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基本不等式
学习目标
1. 掌握基本不等式： ，能用基本不等式解决简单的最大、最小值问题；
2. 掌握基本不等式的变形，了解几个常见平均数之间的关系，理解均值不等式的配凑．
【备注】本节重点：基本不等式及其简单变形， 的代换，基本不等式的实际应用；
本节难点：配凑均值，几个平均数之间的关系，已知等式利用基本不等式求最值．
后置知识：对勾函数
【引入】
在下图中， 是圆的直径，点 是 上一点， ， ．过点 作垂直于 的弦 ，
连接 ， ．你能利用这个图形，找到 和 之间的关系吗？
D
A C B
E
一、 基本不等式
1. 基本不等式的推导证明与使用条件
（一）基本不等式的推导与证明
对于任意实数 , ， ，当且仅当 时，等号成立．
证明： ，
当 时， ；
1
当 时， ．
，当且仅当 时，等号成立．
特别地，如果 ， ，是正数，我们用 分别代替上式中的 , ，可得
，
当且仅当 时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式． 　
证明： ，即 ，
所以
（二）基本不等式的使用条件
“一正”：不等式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用基本不等式，在同负时可以先进行转化，再
运用基本不等式；
“二定”：和定积最大；积定和最小；
“三相等”：只有满足了不等式中等号成立的条件，才能使用基本不等式求最值．
经典例题
1. 已知 ， ，且满足 ，则 的最大值为 ．
【备注】 如解析中直接应用基本不等式即可．
也可在 之间直接换元，然后利用二次函数求解．
【答案】
【解析】 ，即 ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
2. 已知 ， ， ，则 的最小值是 ．
【备注】 本题中，基本不等式中的和与积都出现一个等式中，面对此类问题，可以采用"过河拆
桥法"，先构建基本不等式 ，然后根据等式进行整体换元，要求和的最
小值就消去积，反之，要求积的最大值，就消去和，然后问题就转化成了解待求式为整体
的一元二次方程．
因式分解配凑是解决此类问题的另一种思路：
假设有 ， ，求 的最小值，
对等式进行因式分解配凑，
对 的系数进行处理，
2
整理即有：
此时即可解出 ，本方法体现了因式分
解和配凑在求多项式最值时的泛用性，但在实用中，对学生的数学素养要求较高．
此外， 之间的直接换元思路在这里也可使用，不妨用 来表示 ， ，
则 ，配凑后也可应用基本不等式，对于
本题而言，第三种方法最为简便，本节后面我们会更加详细的介绍．
【答案】
【解析】方法一：对 两边加 分解因式得
，
∴ ，即 ，当且仅当 ，即 ， 时取
等号．
方法二：考察基本不等式 (当且仅当 时取
等号)
整理得 ，
即 ，又 ，
所以 (当且仅当 时即 时取等号)
则 的最小值是 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】已知等式关系求最值
3. 若 ， ， ，则 的最小值为 ．
【备注】 如使用两次基本不等式解决本题，须确保两次基本不等式中的等号可以同时取到．
【答案】
【解析】方法一： ， ， ，
∴
．
3
当且仅当 ，
即 ，
即 ， 或 ， 时取“ ”，
∴上式的最小值为 ．
方法二： ， ， ，
∴
，
当且仅当 ，
即 ，
即 ， 或 ， 时取“ ”，
∴上式的最小值为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值
巩固练习
4. 设 ，则（ ）．
A. 有最大值 B. 有最小值
C. 有最大值 D. 有最小值
【答案】C
【解析】 ，
，
而
．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值；基本不等式成立的条件
5. 已知正数 ， 满足 ，则 的取值范围为 ．
4
【答案】
【解析】 ，
∴
，
当且仅当 取等号，
设 ， ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
故 的取值范围为 ，
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值；基本不等式成立的条件
6. 若 、 是正数，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
．
当且仅当 且 且 时“ ”成立，即 时．
∴最小值为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】基本不等式成立的条件；利用基本不等式求最值
2. 基本不等式的变形
5
① 形式： ，
②倒数形式：
经典例题
7. 若 ，则 的最小值为 ．
【备注】 形式．
【答案】
【解析】 ， ，
当且仅当 ，即 时，取得最小值 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值；基本不等式的概念
8. 已知 ， ，则代数式 中的 和 满足 时， 取得最小值，
其最小值为 ．
【备注】 展开之后可以得到常数与倒数形式的和．
【答案】 ;
【解析】由题可知， ，
∵ ， ，
∴由均值不等式可知 ，
当且仅当 ，即 时，取“ ”，
∴ 即 ，
∴ 最小值为 ．
【标注】【知识点】基本不等式成立的条件；利用基本不等式求最值；倒数和形式
9. 设常数 ，若 对一切正实数 成立，则 的取值范围为 ．
【备注】 对于类似本题的恒成立问题，须满足含变量侧（函数侧）最小值大于等于无变量侧，
在应用基本不等式时，须留意参数范围和自变量定义域是否满足一正二定三相等的条件．
6
【答案】
【解析】常数 ，若 对一切正实数 成立，故 ，
又 ，当且仅当 ，即 时，等号成立．
故必有 ，解得 ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
巩固练习
10. 函数 的最小值是 ，此时 ．
【答案】 ;
【解析】由均值不等式可得， ，当且仅当 时，取等号，
∴最小值为 ．
【标注】【知识点】基本不等式成立的条件；基本不等式的概念；利用基本不等式求最值
11. 函数 在 上（ ）．
A. 有最大值 ，无最小值 B. 无最大值，有最小值
C. 有最大值 ，有最小值 D. 无最大值，有最小值
【答案】A
【解析】当 时，
有最小值 ，
此时 ，则函数 的最大值为
故选 ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
12. 已知 ， ，若不等式 恒成立，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】
7
，即 恒成立，只需 比 最
小值小即可：
，等号成立当且仅当时，因此
当 时，因此 最小值为 ；故 ；故 最大值为 ．
【标注】【知识点】基本不等式的实际应用
【素养】数学运算
二、 基本不等式的常用技巧
1. “1”的代换
“ ”的代换是应用基本不等式时十分常见的技巧．
例如：
已知 （ 为正常数， ），求 （ 是正常数）的最小值．
解题步骤如下：
，
，当且仅当 取等号．
" "的代换技巧的方法源头是“齐次化”处理，因此在应用" "的代换时，不应拘泥于相乘，而应灵活
变通，向适合于应用基本不等式的齐次化形式趋近．
经典例题
13. 已知 ， ，且 ，则 的最小值是 ．
【备注】 如前所述，乘上应用基本不等式即可，本题是 的直接代换，相对简单．
【答案】
【解析】
8
∴ ．
【标注】【知识点】基本不等式成立的条件；利用基本不等式求最值
14. 若正数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】 如前所述，本题是 的间接代换，须留意乘上 之后还要除掉 ．
【答案】C
【解析】∵正数 ， 满足 ，
∴
，
当且仅当 ，
即 时取等号，
故选 ．
【标注】【知识点】基本不等式成立的条件；利用基本不等式求最值
15. 函数 （ ）的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】 本题中 的代换相对隐晦，不妨这样理解，如令 ，问题就转化
为： ， ，求 的最小值．
【答案】C
【解析】∵ ，
∴ ，
9
，
当且仅当 ，
即 时，等号成立．
故选 ．
【标注】【知识点】基本不等式成立的条件；利用基本不等式求最值
巩固练习
16. 若正数 ， 满足 ，当 取得最小值时， 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵正数 ， 满足 ，
∴ ，即 ，
∴
，
当且仅当 即 且 时取等号，
∴ 取得最小值，最小值为： ，
∴ ，
∴ 的值为： ，
综上所述，故选 ．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值；基本不等式的概念；基本不等式成立的条件
17. 已知实数 ， ， ，则 的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令 ， ，
即 ， ，
10
∴ 可写成 ，
∴
．
故选 ．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值；基本不等式的实际应用
18. 若 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
原式 ，
，
，
，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ，
当且仅当 时，即 ， 时取得最小值．
故选 ．
【标注】【知识点】已知等式关系求最值
19. 已知实数若 ， 满足 且 ，则 的最小值是 ．
11
【答案】
【解析】根据题意，实数满足 且 ，
则
，
当且仅当 即 ， 时等号成立，
则 的最小值是 ；
故答案为： ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
2. 配凑均值
（一）求函数 （给定定义域）的最值问题
【方法】 ．
其中配凑是关键，这一步配凑是在均值定理中“两个正数的乘积为定值时，和有最小值”的压迫和指导下
产生的，须注意检验能否取等，即方程 的实数解是否在给定定义域内．
经典例题
20. 当 时，函数 的最小值为 ．
【备注】 简单的配凑即可．
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，
∴
，
当且仅当 即 时取等号，
故答案为： ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
12
21. 若 ，则 的取值范围为 ．
【备注】 倒负为正，先考查 的取值范围，再取关于原点对称的区
间即可．
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，∴
．
当且仅当 ，即 时，等号成立．
故答案为： ．
【标注】【知识点】基本不等式的实际应用
巩固练习
22. 已知当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ．
又 ，∴ ，则必有
，
则 ．
【标注】【知识点】基本不等式的实际应用
23. 已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵ ， ， ，
∵
，
13
当且仅当 ，即 时，等号成立.
因此， 的最小值为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值；基本不等式的概念
（二）二次比一次或一次比二次
二次比一次可以分母换元，力图构建 的形式；一次比二次可以分子换元，力图构建 的形
式．
例如：
（1） ，当且仅当 ，即 时等号
成立；
（2）当 时， ，当且仅当 ，即 时等号成立；
（3）当 时，求 的最小值.令 ，则 ，原式
，当且仅当 ，即 时等号成立.
（4） .
思考题： ， 怎么处理？
经典例题
24. 函数 的最大值为 .
【备注】 典型的一次比二次，以分子为整体换元，在分母上构建基本不等式，需要留意的是本
题的自变量取值范围．
【答案】
【解析】易知 ，故只需讨论 ，
令 ，则 ，（ ）；
∵ ，故 ，故 ，
（当且仅当 ，即 ， 时，等号成立）.
14
故答案为： ．
【标注】【知识点】基本不等式的实际应用；利用基本不等式求最值
25. 若 ，求函数 最小值．
【备注】 先借助一次比二次的思想，然后再进行整体换元，构建基本不等式，须留意整体换元
时，新的定义域．
【答案】 ．
【解析】方法一：
，
令 ，
则 ，
所以 ，
当且仅当 ，
即 ， 时等号成立．
方法二：
，
当且仅当 ，
即 等号成立．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值；基本不等式的实际应用
26. 已知正实数 ， 满足 ，且 ，则 的最小值为 ．
【备注】 不论是勾函数和倒数形式，理想的应用形式都是：含参数的两个分式应当具有“对称
性”．因此，在应用基本不等式之前，我们的任务就是构建出这样“对称的”分式．不难想到
利用完全平方提出一个 ，再利用已知信息消去乘积项 ．
【答案】
【解析】法一：
原式 ，
15
当且仅当 时取等．
法二：
．
∵ ．
∴原式 ．
当且仅当 时成立．
【标注】【知识点】基本不等式的实际应用
巩固练习
27. 若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，
∴
．
∵不等式 恒成立，
∴ ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
28. 若 ，则 （ ）．
A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值
【答案】D
【解析】 ，
16
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
故选 ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念；利用基本不等式求最值
29. 若 ， ， ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意得，
，
整理得 ．
解得 ，即 ．
∴ ．
则 ．
令 ， ．
原式 ．
由 在 递减，得： ．
∴ ．
【标注】【知识点】二元不等式链的应用；基本不等式的实际应用
3. 消元化简、定域求值
消元法也是解决是多元问题的常用方法之一，当其他技巧失效时，消元法常常是最后的杀手锏，尤
其是一些题干形式不够规整的题目．对于这类题目，应秉持“能化简尽量化简”的原则．在解题过程中，
题干所给的已知信息常常用到不止一次，既是消元的依据，也确定了求最值时所需的范围或取等条件．
经典例题
17
30. 已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】 本题需要对已知等式和待求多项式进行一些处理才能看出两者之间的关联，已知等式
，待求式 ，不难想到进行整体换元，待求式就转化为只与
有关的式子，而 的范围，可以从第一个等式中利用基本不等式求出．本题中，已知等
式是换元的依据，并提供了求最值时的范围．
【答案】B
【解析】 ，
因此 ，
当且仅当 时，等号成立．
故选 ．
【标注】【知识点】基本不等式的实际应用
31. 已知正实数 ， 满足： ，则 的最大值是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 本题虽然出现了 ，但待求多项式较为复杂，并不适用 的代换的相关方法，本题采用
直接消元的方法反而比较合适．在本题中，已知等式 ，除了是消元的依据以外，
还确定应用基本不等式求最值时能满足取等条件．
【答案】C
【解析】∵正实数 ， ，满足 ，
∴ ， ，
∴
，
而
，
当且仅当 ，即 时取等号，
∴ ．
18
故选 ．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值；基本不等式成立的条件
巩固练习
32. 若正实数 ， 满足 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】∵正实数 ， 满足 ，
∴ ，
∵ ，
解得 ，当且仅当 取等号．
则 ，
∴ 的最大值为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值；基本不等式的实际应用
33. 若正数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵正数 ， 满足 ，∴ ，且 ，
变形为 , ∴ ，∴ ，∴ ，∴
，
： , ∴ ，
当且仅当 ，即 时取“ ”(由于 ，故取 )，
∴ 的最小值为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】基本不等式的实际应用
19
三、 基本不等式的实际应用
在日常生活中遇到的土地利用、机械制造、广告投资等问题可用基本不等式来解决．根据题意建立
函数的关系式，运用基本不等式解决实际问题中的最值问题.
而在数学这门学科中，其他章节与基本不等式综合的题型也比较多，一定要多加注意.
经典例题
34. 港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，
现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加 升的燃油；第二种方案，每次加 元的燃油，
则下列说法正确的是（ ）．
A. 采用第一种方案划算 B. 采用第二种方案划算
C. 两种方案一样 D. 无法确定
【备注】 实际问题中须格外留意自变量的取值范围，尤其是在应用基本不等式时，取到最值处
的自变量是否满足实际问题的特性，如非负性和整数性．
【答案】B
【解析】任取其中两次加油，假设第一次的油价为 元/升，第二次的油价为 元/升．
第一种方案的均价： ，
第二种方案的均价： ．
所以无论油价如何变化，第二种都更划算．
故选： ．
【标注】【知识点】基本不等式的实际应用；利用基本不等式求最值
巩固练习
35. 某单位决定投资 元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁
栅，每米长造价 元，两侧墙砌砖，每米长造价 元，顶部每平方米造价 ．试求：
（ 1 ）仓库面积 的取值范围是多少？
（ 2 ）为使 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
20
【解析】（ 1 ）设正面铁栅长 ，侧面长为 ，总造价为 元，则
，仓库面积 ．
由条件知 ，即 ．
， ，
．
，即 ．
， ．
故 的取值范围是 ．
（ 2 ）当 时， ，且 ．
解得 ， ．
答：仓库面积 的取值范围是 ，当 取到最大允许值 时，正面铁栅长
．
【标注】【知识点】基本不等式的实际应用
36. 学校食堂定期从某粮店以每吨 元的价格买大米，每次购进大米需支付运输劳务费 元，已知
食堂每天需用大米 吨，贮存大米的费用为每吨每天 元，假定食堂每次均在用完大米的当天购买．
（ 1 ）该食堂每隔多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少？
（ 2 ）粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于 吨时，大米价格可享受九五折优 惠（即是原价
的 ），问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由．
【答案】（ 1 ）该食堂每隔 天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最小．
（ 2 ）该食堂可接受粮店的优惠条件，理由见解析．
【解析】（ 1 ）设该食堂每隔 天购买一次大米，则每次购买 吨，设每吨每天所支付的费用为
元，
则
，
当且仅当 ，即 时取等号，
故该食堂每隔 天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最小．
（ 2 ） ，
函数 在 上为增函数，
，
而 ，
21
故该食堂可接受粮店的优惠条件．
【标注】【知识点】基本不等式的实际应用
四、 基本不等式的拓展（选学）
1. 几个平均数之间的关系
平方平均数 算术平均数 几何平均数 调和平均数
若
则有 ，
这些不等关系，当且仅当 时取等号．
事实上，本结论还可拓展，应用在 的情形下．
进一步，我们可以由基本不等式得到如下的结论：
（1）两个正数的积为常数时，它们的和有最小值，即 ；
（2）两个正数的和为常数时，它们的积有最大值，即 ；．
（3）两个数的平方和大于等于这两个数的乘积的 倍，即 ；
（4）两个数的平方和的 倍大于等于这两个数的和的平方，即 ．
经典例题
37. 若 ， ，且 ，则下列不等式恒成立的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【备注】
由
可得
故有 ， ，
22
易得 正确．
【答案】D
【解析】A 选项：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当且仅当 时，等号成立，故 错误；
B 选项：∵
，
∴ ，故 错误；
C 选项：∵ ，∴ ，
故 错误；
D 选项：∵
，
∴ ，故 正确．
故选 D .
【标注】【知识点】基本不等式与恒成立问题；基本不等式的实际应用
巩固练习
38. 已知 ， ，且 ， ，则（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 借助平方平均数 算术平均数 几何平均数可以较快得出答案．须留意这里 的取值
可为负．
【答案】D
【解析】由 ，且 ，则 ，
即 ， ，
该情况在 ， 时满足，
当然在 ， 异号时，显然有 ，而 ．
故选 ．
23
【标注】【素养】数学运算
【知识点】基本不等式成立的条件
39. 已知正实数 ， 满足 ，求 的最小值．
【备注】本题可如解析中一样借鉴 的代换进行操作，也可以借助调和平均数与算术平均数的关系快
速得出答案：
，当且仅当 时取等号．
【答案】 ．
【解析】∵ ，
∴ ，
∴
，
∴ ，当且仅当 时，等号成立，
∴ 的最小值为 ．
【标注】【知识点】已知等式关系求最值
【素养】逻辑推理；数学运算
2. 基本不等式解决三元参数问题
一般地，对于三元参数问题，我们可以有以下两种解决方法：
①用二元基本不等式解决三元问题，即通过“组合配凑”，将三元问题转化成二元问题求解．
②基本不等式的推广
实际上，基本不等式不仅仅适用于二元的情况，三元乃至 元的情况下，满足条件，都是适用的，
以下给出常见的几种形式：
　　　　　　 ．
【备注】 可以引导学生用类比推理的方法证明 元时的情况．
24
经典例题
40. 若正数是 、 、 满足 ，则式子 的最小值为 ．
【备注】本题可以通过因式分解找到分组配凑的途径．
【答案】
【解析】由题意得： ．
由均值不等式得： ．
而 均为正数， ，当且仅当 时取等号．
【标注】【知识点】基本不等式的实际应用；利用基本不等式求最值；基本不等式成立的条件
41. 设 ， ，…， 均为正数，已知
两个数的均值定理为：
三个数的均值定理为：
据此写出 个数均值定理： ．
【备注】 本题可用类比推理的方式，将二元、三元推广至 元的形式．
【答案】
【解析】 ．
【标注】【知识点】类比推理
巩固练习
42. 已知 ， ， ，则 的最小值为 ．
【备注】本题可以通过待定系数法找到分组配凑的途径：
设
有
因此可得到解析中的配凑形式 ．
【答案】
25
【解析】由基本不等式的结论有 ，
即 ，
当且仅当 ， 时等号成立，
则 ，
综上可得， 的最小值为 ．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值；基本不等式的概念
43. 三元均值不等式：“当 ， ， 均为正实数时， ，即三个正数的算术平均数不小于
它们的几何平均数，当且仅当 时等号成立．”利用上面结论，判断下列不等式成立的有（
）．
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】AC
【解析】A 选项： ，
，
当且仅当 即 时，等号成立，故 正确；
B 选项： ，
．
当且仅当 ，即 时等号成立，故 错误；
C 选项： ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，故 正确；
D 选项： ，
26
．
当且仅当 即 时等号成立．
故选 A C .
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值
3. 基本不等式证明不等关系
经典例题
44. 设 ， ， 都是正数，求证： ．
【备注】 采用分组配凑方法．
【答案】证明见解析．
【解析】∵ ， ， 都是正数，
∴ ， ， 也都是正数，
∴ ， ， ，
三式相加得 ，
即 ，
当且仅当 时，等号成立．
【标注】【知识点】基本不等式成立的条件；利用基本不等式证明其它不等式
45. 已知 、 、 是互不相等的正数，且 ，求证： ．
【备注】 的代换．
【答案】证明见解析．
【解析】方法一：上式左边 ，由 、 、 是互
不相等的正数得 ， ， ，于是
27
，所以
，即 ．
方法二：因为 ， ， 是互不相等的正数，且 ，
所以 ，①
， ②
， ③
又 ， ， 为正数，由① ② ③，
得 ．
【标注】【知识点】基本不等式的实际应用
巩固练习
46. 已知 ， ， ，且 ．求证： ．
【答案】证明见解析．
【解析】方法一： ， ， ，且 ．
即 (当且仅当 时取等号)．证
方法二： ， ， ，
(当且仅当 时取等号)．
【标注】【素养】数学运算；逻辑推理
【知识点】利用基本不等式证明其它不等式
【方法】均值不等式法
47. 若 ， ， ，求证 ．
【答案】证明见解析．
【解析】注意结构特征：要求证的不等式是关于 ， ， 的轮换对称式，
当 时，等式成立．
28
此时 ，设 ，解得 ，
所以 应拼凑辅助式 为拼凑的需要而添，经此一添，解题可见眉目．
，三式作和命题得证．
【标注】【知识点】综合法与分析法；分析法；多元均值不等式的应用；基本不等式成立的条件
导图总结
你学会了吗？快来用思维导图总结本节课所学吧！
【备注】
出门测
48. 已知不等式 对任意正实数 ， 恒成立，则正实数 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】只需求 的最小值大于等于 即可，
又
，
等号成立当且仅当 即可，
29
所以 ，即 ，
求得 或 （舍），
所以 ，即 的最小值为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】基本不等式的实际应用
49. 若 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】 ， ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
50. 函数 的最小值是 ．
【答案】
【解析】
．
当且仅当 时等号成立．
∴最小值为 ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
51. 已知 ， ， ，则 的范围是 ．
【答案】
【解析】令 ，
则 ，
30
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值；基本不等式成立的条件
31基本不等式
【引入】
在下图中， 是圆的直径，点 是 上一点， ， ．过点 作垂直于 的弦 ，
连接 ， ．你能利用这个图形，找到 和 之间的关系吗？
D
A C B
E
一、 基本不等式
1. 基本不等式的推导证明与使用条件
（一）基本不等式的推导与证明
对于任意实数 , ， ，当且仅当 时，等号成立．
证明： ，
当 时， ；
当 时， ．
，当且仅当 时，等号成立．
特别地，如果 ， ，是正数，我们用 分别代替上式中的 , ，可得
，
当且仅当 时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式． 　
证明： ，即 ，
所以
1
（二）基本不等式的使用条件
“一正”：不等式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用基本不等式，在同负时可以先进行转化，再
运用基本不等式；
“二定”：和定积最大；积定和最小；
“三相等”：只有满足了不等式中等号成立的条件，才能使用基本不等式求最值．
经典例题
1. 已知 ， ，且满足 ，则 的最大值为 ．
2. 已知 ， ， ，则 的最小值是 ．
3. 若 ， ， ，则 的最小值为 ．
巩固练习
4. 设 ，则（ ）．
A. 有最大值 B. 有最小值
C. 有最大值 D. 有最小值
5. 已知正数 ， 满足 ，则 的取值范围为 ．
6. 若 、 是正数，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
2. 基本不等式的变形
① 形式： ，
②倒数形式：
经典例题
7. 若 ，则 的最小值为 ．
8. 已知 ， ，则代数式 中的 和 满足 时， 取得最小值，
其最小值为 ．
9. 设常数 ，若 对一切正实数 成立，则 的取值范围为 ．
巩固练习
2
10. 函数 的最小值是 ，此时 ．
11. 函数 在 上（ ）．
A. 有最大值 ，无最小值 B. 无最大值，有最小值
C. 有最大值 ，有最小值 D. 无最大值，有最小值
12. 已知 ， ，若不等式 恒成立，则 的最大值为 ．
二、 基本不等式的常用技巧
1. “1”的代换
“ ”的代换是应用基本不等式时十分常见的技巧．
例如：
已知 （ 为正常数， ），求 （ 是正常数）的最小值．
解题步骤如下：
，
，当且仅当 取等号．
" "的代换技巧的方法源头是“齐次化”处理，因此在应用" "的代换时，不应拘泥于相乘，而应灵活
变通，向适合于应用基本不等式的齐次化形式趋近．
经典例题
13. 已知 ， ，且 ，则 的最小值是 ．
14. 若正数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
15. 函数 （ ）的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
16. 若正数 ， 满足 ，当 取得最小值时， 的值为（ ）．
A. B. C. D.
3
17. 已知实数 ， ， ，则 的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
18. 若 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
19. 已知实数若 ， 满足 且 ，则 的最小值是 ．
2. 配凑均值
（一）求函数 （给定定义域）的最值问题
【方法】 ．
其中配凑是关键，这一步配凑是在均值定理中“两个正数的乘积为定值时，和有最小值”的压迫和指导下
产生的，须注意检验能否取等，即方程 的实数解是否在给定定义域内．
经典例题
20. 当 时，函数 的最小值为 ．
21. 若 ，则 的取值范围为 ．
巩固练习
22. 已知当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
23. 已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围是 ．
（二）二次比一次或一次比二次
二次比一次可以分母换元，力图构建 的形式；一次比二次可以分子换元，力图构建 的形
式．
例如：
（1） ，当且仅当 ，即 时等号
成立；
（2）当 时， ，当且仅当 ，即 时等号成立；
4
（3）当 时，求 的最小值.令 ，则 ，原式
，当且仅当 ，即 时等号成立.
（4） .
思考题： ， 怎么处理？
经典例题
24. 函数 的最大值为 .
25. 若 ，求函数 最小值．
26. 已知正实数 ， 满足 ，且 ，则 的最小值为 ．
巩固练习
27. 若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
28. 若 ，则 （ ）．
A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值
29. 若 ， ， ，则 的取值范围是 ．
3. 消元化简、定域求值
消元法也是解决是多元问题的常用方法之一，当其他技巧失效时，消元法常常是最后的杀手锏，尤
其是一些题干形式不够规整的题目．对于这类题目，应秉持“能化简尽量化简”的原则．在解题过程中，
题干所给的已知信息常常用到不止一次，既是消元的依据，也确定了求最值时所需的范围或取等条件．
经典例题
30. 已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
31. 已知正实数 ， 满足： ，则 的最大值是（ ）．
A. B.
C. D.
巩固练习
5
32. 若正实数 ， 满足 ，则 的最大值为 ．
33. 若正数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
三、 基本不等式的实际应用
在日常生活中遇到的土地利用、机械制造、广告投资等问题可用基本不等式来解决．根据题意建立
函数的关系式，运用基本不等式解决实际问题中的最值问题.
而在数学这门学科中，其他章节与基本不等式综合的题型也比较多，一定要多加注意.
经典例题
34. 港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，
现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加 升的燃油；第二种方案，每次加 元的燃油，
则下列说法正确的是（ ）．
A. 采用第一种方案划算 B. 采用第二种方案划算
C. 两种方案一样 D. 无法确定
巩固练习
35. 某单位决定投资 元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁
栅，每米长造价 元，两侧墙砌砖，每米长造价 元，顶部每平方米造价 ．试求：
（ 1 ）仓库面积 的取值范围是多少？
（ 2 ）为使 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？
36. 学校食堂定期从某粮店以每吨 元的价格买大米，每次购进大米需支付运输劳务费 元，已知
食堂每天需用大米 吨，贮存大米的费用为每吨每天 元，假定食堂每次均在用完大米的当天购买．
（ 1 ）该食堂每隔多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少？
（ 2 ）粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于 吨时，大米价格可享受九五折优 惠（即是原价
的 ），问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由．
四、 基本不等式的拓展（选学）
1. 几个平均数之间的关系
平方平均数 算术平均数 几何平均数 调和平均数
6
若
则有 ，
这些不等关系，当且仅当 时取等号．
事实上，本结论还可拓展，应用在 的情形下．
进一步，我们可以由基本不等式得到如下的结论：
（1）两个正数的积为常数时，它们的和有最小值，即 ；
（2）两个正数的和为常数时，它们的积有最大值，即 ；．
（3）两个数的平方和大于等于这两个数的乘积的 倍，即 ；
（4）两个数的平方和的 倍大于等于这两个数的和的平方，即 ．
经典例题
37. 若 ， ，且 ，则下列不等式恒成立的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
巩固练习
38. 已知 ， ，且 ， ，则（ ）．
A. B.
C. D.
39. 已知正实数 ， 满足 ，求 的最小值．
2. 基本不等式解决三元参数问题
一般地，对于三元参数问题，我们可以有以下两种解决方法：
①用二元基本不等式解决三元问题，即通过“组合配凑”，将三元问题转化成二元问题求解．
②基本不等式的推广
实际上，基本不等式不仅仅适用于二元的情况，三元乃至 元的情况下，满足条件，都是适用的，
以下给出常见的几种形式：
7
　　　　　　 ．
经典例题
40. 若正数是 、 、 满足 ，则式子 的最小值为 ．
41. 设 ， ，…， 均为正数，已知
两个数的均值定理为：
三个数的均值定理为：
据此写出 个数均值定理： ．
巩固练习
42. 已知 ， ， ，则 的最小值为 ．
43. 三元均值不等式：“当 ， ， 均为正实数时， ，即三个正数的算术平均数不小于
它们的几何平均数，当且仅当 时等号成立．”利用上面结论，判断下列不等式成立的有（
）．
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
3. 基本不等式证明不等关系
经典例题
44. 设 ， ， 都是正数，求证： ．
45. 已知 、 、 是互不相等的正数，且 ，求证： ．
巩固练习
46. 已知 ， ， ，且 ．求证： ．
47. 若 ， ， ，求证 ．
导图总结
8
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出门测
48. 已知不等式 对任意正实数 ， 恒成立，则正实数 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
49. 若 ，则 的最小值为 ．
50. 函数 的最小值是 ．
51. 已知 ， ， ，则 的范围是 ．
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