资源简介

函数的奇偶性及其应用
一、 奇偶性的定义、性质及判定
1. 奇偶性的定义
偶函数 奇函数
设函数 的定义域为 ， ，均有 ，即关于
定义域特征
对称
，都有
定义 ，都有
等价定义 若 ，则
若 ，则
图象对称性 关于 对称 关于 对称
示例
特殊性质 若 ，则
单调性 在对称区间有 的单调性 在对称区间有 的单调性
2. 用定义法判定、证明奇偶性
1
定义域关于 否
原点对称？ 非奇非偶函数
奇函数
是 与 偶函数
的关系
与 非奇非
无上述关系 偶函数
3. 奇偶性的性质
偶函数 偶函数
偶函数 奇函数
奇函数 偶函数
奇函数 奇函数
经典例题
1. 下列图象中能表示具有奇偶性的函数的是（ ）．
A. B.
C. D.
2
2. 解答下列各题：
（ 1 ）设函数 和 分别是 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）．
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 是偶函数 D. 是奇函数
（ 2 ）设函数 ， 的定义域为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论中正确的是
（ ）．
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 是奇函数 D. 是奇函数
巩固练习
3. 判断函数奇偶性 ．
4. 函数 的奇偶性是（ ）．
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 既不是奇函数也不是偶函数 D. 既是奇函数也是偶函数
5. 判断下列函数的奇偶性．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
二、 奇偶性应用
1. 利用奇偶性求值
经典例题
6. 已知 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ，则
（ ）．
A. B. C. D.
7. 已知 ，且 ，则 ．
8. 已知常数 ， ，若函数 ， 是偶函数，则 ．
巩固练习
3
9. 已知实数 ， 满足 ，则 ．
10. 若函数 为奇函数，则 ＝（ ）．
A. B. C. D.
11.
函数 在区间 上满足 ，则
的值为（ ）．
A. B. C. D.
12. 定义在 上的函数 满足：对任意 、 都有 ．试求：
的值．
2. 利用奇偶性求解析式
经典例题
13. 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则函数 在 上的解析
式为 ．
14. 已知 是定义在 上的偶函数， 是定义在 上的奇函数，且 ，求
， 的解析式．
巩固练习
15. 已知 是定义在 上的偶函数，当 时， ，则函数 在 上的解析式是（
）．
A. B. C. D.
16. 已知 为奇函数， 为偶函数，且 ，求 、 ．
3. 函数奇偶性与单调性、最值综合
1. 奇函数在对称区间上的单调性 ，若 是奇函数，在区间 上有最大（小）值
，则在区间 上有最小（大）值 ．奇函数的最大值和最小值之和
为 ；
2. 偶函数在对称区间上的单调性 ，若 是偶函数，在区间 上有最大（小）值
，则在区间 上也有最大（小）值 ．
3. 单调性与奇偶性综合
4
①单调性解不等式的应用前一讲已经介绍过．例如，已知函数单调增，可将不等式 转化
成 ．
②有一类题型，其形式为 ，此类题目大概率是单调性与奇函数的综合应用．先移
其中一项，再利用奇函数将 转化成 ，然后利用单调性求解．例如奇函数在 上单调增，欲
解不等式 ，先移项 ，再利用奇函数定义
，最后利用单调性 ，即 ．
③单调性与偶函数综合：例如偶函数在 上单调增，欲解不等式 ，结合图象分析，
可知其等价于 ．
单调性与奇偶性的综合题目，一定要重视数形结合的运用！
经典例题
17. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）．
A. 是偶函数，单调递增区间是
B. 是偶函数，单调递减区间是
C. 是奇函数，单调递减区间是
D. 是奇函数，单调递增区间是
18. 已知 是定义在 上的偶函数，且在 是增函数，设 ， ， ，
则 ， ， 的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
19. 函数 在 单调递减，且为奇函数．若 ，则满足 的 的取
值范围是（ ）．
A. B. C. D.
20. 设奇函数 在 上是增函数，且 ，则不等式 的解集为（
）．
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
21. 若定义在 上的函数 满足：对任意 ， 有
，且当 时，有 ，设 的最大值、最小值分别
为 ， ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
22. 若关于 的函数 的最大值为 ，最小值为 ，且
，则实数 的值为 ．
5
23. 定义在 上的函数 满足：对任意的 ， 都有 ．
（ 1 ）求 的值．
（ 2 ）若当 时，有 ，求证： 在 上是单调递减函数．
（ 3 ）在（ ）的条件下解不等式： ．
巩固练习
24. 设函数 ，则 （ ）．
A. 是奇函数，且在 上单调递增 B. 是奇函数，且在 上单调递减
C. 是偶函数，且在 上单调递增 D. 是偶函数，且在 上单调递减
25. 已知 是偶函数， 是奇函数，它们的定义域均为 ，且它们在 上的图
象如图所示，则不等式 的解集是 ．
26. 已知函数 在定义域 上单调递减，且函数 的图象关于点 对称．若实数 满足
，则 的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
27. 已知 为定义在 上的奇函数， ，且对任意的 ， 时，当
时， 则不等式 的解集为（ ）．
A. B.
C. D.
28. 已知 ，则 在区间 上的最大值和最小值之和等于（ ）．
6
A. B. C. D.
29. 已知函数 ．
（ 1 ）判断函数 的奇偶性．
（ 2 ）试判断 在区间 上的单调性，并用单调性定义证明．
（ 3 ）求函数 在区间 上的最值．
30. 已知函数 对任意实数 ， 恒有 ，且当 ， ，且
．
（ 1 ）判断 的奇偶性．
（ 2 ）求 在区间 上的最大值．
（ 3 ）解关于 的不等式 ．
导图总结
你学会了吗？快用思维导图来总结本节课所学吧！
出门练
31. 函数 的部分图象如图所示，则（ ）．
A.
B.
C.
D.
32. 已知函数 和 均为奇函数， 在区间 上有最大值 ，那么
在 上的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
33. 已知 是奇函数， 是偶函数，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
7
34. 已知函数 的定义域是 的一切实数，对定义域内的任意 ， 都有
，且当 时 ， ．
（ 1 ）求证： 是偶函数．
（ 2 ） 在 上是增函数．
（ 3 ）解不等式 ．
8函数的奇偶性及其应用
学习目标
1. 借助具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义，掌握奇偶性的运算性质和判定方法；
2. 掌握应用奇偶性求值和求函数解析式的基本方法，掌握奇偶性和单调性的综合应用．
【备注】本节重点：奇偶性的性质和判定，应用奇偶性求值、求解析式；
本节难点：奇偶性和单调性的综合应用；
前置知识：函数的概念及其表示，函数的单调性；
后置知识：基本初等函数．
一、 奇偶性的定义、性质及判定
1. 奇偶性的定义
1
偶函数 奇函数
设函数 的定义域为 ， ，均有 ，即关于 原
定义域特征
点 对称
，都有
定义 ，都有
等价定义 若 ，则
若 ，则
图象对称性 关于 轴 对称 关于 原点 对称
示例
特殊性质 若 ，则
单调性 在对称区间有 相反 的单调性 在对称区间有 相同 的单调性
2. 用定义法判定、证明奇偶性
定义域关于 否
原点对称？ 非奇非偶函数
奇函数
是 与 偶函数
的关系
与 非奇非
无上述关系 偶函数
3. 奇偶性的性质
2
偶函数 偶函数 偶 偶 偶 偶 偶 偶
非奇非
偶函数 奇函数 偶 偶 奇 奇 偶
偶
非奇非
奇函数 偶函数 偶 奇 奇 奇 偶
偶
奇函数 奇函数 偶 奇 奇 偶 偶 奇
经典例题
1. 下列图象中能表示具有奇偶性的函数的是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 函数的图象除了满足对称性之外，还需要满足函数固有的”一个 只能对应一个 “的性
质．
【答案】B
【解析】图象 不关于 轴或原点对称，
图象 出现了“一对多”的情况，不是函数的图象．
【标注】【题型】利用定义判断函数奇偶性
【知识点】奇偶性
3
2. 解答下列各题：
（ 1 ）设函数 和 分别是 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）．
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 是偶函数 D. 是奇函数
（ 2 ）设函数 ， 的定义域为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论中正确的是
（ ）．
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 是奇函数 D. 是奇函数
【备注】 如果学生对复合函数的奇偶性不熟悉，不妨将取绝对值和取倒数，作为两个典型的例
子，以加深记忆．当然定义法是判别检验函数奇偶性永不过时的通法．
【答案】（ 1 ）A
（ 2 ）C
【解析】（ 1 ）因为 是奇函数，所以 ，故 是偶函数，而
是偶函数，偶函数加偶函数仍是偶函数．
故选 ．
（ 2 ） 型函数奇偶性判断遵循“同偶异奇”原则．
故选 ．
【标注】【知识点】函数奇偶性的运算
巩固练习
3. 判断函数奇偶性 ．
【答案】函数 既是奇函数又是偶函数．
【解析】由 ，
故函数 的定义域为 关于原点对称，故 ，
所以 ，所以函数 既是奇函数又是偶函数．
【标注】【知识点】利用定义判断函数奇偶性
4. 函数 的奇偶性是（ ）．
4
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 既不是奇函数也不是偶函数 D. 既是奇函数也是偶函数
【答案】A
【解析】∵函数 ，
∴ ，解得 ，且 ．
故函数 的定义域为 ，关于原点对称，
∴ ．
又 ，故 是奇函数．
故选 ．
【标注】【知识点】利用定义判断函数奇偶性
5. 判断下列函数的奇偶性．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
【答案】（ 1 ）偶函数．
（ 2 ）非奇非偶．
（ 3 ）非奇非偶．
【解析】（ 1 ）函数的定义域为 ， ， 关于原点对称，且此函数为复合函数：
令 ，则 ，∵ 为偶函数，∴根据口诀可得原函数也为偶函
数．
（ 2 ）函数的定义域为 ， 不关于原点对称，故为非奇非偶函数．
（ 3 ） （ ），故为非奇非偶函数．
【标注】【知识点】利用定义判断函数奇偶性
二、 奇偶性应用
5
1. 利用奇偶性求值
经典例题
6. 已知 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ，则
（ ）．
A. B. C. D.
【备注】 已知函数奇偶性，利用奇偶性间接求值．
【答案】B
【解析】∵ ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ，
∴ ．
即 ．
故选 ．
【标注】【知识点】函数奇偶性的运算
7. 已知 ，且 ，则 ．
【备注】 利用构成函数的一部分的奇偶性进行求值，这类题目有可能要求判断解析式某一部分
的奇偶性，也可能给出函数某一抽象部分的奇偶性．
【答案】
【解析】解析 ：令 ，易证得 在 上是奇函数，从而 ．
， ，
， ，
．
解法 ：用整体法解决．
，
． ．
【标注】【知识点】函数奇偶性的运算
8. 已知常数 ， ，若函数 ， 是偶函数，则 ．
【备注】 已知奇偶性求参数，奇函数和偶函数的定义域都须关于原点对称；另外，需要指出的
6
是，特殊值法在涉及奇偶性的求参问题中，常常可以提供很多便利．
【答案】
【解析】由题设可知， 为偶函数，则 ，解得 ，
又由 ，解得 ，
故 ，即应填写 ．
【标注】【知识点】函数奇偶性的运算
巩固练习
9. 已知实数 ， 满足 ，则 ．
【答案】
【解析】∵ ， ，
∴两式相加，得 ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【标注】【知识点】函数奇偶性的运算
10. 若函数 为奇函数，则 ＝（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】方法一：由已知得 的定义域关于原点对称，
由于该函数定义域为{ 且 }，知 ，故选 ．
方法二：∵ 为奇函数，
∴ ，
，
∴ ，
解得 ，
7
故选 ．
方法三：∵ 是奇函数，∴ ，
又 ，
则 在函数的定义域内恒成立，可得
．
【标注】【知识点】利用函数奇偶性求函数解析式
【素养】数学运算
11.
函数 在区间 上满足 ，则
的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知 是区间 上的奇函数，
∴ ， ，
∴ ，
解得 ， ，
∴ ．
故选： ．
【标注】【知识点】利用函数奇偶性求函数解析式
12. 定义在 上的函数 满足：对任意 、 都有 ．试求：
的值．
【答案】
【解析】令 ，则 ，∴ ．
令 ，则 ，因此 是奇函数．
∴ ．
8
∴
，
∴原式
．
【标注】【知识点】利用奇偶性求值
2. 利用奇偶性求解析式
经典例题
13. 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则函数 在 上的解析
式为 ．
【备注】 如已知某函数是奇（偶）函数，给出 轴一侧的解析式，则可通过代换求另外一侧的解
析式．特别地，对于奇函数而言，如果 在定义域内，则有 ．因此，对于定义在
上的奇函数来说，只要知道一侧的解析式，整个定义域上的解析式都可求．
【答案】
【解析】根据题意，函数 是定义在 上的奇函数，则 ，
设 ，有 ，
则 ，
又由函数 为奇函数，则 ，
则 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】解析法；利用函数奇偶性求函数解析式
9
14. 已知 是定义在 上的偶函数， 是定义在 上的奇函数，且 ，求
， 的解析式．
【备注】 如已知两个函数 分别为奇函数和偶函数，可代入 得到一关于
的方程，然后再利用奇偶性将这一关系式转化为一个新的关于
的方程，至此，我们只需要解关于 的一个二元方程组即可．
【答案】 ， ．
【解析】∵ ，
又∵ 是偶函数， 是奇函数，
∴ ，
又∵ ，两式联立得
， ．
【标注】【知识点】利用函数奇偶性求函数解析式
巩固练习
15. 已知 是定义在 上的偶函数，当 时， ，则函数 在 上的解析式是（
）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设 ，则 ，
∵ 时， ，
∴ ，
∵ 是定义在 上的偶函数，
∴ ，
∴ ，
，
故选： ．
【标注】【知识点】利用函数奇偶性求函数解析式
16. 已知 为奇函数， 为偶函数，且 ，求 、 ．
10
【答案】 ； ．
【解析】 ，因此有：
．
【标注】【知识点】利用函数奇偶性求函数解析式
3. 函数奇偶性与单调性、最值综合
1. 奇函数在对称区间上的单调性 相同 ，若 是奇函数，在区间 上有最大（小）值
，则在区间 上有最小（大）值 ．奇函数的最大值和最小值之和
为 ；
2. 偶函数在对称区间上的单调性 相反 ，若 是偶函数，在区间 上有最大（小）值
，则在区间 上也有最大（小）值 ．
3. 单调性与奇偶性综合
①单调性解不等式的应用前一讲已经介绍过．例如，已知函数单调增，可将不等式 转化
成 ．
②有一类题型，其形式为 ，此类题目大概率是单调性与奇函数的综合应用．先移
其中一项，再利用奇函数将 转化成 ，然后利用单调性求解．例如奇函数在 上单调增，欲
解不等式 ，先移项 ，再利用奇函数定义
，最后利用单调性 ，即 ．
③单调性与偶函数综合：例如偶函数在 上单调增，欲解不等式 ，结合图象分析，
可知其等价于 ．
单调性与奇偶性的综合题目，一定要重视数形结合的运用！
经典例题
17. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）．
A. 是偶函数，单调递增区间是
B. 是偶函数，单调递减区间是
C. 是奇函数，单调递减区间是
D. 是奇函数，单调递增区间是
【备注】 奇偶性和单调性的联合判断，一般先判断奇偶性，判断了奇偶性之后，只需考虑 轴一
侧的单调性，另一侧的单调性可以通过奇偶性快速推导，须留意的是，对于奇函数而言，
原点处的取值有时须单独考察，才能知道单调区间能否跨原点取得．
11
【答案】C
【解析】根据 的正负讨论，去掉绝对值得：
，画出函数图象，
观察图象可知，函数图象关于原点对称，
故函数为奇函数，且在 上单调递减．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】直接判断函数的单调性；函数单调性与奇偶性综合问题；利用函数奇偶性求函
数解析式
18. 已知 是定义在 上的偶函数，且在 是增函数，设 ， ， ，
则 ， ， 的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】 利用奇偶性和单调性比较大小，一般须先利用奇偶性，将待比较的各式置于 轴同一
侧，然后利用单调性比较，如题干中只指出函数性质而未写出解析式，也不妨从常见的函
数模型选取满足性质的模型，代入计算，例如本题就可以选择 ．
【答案】D
【解析】∵ 是偶函数，
∴ ，
∴ ， ，
又 在 上是增函数，且 ，
∴ ，即 ．
故选 ．
【标注】【知识点】抽象函数；函数单调性与奇偶性综合问题
19.
12
函数 在 单调递减，且为奇函数．若 ，则满足 的 的取
值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】 利用奇偶性和单调性解不等式，一般须利用奇偶性，将不等式转化为一个单调区间上
的函数值之间的不等关系，然后再根据单调性和特殊点信息，将关于因变量的不等关系转
换成关于自变量的不等式（组）进行求解．
【答案】D
【解析】∵ 为奇函数，∴ ．
∵ ，∴ ．
故由 ，得 ．
又 在 单调递减，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【素养】数学抽象；逻辑推理；数学运算
【知识点】函数单调性与奇偶性综合问题
20. 设奇函数 在 上是增函数，且 ，则不等式 的解集为（
）．
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【备注】 本题除了如解析分类逐个讨论以外，也可以利用 是偶函数，原不等式就
转化为 ，即 ，求出 的部分的解集后，根据对
称性，推出另一半．
【答案】D
【解析】∵函数 是奇函数，函数 在 上是增函数，
∴它在 上也是增函数．
∵ ，
∴ ．
不等式 可化为 ，
即 ，
13
∴当 时，
可得 ，
∴ ，
∴ ；
当 时，可得 ，
∴ ，
∴ ．
综上，不等式 的解集为 或 ．
故选 ．
【标注】【知识点】利用函数单调性解不等式
21. 若定义在 上的函数 满足：对任意 ， 有
，且当 时，有 ，设 的最大值、最小值分别
为 ， ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】 除了本题解析中的构造法利用奇函数最值的性质求解以外，还可以利用单调性用以下
方法求解：
令 ，有 ；
令 ，
单调增
【答案】C
【解析】 ，
，
令 ，则 ，
令 可得 ，令 ， 得 ，
∴ 是奇函数，∴ ，
即 ， ，故选 ．
【标注】【知识点】利用奇偶性求值
14
【素养】数学运算；逻辑推理
22. 若关于 的函数 的最大值为 ，最小值为 ，且
，则实数 的值为 ．
【备注】 将原函数拆成一个偶函数（或常函数）和一个奇函数．
【答案】
【解析】由题知
，
设 ，则 是奇函数，
由 的最大值为 ，最小值为 得，
的最大值为 ，最小值为 ，
又 是奇函数，
∴ ，即 ，
又 ，
∴ ．
【标注】【知识点】函数奇偶性的运算
23. 定义在 上的函数 满足：对任意的 ， 都有 ．
（ 1 ）求 的值．
（ 2 ）若当 时，有 ，求证： 在 上是单调递减函数．
（ 3 ）在（ ）的条件下解不等式： ．
【备注】 本题题干中给出的信息：定义域关于原点对称，根据一侧区间的性质证明整个定义域
上的单调性；都在暗示我们本题需要应用到奇偶性．但与我们在初学单调性时处理形如
的抽象关系式时不同，本题的抽象关系式相对复杂，因此在证明
单调性时，不适合直接改写参数从抽象关系式出发构建差式，这里更适合从差式出发，利
用奇偶性使差式向抽象关系式趋近．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）证明见解析．
（ 3 ） ．
15
【解析】（ 1 ） 时，
，
得 ．
（ 2 ）令 ，则 ，
∴ ，
∴ 是奇函数．
设 ，
则
．
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
假设 ，
则 ，显然不成立，
故 ，
∴ ，即 ．
∴ 在 上是单调递减函数．
（ 3 ） ，
化为 ．
∵ 在 上是减函数，
∴ ，
解得 ．
【标注】【知识点】抽象函数；函数单调性与奇偶性综合问题
巩固练习
24. 设函数 ，则 （ ）．
A. 是奇函数，且在 上单调递增 B. 是奇函数，且在 上单调递减
16
C. 是偶函数，且在 上单调递增 D. 是偶函数，且在 上单调递减
【答案】A
【解析】函数 的定义域为 ．由 ，知 ，
∴函数 为奇函数，
又∵ 与 均在 上单调递增，
∴ 在 上单调递增．
故选 ．
【标注】【知识点】函数单调性与奇偶性综合问题
25. 已知 是偶函数， 是奇函数，它们的定义域均为 ，且它们在 上的图
象如图所示，则不等式 的解集是 ．
【答案】
【解析】根据函数图象对称性画出 ， 在 上的图象，如图所示．
由图可知：
当 或 时， ；
当 或 时， ；
当 或 时， ；
17
当 或 时， ．
由 或 ，
解得 或 或 ．
故 的解集为 或 或 ．
【标注】【知识点】一个函数的自对称问题；利用函数奇偶性求函数解析式
26. 已知函数 在定义域 上单调递减，且函数 的图象关于点 对称．若实数 满足
，则 的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】 在 上单减， 图象关于点 对称，
∴ 关于 对称，
∴ 为奇函数，
，
，
．
∵ 在 上单减．
∴ ，
，
，
．
在 上单减，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】函数单调性与奇偶性综合问题；单调性；一个函数的自对称问题；用分离常数
18
法求值域
27. 已知 为定义在 上的奇函数， ，且对任意的 ， 时，当
时， 则不等式 的解集为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据题意， 为定义在 上的奇函数，则 ，
若 ，则 ，
则 为奇函数；
又由对任意的 ， 时，
当 时， ，则 在 上为增函数，
又由 为奇函数，则 在 上为增函数；
，
解可得： ，
即不等式的解集为∶ ．
故选： ．
【标注】【知识点】利用函数单调性解不等式
28. 已知 ，则 在区间 上的最大值和最小值之和等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ，
设 ，则函数 为奇函数，因此 在区间 上的最大值和最小值之
和为 ，可得 在区间 上的最大值和最小值之和为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】函数单调性与奇偶性综合问题；单调性；用分离常数法求值域
19
29. 已知函数 ．
（ 1 ）判断函数 的奇偶性．
（ 2 ）试判断 在区间 上的单调性，并用单调性定义证明．
（ 3 ）求函数 在区间 上的最值．
【答案】（ 1 ）非奇非偶函数．
（ 2 ）是增函数，证明见解析．
（ 3 ）最大值为 ，最小值为 ．
【解析】（ 1 ）∵ ，
的定义域为 ，
∴ 为非奇非偶数．
（ 2 ）任取 ， ，且 ，
则
．
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
即函数 在区间 上是增函数．
（ 3 ）任取 ， ，
且 ，
则
，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 在 上单调递减，
∴ ，
，
20
故 在区间 上最大值为 ，最小值为 ．
【标注】【知识点】用单调性观察法求值域；利用定义判断函数奇偶性；用定义法证明函数的单调
性
30. 已知函数 对任意实数 ， 恒有 ，且当 ， ，且
．
（ 1 ）判断 的奇偶性．
（ 2 ）求 在区间 上的最大值．
（ 3 ）解关于 的不等式 ．
【答案】（ 1 ） 为奇函数．
（ 2 ）最大值为 ．
（ 3 ）当 时， ，
当 时， 且 ；
当 时， ；
当 时， 或 ；
当 时， 或 ．
【解析】（ 1 ）取 ，
则 ；
则 ；
取 ，则 ，
∴ 对任意 恒成立，
∴ 为奇函数．
（ 2 ）任取 ， 且 ，则 ，
∴ ，
∴ ， 又∵ 为奇函数
∴ ；
∴ 在 上是减函数；
∴对任意 ，恒有 ，
而 ；
∴ ，
∴ 在 上的最大值为 ．
21
（ 3 ）∵ 为奇函数，
∴整理原式得 ，
即 ，
而 在 ， 上是减函数，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，
当 时， 且 ；
当 时， ；
当 时， 或 ；
当 时， 或 ．
【标注】【知识点】函数单调性与奇偶性综合问题
导图总结
你学会了吗？快用思维导图来总结本节课所学吧！
【备注】
出门练
31. 函数 的部分图象如图所示，则（ ）．
A.
22
B.
C.
D.
【备注】 奇偶性结合特殊值判断．
【答案】A
【解析】由图可知， 图象关于 对称，
故 为奇函数．
由此可排除 、 选项．
取 时，
： ；
： ，
故排除 选项，
∴选择 ．
【标注】【知识点】解析法；用直接带入法求解析式
32. 已知函数 和 均为奇函数， 在区间 上有最大值 ，那么
在 上的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令 ，
则 为奇函数．
∵ 时， ，
∴ 时， ．
又 时， ，
∴ ．
∴ ，
故选： ．
23
【标注】【知识点】函数奇偶性的运算
33. 已知 是奇函数， 是偶函数，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵ ①，
令 得，
，
又∵ 为奇函数， 为偶函数，
∴ ②，
① ②得
，
∴ ，
∴ ．
【标注】【知识点】用联立方程组法求解析式
34. 已知函数 的定义域是 的一切实数，对定义域内的任意 ， 都有
，且当 时 ， ．
（ 1 ）求证： 是偶函数．
（ 2 ） 在 上是增函数．
（ 3 ）解不等式 ．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）证明见解析．
（ 3 ） 且 ．
【解析】（ 1 ）根据题意知，对定义域的任意 ， 都有 ，
令 ，代入上式计算得出 ，
再令 ， 代入上式，
∴ ，
∴ 是偶函数．
24
（ 2 ）设 ，
则
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ 在 上是增函数．
（ 3 ）∵ ，
∴ ，
∵ 是偶函数，
∴不等式 可化为 ，
又∵函数在 上是增函数，
∴ ，且 ，
即 ，解得： ，
计算得出： ，且 ，
即不等式的解集为 且 ．
【标注】【知识点】函数单调性与奇偶性综合问题
25

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