资源简介

集合
【引入】
在生活与学习中，为了方便，我们经常要对事物进行分类．例如，图书馆中的书是按照所属学科等
分类摆放的，作文学习可按照文体如记叙文、议论文等进行，整数可以分成正整数、负整数和零这三类
······你能说出教学中其他分类实例吗 试着分析为什么要进行分类．
在数学中，我们经常用”集合”来对所研究的对象进行分类，把一些能够确定的、不同的对象汇集在
一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)，组成集合的每个对象都是这个集合的元素．
一、 集合的含义与表示
集合的含义
一般地，我们把研究范围内的对象统称为元素，通常用小写拉丁字母 ， ， ， 表示．把满足某
种要求或者标准的对象（元素）的总体称之为集合（简称为集），通常用大写拉丁字母 ， ， ，
表示．
1. 集合元素的特性
（一）确定性
集合里的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，按照该集合的构成标准能够明确判定一个
对象是否属于这个集合．如“个子高的同学”这一组对象就不能构成一个集合，因为“个子高”这个标准不
够明确，而“身高超过 的同学”这一组对象可以构成一个集合．
（二）互异性
集合中的元素一定是不同（互异）的，也就是说，相同的元素在一个集合中只能出现一次．如方程
的解集构成的集合是 ，而不是 ．
（三）无序性
集合中元素的排列顺序无先后之分，如集合 和集合 是同一个集合．
经典例题
1. 判断下列说法是否正确，并说明理由．
（1）全体长发美女构成一个集合．
（2）由 ， ， ， ， 组成的集合有五个元素．
（3）由 ， ， 组成的集合与由 ， ， 组成的集合是同一个集合．
1
巩固练习
2. 由实数 ， ， ， ， 所组成的集合中最多含(　　)
A. 个元素 B. 个元素 C. 个元素 D. 个元素
2. 元素与集合的关系
元素与集合有“属于”和“不属于”两种关系．如果 是集合 的元素，就说 属于集合 ，记作
；如果 不是集合 的元素，就说 不属于集合 ，记作 ．
集合可以根据它含有的元素的个数分为两类：当集合中元素的个数有限时，称之为 ；当集
合中元素个数无限时，则称之为 ．如质数为无限集，但是偶质数为有限集．空集可以看成包含
个元素的集合，所以空集是有限集．
经典例题
3. 已知集合 ，若 ，则实数 为（ ）．
A. 或 B.
C. D.
巩固练习
4. 已知集合 ， ，则 中所含元素的个数为 ．
5. 设集合 ， ， ，若
， ， ，则 （ ）．
A. B. C. D. 以上均不是
3. 几种常见数集
（一）常见数集的表示方法
为了书写方便，我们规定常见的数集用特定的字母表示，下面是几种常见数集的表示方法：
①全体非负整数构成的集合叫做自然数集（或非负整数集），记作 ．
2
②在自然数集内排除 的集合叫做正整数集，记作 或 ．
③全体整数构成的集合叫做整数集，记作 ．
④全体有理数构成的集合叫做有理数集，记作 ．
⑤全体实数构成的集合叫做实数集，记作 ．
（二）常见数集的关系
如下图所示：
经典例题
6. 下列所给关系正确的个数是（ ）．
① ；② ；③ ；④
A. B. C. D.
巩固练习
7. 下列关系中正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
4. 集合的表示方法
（一）列举法
把集合中的元素一一列举出来，中间用逗号隔开，并用大括号“ ”括起来表示集合的方法叫做列举
法．如 成员用列举法表示为 王俊凯，王源，易烊千玺 ，绝对值小于 的偶数组成的集合用
列举法表示为 ．
（1）“一一列举”，即不必考虑元素之间的顺序，而且应该全部列举出来，不重不漏；
（2）元素之间用“，”分隔；
（3）列举法的适用范围：
3
①元素个数少且有限时，全部列举，如 ；
②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如从 到 的所有自然数组成的集合可以
表示为 ；
③元素个数无限时，有时也可以列举前面一部分，后面用省略号表示，如自然数集 可以表示为
．
（二）描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，用符号表示便是 ，其中
的 表示集合的代表元素， 表示元素 的取值范围， 则表示元素 的共同特征．
解读描述法中的三个关键词
①“代表元素”，是表示这个集合元素的一般符号，如表示数集时，我们可以选用 作为代表元
素；表示点集时，可以选用有序实数对 作为代表元素．
②“取值范围”，一般来说集合元素 的取值范围 需写明确，但若从上下文的关系或者所研究问题的大环
境下看， 若是显而易见的话，则“ ”可以省略，只写元素 ．如集合 可以简写
为 ．
③“共同特征”，即代表元素满足的条件、具备的属性，如不等式 的解都满足条件 ，那么
不等式 的解集可表示为 ．
经典例题
8. 用列举法表示下列集合：
（ 1 ） ；
（ 2 ） ；
（ 3 ） ．
巩固练习
9. 分别用列举法和描述法表示下列集合：
（ 1 ）比 小的所有非负整数组成的集合；
（ 2 ）方程 的所有实数根组成的集合；
4
（ 3 ）取倒数后比 大的所有正整数组成的集合；
（ 4 ）正比例函数 与二次函数 的图象的交点组成的集合．
5. 数轴与区间
（一）数轴
数轴：数轴是表示实数的，任何一个实数在数轴上均可以用一个点来表示，反之，数轴上任何一个点都
表示一个实数．在数轴上表示一个不等式的取值范围，形象而且直观．例如， 可用
数轴表示，如下图所示：
注意：可取等号的端点用实心点表示（如上图 处），取不到等号的端点用空心点表示（如上图
处）．
（二）区间及其表示
设 是两个实数，且 ，规定：
①集合 可简写为 ，并称之为闭区间，在数轴上的几何表示为：
②集合 可简写为 ，并称之为开区间，在数轴上的几何表示为：
③集合 可简写为 ，并称之为左闭右开区间，在数轴上的几何表示为：
5
④集合 可简写为 ，并称之为左开右闭区间，在数轴上的几何表示为：
⑤实数集 可以用区间表示为 ，其中“ ”读作无穷大，反映的是离数轴原点无限远的一种状
态，“ ”读作负无穷大，“ ”读作正无穷大，这样，借助于无穷大的符号我们可以把满足 ，
， ， 的实数 的集合分别表示为 ， ， ， ，数轴上的几
何表示为含有无穷一侧不封闭，例如区间 的几何表示如下：
经典例题
10. 用区间表示集合 : .
巩固练习
11. 用区间表示下列集合∶ ， 且 ， 且 ， ， 或
．
二、 集合间的基本关系
图
如果用平面上的一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可以作出示意图来形象地表示集合之
间的关系，这种示意图通常称为 图(维恩图）．
6
例如前述的常见数集之间的关系就是利用维恩图表示的．由于其形象直观的特点，在表示集合的基
本关系时，维恩图可以为我们提供很多帮助．
1. 集合相等
如果集合 中的任意一个元素都是集合 中的元素，同时集合 中的任意一个元素都是集合 中的元
素，我们就说集合 相等，记作 ．
经典例题
12. 已知集合 ， ，若集合 与集合 相等，求 的值．
13. 若 ，集合 ，求 的值．
巩固练习
14. 设集合 ， ，若 ，则 等于（ ）．
7
A. B. C. D.
15. 若 ，则(　　)
A. B. C. D.
2. 空集
一般地，我们把不含任何元素的集合称为 ，记作 ．
经典例题
16. 对于空集 ，有下列结论：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的结论是 ．
巩固练习
17. 给出下列四个集合：① ；② ；③ ；④
．其中空集的个数是（ ）．
A. B. C. D.
3. 子集与真子集
（一）子集
对于两个集合 ，如果集合 中的任意一个元素都是集合 中的元素，我们就说集合 包含于集
合 （或者说集合 包含集合 ），记作 或 ，读作 包含于 或 包含 ，此时我们说
集合 是集合 的子集．维恩图表示如下：
8
当集合 不包含于集合 （或集合 不包含集合 ）时，记作 ，此时集合 中至少存在一
个元素不是集合 的元素．
包含关系具有传递性，即如果 且 ，则 （借助于 图比较好理解）．
根据定义不难得到如下结论：任何一个集合都是它本身的子集，即 ．
（二）真子集
如果 且 ，就说集合 是集合 的真子集，记作 ，读作“ 真包含于 ”或“ 真包
含 ”．
真包含关系同样具有传递性，即如果 且 ，则 ．
（三）集合的相等与子集的关系
（1）一般地由集合相等以及子集地定义可知：
①若 且 ，则 ;
②若 ，则 且 ．
（2）当 时，要么 ，要么 ．
（四）空集与子集、真子集
（1）空集只有一个子集，就是它的本身，即 ．
（2）空集是任何集合的子集，即 ．
（3）空集是任何非空集合的真子集，即若 ，则 ．
经典例题
18. 已知集合 ，集合 ，若 ，则实数 ．
19. 若集合 ， ，则能使 成立的所有 的集合是
（ ）．
A. B.
C. D.
20. 设集合 ， ，则（ ）．
A. B.
C. D. 以上均不正确
巩固练习
21. 已知集合 ，集合 ，若 ，则实数 ．
22. 已知 ， ， ，求 的取值范围．
9
23. 已知集合 ， ，
，则 ， ， 满足的关系是 ．
24. 已知集合 ， 或 ，若 ，则 的取值范围
为 ．
4. 集合的子集个数
若有限非空集合 中含有 个元素，则有：
（1）集合 的子集个数为 ．
（2）集合 的真子集个数为 ．
（3）集合 的非空子集个数为 ．
（4）集合 的非空真子集个数为 ．
经典例题
25. 集合 的真子集的个数是（ ）．
A. B. C. D.
26. 已知集合 ， ，则满足条件
的集合 的个数为（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
27. 已知 ，则满足条件的集合 共有多少个？
10
28. 集合 ， 是 的一个子集，当 时，若 ，且 ，则称 为
的一个“孤立元素”，那么 无“孤立元素”的 元子集的个数是 ． 的所有的有“孤立元素”的子集
个数是 ．
三、 集合的基本运算
1. 交集的三种语言表述
（1）文字语言：由集合 和集合 的所有公共元素组成的集合叫做 与 的交集，记作 ．
（2）符号语言： 且 ．
（3）图形语言：
2. 并集的三种语言表述
（1）文字语言：由所有属于集合 或属于集合 的所有元素组成的集合叫做 与 的并集，记作
．
（2）符号语言： 或 ．
（3）图形语言：
3. 全集的三种语言描述
（1）文字语言：如果集合 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，则称 为全集．
（2）符号语言：若 ， ， ， ，则 为全集．
（3）图形语言：
4. 补集的三种语言描述
（1）文字语言：若集合 是集合 的一个子集，则称 中所有不属于 的元素所组成的集合称为 在
中的补集．
（2）符号语言： 且 ．
11
（3）图形语言：
4. 集合的常用运算性质
①交集： ； ； ； ； ．
②并集： ； ； ； ； ．
③全集和补集：若 ，则 和 必有一个是正确的； ， ，
， ，
经典例题
29. 如图所示， 是全集， ， ， 是 的 个子集，则阴影部分表示的集合是（ ）．
A. B.
C. D.
30. 已知集合 ， ，若有 ，求实数 的
值 ．
31. 已知全集 ，集合 ， ，则集合 （ ）．
A. B.
C. D.
32. 已知集合 或 ，集合 ．
（ 1 ）若 ，求 和 ；
（ 2 ）若 ，求实数 的取值范围．
巩固练习
12
33. 如图所示， 是全集， 、 、 是 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）．
A.
B.
C.
D.
34. 已知集合 ， 均为全集 的子集，且 ， ，则
（ ）．
A. B.
C. D.
35. 若 ， ， ， ，则集合 共有 个．
36. 已知集合 ， ，且 ，求实数 的值组成的
集合（ ）．
A. B.
C. D.
四、 容斥原理(拓展)
若用 表示集合 中的元素的个数，则有:
．
请大家用 图来自行证明，并且推广到三个元素的情形：
．
经典例题
37. 高一某班共有 名学生，在数学课上全班学生一起做两道数学试题，其中一道是关于集合的试题，
一道是关于函数的试题，已知关于集合的试题做正确的有 人，关于函数的试题做正确的有 人，
两道题都做错的有 人，则这两道题都做对的有 人．
13
巩固练习
38. 某校先后举行数、理、化三科竞赛，学生中至少参加一科的有：数学 人，物理 人，化学
人；至少参加两科的有：数、物 人，数、化 人，物、化 人；三科都参加的有 人，试计
算参加竞赛的学生总数．
39. 某校高三（ ）班 名学生全部参加跳远和掷实心球两项体育测试．跳远和掷实心球两项测试成绩
合格的人数分别为 人和 人，这两项成绩都不合格的有 人，则这两项成绩都合格的人数是（
）．
A. B. C. D.
五、 集合中的新定义问题（拓展）
经典例题
40. 对于任意两个正整数 ， ，定义某种运算“ ”如下：当 ， 都为正偶数或正奇数时，
；当 ， 中一个为正偶数，另一个为正奇数时， ，则在此定义下，集
合 中的元素个数是（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
41. 用 表示集合 中元素的个数，设 ， ， 为集合，称 为有序三元组，如果集合 ， ，
满足 ，且 ，则称有序三元组 为最小相
交，由集合 的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为 ．
巩固练习
42. 已知函数 ，集合
， ，记 分别为集合 中的元素个
数，那么下列结论不可能的是（ ）．
A. B.
C. D.
14
43. 称所有元素的平方和为奇数的非空有限数集为平凡集，若集合 ，则
的所有真子集中平凡集的个数为（允许用数的幂次表示） ．
导图总结
你学会了吗？快用思维导图来总结本节课所学吧！
出门测
44. 已知集合 ， ，且 ，则 的值为（ ）．
A. B.
C. 或 D. 或 或
45. 已知集合 ，集合 ，则图中的阴影部分表示的集合是
（ ）．
A. B. C. D.
46. 设 为非空集合，且 ，那么满足性质“若 ，则 ”的集合 的个数共（
）个．
A. B. C. D.
15集合
学习目标
1. 理解元素与集合，集合之间的关系；
2. 理解真子集、子集、空集、全集的含义；
3. 理解集合间的交、并、补运算，掌握用Venn图表达集合的基本关系与基本运算．
【备注】 集合是刻画一类事物的语言与工具，是一种重要的数学语言．利用集合可以简洁、准
确地描述数学中的对象与关系．
本节重点：集合元素的特性；集合的表示；集合的基本关系和基本运算．
本节难点：容斥原理；集合中的新定义问题．
后置知识：函数；不等式．
期末占比：10%
【引入】
在生活与学习中，为了方便，我们经常要对事物进行分类．例如，图书馆中的书是按照所属学科等
分类摆放的，作文学习可按照文体如记叙文、议论文等进行，整数可以分成正整数、负整数和零这三类
······你能说出教学中其他分类实例吗 试着分析为什么要进行分类．
在数学中，我们经常用”集合”来对所研究的对象进行分类，把一些能够确定的、不同的对象汇集在
一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)，组成集合的每个对象都是这个集合的元素．
一、 集合的含义与表示
集合的含义
一般地，我们把研究范围内的对象统称为元素，通常用小写拉丁字母 ， ， ， 表示．把满足某
种要求或者标准的对象（元素）的总体称之为集合（简称为集），通常用大写拉丁字母 ， ， ，
表示．
1. 集合元素的特性
（一）确定性
集合里的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，按照该集合的构成标准能够明确判定一个
对象是否属于这个集合．如“个子高的同学”这一组对象就不能构成一个集合，因为“个子高”这个标准不
够明确，而“身高超过 的同学”这一组对象可以构成一个集合．
1
（二）互异性
集合中的元素一定是不同（互异）的，也就是说，相同的元素在一个集合中只能出现一次．如方程
的解集构成的集合是 ，而不是 ．
（三）无序性
集合中元素的排列顺序无先后之分，如集合 和集合 是同一个集合．
【备注】【补充说明】
集合中的元素必须具备以上三个特性，反之，一组对象如若不具备上述三个特性，就
构不成集合，故这三个特性值判断一些指定的对象能否构成集合的依据．
经典例题
1. 判断下列说法是否正确，并说明理由．
（1）全体长发美女构成一个集合．
（2）由 ， ， ， ， 组成的集合有五个元素．
（3）由 ， ， 组成的集合与由 ， ， 组成的集合是同一个集合．
【备注】 用集合元素的三种特性进行判断，三种特性必须全部具备．
【答案】（1）不正确；（2）不正确；（3）正确．
【解析】（1）不满足集合的确定性，不正确；
（2）由集合的互异性知组成的集合只有 个元素，不正确；
（3）由集合的无序性知由 ， ， 组成的集合与由 ， ， 组成的集合是同一个集合，正
确．
【标注】【知识点】集合的概念辨析问题
巩固练习
2. 由实数 ， ， ， ， 所组成的集合中最多含(　　)
2
A. 个元素 B. 个元素 C. 个元素 D. 个元素
【答案】A
【解析】 ， ， ， 由实数 ， ， ， ， 所组成的
集合中最多含有 个元素，故选 .
【标注】【知识点】互异性、确定性、无序性
2. 元素与集合的关系
元素与集合有“属于”和“不属于”两种关系．如果 是集合 的元素，就说 属于集合 ，记作
；如果 不是集合 的元素，就说 不属于集合 ，记作 ．
【备注】 关于元素与集合关系描述的补充理解：
（1） 与 取决于 是不是集合 的元素．根据集合中元素的确定性可知对于任何
与 ， 与 这两种情况必且只有一种成立．
（2）符号 是表示元素与集合之间关系的，而且仅能表示元素与集合之间的关系
（3）“ ”与“ ”的开口方向向着集合，而且要注意“ ”的写法，斜线的方向是自右上到左下
的，与“ ”的方向一致，不要犯书写错误．
与 的区别和联系： 表示一个元素， 表示一个集合，且该集合只有一个元素
，它们之间的关系为 ．
集合可以根据它含有的元素的个数分为两类：当集合中元素的个数有限时，称之为 有限集 ；当集
合中元素个数无限时，则称之为 无限集 ．如质数为无限集，但是偶质数为有限集．空集可以看成包含
个元素的集合，所以空集是有限集．
【备注】【补充说明】
对于有限集，由于元素的无序性，则集合 与集合 表示同一个集
合，但对于具有一定规律的无限集， ，一般不写成 ．
经典例题
3. 已知集合 ，若 ，则实数 为（ ）．
A. 或 B.
C. D.
【备注】 对含参数的元素取值进行简单的分类讨论，须对元素的互异性进行验证．
3
【答案】C
【解析】由条件 可知， 或 或 ，解得 或 ．
由元素的互异性可知 ，故 ，所以满足条件的只有 ．
故选 ．
【标注】【知识点】由元素与集合的关系求参数
巩固练习
4. 已知集合 ， ，则 中所含元素的个数为 ．
【答案】
【解析】根据 ， ， 知，
当 时， 或 ；
当 时， ；
当 时， 不存在．
因此集合 ，有 个元素 ．
【标注】【知识点】集合中元素的个数
【素养】数学运算；数学抽象
5. 设集合 ， ， ，若
， ， ，则 （ ）．
A. B. C. D. 以上均不是
【答案】C
【解析】∵ ， ， ，
设 ， ， ， ， ， ，
∴
，
又 ，
∴ ．
故选 ．
4
【标注】【知识点】元素与集合之间的关系
3. 几种常见数集
（一）常见数集的表示方法
为了书写方便，我们规定常见的数集用特定的字母表示，下面是几种常见数集的表示方法：
①全体非负整数构成的集合叫做自然数集（或非负整数集），记作 ．
②在自然数集内排除 的集合叫做正整数集，记作 或 ．
③全体整数构成的集合叫做整数集，记作 ．
④全体有理数构成的集合叫做有理数集，记作 ．
⑤全体实数构成的集合叫做实数集，记作 ．
（二）常见数集的关系
如下图所示：
经典例题
6. 下列所给关系正确的个数是（ ）．
① ；② ；③ ；④
A. B. C. D.
【备注】 牢记常见数集的表示符号及其数学意义，对于后续的学习非常有意义．
【答案】B
【解析】由常见数集的意义知①②正确，③④错误．故选 ．
【标注】【知识点】元素与集合之间的关系
5
巩固练习
7. 下列关系中正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A 选项： ，故选
项 错误．
B 选项： ，故选项
错误．
C 选项： ，故选项
正确．
D 选项： ，故选项
错误．
故选 C .
【标注】【知识点】元素与集合的关系判断
4. 集合的表示方法
（一）列举法
把集合中的元素一一列举出来，中间用逗号隔开，并用大括号“ ”括起来表示集合的方法叫做列举
法．如 成员用列举法表示为 王俊凯，王源，易烊千玺 ，绝对值小于 的偶数组成的集合用
列举法表示为 ．
（1）“一一列举”，即不必考虑元素之间的顺序，而且应该全部列举出来，不重不漏；
（2）元素之间用“，”分隔；
（3）列举法的适用范围：
①元素个数少且有限时，全部列举，如 ；
②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如从 到 的所有自然数组成的集合可以
表示为 ；
③元素个数无限时，有时也可以列举前面一部分，后面用省略号表示，如自然数集 可以表示为
．
（二）描述法
6
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，用符号表示便是 ，其中
的 表示集合的代表元素， 表示元素 的取值范围， 则表示元素 的共同特征．
解读描述法中的三个关键词
①“代表元素”，是表示这个集合元素的一般符号，如表示数集时，我们可以选用 作为代表元
素；表示点集时，可以选用有序实数对 作为代表元素．
②“取值范围”，一般来说集合元素 的取值范围 需写明确，但若从上下文的关系或者所研究问题的大环
境下看， 若是显而易见的话，则“ ”可以省略，只写元素 ．如集合 可以简写
为 ．
③“共同特征”，即代表元素满足的条件、具备的属性，如不等式 的解都满足条件 ，那么
不等式 的解集可表示为 ．
经典例题
8. 用列举法表示下列集合：
（ 1 ） ；
（ 2 ） ；
（ 3 ） ．
【备注】 用列举法表示集合时，如果原集合是用描述法表示的（数学符号），需要注意代表元
素的形式和范围，不能只看共同特征（以方程（组）或不等式（组）的形式存在）；如果
原集合是用自然语言描述的，也要从中提取信息，确定集合是数的集合还是点的集合．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）解方程 ，得 ， ， ，所以 ．
（ 2 ）解方程组 得 ，所以 ．
（ 3 ）由 ，得 ，
因为 ，所以 ．
7
【标注】【知识点】列举法
巩固练习
9. 分别用列举法和描述法表示下列集合：
（ 1 ）比 小的所有非负整数组成的集合；
（ 2 ）方程 的所有实数根组成的集合；
（ 3 ）取倒数后比 大的所有正整数组成的集合；
（ 4 ）正比例函数 与二次函数 的图象的交点组成的集合．
【答案】（ 1 ）见解析．
（ 2 ）见解析．
（ 3 ）见解析．
（ 4 ）见解析．
【解析】（ 1 ）描述法表示为 ，列举法表示为 ．
（ 2 ）描述法表示为 ，列举法表示为 ．
（ 3 ）描述法表示为 ，列举法表示为 ．
（ 4 ）描述法表示为 ，列举法表示为
．
【标注】【知识点】列举法
5. 数轴与区间
（一）数轴
数轴：数轴是表示实数的，任何一个实数在数轴上均可以用一个点来表示，反之，数轴上任何一个点都
表示一个实数．在数轴上表示一个不等式的取值范围，形象而且直观．例如， 可用
数轴表示，如下图所示：
8
注意：可取等号的端点用实心点表示（如上图 处），取不到等号的端点用空心点表示（如上图
处）．
（二）区间及其表示
设 是两个实数，且 ，规定：
①集合 可简写为 ，并称之为闭区间，在数轴上的几何表示为：
②集合 可简写为 ，并称之为开区间，在数轴上的几何表示为：
③集合 可简写为 ，并称之为左闭右开区间，在数轴上的几何表示为：
④集合 可简写为 ，并称之为左开右闭区间，在数轴上的几何表示为：
⑤实数集 可以用区间表示为 ，其中“ ”读作无穷大，反映的是离数轴原点无限远的一种状
态，“ ”读作负无穷大，“ ”读作正无穷大，这样，借助于无穷大的符号我们可以把满足 ，
， ， 的实数 的集合分别表示为 ， ， ， ，数轴上的几
何表示为含有无穷一侧不封闭，例如区间 的几何表示如下：
【备注】（1）区间的几何表示中，用实心点表示包括区间内的端点，用空心圈表示不包括区间内的
端点．
9
（2）区间符号里面两个字母（或者数字）之间用“，”隔开．
（3）无穷大是一个符号，并不是一个具体的数，有了这个规定，所有的实数都不可能大于
或等于正无穷大，也不可能小于或等于负无穷大，因此涉及到正负无穷大作为区间一段
时，这一端必须是开的．
（4）区间是数集的另一种表示方法，只能表示连续致密的数集，若数集内有个别间断点或
者间断数集，则用若干区间的并集表示；还有，区间内的端点一定是左小右大．
经典例题
10. 用区间表示集合 : .
【备注】 对于初学者而言，数轴是练习区间表示的良好辅助工具．
【答案】
【解析】 ．
【标注】【知识点】区间表示法
巩固练习
11. 用区间表示下列集合∶ ， 且 ， 且 ， ， 或
．
【答案】 ，
且 ，
且 ， ，
或 ．
【解析】 ，
且 ，
且 ， ，
10
或 ．
【标注】【知识点】集合不同表示法的转化问题；区间表示法
二、 集合间的基本关系
图
如果用平面上的一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可以作出示意图来形象地表示集合之
间的关系，这种示意图通常称为 图(维恩图）．
例如前述的常见数集之间的关系就是利用维恩图表示的．由于其形象直观的特点，在表示集合的基
本关系时，维恩图可以为我们提供很多帮助．
1. 集合相等
如果集合 中的任意一个元素都是集合 中的元素，同时集合 中的任意一个元素都是集合 中的元
素，我们就说集合 相等，记作 ．
【备注】 两个集合相等，只需要所含元素完全相同即可，与顺序无关．
经典例题
12. 已知集合 ， ，若集合 与集合 相等，求 的值．
11
【备注】 求含参数的集合问题时，求出参数后一定要带回原集合中检验是否满足互异性．
【答案】 ．
【解析】因为集合 与集合 相等，
所以 ． 或 ．
当 时，与集合元素的互异性矛盾．
当 时，符合题意．
．
【标注】【知识点】离散型集合关系中的含参问题
13. 若 ，集合 ，求 的值．
【备注】 注意观察含参元素的特征，可以挖掘出隐藏信息，方便解题；本题中参数 出现在分母
上，可知 ，进而可知 ；再利用集合相等，就可以方便地找出对
应相等的元素， 和 的具体值也就迎刃而解．
【答案】 ．
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ，所以 ．
【标注】【知识点】相等集合
巩固练习
14. 设集合 ， ，若 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
12
【解析】∵集合 ， ，
，
∴①当 ， ，
此时 不符合题意；
②当 ，则 ，
即 或 （舍去），
∴ ，
．
故选 ．
【标注】【知识点】离散型集合关系中的含参问题
15. 若 ，则(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ， 与 是方程 的两根， 则
解得 ． 故选：A.
【标注】【知识点】集合关系中的含参问题
2. 空集
一般地，我们把不含任何元素的集合称为 空集 ，记作 ．
经典例题
16. 对于空集 ，有下列结论：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的结论是 ．
【备注】 空集是任何集合的子集，只包含空集符号的集合不是空集．
【答案】③④
【标注】【知识点】集合之间关系的判断
13
巩固练习
17. 给出下列四个集合：① ；② ；③ ；④
．其中空集的个数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】②③④是空集，故选 .
【标注】【知识点】空集
3. 子集与真子集
（一）子集
对于两个集合 ，如果集合 中的任意一个元素都是集合 中的元素，我们就说集合 包含于集
合 （或者说集合 包含集合 ），记作 或 ，读作 包含于 或 包含 ，此时我们说
集合 是集合 的子集．维恩图表示如下：
当集合 不包含于集合 （或集合 不包含集合 ）时，记作 ，此时集合 中至少存在一
个元素不是集合 的元素．
包含关系具有传递性，即如果 且 ，则 （借助于 图比较好理解）．
根据定义不难得到如下结论：任何一个集合都是它本身的子集，即 ．
【备注】 定义的另一种表示方法为：若对于任意的 都有 ，则 ，这是作为证明
是集合 的子集的最基本方法（如探讨集合 和集合
14
的关系）．
（二）真子集
如果 且 ，就说集合 是集合 的真子集，记作 ，读作“ 真包含于 ”或“ 真包
含 ”．
真包含关系同样具有传递性，即如果 且 ，则 ．
【备注】 元素与集合的关系是属于与不属于的关系，用符号“ ”、“ ”表示，而集合与集合之间
的关系是包含、不包含、真包含、相等的关系，用符号“ ”、“ ”、“ ”、“ ”表示．
（三）集合的相等与子集的关系
（1）一般地由集合相等以及子集地定义可知：
①若 且 ，则 ;
②若 ，则 且 ．
（2）当 时，要么 ，要么 ．
（四）空集与子集、真子集
（1）空集只有一个子集，就是它的本身，即 ．
（2）空集是任何集合的子集，即 ．
（3）空集是任何非空集合的真子集，即若 ，则 ．
经典例题
18. 已知集合 ，集合 ，若 ，则实数 ．
【备注】 求含参数的集合问题时，求出参数后一定要带回原集合中检验是否满足互异性．
由于不确定两个集合中元素的相等关系，本题还蕴藏了初步的分类讨论思想．
【答案】
【解析】∵集合 ，集合 ， ，
∴ ，或 ，
解得 或 ，
当 时，
， ，满足条件；
当 时， ，不满足元素的互异性，故 ．
∴实数 ，
故答案为： ．
15
【标注】【知识点】子集
19. 若集合 ， ，则能使 成立的所有 的集合是
（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 通过本题可以向学生初步渗透分类讨论和数形结合的思想．
分类讨论：当 且未指明 集合类型时，应该分集合 是否为空集讨论．
数形结合：对于含参非空集合 ，利用包含关系确定参数范围时，可以考虑借助于数轴来
完成，将两个集合在数轴上画出来，分清实心点与空心圆圈，确定两个集合之间的包含关
系，最终列不等式（组）求解参数的取值范围．
还需要注意的是，端点值能不能取等不要模糊判断，最好单独验证．
【答案】C
【解析】当 时，则有 ，解得 ；
当 时， 解得 ；
综上所述， ．
【标注】【知识点】子集
20. 设集合 ， ，则（ ）．
A. B.
C. D. 以上均不正确
【备注】 除了如解析中一样进行推理分析外，试着将两个集合的元素各写出几项，进行观察，
也能起到辅助解题的作用．
【答案】B
【解析】集合 的元素 ，
集合 的元素 ，而 （ ）为奇数，
（ ）为整数，因此， ．
【标注】【知识点】集合之间关系的判断；真子集
16
巩固练习
21. 已知集合 ，集合 ，若 ，则实数 ．
【答案】
【解析】 ， ，即 ，
，当 时， ， ，满足 ．
【标注】【知识点】集合的基本关系
22. 已知 ， ， ，求 的取值范围．
【答案】 ．
【解析】当 ，即 时， ，满足 ，即 ；
当 ，即 时， ，满足 ，即 ；
当 ，即 时，由 ，得 即 ；
综上所述： 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】集合关系中的含参问题；子集
23. 已知集合 ， ，
，则 ， ， 满足的关系是 ．
【答案】
【解析】 ， ，
，
故 ．
17
【标注】【知识点】真子集；集合关系中的含参问题
24. 已知集合 ， 或 ，若 ，则 的取值范围
为 ．
【答案】
【解析】当 ， ，即 时，符合题意．
当 时，有 ，即 ，
欲使 ，需 或 ，所以 ．
综上所述，当 或 时， ．
【标注】【知识点】连续性集合关系中的含参问题
4. 集合的子集个数
若有限非空集合 中含有 个元素，则有：
（1）集合 的子集个数为 ．
（2）集合 的真子集个数为 ．
（3）集合 的非空子集个数为 ．
（4）集合 的非空真子集个数为 ．
经典例题
25. 集合 的真子集的个数是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】 即为 ，共有三个元素，真子集的个数就是
【答案】C
【解析】当 ， ， 时， 分别等于 ， ， ．
∵函数 在 上是减函数，
∴ 时， ，∴ ，
∴该集合的所有真子集为 ， ， ， ， ， ， ，
∴该集合的真子集个数为 ．故选 ．
18
【标注】【知识点】真子集；子集个数的计算
26. 已知集合 ， ，则满足条件
的集合 的个数为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】 根据子集的定义和子集的传递性，不难推出集合 中必须包含元素 ， ，并且不能含
有不在集合 中的元素．因此集合 可以为 , , ,
．
【答案】D
【解析】因为集合 ， ，
所以当满足 时，集合 可以为 ， ， ， ，故满
足条件的集合 的个数为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】子集个数的计算
【素养】数学运算
巩固练习
27. 已知 ，则满足条件的集合 共有多少个？
【答案】 个．
【解析】集合 中必有元素 ，但 ，由 的真子集有 个知，
集合 的个数为 ．
【标注】【知识点】真子集；子集个数的计算；子集
28.
19
集合 ， 是 的一个子集，当 时，若 ，且 ，则称 为
的一个“孤立元素”，那么 无“孤立元素”的 元子集的个数是 ． 的所有的有“孤立元素”的子集
个数是 ．
【答案】 ;
【解析】 ，其中不含“孤立元”的集合 个元素必须是：
共有 共 个，
那么 中无“孤立元素”的 个元素的子集 的个数是 个．
子集总个数为 ，
空集不含孤立元素 个，
不含孤立元素的 元子集 个，
不含孤立元素的 元子集 个，
不含孤立元素的 元子集 个，
不含孤立元素的 元子集可挖去 ， ， ， ，有 个，
全集不含孤立元素 个，
因此含有孤立元素的子集 个．
【标注】【知识点】子集个数的计算
三、 集合的基本运算
1. 交集的三种语言表述
（1）文字语言：由集合 和集合 的所有公共元素组成的集合叫做 与 的交集，记作 ．
（2）符号语言： 且 ．
（3）图形语言：
2. 并集的三种语言表述
（1）文字语言：由所有属于集合 或属于集合 的所有元素组成的集合叫做 与 的并集，记作
．
（2）符号语言： 或 ．
20
（3）图形语言：
3. 全集的三种语言描述
（1）文字语言：如果集合 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，则称 为全集．
（2）符号语言：若 ， ， ， ，则 为全集．
（3）图形语言：
4. 补集的三种语言描述
（1）文字语言：若集合 是集合 的一个子集，则称 中所有不属于 的元素所组成的集合称为 在
中的补集．
（2）符号语言： 且 ．
（3）图形语言：
4. 集合的常用运算性质
①交集： ； ； ； ； ．
②并集： ； ； ； ； ．
③全集和补集：若 ，则 和 必有一个是正确的； ， ，
， ，
经典例题
29. 如图所示， 是全集， ， ， 是 的 个子集，则阴影部分表示的集合是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 维恩图是研究集合基本运算的有力工具．
21
【答案】C
【解析】观察 图，
可知阴影部分既在表示集合 的区域中又在表示集合 的区域中，
即在表示集合 ， 的公共区域中，
且在表示集合 的区域外，
即在集合 中，
根据集合运算的概念，可得阴影部分表示的集合为 ．
【标注】【知识点】交、并、补集混合运算；补集；交集；集合不同表示法的转化问题；维恩图
30. 已知集合 ， ，若有 ，求实数 的
值 ．
【备注】 解决含参的离散型集合（即集合中元素是一个一个非连续）问题时，须留意集合中元
素满足互异性特征．
【答案】
【解析】∵ ∴
当 时，解得 ，经验证，不符合集合元素互异性，故舍掉；
当 时，解得 ，经验证 不符合集合元素互异性，故答案为 ．
【标注】【知识点】交集；离散型集合运算中的含参问题
31. 已知全集 ，集合 ， ，则集合 （ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 面对交并补混合运算，先从括号内逐步运算即可．
【答案】B
【解析】∵ ， ，
，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
22
【标注】【知识点】补集；交、并、补集混合运算
32. 已知集合 或 ，集合 ．
（ 1 ）若 ，求 和 ；
（ 2 ）若 ，求实数 的取值范围．
【备注】 注意题目条件的翻译，如第二问，若 ，则 ．同时须考虑 是否能是
空集，对于类似本题的含参区间问题而言，运用数轴可提供很多帮助，对于边界情况要多
加留意．
【答案】（ 1 ） ， 或 ．
（ 2 ） 或 ．
【解析】（ 1 ）若 ，则 ，
， 或 ．
（ 2 ） ， ．
①若 ，则 ， ；
②若 ，则 或 ．
综上，实数 的取值范围为 或 ．
【标注】【知识点】连续性集合关系中的含参问题
巩固练习
33. 如图所示， 是全集， 、 、 是 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）．
A.
B.
23
C.
D.
【答案】A
【解析】由集合运算公式及维恩图可知，A正确．
【标注】【知识点】交集
34. 已知集合 ， 均为全集 的子集，且 ， ，则
（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为全集 ，且 ，
所以 ， ，
所以 ，所以 或 或 或 ，
所以 ．
故选 ．
【标注】【知识点】并集；交集；交、并、补集混合运算；补集
35. 若 ， ， ， ，则集合 共有 个．
【答案】
【解析】 .
【标注】【知识点】子集个数的计算；交集
【素养】数学运算；逻辑推理
36. 已知集合 ， ，且 ，求实数 的值组成的
集合（ ）．
A. B.
C. D.
24
【备注】 ，等价于 ，须将 纳入考虑．
【答案】D
【解析】∵ ，且 ，则 ，
若 时， ， ；
若 ， ， 时， ， 时， ，
所以 的值组成的集合为 ．
【标注】【知识点】并集
四、 容斥原理(拓展)
若用 表示集合 中的元素的个数，则有:
．
请大家用 图来自行证明，并且推广到三个元素的情形：
．
经典例题
37. 高一某班共有 名学生，在数学课上全班学生一起做两道数学试题，其中一道是关于集合的试题，
一道是关于函数的试题，已知关于集合的试题做正确的有 人，关于函数的试题做正确的有 人，
两道题都做错的有 人，则这两道题都做对的有 人．
【备注】 设班上所有人组成全集 ，集合题做正确的人组成集合 ，函数题做正确的人组成集合
，则 代表集合的试题与函数的试题至少做正确一道的人造成的集合，该集合是两
道题都做错的人组成的集合关于 的补集，要求的两道题都做对的人组成的是 ．
因此
代入容斥原理公式即可求得
【答案】
【解析】∵ 人，
∴共有 人作对题，
人，
25
∴两道题都做对的共有 人．
【标注】【知识点】集合中元素的个数；容斥原理
巩固练习
38. 某校先后举行数、理、化三科竞赛，学生中至少参加一科的有：数学 人，物理 人，化学
人；至少参加两科的有：数、物 人，数、化 人，物、化 人；三科都参加的有 人，试计
算参加竞赛的学生总数．
【答案】 （人）．
【解析】方法一：设 、 、 分别表示参加数学、物理、化学竞赛的学生的集合，
全体学生集合为 ，如图
；三科竞赛都参加的学生有 人；
；只参加数、物竞赛的学生有 （人）；
；只参加物、化竞赛的学生有 （人）；
；只参加数、化竞赛的学生有 （人）；
；只参加数学竞赛的学生有 （人）；
；只参加物理竞赛的学生有 （人）；
；只参加化学竞赛的学生有 （人）．
故参加竞赛的总人数有： （人）．
方法二：由容斥原理易得，总人数为
．
26
【标注】【知识点】集合中元素的个数；维恩图
39. 某校高三（ ）班 名学生全部参加跳远和掷实心球两项体育测试．跳远和掷实心球两项测试成绩
合格的人数分别为 人和 人，这两项成绩都不合格的有 人，则这两项成绩都合格的人数是（
）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设两项成绩都合格的人数是 ，
容斥原理 ，
解得 ．
【标注】【知识点】容斥原理
五、 集合中的新定义问题（拓展）
经典例题
40. 对于任意两个正整数 ， ，定义某种运算“ ”如下：当 ， 都为正偶数或正奇数时，
；当 ， 中一个为正偶数，另一个为正奇数时， ，则在此定义下，集
合 中的元素个数是（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【备注】 本题中一种新的运算过程被定义出来，按照新运算过程的定义，将 拆分成两个正偶
数或正奇数的和，或一个正偶数和正奇数的的乘积，需要留意的是，将 拆分成 时，
的组合只有一种．
【答案】B
【解析】 ，其
中 舍去， 只有一个，其余的都有 个，所以满足条件的 有：
个．
故选 ．
【标注】【知识点】加法原理与乘法原理的综合运用；集合的概念
27
41. 用 表示集合 中元素的个数，设 ， ， 为集合，称 为有序三元组，如果集合 ， ，
满足 ，且 ，则称有序三元组 为最小相
交，由集合 的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为 ．
【备注】 本题中定义的是一种性质，因此比运算过程的新定义问题要难一些．由于题干中给出
的集合 元素数量不多，因此不妨从子集含有的元素个数考虑．
首先容易排除是，有序三元组中含有 个元素的子集或 个元素的子集，假设 只含有
一个元素，如满足 ，则必有 与
矛盾；假设 ，同样与 矛盾．
因此，我们知道有序三元组中的子集可能含有 个或 个元素，假设有序三元组里的三
个子集都只含有 个元素，那么 ，形如
满足条件的组合可以有 种；假设有一个子集
含有3个元素，那么能且只能在三个子集全部都是 个元素的组合基础上，将剩下的尚未用
到的一个元素加到任意一个子集中，因此满足条件的组合可以有 种；如果有
, 含有三个元素，那么 ，与 矛盾；同
理，三个子集都含有三个元素更加不可能．
【答案】
【解析】分情况①每个集合中，都只有两个元素， 中有三个元素的情况有
种；
②两个集合中有二个元素，一个集合中有三个元素， ，情况有
种．
共 种．
故答案为： ．
【标注】【知识点】加法原理与乘法原理的综合运用
巩固练习
42. 已知函数 ，集合
， ，记 分别为集合 中的元素个
数，那么下列结论不可能的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于选项 ，当 ，满足题意；
28
对于选项 ，当 ，满足题意；
对于选项 ，当 ，满足题意；
对于选项 ，当 时，函数 满足 ，
当 时，函数 满足 ，
显然条件（1）与条件（2）等价．
【标注】【知识点】集合不同表示法的转化问题；描述法
43. 称所有元素的平方和为奇数的非空有限数集为平凡集，若集合 ，则
的所有真子集中平凡集的个数为（允许用数的幂次表示） ．
【答案】
【解析】方法一：对于集合 ，共有真子集 个，设其中平凡集有 个
（不含空集），其他 个，则 的所有真子集中平凡集包含：
① 的真子集中的平凡集，共 个；
② , 为 的真子集中的非平凡集，共 个．
相加得 的所有真子集中平凡集的个数为 个．
方法二：由题意
平凡集可含有任意个偶数和奇数个奇数，
1到 中，所有偶数（共 个）组成的集合的子集总共有 个，
所有奇数（共 个）组成的集合的子集总共有 个，根据对称性，其中元素个数为
奇数的子集共有 个，因此平凡集一个共有 个，由于题目中问的
是真子集，再减去本身也是真子集的集合
故真子集中的平凡集的个数为
【标注】【知识点】子集个数的计算；子集
导图总结
你学会了吗？快用思维导图来总结本节课所学吧！
【备注】
29
出门测
44. 已知集合 ， ，且 ，则 的值为（ ）．
A. B.
C. 或 D. 或 或
【答案】D
【解析】∵ ，
∴ ，
集合 表示方程 的解集，
当 时，方程 无解，故 ，满足 ，符合题意；
当 时，方程 的解为 ，故 ，
又 ， 或 解得 或 ，符合题意．
综上所述， 或 或 ．
30
【标注】【知识点】并集
45. 已知集合 ，集合 ，则图中的阴影部分表示的集合是
（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由图中阴影部分表示的是 ，
因为 ，
，
所以 ．
故选 ．
【标注】【知识点】交、并、补集混合运算；补集
46. 设 为非空集合，且 ，那么满足性质“若 ，则 ”的集合 的个数共（
）个．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题知问题可转化为 ， ， 三个元素的非空子集，共有 个．
故选B．
【标注】【知识点】子集
31

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