资源简介

函数的性质综合
一、 函数图象的变换
1. 平移变换
的图象向上平移 个单位（横坐标不变）得到 的图象；
的图象向下平移 个单位（横坐标不变）得到 的图象；
的图象向左平移 个单位（纵坐标不变）得到 的图象；
的图象向右平移 个单位（纵坐标不变）得到 的图象．
2. 对称变换
同样利用平移变换中那种相关点的方法讨论，不难得到：
可由 的图象沿 轴做轴对称得到 的图象；
可由 的图象沿 轴做轴对称得到 的图象；
可由 的图象沿原点做中心对称得到 的图象．
3. 翻折变换
（一）可得 的图象的做法是：
①将 图象位于 轴 的部分保留，
②把位于 轴下方的图象沿 做轴对称翻折至 轴的上方，
③并将位于 轴下方的部分 ．
（二）可得 的图象的做法是：
①将 图象位于 轴 的部分保留，
②位于 轴 的部分去掉，
③并把位于 轴右侧的图象沿 做轴对称至 轴的左侧．
经典例题
1. 已知 的图象如图所示，则 的图象是（ ）．
1
A. B.
C. y D.
2
1
–1 O 1 2 3 4x
–1
2. 函数 的递增区间是 ，则 的递增区间是（ ）．
A. B. C. D.
3. 已知定义在 上的函数 ， 满足 ，则函数 的图象关于（ ）．
A. 直线 对称 B. 直线 对称
C. 原点对称 D. 轴对称
巩固练习
4. 函数 的图像是下列图像中的（ ）．
A. B.
C. D.
5. 如果将一元二次函数 的图象向右平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的函数
图象的对称轴为 ，最大值为 ，则 、 的值为（ ）．
2
A.
B.
C.
D.
6. 已知函数 ，则在同一个坐标系下函数 与 的图象不可能是（
）．
A. B.
C. D.
二、 函数的对称性
1. 一个函数的自对称问题
（1）关于 轴对称 ；
（2）关于原点对称 ；
（3）关于直线 对称 ；
（4）关于点 对称 ．
经典例题
7. 若函数 的图象关于直线 对称，则 的最大值为 ．
8. 函数 的对称中心为（ ）．
3
A. ， B. ， C. ， D. ，
9. 已知函数 满足 ，若函数 与 图象的交点为 ，
， ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
10. 已知函数 的图象关于点 中心对称，则点 的坐标是 ．
11. 已知定义在 上的函数 的图象关于 对称， ，若函数 图象与函数
图象的交点为 ， ， ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
12. 设 满足：①任意 ，有 ；②当 时， ，
，若 ，恒有 ，则 的取值范围是（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
2. 两个函数的互对称问题
（1） 与 关于 对称．
（2） 与 关于 对称．
（3） 与 关于 对称．
（4） 与 关于 对称．
（5） 与 关于 对称．
（6） 与 关于 对称．
（7）函数 与 的图象关于 对称．
经典例题
13. 若定义域均为 的三个函数 ， ， 满足条件 ，点 与点 都关于点
对称，则称 是 关于 的“对称函数”．已知 ， ，
是 关于 的“对称函数”，且 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
14. 已知函数 与 的图象上存在关于 轴对称的点，则实数 的取
值范围是（ ）．
4
A. B.
C. D.
巩固练习
15. 设函数 定义在实数集上，则函数 与 的图像关于（ ）．
A. 直线 对称 B. 直线 对称 C. 直线 对称 D. 直线 对称
16. 已知函数 与 的图象上存在关于 轴对称的点，则实数 的取
值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
17. 设曲线 的方程是 ，将 沿 轴、 轴正方向分别平移 、 个单位长度后得到曲线
，
（ 1 ）写出曲线 的方程．
（ 2 ）证明曲线 与 关于点 对称．
（ 3 ）如果曲线 与 有且仅有一个公共点，证明： ．
3. 对称性与单调性综合
对称性与单调性综合的研究方法可以类比单调性与奇偶性综合，不论是比较大小还是解不等式，一
般方法是利用数形结合的思想，都是将待求的点利用对称性转化到一个单调区间上．
经典例题
18. 已知定义域为 的函数 在区间 上单调递减，对任意实数 ，都有 ，
那么下列式子一定成立的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
19. 已知定义域为 的函数 满足 ，且函数 在区间 上单调递增，
如果 ，且 ，则 的值（ ）．
A. 恒小于 B. 恒大于 C. 可能为 D. 可正可负函数
巩固练习
5
20. 已知函数 满足 ，且 在 上是增函数，如果 ，
则 与 的不等式关系为 ．
21. 已知定义在 上的函数 关于点 中心对称，当 时， 单调递增，若 且
，则 的值（ ）．
A. 恒大于 B. 恒小于 C. 可能为 D. 可正可负
22. 已知函数 满足： ， ，且 ， ，
，则（ ）．
A.
B. ，
C.
D. 若 ，则
4. 对称性与最值综合
在《函数奇偶性及其应用》一讲，我们讲到过：对于奇函数 而言， 的最大值 和 的
最小值 ，有 ．
这一性质可以进一步推广到有对称中心的函数．假设 ，即函数 关于点
对称，则函数 在关于直线 对称的区间上的最大值 和最小值 ，满足 ．
若 在 处有意义，则 ．
经典例题
23. 定义在 上的函数 满足：对于任意 ， ，有
，若 的最大值和最小值分别为 、 ，则 的值
为 ．
巩固练习
24. 已知函数 在区间 的最大值为 ，最小值为 ，若
，则 ．
三、 函数的周期性
1. 周期性的判定与简单应用
6
函数的周期性需要抓住以下两点，一是定义：对定义域中任意的 恒有 ；二是找周
期：能找到适合这一等式的非零常数 ．
一般来说，周期函数的定义域均为无限集，迭代法是判断周期性的常用方法，
关于函数的周期性有如下推广结论，均可用迭代法推导证明：
若函数 满足如下关系，则 的周期为
①
②
③
④ ．
经典例题
25. 已知 是定义在 上的函数，且 ，若 ，则
．
26. 已知函数 是周期为 的函数，当 时， ，当 时， 的解
析式是 ．
27. 设 是定义在 上，以 为周期的函数，若函数 在区间 上的值域为 ，
则 在区间 上的值域为 ．
巩固练习
28. 对于任意实数 满足条件 ，若 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
29. 已知函数 满足： ， ， 且 ，则 （
）．
A. B. C. D.
30. 已知 是定义在 上的函数，且 ，
（ 1 ）试证 是周期函数；
（ 2 ）若 ，求 。
2. 周期性与奇偶性、对称性综合
函数 满足对定义域内任一实数 （其中 为常数）：
7
（1）函数 满足 （ ），若 为奇函数，则其周期为 ，若
为偶函数，则其周期为 ．
（2）函数 的图象关于直线 和 都对称，则函数 是以 为
周期的周期函数．
（3）函数 的图象关于两点 ， 都对称，则函数 是以
为周期的周期函数．
（4）函数 的图象关于 和直线 都对称，则函数 是以
为周期的周期函数．
经典例题
31. 已知定义在 上的奇函数 的满足 ，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
32. 已知 是定义域为 的奇函数，满足 ，若 ，则
（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
33. 已知 是定义在 上的函数，且对任意 都有 ，若函数
的图象关于点 对称，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
34. 是定义在 上的以 为周期的奇函数，且 ，则方程 在区间 内解的个数的
最小值是（ ）
A. B. C. D.
35. 函数 的定义域为 ，若 与 都是奇函数，则（ ）．
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. D. 是奇函数
四、 函数性质大杂烩
经典例题
36. 定义在 上的偶函数 满足： ，且在 上是增函数，下面关于 的判断：
① 是周期函数；
8
② 的图象关于直线 对称；
③ 在 上是减函数；
④ 在 是减函数．
其中正确的判断是 ．（把你认为正确的判断都填上）
37. 已知函数 的定义域为 ，且满足下列三个条件：
①对任意的 ，当 时，都有 恒成立；
② ；③ 是偶函数；
若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系正确的是（ ）．
A. B. C. D.
38. 已知 是定义在 上的奇函数，满足 ，当 时， ，则下列
结论错误的是（ ）．
A. 方程 最多有四个解
B. 函数 的值域为
C. 函数 的图象关于直线 对称
D.
巩固练习
39. 已知 是定义在 上的奇函数， 是偶函数，当 时， 单调递减，则下面关
于 的判断正确的是（ ）．
A. 的一个周期是
B. 在 单调递增
C. 是 的一个对称中心
D.
40. 定义在 上的函数 满足 ， ，且 在区间 上是减函
数，设 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序是（ ）．
A. B. C. D.
41. 已知定义在 上的偶函数 满足： ，对 ，当 时，
，且 ，则不等式 在 上的解集为 ．
导图总结
你学会了吗？快用思维导图来总结本节课所学吧！
9
出门测
42. 设 是定义在 上以 为周期的函数， 在 内单调递减，且 的图象关于直线 对
称，则下面正确的结论是（ ）．
A. B.
C. D.
43. 已知函数 的定义域为 ．当 时， ；当 时， ；当
时， ．则 （ ）．
A. B. C. D.
44. 已知 是 上的奇函数，对 都有 成立，若 ，则 等
于( )．
A. B. C. D.
45. 设 是定义在 上且周期为 的函数，在区间 上 其中 ，
若 ，则 的值是 ．
10函数的性质综合
学习目标
1. 理解函数的对称性、周期性；
2. 能够解决函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性综合的问题．
【备注】本节重点：函数的对称性和周期性；
本节难点：对称性与周期性综合，单调性与对称性综合；
前置知识：函数的概念，函数的单调性和奇偶性；
后置知识：基本初等函数，三角函数．
一、 函数图象的变换
1. 平移变换
的图象向上平移 个单位（横坐标不变）得到 的图象；
的图象向下平移 个单位（横坐标不变）得到 的图象；
的图象向左平移 个单位（纵坐标不变）得到 的图象；
的图象向右平移 个单位（纵坐标不变）得到 的图象．
2. 对称变换
同样利用平移变换中那种相关点的方法讨论，不难得到：
可由 的图象沿 轴做轴对称得到 的图象；
可由 的图象沿 轴做轴对称得到 的图象；
可由 的图象沿原点做中心对称得到 的图象．
3. 翻折变换
（一）可得 的图象的做法是：
①将 图象位于 轴上方的部分保留，
②把位于 轴下方的图象沿 轴做轴对称翻折至 轴的上方，
③并将位于 轴下方的部分去掉．
（二）可得 的图象的做法是：
①将 图象位于 轴右侧的部分保留，
②位于 轴左侧的部分去掉，
③并把位于 轴右侧的图象沿 轴做轴对称至 轴的左侧．
1
经典例题
1. 已知 的图象如图所示，则 的图象是（ ）．
A. B.
C. y D.
2
1
–1 O 1 2 3 4x
–1
【备注】 本题涉及多次图象变换，一步步耐心作图不难得出答案；也可以考查关键点的坐标，
如原函数图象与坐标轴的交点，对选项进行排除．
【答案】C
【解析】 时， ，排除 ， ，
时， ， 错误．
故选 ．
【标注】【知识点】图象法；翻折变换问题；平移变换问题；函数图象的识别问题
2. 函数 的递增区间是 ，则 的递增区间是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】 函数经历平移和对称变换之后，原函数自带的单调区间、对称轴和对称中心等性质也
发生相应的变化．
2
【答案】B
【解析】函数 是函数 向左平移 个单位得到的，
∵函数 在区间 上是增函数，
∴ 增区间为 向左平移 个单位，即增区间为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】用定义法证明函数的单调性
3. 已知定义在 上的函数 ， 满足 ，则函数 的图象关于（ ）．
A. 直线 对称 B. 直线 对称
C. 原点对称 D. 轴对称
【备注】 结合函数图象变换思考， 可先关于 轴作对称变换再向右平移一个
单位长度，对称变换产生的对称轴 ，向右平移就得到新对称轴 ．
如从定义出发，也不难看出 ，可知对称轴为 ．
【答案】B
【解析】法一：由 关于 轴对称，由 向右平移一个单位可得 ，即函数
的图像关于 对称；
法二：特殊处理，令 ，则 ，该图像关于 对称．
【标注】【知识点】平移变换问题；一个函数的自对称问题
巩固练习
4. 函数 的图像是下列图像中的（ ）．
A. B.
C. D.
3
【答案】A
【解析】首先作为分母 ，
∴ ， ， 错误，
其次令 ，
，
图象在第二、四象限，
∴选 ．
或令 ， 代入，
时， ，排除 、 ，
时， ，排除 ．
【标注】【知识点】平移变换问题；图象法
5. 如果将一元二次函数 的图象向右平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的函数
图象的对称轴为 ，最大值为 ，则 、 的值为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由题意知，变换后所得函数的解析式为 ，且 ，
然后将函数 的图象先向上平移 个单位，
得到函数 ，
再将所得函数图象向左平移 个单位，
4
可得到函数 的图象，
因此 ．
故选： ．
【标注】【知识点】平移变换问题；含参二次函数的图象及性质
6. 已知函数 ，则在同一个坐标系下函数 与 的图象不可能是（
）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】 ，
（ ）若 ，则当 时，对称轴为 ，开口向上，
当 时，对称轴为 ，开口向下，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递增，且 ，
是由 向左平移 个单位得到的，
此时函数图象为 ，
（ ）若 ，则当 时，对称轴为 ，开口向下，
时，对称轴为 ，开口向上，
∴ 在 上先增后减，在 上先减后增，且 ，
是由 向右平移 个单位得到的，
5
此时函数图象为 或 ，
故选： ．
【标注】【知识点】图象法
二、 函数的对称性
1. 一个函数的自对称问题
（1）关于 轴对称 ；
（2）关于原点对称 ；
（3）关于直线 对称 或 ；
（4）关于点 对称 或 ．
经典例题
7. 若函数 的图象关于直线 对称，则 的最大值为 ．
【备注】 已知函数对称性求参数，特殊值法是很常用也很便捷的方法，本题中涉及求高次函数
的最值， ，观察到出现了( )整体可供换
元，这样的方法比较适合高一学生．
【答案】
【解析】方法一：∵函数 的图象关于直线 对称，
∴ 且 ，
即 且 ，
解之得 ，
因此， ，
求导数，得 ，
令 ，得 ， ， ，
当 时， ．
当 时， ．
当 时， ．
当 时， ．
6
∴ 在区间 、 上是增函数，在区间 、
上是减函数．
又∵ ，
∴ 的最大值为 ．
方法二：因为函数关于 对称，由函数与 轴交点坐标知道 为解，则还有 ，
也为其解，则
，则当 原式取得最大值 ，
故答案为： ．
【标注】【素养】数学运算；逻辑推理
【知识点】求函数最值（含参二次型导函数）；一个函数的自对称问题
8. 函数 的对称中心为（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
【备注】 寻找函数的对称中心和对称轴，通常可采取先猜后证的方法，尤其对于选择题，可以
逐个代入检验．
在猜对称中心时，常用的技巧是从定义域入手，具有对称性的函数，其定义域也与对
称轴或对称中心的横坐标对称，例如本函数的定义域是
关于 对称，因此不难猜出对称
中心横坐标为 ；对称中心的纵坐标可以通过分离常数猜想，例如本题中
，可以猜想对称中心纵坐标为 ，分离常数的处
理对于检验时的计算也能提供便利．
【答案】B
【解析】∵函数 ，
∴
，
∴ ，
即函数 的对称中心为 ， ．
故选 ．
【标注】【知识点】一个函数的自对称问题
9.
7
已知函数 满足 ，若函数 与 图象的交点为 ，
， ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【备注】 两函数都关于 对称，他们的交点也是一对对关于 对称的点．
【答案】B
【解析】函数 ，（ ）满足 ，
即为 ，
可得 关于点 对称，
函数 ，即 的图象关于点 对称，
即有 为交点，即有 也为交点， 为交点，即有 也
为交点，
则
原式
．
故选 ．
【标注】【知识点】两个函数的互对称问题
巩固练习
10. 已知函数 的图象关于点 中心对称，则点 的坐标是 ．
【答案】
【解析】 ，
∵函数 的图象关于点 中心对称，
∴点 的坐标是 ，
故答案为 ．
【标注】【知识点】一个函数的自对称问题
11.
8
已知定义在 上的函数 的图象关于 对称， ，若函数 图象与函数
图象的交点为 ， ， ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵ 的图象是由 的函数图象先向右平移 个单位，再向上平移 个单位后得到的，
∴ 的图象关于点 对称，
又 的图象关于点 对称，
∴ 与 的 个交点中，两两关于点 对称．
∴ ．
故选： ．
【标注】【知识点】两个函数的互对称问题
12. 设 满足：①任意 ，有 ；②当 时， ，
，若 ，恒有 ，则 的取值范围是（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】B
【解析】∵任意 ，有 ．
∴ ，
则函数关于 ， 点对称，
当 时， ，即 ，
则 ，
∵当 时， ，
∴ ，
则 ，则 或 ，
则 或 ，
∵ ，
∴ ，即当 时， ，
当 时， ， ，
即 ， ，
9
作出函数 的图像如图：
若 ，则由图像知，将函数 向右平移 个单位即可，
由图像知， ．
【标注】【知识点】利用函数性质画简图
2. 两个函数的互对称问题
（1） 与 关于 轴 对称．
（2） 与 关于 轴 对称．
（3） 与 关于 原点 对称．
（4） 与 关于 直线 对称．
（5） 与 关于 直线 对称．
（6） 与 关于 对称．
（7）函数 与 的图象关于 直线 对称．
经典例题
13. 若定义域均为 的三个函数 ， ， 满足条件 ，点 与点 都关于点
对称，则称 是 关于 的“对称函数”．已知 ， ，
是 关于 的“对称函数”，且 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 不难分析出，本题须满足 即 恒成立，高一学生可用
判别式法解此恒成立问题：定义域上， 恒成立且
恒成立．
【答案】D
10
【解析】当题可知 ，
即 ，
当 ，必有
，
此时 ，不满足
，
所以 ，由图可知，
直线 与
相切或相离且
在 上方，
显然 ．
由点到直线距离可知 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】两个函数的互对称问题
【知识点】直线与圆的位置关系
14. 已知函数 与 的图象上存在关于 轴对称的点，则实数 的取
值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 存在关于 轴对称的点等价于方程 在 上有实根，
可用参变分离处理．
【答案】A
【解析】若函数 与 的图象上存在关于 轴对称的点，
则方程 在区间 上有解，
令 ， ，
由 的图象是开口朝上，且以直线 为对称轴的抛物线，
故当 时， 取最小值 ，当 时，函数取最大值 ，
故 ．
故选 ．
11
【标注】【知识点】函数零点的概念；已知零点情况求参数的取值范围
巩固练习
15. 设函数 定义在实数集上，则函数 与 的图像关于（ ）．
A. 直线 对称 B. 直线 对称 C. 直线 对称 D. 直线 对称
【答案】C
【解析】略
【标注】【知识点】两个函数的互对称问题
16. 已知函数 与 的图象上存在关于 轴对称的点，则实数 的取
值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意知 在 上有解，
及 在 上有解，
即 在 上有解，
易知 在 上的值域为 ，
所以 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】已知零点情况求参数的取值范围；函数零点的概念
17. 设曲线 的方程是 ，将 沿 轴、 轴正方向分别平移 、 个单位长度后得到曲线
，
（ 1 ）写出曲线 的方程．
（ 2 ）证明曲线 与 关于点 对称．
（ 3 ）如果曲线 与 有且仅有一个公共点，证明： ．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）证明见解析．
12
（ 3 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）曲线 的方程为 ．
（ 2 ）在曲线 上任意取一点 ，设 是 关于点 的对称点，
则有 ， ，
∴ ， 代入曲线 的方程 ，
得 ， 的方程 ： ，
即 可知点 在曲线 上．
反过来，同样证明，在曲线 上的点 的对称点在曲线 上．
因此，曲线 与 关于点 对称．
（ 3 ）由于曲线 与 有且仅有一个公共点，
∴方程组 有且仅有一组解，
消去 ，整理得 ，这个关于 的一元二次方程有且仅
有一个根，
则 ，即得 ，
因为 ，所以 ．
【标注】【知识点】解析法；两个函数的互对称问题；零点、交点、根的等价转化；函数零点的概
念；平移变换问题
3. 对称性与单调性综合
对称性与单调性综合的研究方法可以类比单调性与奇偶性综合，不论是比较大小还是解不等式，一
般方法是利用数形结合的思想，都是将待求的点利用对称性转化到一个单调区间上．
经典例题
18. 已知定义域为 的函数 在区间 上单调递减，对任意实数 ，都有 ，
那么下列式子一定成立的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【备注】 类比偶函数和单调性综合，利用对称性，将待比较的各点都转化到递减区间
上．
13
【答案】C
【解析】
∵ ，
∴函数 的图象关于 对称，
∴ ，
∵函数 在区间 上单调递减，
∴ 在 )上为单调递增．
∴ ，
即 ，
故选 ．
【标注】【知识点】单调性；抽象函数
19. 已知定义域为 的函数 满足 ，且函数 在区间 上单调递增，
如果 ，且 ，则 的值（ ）．
A. 恒小于 B. 恒大于 C. 可能为 D. 可正可负函数
【备注】 除如解析中推导外，不妨令 满足关于点 对称，且在 上单
调递增．
【答案】B
【解析】∵定义域为 的函数 满足 ，
∴函数 的图象关于 对称，
即 ，
，且 ，
则 ，
∵函数 在区间 上单调递增，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选： ．
14
【标注】【知识点】函数对称性与单调性综合问题
巩固练习
20. 已知函数 满足 ，且 在 上是增函数，如果 ，
则 与 的不等式关系为 ．
【答案】
【解析】 ，所以 图像关于 对称，
又 在 上是增函数，所以 图像上的点到直线 的距离越远越大，
说明 离 更近，所以 ．
【标注】【知识点】抽象函数
21. 已知定义在 上的函数 关于点 中心对称，当 时， 单调递增，若 且
，则 的值（ ）．
A. 恒大于 B. 恒小于 C. 可能为 D. 可正可负
【答案】B
【解析】设 ，由 ，
得 ， ，再由 得：
，
∵ 时， 单调速增，
∴ ，
∵函数 关于点 对称，
∴ ，
取 得 ，
∴ ，
即 ．
故选 ．
【标注】【知识点】函数对称性与单调性综合问题
22.
15
已知函数 满足： ， ，且 ， ，
，则（ ）．
A.
B. ，
C.
D. 若 ，则
【答案】BC
【解析】由 ， ， ，可得 图象关于 对
称，
由 ， ， 可得 在 单调递减，
结合单调性、对称性，可知距 越近函数值越大，
则显然 不正确， 正确，
选项， ， 正确；
选项， 时， 距 更远，则 或 ， 错误．
故选 ．
【标注】【知识点】函数对称性与单调性综合问题
4. 对称性与最值综合
在《函数奇偶性及其应用》一讲，我们讲到过：对于奇函数 而言， 的最大值 和 的
最小值 ，有 ．
这一性质可以进一步推广到有对称中心的函数．假设 ，即函数 关于点
对称，则函数 在关于直线 对称的区间上的最大值 和最小值 ，满足 ．
若 在 处有意义，则 ．
经典例题
23. 定义在 上的函数 满足：对于任意 ， ，有
，若 的最大值和最小值分别为 、 ，则 的值
为 ．
【备注】 关于 中心对称，即可快速得出答案．
16
【答案】
【解析】令 ，则 ，令 ， ，则 ，
∴ ，令 ，
∴ ， 为奇函数，
∴ ， ．
【标注】【知识点】求抽象函数的最值
巩固练习
24. 已知函数 在区间 的最大值为 ，最小值为 ，若
，则 ．
【答案】
【解析】
，
设 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 为常数， 时 ， 时， ，
∴ ， ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用奇偶性求值；利用定义判断函数奇偶性
三、 函数的周期性
1. 周期性的判定与简单应用
函数的周期性需要抓住以下两点，一是定义：对定义域中任意的 恒有 ；二是找周
期：能找到适合这一等式的非零常数 ．
一般来说，周期函数的定义域均为无限集，迭代法是判断周期性的常用方法，
关于函数的周期性有如下推广结论，均可用迭代法推导证明：
17
若函数 满足如下关系，则 的周期为
①
②
③
④ ．
经典例题
25. 已知 是定义在 上的函数，且 ，若 ，则
．
【备注】 求大值离散点对应的函数值，常常要用到周期性，在没有头绪的时候，不妨多写几
项．
【答案】
【解析】 ，
，
，
，
∴ ，
∴ 周期为 ，
∴ ．
【标注】【知识点】利用函数周期性求函数值
26. 已知函数 是周期为 的函数，当 时， ，当 时， 的解
析式是 ．
【备注】 求周期函数某一周期的解析式，要点是求哪个周期，就设自变量 在哪个周期，利用周
期性 ，使 落在已知解析式的周期内，代入计算即可 ．
【答案】
【解析】
当 时， ，
18
所以 ．
【标注】【素养】数学抽象；数学运算
【知识点】利用函数周期性求函数值
27. 设 是定义在 上，以 为周期的函数，若函数 在区间 上的值域为 ，
则 在区间 上的值域为 ．
【备注】 构建类周期函数 是本题的核心步骤，需要注意的是，由于
在一个周期内的单调性未知，因此不能直接指定端点值计算．
【答案】
【解析】当 时， ， ，
由
，可得 ；
当 时， ， ，
由 ，
可得 ．
所以 在区间 上的值域为 ．
【标注】【知识点】用单调性观察法求值域
巩固练习
28. 对于任意实数 满足条件 ，若 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ 是以 为周期的函数，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故选 ．
19
【标注】【知识点】利用函数周期性求函数值
29. 已知函数 满足： ， ， 且 ，则 （
）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵ ，
∴令 ，得 ，
即 ，
即 ①，
用 替换 ，得 ②，
① ②得： ，
再用 替换 ，得 ．
∴ ，
函数 是周期 的周期函数．
因此， ．
∵ ，
∴令 ，得 ，可得 ．
在 中令 ，
得 ，
∴ ，解得 ，
同理在 中令 ，
解得 ．
∴ ．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算；逻辑推理
【知识点】利用函数周期性求函数值；迭代法判断周期；抽象函数
30. 已知 是定义在 上的函数，且 ，
（ 1 ）试证 是周期函数；
（ 2 ）若 ，求 。
20
【答案】（ 1 ）依次求出 （ ）， （ ）， （ ）， （ ）即可，发现周期
为
（ 2 ）
【解析】（ 1 ）依次求出 （ ）， （ ）， （ ）， （ ）即可，发现周期
为
（ 2 ）
【标注】【知识点】利用函数周期性求函数值；迭代法判断周期
2. 周期性与奇偶性、对称性综合
函数 满足对定义域内任一实数 （其中 为常数）：
（1）函数 满足 （ ），若 为奇函数，则其周期为 ，若
为偶函数，则其周期为 ．
（2）函数 的图象关于直线 和 都对称，则函数 是以 为
周期的周期函数．
（3）函数 的图象关于两点 ， 都对称，则函数 是以
为周期的周期函数．
（4）函数 的图象关于 和直线 都对称，则函数 是以
为周期的周期函数．
经典例题
31. 已知定义在 上的奇函数 的满足 ，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【备注】 由对称轴 和对称中心 ，可知该函数周期为 ，记住结论可以减少做题时耗；
本题推导起来也不麻烦，只需用对称性和奇函数的性质交替迭代即可得到周期，如下：
．
【答案】A
【解析】 为 上的奇函数，
∴ 且 关于 中点对称，
又∵ ，
∴ 关于直线 对称，
∴ 的最小正周期 ，
21
∴ ．
【标注】【知识点】奇偶性；函数周期性与奇偶性综合问题
32. 已知 是定义域为 的奇函数，满足 ，若 ，则
（ ）．
A. B. C. D.
【备注】 由奇函数（对称中心 ）和对称轴 ，易得周期为 ，每四个一组求和，最后加
上"零头"即可．
【答案】C
【解析】 是奇函数，且 ，
，
∴ ，∴ ，
即函数 是周期为 的周期函数，
，
，
，
则 ，
则
，
故选 ．
【标注】【知识点】函数周期性与奇偶性综合问题；奇偶性
巩固练习
33. 已知 是定义在 上的函数，且对任意 都有 ，若函数
的图象关于点 对称，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为函数 的图象关于点 对称，
所以函数 的图象关于点 对称， 是奇函数．
22
对任意 都有 ，
令 ，即 ，得 ．
由 知 ，
所以 是周期为 的周期函数，
．
故选 ．
【标注】【知识点】奇偶性
34. 是定义在 上的以 为周期的奇函数，且 ，则方程 在区间 内解的个数的
最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 是定义在 周期为 的奇函数，∴ ，
，∴ ，∴选D.
【标注】【知识点】函数周期性与奇偶性综合问题；求零点个数问题（不含参）
35. 函数 的定义域为 ，若 与 都是奇函数，则（ ）．
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. D. 是奇函数
【答案】D
【解析】方法一： 与 都是奇函数，
， ，
即 ，
函数 关于点 ，及点 对称，函数 是周期 的周期
函数．
， ，则 是奇函
数．
故选 ．
方法二：函数 的图像是由函数 的图像向左平移 个单位长度得到的，因为
是奇函数，所以 的图像关于原点对称，因此 的图像一定关于点
23
成中心对称，即 ．函数 也是奇函数，所以同理，
关于点 成中心对称，即 ，所以
，因为
是奇函数，所以 也是奇数．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】周期性
【知识点】函数单调性与奇偶性综合问题
【知识点】对称性
四、 函数性质大杂烩
经典例题
36. 定义在 上的偶函数 满足： ，且在 上是增函数，下面关于 的判断：
① 是周期函数；
② 的图象关于直线 对称；
③ 在 上是减函数；
④ 在 是减函数．
其中正确的判断是 ．（把你认为正确的判断都填上）
【备注】 需要指出的是， 可得函数的周期性，再结合偶函数（对称轴），
可以求得函数存在对称中心，相邻对称轴（对称中心）之间的距离为半个周期．轴对称的
两段函数增减性相反，中心对称的两端函数增减性相同，可类比奇偶性与单调性的综合．
【答案】①②③
【解析】 ，所以函数 是以 为周期的偶函数，所以①正确；
，所以②正确；
又函数在 上是增函数， 关于直线 对称，所以 在 上是减函数，所以
③正确；
因为 是偶函数，所以 在 上是增函数，所以④错误；
综上，①②③正确．
【标注】【知识点】抽象函数
24
37. 已知函数 的定义域为 ，且满足下列三个条件：
①对任意的 ，当 时，都有 恒成立；
② ；③ 是偶函数；
若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】 对题干条件一一翻译是解决此类包含多种函数性质的题目的关键，要最终实现比较大
小的目标，仍旧需要将待比较的各值借由奇偶性、对称性或周期性转化到单调性已知的一
段区间上．
【答案】B
【解析】由①知，函数 在区间 上为增函数，
由②知， ，即函数 的周期为 ，
由③知，函数 的图象关于直线 对称，
， ，
，故 ；
故选 ．
【标注】【知识点】函数周期性与奇偶性综合问题
38. 已知 是定义在 上的奇函数，满足 ，当 时， ，则下列
结论错误的是（ ）．
A. 方程 最多有四个解
B. 函数 的值域为
C. 函数 的图象关于直线 对称
D.
【备注】
25
y
2
1
–2 –1 O 1 2 3 x
–1
–2
针对选项 的讨论可以数形结合的方式进行：
不难发现，如直线 与函数 最多有 个交点．
【答案】A
【解析】 ．由 可得： ，
则 ，所以函数 的周期为 ，
所以 ，故 正确；
．再由 以及 ，
所以 ，则函数 的对称轴为 ，故 正确；
．当 时， ，
又函数是奇函数， 时， ，
即 时 ，
又因为函数 的对称轴为 ，
所以 时 ，
所以 时 ，
又因为函数 的周期为 ，
所以函数 的值域为 ，故 正确．
故选 ．
【标注】【知识点】函数周期性与奇偶性综合问题
26
巩固练习
39. 已知 是定义在 上的奇函数， 是偶函数，当 时， 单调递减，则下面关
于 的判断正确的是（ ）．
A. 的一个周期是
B. 在 单调递增
C. 是 的一个对称中心
D.
【答案】ABD
【解析】由题意，函数 是定义在 上的奇函数，可得 ，
又由 是偶函数，可得其图象关于 轴对称，
根据函数的图象变换，可得函数 关于 对称，即 ，
联立可得 ，即 ，即 ，
所以函数 的一个周期是 ，故 正确；
又由当 时， 单调递减，根据函数 是定义在 上的奇函数，
可得当 时， 单调递减，再由函数 关于 对称，
可得 在 单调递增，故 正确；
由函数 是定义在 上的奇函数，可得 ，
即原点 为函数的一个对称中心，又由函数 关于 对称，且周期 ，
可得 ， ， ， ，且 ， 为函数的对称中心，
故 不正确， 正确．
故选 ．
【标注】【方法】定义法
【知识点】函数周期性与奇偶性综合问题；函数对称性与周期性综合问题
40. 定义在 上的函数 满足 ， ，且 在区间 上是减函
数，设 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 具有周期性， ，
27
将所示换至同一单调区间比较，
且偶函数 ，
， ，
，
，
∵ ，且 在 上，
∴ ，
即 ．
【标注】【知识点】函数周期性与奇偶性综合问题
41. 已知定义在 上的偶函数 满足： ，对 ，当 时，
，且 ，则不等式 在 上的解集为 ．
【答案】
【解析】由题意， 在 上单调递减，而 ，由偶函数得：当 时，
，
又 可得周期 ，
所以当 时， ，
于是 的解集为 ．
【标注】【知识点】利用函数单调性解不等式；函数周期性与奇偶性综合问题；函数对称性与周期
性综合问题
导图总结
你学会了吗？快用思维导图来总结本节课所学吧！
【备注】
28
出门测
42. 设 是定义在 上以 为周期的函数， 在 内单调递减，且 的图象关于直线 对
称，则下面正确的结论是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】 是以 为周期的函数，即 ， ．
又 的图象关于直线 对称， ， ，
又 在 上单调递减， ，
即 ．
【标注】【知识点】函数对称性与单调性综合问题；用单调性比较大小；利用函数周期性求函数值
43. 已知函数 的定义域为 ．当 时， ；当 时， ；当
时， ．则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为当 时， ，
所以 ，
所以当 时，周期为 ，
29
故有 ，
因为当 时， ，
所以当 时， 是奇函数，
故而 ，
因为当 时， ，
所以 ，
则有 ．
故选 ．
【标注】【知识点】奇偶性
44. 已知 是 上的奇函数，对 都有 成立，若 ，则 等
于( )．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵ 是 上的奇函数，对 都有 )成立，
∴可令 ，则 ，
解得 ，而 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】函数周期性与奇偶性综合问题；利用函数周期性求函数值
【素养】数学运算
45. 设 是定义在 上且周期为 的函数，在区间 上 其中 ，
若 ，则 的值是 ．
【答案】
【解析】∵ 是周期为 的函数，
∴ ，
30
．
又∵ ，
所以 ，
即 ，解得 ，
则 ．
【标注】【知识点】函数求值问题；分段函数
31

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