都可以通过换元来完成．
经典例题
20. 设 ，则 的解析式可以是（ ）．
A.
B.
C.
D.
巩固练习
21. 已知函数 ，则函数 的表达式为（ ）．
A. B.
C. D.
4. 待定系数法
如果已知函数类型，可用待定系数法，先设出函数的解析式，再利用条件制造方程（组）求出参
数，由此确定函数的解析式．
二次函数解析式设法相对多样，可根据题干条件灵活选择．一般来说，如已知对称轴或顶点可
设 ；如已知与 轴交点则可设 ；如题干中给出的都是一般点或者没有几何特征则
设 ．
例如，已知二次函数 经过原点且在 时取得最大值 ，要求 解析式，可根据题意将
的解析式设为顶点式： ，再利用 解出 ，带回原解析式得到
．
经典例题
22. 已知 是一次函数，且 ，求 的解析式．
23. 已知函数 是二次函数，且满足 ，则 ．
巩固练习
6
24. 已知二次函数 满足 ，且 ，则 的解析式为 ．
25. 已知二次函数的图象过点 ， ，且顶点到 轴的距离等于 ，求此二次函数的解析式．
26. 请解答下列各题：
（ 1 ）已知 ，求 的解析式．
（ 2 ）已知 是一次函数，且满足 ，求 的解析式．
5. 用解方程组的思想求解函数解析式
如果已知信息是 与 组成的等式（或 与 ，这样具有"对称性"的形式），可对原
等式进行处理，令 (或 )，可得到第二个等式，这时将 与 看成两个未知数，我
们剩下的工作就是解一个二元方程组，为求简便，消去 求解 即可．
经典例题
27. 已知函数 满足 ，则函数 的解析式为 ．
巩固练习
28. 已知 ，则 ．
四、 函数的值域
1. 直接求解法
经典例题
29. 函数 的定义域是 ，其值域是（ ）．
A.
B.
C.
D.
巩固练习
30. 已知函数 ， ，对任意的 ，都存在 ，
使得 ，则实数 的取值范围是（ ）．
7
A. B.
C. D.
2. 换元法
换元是一种十分重要的思想，这里我们再次提到，对于一些解析式并非一次函数二次函数的函数，
有的时候我们运用等价代换可以把函数等价成一个熟悉的函数．这种方法是求解函数值域的一种极重要
的方法．
例如，求 的值域．
可令 （ ）原式等价于 （ ），转化为熟知的二次函数处理，当然
在求值域时，需要注意定义域．
经典例题
31. 函数 ， 的值域为（ ）．
A. B.
C. D.
巩固练习
32. 函数 的值域是（ ）．
A. B.
C. D.
33. 函数 的值域为（ ）．
A. B. C. D.
3. 分离常数法
对于形如 的函数，可采用分离常数的方法．
例如：求函数 的值域．
解：原式等价于 ，而 ，所以函数的值域为 ．
对于某些特殊形式的二次型分式，分离常数法也是有效的处理方法，例如：
，然后依据 ，就可求出函数值域．
经典例题
8
34. 函数 的值域是 ．
巩固练习
35. 函数 ，当 时，函数的值域为(　　)
A. B.
C. D.
4. 配方法
若函数为二次函数，则可以通过配方转化为给定区间求二次函数值域的问题，此种方法多与换元法
综合使用．
例如：求 的值域．
解： 注意到 ，所以直接求出 ，函数值域
为 ．
经典例题
36. 若函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的取值范围为（ ）．
A. B.
C. D.
37. 已知 ，则 的值域为（ ）．
A. B.
C. D.
巩固练习
38. 知 满足 ，则 的最小值为 ．
5. 判别式法求值域
对形如 的函数，可设 ，整理成类似一元二次
方程的形式，该方程应有实根．此时须分类讨论，①二次项系数为 ，求出 值，判断方程是否有实根；
②二次项系数不为 ，令 ，求 的范围．
如 的二次比二次的形式，也可依此法操作．
经典例题
9
39. 函数 的值域为 ．
巩固练习
40. 函数 的值域为 ．
6. 分段函数求值域
生活中我们常常遇到分段问题．例如;某地实行节约用水政策，当每个家庭每月用水不超过 立方
米时，每立方米水价 元，当用水量超过 立方米不足 立方米时，超出部分每立方米水价 元，用水
超过 立方米时，每立方米水价 元，如果将用水量和水费写成函数，则函数如下：
这类函数叫做分段函数，定义域取不同的数值，有可能对应不同的解析式．
分段函数求值域，一般就是分段求，然后取并集．
经典例题
41. 若 ，则 值域为（ ）．
A. B. C. D.
42. 如图，李老师早晨出门锻炼，一段时间内沿⊙ 的半圆形 路径匀速慢跑，
那么李老师离出发点 的距离 与时间 之间的函数关系的大致图象是（ ）．
A. B.
C. D.
10
巩固练习
43. 函数 的值域为 ．
44. 如图，点 在边长为 的正方形边上运动， 是 的中点，则当 沿 运动时，
点 经过的路程 与 的面积 的函数 的图象的形状大致是下图中的（ ）．
A. B.
C. D.
五、 函数的新定义问题
经典例题
45. ， 表示不超过 的最大整数．十八世纪， 被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函
数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中正确的是（ ）．
A. ，
B. ，
C. ， ，
11
D. 函数 的值域为
46. 已知函数 ．若存在常数 ，对任意 存在 ，使得 ，
则称函数 在 上的均值为 ．已知 ， ，则函数 在 上的
均值为（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
47. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，
并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹 布劳威尔（
），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数 ，存在一个点 ，使得
，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
48. 设定义在 上的函数 ，对于给定的正数 ，函数 ，则称函数 为
的“ 界函数”．关于函数 的“ 界函数”，下列等式不. 成. 立. 的是（ ）．
A. B.
C. D.
导图总结
你学会了吗？快来用思维导图总结本节课所学吧！
出门测
49. 下列各组中，函数 和 的图像相同的是（ ）．
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
50. 已知 是一次函数，且满足 ，则 =（ ）．
A. B.
12
C. D.
51. 已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为 ．
52. 求函数 的值域．
53. 对 ， ，记 ，函数 的最小值是（
）．
A. B. C. D.
13

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