资源简介

函数的应用——零点与函数模型
学习目标
1. 函数的零点与方程：结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系，了解零点存在定理，掌握
用数形结合的思想求函数零点的个数，会根据函数零点个数求参数范围；
2. 二分法与求方程近似解：结合具体连续函数及其图象的特点，探索用二分法求方程近似解的思路．
3. 函数与数学模型：在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．
【备注】本节重点：函数的零点与方程的解，零点存在定理；
本节难点：数形结合思想，变形优化零点问题；
前置知识：函数的基本性质，基本初等函数；
后置知识：导数
一、 函数的零点与方程的解：数形结合
零点的定义：使得 的实数 叫做函数 的 零点 ．
由零点的定义可得出
方程 的解 函数 的零点 图象 与 轴 交点的横坐标
这里的寓意已经不言自明：零点问题中，会经常运用数形结合的思想．常见手法归纳如下．
①函数 零点个数 方程 解的个数 图象与 轴的交点个数；
②函数 零点个数 方程 解的个数 图象 与 的交点个数；
③函数 的零点个数 方程 解的个数 图象与 图象 的交
点个数．
1. 型
例如：研究 的零点个数，可直接观察 图象与 轴交点个数．
经典例题
1. 已知函数 的图象与 轴恰有 个不同的交点，则实数 的取值范围
是 ．
【备注】 本题在设问上属于已知分段函数零点个数求分段点参数的问题，解题操作则适用于
1
的应对方法，直接观察不难发现，本题的两个零点是 其中的两个，并
且要么都在二次函数段；要么一个在二次函数段，一个在一次函数段，据此对分段点参数
y
5
4
3
2
进行分类讨论． 1
–6 –5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5 x6
–1
–2
–3
–4
结合图象分析，更加直观便捷．
【答案】 或
【解析】由题设可知：
的图象与 轴恰有 个交点，则又由 时，
，
①当 的两个零点，在 时取得，即
解得 ；
②当 的两个零点，分别在 和 取得，
即 ，解得 ，
综上，实数 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】已知零点情况求参数的取值范围
巩固练习
2. 已知 ，函数 ，若函数 恰有 个零点，则 的取值范围
是 ．
【答案】
2
【解析】函数 恰有 个零点，
函数 ，的草图如图：
函数 恰有 个零点，则 或 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用函数图象研究方程根的分布问题（图象与零点综合）；函数零点的概念
2. 型
例如：研究 的零点个数，可转而研究曲线 与平行于
轴的直线 的交点个数．
经典例题
3. 若函数 与直线 有 个交点，求 的范围：（ ）．
A.
B.
C.
D.
【备注】 结合翻折变换，可以较快地做出图象．
【答案】A
【解析】由图象易知 或 ．
3
【标注】【素养】直观想象；数学运算；逻辑推理
【思想】数形结合思想
【知识点】利用函数图象研究方程根的分布问题（图象与零点综合）；函数零点的概念
4. 已知函数 ，若关于 的方程 有三个不等的实根，则实数 的取值范围
是 ．
【备注】 本题属于较为典型的 型，作出分段函数 的图象，上下平移直线 观
察交点的个数，需要指出的是，已知零点个数求参数的问题，须格外留意临界状况．
【答案】
【解析】作出函数图像如图所示，
若关于 的方程 有三个不等的实根，则实数 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】函数零点的概念；已知零点情况求参数的取值范围
巩固练习
5. 若关于 的方程 有三个不相等的实数解，则实数 的值是 ．
【答案】
【解析】即 有 个不同解，
图象如图：
4
∴ ．
【标注】【知识点】已知零点情况求参数的取值范围
6. 已知函数 ，若函数 有三个零点，则实数 的取值范围为(　　
)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：函数 有三个零点等价于 图象与直线 有 个交点，作出图象如
图：
则可知 ．
故选：A．
【标注】【知识点】已知零点情况求参数的取值范围
5
3. 型
函数零点问题与数形结合思想联系得非常紧密．一般来说，应用数形结合需要能作出函数的简图．
如果原函数图象不容易画，为了方便作图和研究，我们有时需要进行移项处理，拆解或构造出新的函
数．
①例如：研究 的零点个数时，可移项拆解，转而研究 与
的交点个数．
y
5
4
3
2
1
–3 –2 –1 O 1 2 3 4 x5
–1
②例如， ， ，求方程 解的个数，此时移项构造
，整体换元后研究函数 的零点，就比较方便．
经典例题
7. 函数 的零点个数是 .
【备注】 研究 段时，可通过移项，做出 的图象，观察交点
个数．
【答案】 .
【解析】
6
当 时，由 得 ，解得 或 （舍去），
当 时，由 得 ，
即 ，
作出函数 和 在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有 个交
点，故 时，函数有 个零点．
故函数 的零点个数为 ，
故答案为： .
【标注】【素养】数学运算；逻辑推理；直观想象
【思想】数形结合思想；分类讨论思想
【知识点】求零点个数问题（不含参）
8. 已知函数 ，函数 ，其中 ，若函数
恰有 个零点，则 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 相比较于分别作出 的图象，本题更适合以 的形式进
行研究．
【答案】D
【解析】方法一：∵ ，
∴ ，
由 ，得 ，
设 ，
若 ，则 ， ，
则 ，
若 ，则 ， ，
7
则 ，
若 ， ， ，
则 ．
即 ，
作出函数 的图象如图：
当 时， ，
当x 时， ，
故当 时， ，有两个交点，
当 时， ，有无数个交点，
由图象知要使函数 恰有 个零点，
即 恰有 个根，
则满足 ，
故选： .
方法二：由已知条件可得 ，
函数 ， 的图象如图所示：
y
2
x
–2 O 2 4 6
–2
要使 恰有 个零点，
只需 与 的图象恰有 个不同的交点，
需满足 在 时有两个不同的解，
即 有两个不同的负根，
则 ，
8
解得 ；
同时要满足 ，在 时有两个不同的解，
即 有两个大于 的不同实根，
令 ，
需 ，
即 ，
解得 ．
综上所述，满足条件的 的取值范围是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】已知零点情况求参数的取值范围；函数零点存在定理
9. 已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数
的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【备注】 在处理根据零点个数求参数的问题时，分类讨论是经常用到的技巧之一，在做出图象
之后，不难发现，本题实际上就与二次函数的"动轴定区间问题"十分类似．另一个值得一提
的技巧是：在应对含参 型的零点问题时，一般尽可能将参数归并到等式的一
侧（例如本题可写成 ），这样做的好处是可以保证其中一
个函数的图象是确定的，方便画图；同时，利用不等式描述零点情况时，参数也都在不等
式一侧，方便计算．
【答案】B
【解析】当 时， 的值域为 ，且在 上单调递增．
．由于 ，
①当 ，即 时，函数 在 上单调递减，值域为
．两函数图象有且只有一个交点，如图．
9
②当 ，即 时，函数 在 上单调递减，在 上单调
递增，值域为 ．如图，
若两函数图象在 上有且只有一个交点，则 ，解得 ．
综上所述， 的取值范围是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】函数零点的概念
巩固练习
10. 方程 的解的个数为 ．
【答案】
【解析】
10
y
x
O
当 时，由图可知有 个交点，
当 时，由指数函数的性质可知，必然有 个．
故有 个．
【标注】【知识点】函数零点存在定理
11. 已知函数 ， ，若 有两个不相等的实根，则实数 的取值范
围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
画出函数 的图象，当过原点的直线 由 逆时针旋转到与射
线 平行的过程中，方程 有两个不相等的实根，此时 ，故选
．
【标注】【知识点】已知零点情况求参数的取值范围；函数零点的概念
12. 已知函数 ， ，若 存在 个零点，则实数 取值范围
是 ．
11
【答案】
【解析】解：由 得 ，
作出函数 和 的图象如图：
当直线 的截距 ，
即 时，两个函数的图象有 个交点，
即函数 存在 个零点，
故实数 的取值范围是 ，
故答案为： ．
【标注】【知识点】已知零点情况求参数的取值范围
4. 变形优化零点问题
丰富多样的变形手段可使得零点问题的求解变得简洁优美．
例如，讨论研究 的零点个数，直接去绝对值固然可以，但 值未知会引发二次函
数的分类讨论，事情就变得麻烦了．可考虑进行参数分离，转而研究 与 的交点个
数，避开麻烦的分类讨论．(这么做在逻辑上有微许欠缺，请思考完整的做题逻辑是什么．)
又例如，已知 与 的图象有三个交点，求 的取值范围，这里考虑到
实际问题的特点，临场应变，采取同除的变形方式将问题转化成 与 的交点
个数，立即一目了然．
经典例题
13. 已知函数 恰有四个零点，则实数 的取值范围为 ．
12
【备注】 转换为 的形式， 显然是零点之一，因此问题等
价于参变分离后的方程 有三个根（此处如果转化成 的形
式，会大大增加解题难度，因此在参变分离时，应注意使变量侧尽可能为熟悉或方便作图
的函数），此时问题就简化为分段函数 有三个零点．
作出 的图象，上下平移直线 即可．
y
4
3
2
1
–3 –2 –1 O 1 2 3 x4
–1
–2
【答案】
【解析】∵ 是 的零点，
∴ （ ）有四个不同零点，等价于方程 有三个不同
的根．即 ，
的图象有三个不同交点，如图：
13
由图可知，要使两函数共有三个交点，则当x<0时，必须使 与 存在两
个交点，此时 ，
即 ，
故 ．
【标注】【知识点】函数零点的概念；零点、交点、根的等价转化；利用函数图象研究方程根的分
布问题（图象与零点综合）；已知零点情况求参数的取值范围
14. 已知函数 ，则下列说法中正确的是（ ）．
A. 若 ，则 恒成立
B. 若 恒成立，则
C. 若 ，则关于 的方程 有解
D. 若关于 的方程 有解，则
【备注】 本题 选项的判别，可以如解析中一样使用绝对值不等式的性质（可参见腾飞版讲
义《常见不等式的解法》中绝对值不等式一节），也可以用特殊值法排除，如用
，便可快速排除选项 ．
本题中对函数零点的考查，主要集中在 选项．针对方程 解的情况，
时显然无解； 时，
两函数本身有一取不到的公共点 ，此时只需考虑斜率 即可：
y
O A x
14
【答案】D
【解析】由绝对值不等式 ，
当 时，则 ，
此时 ，所以 错误；
当 恒成立时，有 ，
此时假设 ，则由绝对值不等式可知 恒成立，
此时与 恒成立矛盾，
再结合对 选项的分析，可知 ，所以 选项错误；
当 时，则 ，
此时 ，方程 ，左边是正数，右边是负数，无解，所以 错误；
对于 ，当关于 的方程 有解时，
由上述 选项的分析可知 不可能小于 ，
当 时， ，也不满足 有解，
所以 ，此时由 有解，
可得 ，
所以 ，
所以 ，选项 正确，故选 ．
【标注】【知识点】函数零点的概念
巩固练习
15. 若函数 的图象与 轴有且只有一个交点，则满足条件的实数 组
成的集合为 ．
【答案】
【解析】由题意得 为偶函数，图象与 轴有且只有一个交点，
则说明交点为原点， ，
或 经验证， 时函数有三个零点，不符合； 时只有一个零
点，符合．
故答案为： ．
【标注】【素养】逻辑推理；数学运算
【知识点】已知零点情况求参数的取值范围；含参二次函数的图象及性质
15
16. 已知函数 ，则关于 零点叙述正确的是（ ）．
A. 当 时，函数 有两个零点
B. 函数 必有一个零点是正数
C. 当 时，函数 有两个零点
D. 当 时，函数 只有一个零点
【答案】B
【解析】 ，显然 不是零点，
即 ，
作出 与 图象如图所示，
当 时，显然只有一个零点，零点大于 ；
当 时，将函数 图象向上平移 个单位，有 个零点，零点一正一负；
当 时，将函数 图象向下平移 个单位，有 个零点，零点大于 ；
综上，故选
【标注】【知识点】函数零点的概念
17. 设 ，若存在实数 ， ，使得 的定义域和值域都是 ，则实数
的取值范围为 ．
【备注】
16
①-②：
【答案】
【解析】因为 ，
所以 在 为减函数，
有存在实数 ， ，使得 的定义域和值域都是 ，
①
则 ，
②
① ②得： ，
即 ，
即 在 有两不等实根，
设 ，
则 在 有两个不等实根等价于直线 与函数
的图象有两个不同的交点，
由直线 与函数 的图象的位置关系如图所示，
17
则实数 的取值范围为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】已知零点情况求参数的取值范围
5. 复合函数的零点
这类问题需要用到整体换元，化整为零的思维方式．
举例：已知函数 ，求函数 的零点．此题其实也就是解方程 ．
这种问题切忌研究 的解析式或者画出 的图象，因为实在太过勉强，说白了难度很大．
解决此类问题的正确姿势是：将复杂方程 进行整体换元 ．这样以化整为零的
方式把复杂方程拆解成两个方程 ，然后先解下面的方程，得到满足方程的 之后再解上面的方
程 即可．在解方程的过程中，注意数形结合思想的运用．
若方程 有多个解 ，那么满足 其中任意一
个方程的解，都是整个问题的解．
本例中，对 先解方程 得出 或 ．然后解方程 和 ，得
出 一共四个解．最终题中 的零点为 ．
如果是如下形式“ ”，那么做法别无二致：换元后得 ，解出
或 ，解方程 和 ，得出 一共三个解．
如果解方程解不出来，试着去通过数形结合与观察试数，来得出方程的解；如果仍然解不出来，重
新看一遍题目，看看题目是否只是问零点的个数，这样的话利用数形结合便可看出零点个数，无需得出
精确的解．
经典例题
18. 已知 ，则函数 的零点个数是 ．
18
【备注】 已知 ，求复合函数 的零点，一般进行整体换元，先求外函数 的零点
，然后作内函数 的图象和直线 ，此时问题就变成
若干个 型的问题，观察交点个数即可．
【答案】
【解析】根据题意，令 ，解得： 或 ，
作出 的简图：
由图象可得当 或 时，分别有 个和 个交点，
所以函数 的零点的个数为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用函数图象研究方程根的分布问题（图象与零点综合）
19.
已知函数 ，若方程 恰有 个实根，则实数 的取值
范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【备注】 已知复合函数零点个数求参数，此时可先求内函数的图象和值域（如本题中的
），以此为外函数定义域作出外函数图象，对外函数（如本题中
）的零点个数进行分类讨论，并分析外函数的每个零点对应内函数的自变量
的个数．
【答案】C
19
【解析】令 ，
当 时，由基本不等式，可得
．
当 时，可得
，
所以 ，
由条件可知，当 与 有 个不同的交点时， 恰有 个实根，
作出函数 和 的图象如下：
由图象知，当 与 有 个不同的交点时，
或 ，
又当 时，方程 且仅有一个实根，因此 不符合条件，
所以实数 的取值范围是 ．
故选： ．
【标注】【知识点】零点、交点、根的等价转化；已知零点情况求参数的取值范围
巩固练习
20. 已知函数 ，下列是关于函数 的零点个数的 个判断，其中正
确的是(　　)
A. 当 时，有 个零点 B. 当 时，有 个零点
C. 当 时，有 个零点 D. 当 时，有 个零点
【答案】CD
20
【解析】解：由 ，得 ，
设 ，则方程 等价为 ，
①若 ，作出函数 的图象如图：
，
此时方程 有两个根其中 ， ，
由 ，知此时 有两个解，
由 知此时 有两个解，
此时共有 个解，即函数 有 个零点．
②若 ，作出函数 的图象如图：
，
此时方程 有一个根 ，其中 ，
由 知此时 只有 个解，
即函数 有 个零点．
故选：CD．
【标注】【知识点】利用函数图象研究方程根的分布问题（图象与零点综合）
21. 已知 ，函数 ．
（ 1 ）若函数 有 个零点，求实数 的取值范围．
（ 2 ）若函数 有 个零点，求实数 的取值．
（ 3 ）若函数 有 个零点，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
21
（ 3 ） 或 ．
【解析】（ 1 ）令 ， 可化为 ，根据 的图象，
时有 有 个解， 时有 有 个解，
时有 无解，根据共有 个零点可得，
有两个大于 的零点，
所以有 解得 ．
（ 2 ）令 ， 时有 有 个解， 时有 无解，
根据共有 个零点可得，可化为 ，根据 的图象，
时有 有 个解，
有一个大于 的零点，
一个等于 的零点，所以有 解得 或 ，
经检验 不符，所以 ．
（ 3 ）令 ， 可化为 ，
根据 的图象， 时有 有 个解，
时有 有 个解， 时有 无解，
根据共有 个零点可得， 有一个大于 的零点，一个小
于 的零点，或者只有一个大于 的零点，
所以有 或 ，
解得 或 ．
【标注】【知识点】一元二次方程根的分布；已知零点情况求参数的取值范围
22. 设定义域为 的函数 ，若关于 的函数 有 个不
同的零点，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】令 ， ，作出 图像如图所示：
22
如图可知：当 时， 有四个交点，
要使关于 的函数 有 个不同零点．
则 有两个根 ， 且 ， ．
令 ，由根的分布可得
，
解得 ．
【标注】【知识点】函数零点的概念
二、 零点存在定理与二分法
1. 零点存在定理
（一）零点存在定理
背景：数学源于生活而又高于生活．许多抽象的数学道理，其实来源于生活的观察．对函数的图象加以
思考，不难发现这样一件事情：
如果函数图象是一条不断开的连续曲线，并且对于区间 ， 且 或反过来 且
，则函数在区间 必定会有零点．
这样的道理是非常浅显易懂的，它就是零点存在定理的内容．
零点存在定理：一般地，如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
，那么，函数 在区间 内至少有一个零点，即存在 ，使得
，这个 也就是方程 的根．
数学高于生活，体现在数学定义有一些严谨的细节，来精确地刻画某些概念的特点．你是否注意到上述
定理的一些细节？
23
（二）零点与函数的性质
①零点与函数单调性
运用零点存在定理可估计一个在某区间 上单调的函数的零点．
例如，估计 的零点：
其一，该函数在 上单调增，所以至多一个零点；
其二，该函数 ， ，据零点存在定理，函数在 内有零点．综上
所述函数在区间 内有唯一零点．
②零点与函数对称性（奇偶性)
若函数 有零点 ，且函数 关于 轴上一点 或垂直于 轴的直线 对称，则
也是 的零点．
③零点与函数周期性
若函数 有零点 ，且函数 ，则 也是 的 零
点．本结论还可以推广到 的类周期函数形式．
经典例题
23. 若 的两个零点分别在区间 ， 和区间 ， 内，则实数
取值范围是（ ）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【备注】 直接应用零点存在定理．
【答案】C
【解析】显然 ，则 ，解得 ，选 ．
【标注】【知识点】函数零点的概念
24. 设函数 ， ．若实数 ， 满足 ， ，则（
）．
A. B.
C. D.
【备注】 零点与单调性的综合．
【答案】A
24
【解析】因为函数 在 上单调递增，
且 ， ，
所以 时 ．
又 在 上单调递增，
且 ，所以 ．
由 ， 得 ，
又 ，且 在 上单调递增，
所以 ．
综上可知， ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】函数零点的概念；判定函数零点所在区间（存在性定理）
25. 已知函数 ，若 ，且
，则 （ ）．
A. B. C. D. 随 值变化
【备注】 本题中， 关于直线 对称，可知 ．
【答案】B
【解析】由题意 关于 对称，可得 ， ，再由
， ，求得 ， 则
．
故选 ．
【标注】【知识点】函数零点的概念
26. 已知函数 是定义域为 的奇函数，且满足 ，当 时，
，则方程 在区间 上的解的个数是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】 函数零点与奇偶性和周期性的综合．对于周期函数的零点问题，须留意端点处是否为
零点．
【答案】D
【解析】由 得， ，
25
∴ 的周期为 ．
∵ 时， ， 为奇函数；
当 时， ，当 时， ．
∴当 时， ；
当 时，令 ，则 或 ，
又 ，故 ，则 ，
∴当 时， 的零点为： ， ， ， ， ， ， ， ， 共 个．
故选 ．
【标注】【知识点】函数零点的概念；直接求函数的零点；函数周期性与奇偶性综合问题
【素养】数学运算；逻辑推理；数学抽象
27. 已知定义域为 的偶函数 满足对任意的 ，有 ，且当 时，
，若函数 在 上恰有三个零点，则实数 的取值
范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 将零点问题转化为周期函数与直线交点个数的问题，由于周期函数在各个周期上是二
次函数的形式，故而可用判别式法求出临界情况，结合图象，便可判断参数范围．
【答案】B
【解析】∵ ，且 是定义域为 的偶函数，
令 ，可得 ，
又 ，
∴ ，且有 ，
∴ 是最小正周期为 的偶函数．
当 时， ，
若 ，则 ，
则 ，
即 ， ，
若 ，则 ，即 ，
∴ ， ，
综上 ， ，
26
由函数 ，
得函数 ，
使 ，作出函数 和 的图象如图，
2
1
–1 O 1 2 3 4 5
–1
要使函数 在 上若有 个零点，
则 ，
当 ，则 ，
则 ， ；
当 ，则 ，
则 ， ，
由 ，
整理得 ，
由判断式
整理得 ，得 （由图象知不合适）或 ，
由 ，
整理得 ，
由判断式 ，
整理得 ，得 （由图象知不合适）或 ，
综上，要使函数 在 上有三个零点，
则 ．
故选 ．
【标注】【知识点】已知零点情况求参数的取值范围；函数零点的概念
巩固练习
27
28. 若 ，则函数 的两个零点分别位
于区间（ ）．
A. 和 内
B. 和 内
C. 和 内
D. 和 内
【答案】A
【解析】计算出函数在区间端点处的函数值并判断符号，再利
用零点的存在条件说明零点的位置．
，
，
，
的两个零点分别位于区间（ ）和（ ）内.
【标注】【知识点】函数零点存在定理
29. 若函数 在区间 上存在零点，则实数 的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解： 函数 在区间 上为增函数，
， ，
结合题意可得 ，
故选C．
【标注】【知识点】已知零点情况求参数的取值范围
30. 函数 的零点所在区间是（ ）．
A. B.
C. D.
28
【答案】C
【解析】根据题意，函数 ，分析易得函数 为减函数，
且 ，
，
，
，
则函数 的零点所在区间是 ；
故选 ．
【标注】【知识点】函数零点存在定理
31. 已知 是定义在 上的奇函数，且 ，则函数 的零点个数至少为（
）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为 是定义在 上的奇函数，
所以 的图象关于原点对称，
所以 ，
所以 的图象与 轴的交点的个数一定为奇数，
即 的零点一定为奇数个．
由 ，
则 ，
则 ，
，
，
所以 ， ， 都是 的零点，
因此 的零点个数至少为 个．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算；逻辑推理
【知识点】函数周期性与奇偶性综合问题；零点、交点、根的等价转化
29
32. 已知函数 有唯一零点，则 (　　).
A. B. C. D.
【备注】看到 应往均值不等式取思考，所以在 取得最小值。而前一部分二次函数
也在 取得最小值，所以 在 取得最小值．
【答案】C
【解析】由 ，得
，所以 ，即 为 图
象的对称轴．
由题意， 有唯一零点，所以 的零点只能为 ，即
，解得 ．
【标注】【知识点】一个函数的自对称问题；已知零点情况求参数的取值范围
33. 已知函数 满足：对任意 ， ，且 时，
，若函数 恰有 个零点，则 的值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】结合函数图象，
要与 有 个交点需经过 在 区间内的最大值 ，所以 ，
解得 ，
故选 ．
【标注】【知识点】已知零点情况求参数的取值范围；利用函数图象研究方程根的分布问题（图象
与零点综合）；函数零点的概念；分段函数
30
2. 二分法
在估计 的零点的过程中，其实可以进一步得出更精确的解：
取区间 中点 ，得 ，这样可得出更精确的零点范围 ．
继续取区间中点 ，得 ，得出更精确的零点范围 ．
以此类推，一直采取同样的操作，可以将零点范围缩小到任意程度，即估计出任何精确度的零点．
这种得到零点近似值的方法叫做二分法．
思考：二分法思想在现实生活中有没有实例？
对于给定的精确度 ，用二分法求函数 零点近似值的步骤如下：
（1）确定区间 ，验证 ，给定精确度 ；
（2）求区间 的中点 ；
（3）计算 ；
①若 ，则 就是函数的零点．
②若 ，则令 （此时零点 ）；
③若 ，则令 （此时零点 ）．
（4）判断是否达到精确度 ：即若 ，则得到零点近似值 （或 ），否则重复步骤（2）（3）
（4）．
经典例题
34. 用二分法求方程近似解的过程中，已知在区间 上， ， ，并计算得到
，那么下一步要计算的函数值为（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 明确二分法的操作步骤．
【答案】A
【解析】∵ ， ， ，
∴ ，
∴函数的零点在 上；
故下一步要计算的函数值为 .
故选： ．
31
【标注】【知识点】利用二分法求函数零点近似值
巩固练习
35. 用二分法求函数 的一个零点，其参考数据如下：
据此数据，可得方程 的一个近似解（精确到 ）是 ．
【答案】
【解析】由表格作数轴如下，
故 ；
故方程 的一个近似解在 之间，
故可取 作为近似解．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用二分法求函数零点近似值
三、 函数模型（实际应用）
数学学科描绘了世间万物运转的规律，我们所学的函数，在生活中亦有其投射，如细胞分裂、股票
涨跌、利润最大化等等，这些案例都与函数模型相关联．下面通过一些问题来体会吧！
经典例题
36. 基本再生数 与世代间隔 是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均
人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：
描述累计感染病例数 随时间 (单位：天)的变化规律，指数增长率 与 ， 近似满足
，有学者基于已有数据估计出 ， ．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，
累计感染病例数增加 倍需要的时间约为(　　)
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
32
【备注】 指对函数的实际应用，留意解指数方程有时须取对数．
【答案】B
【解析】解：把 ， 代入 ，可得 ，
，
当 时， ，则 ，
两边取对数得 ，解得 ．
故选：B．
【标注】【知识点】指数函数模型
37. 某种生产设备在购买时费用为 万元，每年的设备管理费用为 万元，这种生产设备的维护费用
为第一年 万元，第二年 万元，第三年 万元，以每年 万元的增量逐年递增，则这套生产设
备最多使用（ ）年报废最划算．
A. B. C. D.
【备注】 函数最值在实际问题中的应用．
【答案】D
【解析】设使用 年报废最划算，年平均费用为 万元，
则
，
当且仅当 时，等号成立．故最多使用 年．
【标注】【知识点】基本不等式的实际应用；分式函数模型
巩固练习
38. 某食品的保鲜时间 （单位：时间）与储存温度 （单位：℃）满足函数关系 ，（
为自然对数的底数， ， 为常数）．若食品在 ℃的保鲜时间设计 小时，在 ℃的
保鲜时间是 小时，该食品在 ℃的保鲜时间是 小时．
【答案】
【解析】
33
∵某食品的保鲜时间 （单位：时间）与储存温度 （单位：℃）满足函数关系
（ ， 是常数）．
该食品在 ℃的保险时间设计 小时，在 ℃的保险时间是 小时，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴该食品在 ℃的保鲜时间 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】指数函数的图象及性质
39. 一个生产公司投资 生产线 万元，每万元可创造利润 万元，该公司通过引进先进技术，在生
产线 投资减少了 万元，且每万元的利润提高了 ；若将少用的 万元全部投入 生产线，每万
元创造的利润为 万元，其中 ．
（ 1 ）若技术改进后 生产线的利润不低于原来 生产线的利润，求 的取值范围．
（ 2 ）若生产线 的利润始终不高于技术改进后生产线 的利润，求 的最大值．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）由题意得： ，
整理得： 故 ．
故答案为： ．
（ 2 ）由题意知，生产线 的利润为 万元，
技术改进后，生产生 的利润为 万元，
则 恒成立，
∴ ，且 ，∴ ．
又 ，当且仅当 时等号成立，
∴ ，∴ 的最大值为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】二次函数相关的恒成立问题；二次函数模型；一元二次不等式；基本不等式的
实际应用；利用基本不等式求最值
34
导图总结
你学会了吗？快来用思维导图总结本节课所学吧！
【备注】
出门测
40. 已知函数 ， ，则方程 解的个数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】结合函数图象的变换及函数图象的作法作出 与 的图象，
再结合方程的根与函数图象 5 y
交点的相互转化，观察函数 4
图象交点个数即可 3
由已知有：
2
1
， x
其图象关于点 对称， –1 O 1 2 3 4 5 6 7
–1
–2
其图象关于点 对称， –3
方程 解的个
数等价于 ，
与 的图象的交点个数，
35
由图可知， 与 的图象的交点个数为 ，
故选： ．
【标注】【知识点】图象法；函数零点的概念；利用函数图象研究方程根的分布问题（图象与零点
综合）
41. 设函数 在区间 内有零点，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】 在 上是减函数，则 ， ，
即 ，选 ．
【标注】【知识点】已知零点情况求参数的取值范围
42. 已知函数 ，若关于 的方程 恰有五个不相等的实数解，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】作出函数的图像，如图所示，
关于 的方程 恰有五个不相等的实数解，则 与 有五个不同的
交点，
∴ ，
故选 ．
36
【标注】【知识点】利用函数图象研究方程根的分布问题（图象与零点综合）；已知零点情况求参
数的取值范围
37函数的应用——零点与函数模型
一、 函数的零点与方程的解：数形结合
零点的定义：使得 的实数 叫做函数 的 ．
由零点的定义可得出
方程 的解 函数 的零点 图象 交点的横坐标
这里的寓意已经不言自明：零点问题中，会经常运用数形结合的思想．常见手法归纳如下．
①函数 零点个数 方程 解的个数 图象与 轴的交点个数；
②函数 零点个数 方程 解的个数 图象 的交点个数；
③函数 的零点个数 方程 解的个数 的交
点个数．
1. 型
例如：研究 的零点个数，可直接观察 图象与 轴交点个数．
经典例题
1. 已知函数 的图象与 轴恰有 个不同的交点，则实数 的取值范围
是 ．
巩固练习
2. 已知 ，函数 ，若函数 恰有 个零点，则 的取值范围
是 ．
2. 型
例如：研究 的零点个数，可转而研究曲线 与平行于
轴的直线 的交点个数．
经典例题
3. 若函数 与直线 有 个交点，求 的范围：（ ）．
A.
1
B.
C.
D.
4. 已知函数 ，若关于 的方程 有三个不等的实根，则实数 的取值范围
是 ．
巩固练习
5. 若关于 的方程 有三个不相等的实数解，则实数 的值是 ．
6. 已知函数 ，若函数 有三个零点，则实数 的取值范围为(　　
)
A. B.
C. D.
3. 型
函数零点问题与数形结合思想联系得非常紧密．一般来说，应用数形结合需要能作出函数的简图．
如果原函数图象不容易画，为了方便作图和研究，我们有时需要进行移项处理，拆解或构造出新的函
数．
①例如：研究 的零点个数时，可移项拆解，转而研究 与
的交点个数．
2
y
5
4
3
2
1
–3 –2 –1 O 1 2 3 4 x5
–1
②例如， ， ，求方程 解的个数，此时移项构造
，整体换元后研究函数 的零点，就比较方便．
经典例题
7. 函数 的零点个数是 .
8. 已知函数 ，函数 ，其中 ，若函数
恰有 个零点，则 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
9. 已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数
的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
巩固练习
10. 方程 的解的个数为 ．
3
11. 已知函数 ， ，若 有两个不相等的实根，则实数 的取值范
围是（ ）．
A. B.
C. D.
12. 已知函数 ， ，若 存在 个零点，则实数 取值范围
是 ．
4. 变形优化零点问题
丰富多样的变形手段可使得零点问题的求解变得简洁优美．
例如，讨论研究 的零点个数，直接去绝对值固然可以，但 值未知会引发二次函
数的分类讨论，事情就变得麻烦了．可考虑进行参数分离，转而研究 与 的交点个
数，避开麻烦的分类讨论．(这么做在逻辑上有微许欠缺，请思考完整的做题逻辑是什么．)
又例如，已知 与 的图象有三个交点，求 的取值范围，这里考虑到
实际问题的特点，临场应变，采取同除的变形方式将问题转化成 与 的交点
个数，立即一目了然．
经典例题
13. 已知函数 恰有四个零点，则实数 的取值范围为 ．
14. 已知函数 ，则下列说法中正确的是（ ）．
A. 若 ，则 恒成立
B. 若 恒成立，则
C. 若 ，则关于 的方程 有解
D. 若关于 的方程 有解，则
巩固练习
15. 若函数 的图象与 轴有且只有一个交点，则满足条件的实数 组
成的集合为 ．
16. 已知函数 ，则关于 零点叙述正确的是（ ）．
A. 当 时，函数 有两个零点
B. 函数 必有一个零点是正数
4
C. 当 时，函数 有两个零点
D. 当 时，函数 只有一个零点
17. 设 ，若存在实数 ， ，使得 的定义域和值域都是 ，则实数
的取值范围为 ．
5. 复合函数的零点
这类问题需要用到整体换元，化整为零的思维方式．
举例：已知函数 ，求函数 的零点．此题其实也就是解方程 ．
这种问题切忌研究 的解析式或者画出 的图象，因为实在太过勉强，说白了难度很大．
解决此类问题的正确姿势是：将复杂方程 进行整体换元 ．这样以化整为零的
方式把复杂方程拆解成两个方程 ，然后先解下面的方程，得到满足方程的 之后再解上面的方
程 即可．在解方程的过程中，注意数形结合思想的运用．
若方程 有多个解 ，那么满足 其中任意一
个方程的解，都是整个问题的解．
本例中，对 先解方程 得出 或 ．然后解方程 和 ，得
出 一共四个解．最终题中 的零点为 ．
如果是如下形式“ ”，那么做法别无二致：换元后得 ，解出
或 ，解方程 和 ，得出 一共三个解．
如果解方程解不出来，试着去通过数形结合与观察试数，来得出方程的解；如果仍然解不出来，重
新看一遍题目，看看题目是否只是问零点的个数，这样的话利用数形结合便可看出零点个数，无需得出
精确的解．
经典例题
18. 已知 ，则函数 的零点个数是 ．
19.
已知函数 ，若方程 恰有 个实根，则实数 的取值
范围是（ ）．
A.
B.
C.
5
D.
巩固练习
20. 已知函数 ，下列是关于函数 的零点个数的 个判断，其中正
确的是(　　)
A. 当 时，有 个零点 B. 当 时，有 个零点
C. 当 时，有 个零点 D. 当 时，有 个零点
21. 已知 ，函数 ．
（ 1 ）若函数 有 个零点，求实数 的取值范围．
（ 2 ）若函数 有 个零点，求实数 的取值．
（ 3 ）若函数 有 个零点，求实数 的取值范围．
22. 设定义域为 的函数 ，若关于 的函数 有 个不
同的零点，则实数 的取值范围是 ．
二、 零点存在定理与二分法
1. 零点存在定理
（一）零点存在定理
背景：数学源于生活而又高于生活．许多抽象的数学道理，其实来源于生活的观察．对函数的图象加以
思考，不难发现这样一件事情：
如果函数图象是一条不断开的连续曲线，并且对于区间 ， 且 或反过来 且
，则函数在区间 必定会有零点．
这样的道理是非常浅显易懂的，它就是零点存在定理的内容．
零点存在定理：一般地，如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
，那么，函数 在区间 内至少有一个零点，即存在 ，使得
，这个 也就是方程 的根．
数学高于生活，体现在数学定义有一些严谨的细节，来精确地刻画某些概念的特点．你是否注意到上述
定理的一些细节？
（二）零点与函数的性质
①零点与函数单调性
运用零点存在定理可估计一个在某区间 上单调的函数的零点．
6
例如，估计 的零点：
其一，该函数在 上单调增，所以至多一个零点；
其二，该函数 ， ，据零点存在定理，函数在 内有零点．综上
所述函数在区间 内有唯一零点．
②零点与函数对称性（奇偶性)
若函数 有零点 ，且函数 关于 轴上一点 或垂直于 轴的直线 对称，则
也是 的零点．
③零点与函数周期性
若函数 有零点 ，且函数 ，则 也是 的零
点．本结论还可以推广到 的类周期函数形式．
经典例题
23. 若 的两个零点分别在区间 ， 和区间 ， 内，则实数
取值范围是（ ）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
24. 设函数 ， ．若实数 ， 满足 ， ，则（
）．
A. B.
C. D.
25. 已知函数 ，若 ，且
，则 （ ）．
A. B. C. D. 随 值变化
26. 已知函数 是定义域为 的奇函数，且满足 ，当 时，
，则方程 在区间 上的解的个数是（ ）．
A. B. C. D.
27. 已知定义域为 的偶函数 满足对任意的 ，有 ，且当 时，
，若函数 在 上恰有三个零点，则实数 的取值
范围是（ ）．
A. B.
C. D.
7
巩固练习
28. 若 ，则函数 的两个零点分别位
于区间（ ）．
A. 和 内
B. 和 内
C. 和 内
D. 和 内
29. 若函数 在区间 上存在零点，则实数 的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
30. 函数 的零点所在区间是（ ）．
A. B.
C. D.
31. 已知 是定义在 上的奇函数，且 ，则函数 的零点个数至少为（
）．
A. B. C. D.
32. 已知函数 有唯一零点，则 (　　).
A. B. C. D.
33. 已知函数 满足：对任意 ， ，且 时，
，若函数 恰有 个零点，则 的值是（ ）．
A. B. C. D.
2. 二分法
在估计 的零点的过程中，其实可以进一步得出更精确的解：
取区间 中点 ，得 ，这样可得出更精确的零点范围 ．
继续取区间中点 ，得 ，得出更精确的零点范围 ．
以此类推，一直采取同样的操作，可以将零点范围缩小到任意程度，即估计出任何精确度的零点．
这种得到零点近似值的方法叫做二分法．
思考：二分法思想在现实生活中有没有实例？
8
对于给定的精确度 ，用二分法求函数 零点近似值的步骤如下：
（1）确定区间 ，验证 ，给定精确度 ；
（2）求区间 的中点 ；
（3）计算 ；
①若 ，则 就是函数的零点．
②若 ，则令 （此时零点 ）；
③若 ，则令 （此时零点 ）．
（4）判断是否达到精确度 ：即若 ，则得到零点近似值 （或 ），否则重复步骤（2）（3）
（4）．
经典例题
34. 用二分法求方程近似解的过程中，已知在区间 上， ， ，并计算得到
，那么下一步要计算的函数值为（ ）．
A. B.
C. D.
巩固练习
35. 用二分法求函数 的一个零点，其参考数据如下：
据此数据，可得方程 的一个近似解（精确到 ）是 ．
三、 函数模型（实际应用）
数学学科描绘了世间万物运转的规律，我们所学的函数，在生活中亦有其投射，如细胞分裂、股票
涨跌、利润最大化等等，这些案例都与函数模型相关联．下面通过一些问题来体会吧！
经典例题
36. 基本再生数 与世代间隔 是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均
人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：
描述累计感染病例数 随时间 (单位：天)的变化规律，指数增长率 与 ， 近似满足
，有学者基于已有数据估计出 ， ．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，
累计感染病例数增加 倍需要的时间约为(　　)
9
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
37. 某种生产设备在购买时费用为 万元，每年的设备管理费用为 万元，这种生产设备的维护费用
为第一年 万元，第二年 万元，第三年 万元，以每年 万元的增量逐年递增，则这套生产设
备最多使用（ ）年报废最划算．
A. B. C. D.
巩固练习
38. 某食品的保鲜时间 （单位：时间）与储存温度 （单位：℃）满足函数关系 ，（
为自然对数的底数， ， 为常数）．若食品在 ℃的保鲜时间设计 小时，在 ℃的
保鲜时间是 小时，该食品在 ℃的保鲜时间是 小时．
39. 一个生产公司投资 生产线 万元，每万元可创造利润 万元，该公司通过引进先进技术，在生
产线 投资减少了 万元，且每万元的利润提高了 ；若将少用的 万元全部投入 生产线，每万
元创造的利润为 万元，其中 ．
（ 1 ）若技术改进后 生产线的利润不低于原来 生产线的利润，求 的取值范围．
（ 2 ）若生产线 的利润始终不高于技术改进后生产线 的利润，求 的最大值．
导图总结
你学会了吗？快来用思维导图总结本节课所学吧！
出门测
40. 已知函数 ， ，则方程 解的个数为（ ）．
A. B. C. D.
41. 设函数 在区间 内有零点，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
42. 已知函数 ，若关于 的方程 恰有五个不相等的实数解，则
的取值范围是 ．
10

展开更多......

收起↑