资源简介

幂函数与对勾函数
学习目标
1. 通过具体实例，结合 的图象，理解它们的变化规律，了解
幂函数；
2. 掌握典型幂函数、对勾函数和飘带函数的图象和单调性，会求对应区间内的值域和最值．
【备注】本节重点：幂函数的图象与性质，对勾函数的图象与性质；
本节难点：对勾函数；
前置知识：二次函数，函数的概念，函数的基本性质，基本不等式；
后置知识：函数的应用，导数．
一、 幂函数
1. 幂函数的定义
一般地，函数
叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数.
注意：幂函数的构成条件：
①系数为
②底数是自变量
③指数为常数．
满足这三个条件，方为幂函数，否则不是，如 ， ， 都不是幂函数．
注意：幂函数的定义域取决于指数 ，须使得指数幂的运算有意义．
经典例题
1. 若函数 是幂函数，则实数 （ ）．
A. B. C. D.
【备注】 幂函数在形式上有严格的要求．
【答案】C
【解析】函数 是幂函数，
1
可得 ，解得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】幂函数的概念；用待定系数法求解析式
巩固练习
2. 函数 ，当 取 时是反比例函数；当 取 时是幂函数．
【答案】 ;
【解析】若 是反比例函数，
则 ，
解得： ．
若 是幂函数．
则 ，
解得： ．
【标注】【知识点】幂函数的概念
3. 已知 函数是幂函数，且函数 过点 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 函数是幂函数，且函数 过点 ，
可得 ， ，
解得 ，
则 ，
故选 ．
【标注】【知识点】幂函数的概念；用待定系数法求解析式
2. 幂函数的图象与性质
1. 几个常见幂函数
2
函数
定义域
图象
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调减区间
单调减区间
上单
单调性 上单调增 上单调增 和
单调增区间 调增
值域
定点
2. 为正数时的图象和性质
当 时的图象见下图：
时：
3
①图象都通过点 ， ；
②在第一象限内，函数值随 的增大而增大，即在 上是 增函数 ；
③当 时，函数 在第一象限的图象是 向下凹 的；
④当 时，函数 在第一象限的图象是 向上凸 的．
3. 为负数时的图象和性质
当 时的图象见下图：
时：
①图象都通过点 ；
②在第一象限内，函数值随 的增大而减小，即在 上是 减函数 ；
③在第一象限内，图象向上与 轴无限地接近，向右与 轴无限地接近．
4. 幂函数的其他常用性质
（1）任何幂函数的图象与坐标轴至多只有 一个 交点；
（2）任何幂函数图象都不经过第 四 象限；
（3）任何两个幂函数的图象最多有 三个 交点；
（4） 越大，函数 在 右侧部分的图象 越高 （指大 图高 ）．
【备注】分数指数幂函数 ， 互质 奇偶性：
①当 为偶数， 为奇数时， 为偶函数；
②当 为奇数， 为奇数时， 为奇函数；
③当 为偶数， 为奇数时， 的定义域不关于 轴对称，是非奇非偶函数．
特别地，幂函数 （ ），当 为偶数时， 为偶函数；
当 为奇数时， 为奇函数．
这里 互质的预设条件很重要，分数指数幂中一般不会出现 都为偶数的情形.
4
经典例题
4. 若幂函数 的函数图象经过原点，则 ．
【备注】 幂函数除了形式上有严格要求以外，其定义域由指数决定，须使定义域上所有的指数
幂的运算有意义．
【答案】
【解析】由题意得： ，解得： 或 ，
而函数图象过原点，则 ，
故答案为： ．
【标注】【知识点】幂函数的概念
5. 幂函数 ，当 时为减函数，则实数 的值为（ ）．
A. B.
C. 或 D.
【备注】 指数参数影响幂函数的定义域和单调性，反过来，幂函数的定义域和单调性也可以在
确定参数的过程中发挥作用.
【答案】A
【解析】∵ 为幂函数，
∴ ，即 ，
解得 或 ，
当 时， ， 在 上为减函数；
当 时， ， 在 上为常数函数（舍
去），
∴使幂函数 为 上的减函数的实数 的值为 ，
故选 ．
【标注】【知识点】指数a对幂函数图象的影响
6. 如图所示，幂函数 在第一象限的图象，比较 ， ， ， ， ， 的大小（ ）．
5
A.
B.
C.
D.
【备注】 根据幂函数图象，比较指数的相对大小，常用方法是作直线 ，观察
其与各幂函数交点的相对位置，点低则指数小.
【答案】D
【解析】作直线 （其中 ）与各图象有交点，则“点低指数小”，可得
．
故选 ．
【标注】【知识点】指数a对幂函数图象的影响
7. 若 ，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 利用幂函数单调性解不等式，需注意定义域的限制.
【答案】D
【解析】考察幂函数 ，它在 上是增函数，
∵ ，
∴ ，
解得， ．
所以 选项是正确的．
6
【标注】【知识点】解幂函数不等式
8. 已知函数 为偶函数，且 则 的值为（ ）．
A. B. C. 或 D. 不确定
【备注】 应对此类求算指数参数的题目时，一般先用单调性缩小范围，如在 递增，则
指数大于 ，再利用奇偶性逐个检验可能的参数．
【答案】B
【解析】∵ ，
∴在第一象限内函数为增函数，
∴ ，即 ，
解得 ，
∵ ，
∴ 或 ，
当 时， 为奇函数，不满足条件，
当 时， 为偶函数，满足条件．
故选 ．
【标注】【知识点】幂函数的图象及性质
巩固练习
9. 幂函数 经过点 ，则 是（ ）．
A. 偶函数，且在 上是增函数
B. 偶函数，且在 上是减函数
C. 奇函数，且在 上减函数
D. 非奇非偶函数，且在 上是增函数
【答案】D
【解析】设幂函数的解析式为 ，
将 代入解析式得：
，解得 ，
∴ ．
故选 ．
7
【标注】【知识点】幂函数的图象及性质
10. 函数 是幂函数且在 上单调递减，则实数 的值为 ．
【答案】
【解析】函数 是函数，
，
解得 或 ；
当 时， ，
函数 在 上单调递减，满足题意；
当 时， ，
函数 不满足题意；
综上，实数 的值为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】幂函数的概念；幂函数的图象及性质
11. 关于幂函数 及其图象，有下列四个命题：
①其图象一定不通过第四象限．
②当 时，其图象关于直线 对称．
③当 时，函数 是增函数．
④ 的图象与 的图象至少有两个交点
其中正确的命题个数是（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】B
【解析】关于幂函数 及其图象：
①其图象一定不通过第四象限．
因为 时， ，故幂函数图象不可能出现在第四象限，故正确．
②当 时，如幂函数 其图象不关于直线 对称．故错误．
③当 时，函数 是增函数．如 ，不成立，故错误．
④当 其中 为偶数时， ，当 ，解得 ，只有一个交点，故错
误．
8
故选 ．
【标注】【知识点】幂函数的图象及性质；指数a对幂函数图象的影响
12. 设 ； ，则 是 成立的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】由 得：
，
即 ，
解得： ，
∴ ．
∴ 是 的必要不充分条件．
故选 ．
【标注】【知识点】解幂函数不等式
13. 已知函数 （实数 ）的图象关于 轴对称，且 ．
（ 1 ）求 的值及函数 的解析式．
（ 2 ）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ） ， ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵函数 （实数 ）的图象关于 轴对称，且 ，
∴在区间 为减函数，
∴ ，解得 ．
∵ ，幂函数 （ ）的图象关于 轴对称，
∴ 为偶数，∴ ，
函数的解析式为： ．
9
（ 2 ）不等式 ，函数是偶函数，在区间 为减函数，
∴ ，解得 ．
又∵ ， ，
∴实数 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】解幂函数不等式
14. 已知幂函数 的图象关于原点对称，且在 上是减函数，若
，则实数 的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】∵幂函数 的图象关于原点对称，且在 上是减函数，
所以 ，
解得 ，
因为 ，
所以 或 ，
∴当 时， ，图象关于 轴对称，不满足题意．
当 时， ，图象关于原点对称，满足题意，
∴不等式 化为： ，
因为函数 在 上递减，
所以 ，
解这个不等式，得 ，
即实数 的取值范围是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】幂函数的概念；利用函数单调性解不等式；已知函数单调性求参数范围
【素养】数学运算；逻辑推理
10
二、 “对勾函数”和“飘带函数”
1. 对勾函数和飘带函数的图象与性质
（一） 对勾函数
形如“ ”的函数叫做对勾函数，是一个奇函数，例如 ，其图象如
下：
y
5
4
3
2
1
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1x0
–1
–2
–3
–4
–5
–6
该函数在 和 上单调增，在 和 上单调减．
对于一般的对勾函数 ，其在 和 上单调增，在
和 上单调减．记忆方法是：让加号两边的 和 相等，解出的 就是单调性改变
的临界点．
【备注】 用定义法探索对勾函数单调性，可参见腾飞版讲义《函数单调性及其应用》中“单调性
的证明”一节的第三个例题“判断 的单调性”及其教法备注．
（二） 飘带函数
形如 的函数也被叫做"飘带函数"，也是一个奇函数，根据单调性的运
算性质，我们不难判断出其在 和 上单调增，例如 图象如下图．
11
y
5
4
3
2
1
–5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5 x
–1
–2
–3
–4
飘带函数 与 轴交点横坐标即为对勾函数 “拐
点”的横坐标，都是 ．
经典例题
15. 函数 的单调增区间是（ ）．
A. ， B.
C. ， D.
【备注】 对勾函数的单调性须熟练掌握．
【答案】C
【解析】 ，
易知 为对勾函数，其图象为，
12
由图象知 的单调增区间为 ， ．
【标注】【知识点】求单调区间
16. 已知 ，则 的最小值为 ．
【备注】 利用对勾函数的单调性，可解决基本不等式不能取等号在处理同类问题时的困境．
【答案】
【标注】【知识点】利用单调性求函数最值；对勾函数
17. ， 的值域为 ．
【备注】 整体换元构建对勾函数是处理非齐次分式的常用手段（与构建基本不等式处理分式的
思路非常类似），例如本题的一次比二次分式，以分子换元，然后在分母上构建对勾函
数；同样，二次比一次也可以分母换元，然后在分子上构建对勾函数；对于形如
的二次比二次，也可分离常数后，用一次比二次的方法处理 ．
【答案】
【解析】 ， ， ，
令 ，则 ，
，
易知函数 在 上单调增，则函数 单调减，
∴值域为 ．
【标注】【素养】数学运算
【思想】转化化归思想
【知识点】用分离常数法求值域
13
18. 已知函数 ，其在区间 上单调递增，则 的取值范围为 ．
【备注】 在形如 其参数正负未定时，常需要在对勾函数和飘带函数间进行讨
论，例如本题还做了一步翻折变换，因此熟悉两者的图象与性质非常重要．
【答案】
【解析】①若 ，则为对勾函数翻折x轴下方部分，要在 上单调增，须满足 ；
②若 ，则为飘带函数翻折x轴下方部分，要在 上单调增，须满足 ；
③若 时，显然满足．
综上，
【标注】【知识点】已知函数单调性求参数范围
巩固练习
19. 函数 单调递增区间为 ．
【答案】
【解析】 ， ，易得 在 和 上单调递减，
∴ 在 和 上单调递增，又注意到 时， ，
时， ， 时， ，
∴函数的单调递增区间为 ．
【标注】【知识点】对勾函数；复合函数；判断复合函数单调性
20. 已知 ，则 在区间 上的最大值与最小值之和为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
，
14
易知 在 上单调递减，在 上单调递减，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递增，
∴ ，
，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】复合函数；用单调性观察法求值域；判断复合函数单调性
21. 三个同学对问题“关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围”
提出各自的解题思路．
甲说：“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值．”
乙说：“把不等式变形为左边含变量 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于 的函数，作出函数的图象”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结果，即 的取值范围是 ．
【答案】 ．
【解析】方法一：将原不等式变形为：
在 上恒成立，求实数 的取值范围．
运用甲同学提供的思路左边函数 在 上的最小值为零，因此，只需右
边的函数 在 上的最大值不大于零即可．即 在
上恒成立．
运用乙同学的思路将上述命题变形为： 在 上恒成立．
然后运用丙同学的思路，画出函数 在 的图象（图略），易知函数
在 上单调递减，在 上单调递增，因此 ，故
，即 ．
方法二：将原不等式变形为 ．①
令 ，由于 ， ．
时取等号．
， 或 时取等号．
所以 ，当且仅当 时取等号．故 ．结合①式知
，即 ．
15
【标注】【知识点】对勾函数；函数的值域；利用单调性求函数最值；不等式中的恒成立与能成立
问题；含绝对值的不等式；基本不等式的实际应用；利用基本不等式求最值
22. 已知函数 ，若对任意实数 ，关于 的不等式 在区间 上总有
解，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意， 在区间 上的图象如下图所示：
根据题意，对任意实数 ，关于 的不等式 在区间 上总有解，
则只要找到其中一个实数 ，
使得函数 的最大值最小即可，
如图，函数 向下平移到一定程度时，
函数 的最大值最小．
此时只有当 时，才能保证函数 的最大值最小．
设函数 图象向下平移了 个单位，（ ）．
∴ ，
解得 ．
∴此时函数 的最大值为 ．
根据绝对值函数的特点，可知实数 的取值范围为： ．
【标注】【知识点】不等式中的恒成立与能成立问题
导图总结
你学会了吗？快来用思维导图总结本节课所学吧！
16
【备注】
出门测
23. 已知幂函数 的图象关于 轴对称，且在 上是减函数，则
．
【答案】
【解析】幂函数 在 上是减函数，
∴ ，解得 ；
当 时， ，满足题意；
当 时， ，不满足题意；
综上， ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】幂函数的图象及性质；利用函数单调性解不等式
24. 对于函数 ，当 时， 的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题意 ，
故 ．
当且仅当 时“ ”成立，
根据对勾函数的性质得：
17
在 递减，在 递增，
而 ，
故函数的值域是 ，
故选 ．
【标注】【知识点】对勾函数；用单调性观察法求值域
25. 设 ，若关于 的不等式 在区间 上有解，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意知， 在区间 上有解，
设 ，则本题等价于求 在区间 上的最大值，
且 在区间 内单调递增，故最大值为 ，
即 ．
故选 ．
【标注】【知识点】利用单调性求函数最值；不等式中的恒成立与能成立问题
26. 已知函数 ，则满足 的 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵ 在 上是减函数， ，
∴ ，解得 ．
【标注】【知识点】利用函数单调性解不等式
【知识点】幂函数的图象及性质
【素养】数学运算
【素养】逻辑推理
18幂函数与对勾函数
一、 幂函数
1. 幂函数的定义
一般地，函数
叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数.
注意：幂函数的构成条件：
①系数为
②底数是自变量
③指数为常数．
满足这三个条件，方为幂函数，否则不是，如 ， ， 都不是幂函数．
注意：幂函数的定义域取决于指数 ，须使得指数幂的运算有意义．
经典例题
1. 若函数 是幂函数，则实数 （ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
2. 函数 ，当 取 时是反比例函数；当 取 时是幂函数．
3. 已知 函数是幂函数，且函数 过点 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
2. 幂函数的图象与性质
1. 几个常见幂函数
1
函数
定义域
图象
奇偶性
单调减区间
单调性
单调增区间
值域
定点
2. 为正数时的图象和性质
当 时的图象见下图：
时：
2
①图象都通过点 ， ；
②在第一象限内，函数值随 的增大而增大，即在 上是 ；
③当 时，函数 在第一象限的图象是 的；
④当 时，函数 在第一象限的图象是 的．
3. 为负数时的图象和性质
当 时的图象见下图：
时：
①图象都通过点 ；
②在第一象限内，函数值随 的增大而减小，即在 上是 ；
③在第一象限内，图象向上与 轴无限地接近，向右与 轴无限地接近．
4. 幂函数的其他常用性质
（1）任何幂函数的图象与坐标轴至多只有 交点；
（2）任何幂函数图象都不经过第 象限；
（3）任何两个幂函数的图象最多有 交点；
（4） 越大，函数 在 右侧部分的图象 （指大 ）．
经典例题
4. 若幂函数 的函数图象经过原点，则 ．
5. 幂函数 ，当 时为减函数，则实数 的值为（ ）．
A. B.
C. 或 D.
3
6. 如图所示，幂函数 在第一象限的图象，比较 ， ， ， ， ， 的大小（ ）．
A.
B.
C.
D.
7. 若 ，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
8. 已知函数 为偶函数，且 则 的值为（ ）．
A. B. C. 或 D. 不确定
巩固练习
9. 幂函数 经过点 ，则 是（ ）．
A. 偶函数，且在 上是增函数
B. 偶函数，且在 上是减函数
C. 奇函数，且在 上减函数
D. 非奇非偶函数，且在 上是增函数
10. 函数 是幂函数且在 上单调递减，则实数 的值为 ．
11. 关于幂函数 及其图象，有下列四个命题：
①其图象一定不通过第四象限．
②当 时，其图象关于直线 对称．
③当 时，函数 是增函数．
④ 的图象与 的图象至少有两个交点
其中正确的命题个数是（ ）．
4
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
12. 设 ； ，则 是 成立的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
13. 已知函数 （实数 ）的图象关于 轴对称，且 ．
（ 1 ）求 的值及函数 的解析式．
（ 2 ）若 ，求实数 的取值范围．
14. 已知幂函数 的图象关于原点对称，且在 上是减函数，若
，则实数 的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
二、 “对勾函数”和“飘带函数”
1. 对勾函数和飘带函数的图象与性质
（一） 对勾函数
形如“ ”的函数叫做对勾函数，是一个奇函数，例如 ，其图象如
下：
5
y
5
4
3
2
1
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1x0
–1
–2
–3
–4
–5
–6
该函数在 和 上单调增，在 和 上单调减．
对于一般的对勾函数 ，其在 和 上单调增，在
和 上单调减．记忆方法是：让加号两边的 和 相等，解出的 就是单调性改变
的临界点．
（二） 飘带函数
形如 的函数也被叫做"飘带函数"，也是一个奇函数，根据单调性的运
算性质，我们不难判断出其在 和 上单调增，例如 图象如下图．
6
y
5
4
3
2
1
–5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5 x
–1
–2
–3
–4
飘带函数 与 轴交点横坐标即为对勾函数 “拐
点”的横坐标，都是 ．
经典例题
15. 函数 的单调增区间是（ ）．
A. ， B.
C. ， D.
16. 已知 ，则 的最小值为 ．
17. ， 的值域为 ．
18. 已知函数 ，其在区间 上单调递增，则 的取值范围为 ．
巩固练习
19. 函数 单调递增区间为 ．
20. 已知 ，则 在区间 上的最大值与最小值之和为（ ）．
7
A. B. C. D.
21. 三个同学对问题“关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围”
提出各自的解题思路．
甲说：“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值．”
乙说：“把不等式变形为左边含变量 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于 的函数，作出函数的图象”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结果，即 的取值范围是 ．
22. 已知函数 ，若对任意实数 ，关于 的不等式 在区间 上总有
解，则实数 的取值范围为 ．
导图总结
你学会了吗？快来用思维导图总结本节课所学吧！
出门测
23. 已知幂函数 的图象关于 轴对称，且在 上是减函数，则
．
24. 对于函数 ，当 时， 的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
25. 设 ，若关于 的不等式 在区间 上有解，则（ ）．
A. B.
C. D.
26. 已知函数 ，则满足 的 的取值范围是 ．
8

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