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总复习
一、 集合、常用逻辑用语、不等式
1. 集合
1. 集合 ， ，则(　　)
A. B.
C. D.
2. 集合 ，集合 ，则 （ ）．
A. B.
C. D.
3. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 的学生喜欢足球或游泳， 的学生喜欢足球， 的
学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 ．
4. 已知集合 ， ．
（ 1 ）求 ， ．
（ 2 ）若 ， ，求实数 的取值范围．
5. 已知全集 ，集合 ， ．
（ 1 ）若 ，求 ．
（ 2 ）若 ，求实数 的取值范围．
2. 常用逻辑用语
6. 下列命题为真命题的是（ ）．
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C.
D. 是 的充分不必要条件
7. 设命题 ： ， ，则 为（ ）．
A. ，
B. ，
1
C. ，
D. ，
8. 已知 ； ， ，则 是 的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 下列几种说法中，正确的是（ ）．
A. 面积相等的三角形全等
B. “ ”是“ ”的充分不必要条件
C. 若 为实数，则“ ”是“ ”的必要不充分条件
D. 命题“若 ，则 ”的否定是假命题
3. 不等式
10. 已知 ，则下列各式一定成立的是（ ）．
A. B.
C. D.
11. 已知 ， 是正数，且 ，下列叙述正确的是（ ）．
A. 最大值为
B. 的最小值为
C. 最大值为
D. 最小值为
12. 已知正实数 ， 满足 ，则 最小值为（ ）．
A. B. C. D.
13. 下列命题中错误的是（ ）．
A. 当 ， ，且 时， 的最小值是
B. 当 时， 的最大值是
C. 当 时， 的最小值是
D. 当 时， 的最小值是
二、 函数的概念和性质
2
14. 已知函数 ，下列结论正确的是（ ）．
A. 的定义域为
B. 的图象关于坐标原点对称
C. 在定义域上是减函数
D. 的值域为
15. 已知函数 为定义在 上的奇函数，对任意 都有 ，当 时，
，则 的值为 ．
16. 已知定义在 上的函数 同时满足下列三个条件：
① 是奇函数；
② ， ；
③当 时， ；
则下列结论正确的是（ ）．
A. 的最小正周期
B. 在 上单调递增
C. 的图象关于直线 对称
D. 当 时，
17. 已知定义域为 的函数 满足 ，则 ．
18. 设 是定义在 上的奇函数，且 时， ，若对于任意的 不等式
恒成立，则实数 的取值范围是 ．
19. 高斯是德国著名的数学家，近代数学莫基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并
列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则
称为高斯函数，例如： ， ，已知函数 ，函数
，以下结论正确的是（ ）．
A. 在 上是增函数 B. 是偶函数
C. 是奇函数 D. 的值域是
20. 对于函数 ，若存在 ，使 ，则称点 与点 是函数
的一对“隐对称点”．若函数 图象存在“隐对称点”，则实数 的取值范围
是（ ）．
A. B.
C. D.
3
21. 定义函数 ．
（ 1 ）若方程 有惟一的根，求 ， 满足的关系式．
（ 2 ）若 ， ，求函数 的值域．
（ 3 ）若对任意的 不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
三、 基本初等函数
22. 已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）．
A. B. C. D.
23. 计算： ．
24. 函数 的部分图象大致为（ ）．
A. B.
C. D.
25. 已知函数 ，若对任意的 使得 成立，则实数 的取值
范围为（ ）．
A. B.
C. D.
26. 已知函数 ，则使不等式 成立的 的取值范围是（
）．
A.
B.
C.
D.
27. 已知函数 ．
4
（ 1 ）解关于 的方程 ．
（ 2 ）设函数 ，若 在 上的最
小值为 ，求 的值．
28. 素数也叫质数，部分素数可写成“ ”的形式（ 是素数），法国数学家马丁梅森就是研究素数
的数学家中成就很高的一位，因此后人将“ ”形式（ 是素数）的素数称为梅森素数． 年底
发现的第 个梅森素数是 ，它是目前最大的梅森素数．已知第 个梅森素数为
，第 个梅森素数为 ，则 约等于（参考：在 ， 很大的条件下
； ）（ ）．
A. B. C. D.
四、 函数的综合应用与实际问题
29. 函数 ，若函数 恰有 个不同的零点，则实数 的取值
集合为 ．
30. 已知定义在 上的函数 满足 ， ，且当 时，
，若函数 在 上至少有三个不同的零点，则下列结
论正确的是（ ）．
A. 的图象关于直线 对称
B. 当 时，
C. 当 时， 单调递减
D. 的取值范围是
31. 已知直线 分别与函数 和 的图象交于点 ， ，则下列结论
正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
32. 某种物资实行阶梯价格制度，具体见下表．
阶梯 年用量（千克） 价格（元 千克）
第一阶梯 不超过 的部分
5
第二阶梯 超过 而不超过 的部分
第三阶梯 超过 的部分
则一户居民使用该物资的年花费 （元）关于年用量 （千克）的函数关系式为 ，若某户居民
使用该物资的年花费为 （元），则该户居民的年用量为 千克．
33. 佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的
新机器．生产这种机器的月固定成本为 万元，每生产 台，另需投入成本 （万元），当月产
量不足 台时， （万元）；当月产量不小于 台时，
（万元）．若每台机器售价 万元，且该机器能全部卖完．
（ 1 ）求月利润 （万元）关于月产量 （台）的函数关系式．
（ 2 ）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．
34. 已知定义在区间 上的函数 ．
（ 1 ）求函数 的零点．
（ 2 ）若方程 有四个不等实根 ， ， ， ，证明 ．
（ 3 ）在区间 上是否存在实数 ， ，使得函数 在区间 上单调，且 的值域为
，若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由．
35. 已知 且 ， 是定义在 上的一系列函数，满足：
， ．
（ 1 ）求 ， 的解析式．
（ 2 ）若 为定义在 上的函数，且 ．
1 求 的解析式．
2 若方程 有且仅有一个
实根，求实数 的取值范围．
五、 三角函数
36. 关于函数 ，下列结论正确的是（ ）．
A. 该函数的其中一个周期为
B. 该函数的图象关于直线 对称
C. 将该函数的图象向左平移 个单位长度得到 的图象
D. 该函数在区间 上单调递减
37.
6
函数 （ ， ）的部分图象如图所示，则该函数的解析式可以为（ ）．
y
x
A.
B.
C.
D.
38.
已知 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
39. ．
40. 如图，一个半径为 米的筒车按逆时针方向每 分钟转 圈，筒车的轴心 距水面的高度为 米．设筒
车上的某个盛水筒 到水面的距离为 （单位：米）（在水面下则 为负数）．若以盛水筒 刚浮出
水面时开始计算时间，则 与时间 （单位：分钟）之间的关系为
．
水面
（ 1 ）求 ， ， ， 的值．
（ 2 ）求盛水筒 出水后至少经过多少时间就可到达最高点？
（ 3 ）某时刻 （单位：分钟）时，盛水筒 在过 点的竖直直线的左侧，到水面的距离为 米，再
经过 分钟后，盛水筒 是否在水中？
41. 解答．
（ 1 ）已知 ，求 的值．
（ 2 ）已知 ， ，且 ， ．
求 ．
7
42. 设函数 ．
（ 1 ）求 的最小正周期和单调递增区间．
（ 2 ）当 时，求函数 的最大值和最小值．
43. 已知函数 ．
（ 1 ）求 的最小正周期．
（ 2 ）若函数 的图象是由 的图象向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度
得到的，当 时，求 的最大值和最小值．
8总复习
一、 集合、常用逻辑用语、不等式
1. 集合
1. 集合 ， ，则(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解： ， ；
， ．
故选：B．
【标注】【知识点】交、并、补集混合运算
2. 集合 ，集合 ，则 （ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵集合 ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】交集
3. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 的学生喜欢足球或游泳， 的学生喜欢足球， 的
学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 ．
【答案】
1
【解析】设有 的学生既喜欢足球又喜欢游泳，
则有 只喜欢足球，有 只喜欢游泳，
由题意得： ，
解得 ．
故该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】容斥原理
4. 已知集合 ， ．
（ 1 ）求 ， ．
（ 2 ）若 ， ，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ） ，
．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）
∴ 或
∴
∴
∴ ．
（ 2 ）∵ ，
∴ ，
若 ，
需 ，
∴ ，
又 ，
∴ ．
2
【标注】【知识点】连续性集合关系中的含参问题；交、并、补集混合运算
5. 已知全集 ，集合 ， ．
（ 1 ）若 ，求 ．
（ 2 ）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） ，全集 ，
集合 ，
，
或 ，
∴ ．
（ 2 ）∵集合 ， ， ，
∴ ，
解得 ，
∴实数 的取值范围 ．
【标注】【知识点】连续性集合关系中的含参问题；交、并、补集混合运算
2. 常用逻辑用语
6. 下列命题为真命题的是（ ）．
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C.
D. 是 的充分不必要条件
【答案】BCD
【解析】A 选项：若 ， ，则 ，故 错误；
B 选项： ，两边同时乘以 ，∵ ，∴ ，两边同时乘以 ，∵ ，∴
，即 ，故 正确；
C 选项：
3
，∵ ，∴ ，∴
，故 正确；
D 选项： ，∴ ，即“ ”是“ ”的充分不必要条件，故 正
确；
故选 B C D .
【标注】【知识点】针对不等式变形判断正误；充要条件与不等式结合
7. 设命题 ： ， ，则 为（ ）．
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】C
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题 ： ， ，则 为：
， ．
故选： ．
【标注】【知识点】全称量词与存在量词；逻辑联结词
8. 已知 ； ， ，则 是 的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为 ， ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
又 ，
因为 ，
故 是 的必要不充分条件．
故选 ．
4
【标注】【知识点】充要条件与不等式结合
9. 下列几种说法中，正确的是（ ）．
A. 面积相等的三角形全等
B. “ ”是“ ”的充分不必要条件
C. 若 为实数，则“ ”是“ ”的必要不充分条件
D. 命题“若 ，则 ”的否定是假命题
【答案】CD
【解析】A 选项：全等三角的面积相等，而面积相等不一定相等，故 错误；
B 选项：若 ，则 或 或 且 ．
若 ，则 且 ．
则“ ”是“ ”的必要不充分条件，故 错误；
C 选项：若 为实数，则
，
∵ ，
∴“ ”是“ ”的必要不充分条件，故 正确；
D 选项：若 ，则 ，
故“若 ，则 ”的否定是假命题，故 正确．
故选 C D .
【标注】【知识点】充要条件与不等式结合
3. 不等式
10. 已知 ，则下列各式一定成立的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】 选项：因为 ， ， 的大小无法确定，故 错误；
选项：取 ， ，得 ，故 错误；
选项：可得 ，所以 ，故 正确．
5
故选： ．
【标注】【知识点】针对不等式变形判断正误
11. 已知 ， 是正数，且 ，下列叙述正确的是（ ）．
A. 最大值为
B. 的最小值为
C. 最大值为
D. 最小值为
【答案】AB
【解析】对于 ， ， 当且仅当 ，即 ，
时等号成立，故 正确；
对于 ， ，由选项 得 ，则
，当且仅当 ，
即 ， 时等号成立，故 正确；
对于 ， ，当且当 ，即
， 时等号成立，又 ， 是正数，故等号不成立，故 错误；
，当且仅当 ，即 时等号成立，故 错误．
故选 ．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值
12. 已知正实数 ， 满足 ，则 最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵ ， ， ，
∴ ，
，
6
，
当且仅当 ，
即 ， 时等号成立，
∴ 最小值为 ： ．
故选： ．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值
13. 下列命题中错误的是（ ）．
A. 当 ， ，且 时， 的最小值是
B. 当 时， 的最大值是
C. 当 时， 的最小值是
D. 当 时， 的最小值是
【答案】AC
【解析】A 选项：
∵ ，
∴ ，
当 时， ，故 错；
B 选项： 时，
，
当 ，即 ，
，故 正确；
C 选项： ，
当 ，即 时，
，
∵ ，
7
∴ 取不到最小值 ，
故 错误；
D 选项：当 时， ，
，
当 时，
，
∴ ，故 正确．
故选 A C .
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值
二、 函数的概念和性质
14. 已知函数 ，下列结论正确的是（ ）．
A. 的定义域为
B. 的图象关于坐标原点对称
C. 在定义域上是减函数
D. 的值域为
【答案】AB
【解析】A 选项： ，
，
定义域为 ，
；
由上述知，故 正确；
B 选项：因为 ，故 正确；
C 选项：因为 ，故 错误；
D 选项： 无解，故 错误．
故选 A B .
【标注】【知识点】利用定义判断函数奇偶性
8
15. 已知函数 为定义在 上的奇函数，对任意 都有 ，当 时，
，则 的值为 ．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 关于 轴对称，
∵ ，
∵ 周期为 ，
∴ ．
【标注】【知识点】函数周期性与奇偶性综合问题；迭代法判断周期；函数求值问题
16. 已知定义在 上的函数 同时满足下列三个条件：
① 是奇函数；
② ， ；
③当 时， ；
则下列结论正确的是（ ）．
A. 的最小正周期
B. 在 上单调递增
C. 的图象关于直线 对称
D. 当 时，
【答案】ABD
【解析】由题意， 是奇函数，则 ，
选项： ，令 代换 有
，故 ，故 正确；
选项： 时， 单调递增，而奇函数 ，故 在 上
单调递增，故 正确；
选项：由 ，知 关于 对称，故 错误；
9
选项：由于 关于 对称， ，且 为奇函数，故在一个周期
内 ，因此当 时， ，故
正确．
故选 ．
【标注】【知识点】函数周期性与奇偶性综合问题
17. 已知定义域为 的函数 满足 ，则 ．
【答案】
【解析】∵ ，①
∴ ，②
②除以 得 ，③
① ③得 ，即 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】用联立方程组法求解析式
18. 设 是定义在 上的奇函数，且 时， ，若对于任意的 不等式
恒成立，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】取 ，则 ，
∴ ，
∵ 是 上的奇函数，
∴ ，
∴ 时， ，
时， ．
∴ ，即 等价于 ，
∵ 在 单调递减，
∴ 在 上单调递减，
∴ ，即 ．
∵ 在 时恒成立，
10
∴ ，即 ．
∴ 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】函数单调性与奇偶性综合问题
19. 高斯是德国著名的数学家，近代数学莫基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并
列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则
称为高斯函数，例如： ， ，已知函数 ，函数
，以下结论正确的是（ ）．
A. 在 上是增函数 B. 是偶函数
C. 是奇函数 D. 的值域是
【答案】ACD
【解析】A 选项：∵ ，
∵ 是递减的，
∴ 是递增的，故 正确；
B 选项：∵
，
∴ 的值域为 ，
∴ ， ， ，故 错误；
C 选项：∵ ，
根据奇函数定义知， 是奇函数，故 正确；
D 选项：由 知，故 正确．
故选 A C D .
【标注】【知识点】取整函数（高斯函数）；求复合函数的值域
20. 对于函数 ，若存在 ，使 ，则称点 与点 是函数
的一对“隐对称点”．若函数 图象存在“隐对称点”，则实数 的取值范围
是（ ）．
A. B.
11
C. D.
【答案】B
【解析】由“隐对称点”的定义可知， 的图象上存在关于原点对称的点，
设函数 的图象与函数 ， 的图象关于原点对称，
令 ，则 ， ，
所以 ， ，
故原题意等价于方程 有实根，
故 ，
又 ，
当且仅当 时，取得等号，
所以 ，
故实数 的取值范围是 ，
故选 ．
【标注】【知识点】函数的新定义问题
21. 定义函数 ．
（ 1 ）若方程 有惟一的根，求 ， 满足的关系式．
（ 2 ）若 ， ，求函数 的值域．
（ 3 ）若对任意的 不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ）见解析
（ 2 ）
（ 3 ）
【解析】（ 1 ）解：方程 有惟一的根，即 有惟一的根，
若 ，则 ；
若 ，则 ．
（ 2 ）当 ， 时，函数 ．
由 ，解得 或 ．
．
12
当 时， ， 在 上为减函数，
；
当 时， ， 在 上为增函数，
．
函数 的值域为 ．
（ 3 ）对任意的 不等式 恒成立，
即 恒成立，等价于 ，
令 ，则 在 上为增函数，
故 ， ．
若 ，则 ，此时 ；
若 ，则 ，从而 ．
综上可得，实数 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】不等式中的恒成立与能成立问题；直接求函数的极值（不含参）
三、 基本初等函数
22. 已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵函数 在 上单调递增，
∴ ，即 ，
又∵函数 在 上单调递增，
∴ ，即 ，
又∵函数 在 上单调递减，
∴ ，即 ，
故 ．
故选 ．
13
【标注】【知识点】指对幂比较大小
23. 计算： ．
【答案】
【解析】　
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】对数的运算
24. 函数 的部分图象大致为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】 ，则 ，则函数 是奇函数，
排除 ， ，
由 ，得 ，得 或 ，
当 时， ，排除 ，
故选： ．
【标注】【知识点】函数图象的识别问题
25. 已知函数 ，若对任意的 使得 成立，则实数 的取值
范围为（ ）．
A. B.
14
C. D.
【答案】D
【解析】若对任意的 使得 成立，
即 ，得 ，
∴
∵函数 在 上为增函数，函数 在 上为减函数，
∴函数 在 上为增函数，且 ，
，
∴ ，即 ，
因此，实数 的取值范围是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】已知单调性求参数的取值范围
26. 已知函数 ，则使不等式 成立的 的取值范围是（
）．
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由 解得 或 ，
∴ 的定义域为 ，关于原点对称．
又 ，
∴ 为偶函数．
∵当 时， 恒成立，
∴ 在 上单调递增．
15
∵ 为偶函数，
∴其图象关于 轴对称，
∴ 等价于 ，
或
∴ 或 ，
或
解得 或 ，
故 的取值范围是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】函数单调性与奇偶性综合问题；利用函数单调性解不等式
27. 已知函数 ．
（ 1 ）解关于 的方程 ．
（ 2 ）设函数 ，若 在 上的最
小值为 ，求 的值．
【答案】（ 1 ） 或 ．
（ 2 ） 或 ．
【解析】（ 1 ） ，
有 ， ，
①当 ，
，
或 ，
②当 ，
，
此时无解．
综上：解为： 或 ．
（ 2 ）由题：
16
∴
，
故 ，
令 ，
易得 在 上递增，
时， ，
时， ，
∴ ， ，
∵ 在 最小值为 ，
∴ 在 最小值为 ，
①若 ，
显然， 在 最小值为 ，不符合题意，
②若 ，
则 在 上递增，
当 时，
，
，
∴ 或 ，
又 ，
∴ ，
③当 时， 在 递减，
，
， ，
∴ 或 ，
又 ，
17
∴ ．
综上：若 在 最小值为 ，
则 或 ．
【标注】【知识点】利用单调性求函数最值
28. 素数也叫质数，部分素数可写成“ ”的形式（ 是素数），法国数学家马丁梅森就是研究素数
的数学家中成就很高的一位，因此后人将“ ”形式（ 是素数）的素数称为梅森素数． 年底
发现的第 个梅森素数是 ，它是目前最大的梅森素数．已知第 个梅森素数为
，第 个梅森素数为 ，则 约等于（参考：在 ， 很大的条件下
； ）（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵ ， 两数远远大于 ，
∴ 的值约等于 ，
设 ，
因此有 ．
故选 ．
【标注】【知识点】指对化简求值
四、 函数的综合应用与实际问题
29. 函数 ，若函数 恰有 个不同的零点，则实数 的取值
集合为 ．
【答案】
【解析】如图所示，
18
y
x
O
令 ，可知 或 ，
又因为 有两解 或 ，所以 仅有一解，从而 且 ，故
实数 的取值集合为 ．
【标注】【知识点】已知零点情况求参数的取值范围；函数零点的概念；复合函数；分段函数
30. 已知定义在 上的函数 满足 ， ，且当 时，
，若函数 在 上至少有三个不同的零点，则下列结
论正确的是（ ）．
A. 的图象关于直线 对称
B. 当 时，
C. 当 时， 单调递减
D. 的取值范围是
【答案】AB
【解析】A 选项：由 ，可知 是偶函数，
由 ，可知 是周期为 的周期函数，
因为当 时， ，
所以 图象关于 对称，故选项 正确．
B 选项：当 时， ，故选项 正确．
C 选项：当 时，由周期为 可知， 单调性与 时 的单调性相同，
所以当 时， 单调递增，故选项 错误．
D 选项：设 ，则函数 在 上至少有三个
不同的零点，
等价于函数 与 图象在 上至少有三个不同的交点，
19
y
O x
结合图象可知，则有 ，即 ，解得 ，故选项 错
误．
故选 A B .
【标注】【知识点】已知零点情况求参数的取值范围；利用函数图象研究方程根的分布问题（图象
与零点综合）；函数周期性与奇偶性综合问题
31. 已知直线 分别与函数 和 的图象交于点 ， ，则下列结论
正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】AB
【解析】如图所示，作出函数 、 和 的图象．
因为 、 关于 对称，且 ，函数 与 关于 对称，
联立 ，解得 ，即 ，
所以 ，故 正确；
因为 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，故 正确；
20
根据题意知，
有： ，
记： ，则 ，故 时， ，所以 在
上单增，
所以 ，即 ，
故 ，故 错误；
记 ，则 ， ，
则 ，
又 ，
易知 在 上单调递增，
故 ，故 错误．
综上所述，故选 、 ．
【标注】【素养】逻辑推理；数学运算
【知识点】函数对称性与单调性综合问题；对数函数的图象及性质；指数函数的图象及性
质
32. 某种物资实行阶梯价格制度，具体见下表．
阶梯 年用量（千克） 价格（元 千克）
第一阶梯 不超过 的部分
第二阶梯 超过 而不超过 的部分
第三阶梯 超过 的部分
则一户居民使用该物资的年花费 （元）关于年用量 （千克）的函数关系式为 ，若某户居民
使用该物资的年花费为 （元），则该户居民的年用量为 千克．
【答案】
;
【解析】由题意可知，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故
21
令 ，解得 ．
故答案为： ； ．
【标注】【知识点】分段函数模型
33. 佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的
新机器．生产这种机器的月固定成本为 万元，每生产 台，另需投入成本 （万元），当月产
量不足 台时， （万元）；当月产量不小于 台时，
（万元）．若每台机器售价 万元，且该机器能全部卖完．
（ 1 ）求月利润 （万元）关于月产量 （台）的函数关系式．
（ 2 ）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．
【答案】（ 1 ） 且
．
且
（ 2 ） 台； 万元．
【解析】（ 1 ）当 时，
，
当 时，
，
且
∴ ．
且
（ 2 ）当 时，
，
当 时， 取最大值 万元，
当 时，
，
当且仅当 时，取等号，
综上所述，当月产量为 台时，该企业能获得最大月利润，其利润为 万元．
22
【标注】【知识点】分段函数模型；求分段函数的最值
34. 已知定义在区间 上的函数 ．
（ 1 ）求函数 的零点．
（ 2 ）若方程 有四个不等实根 ， ， ， ，证明 ．
（ 3 ）在区间 上是否存在实数 ， ，使得函数 在区间 上单调，且 的值域为
，若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（ 1 ） 或 ．
（ 2 ）证明见解析．
（ 3 ）存在， ．
【解析】（ 1 ）当 时，有 ，
即 ，
化简得 ，
解得 或 ，均大于 ，
故 的零点为 或 ．
（ 2 ） 或 ，
即 或 ，
∵ ， ， ， 为方程 的四个不相等的实根，
∴由根与系数的关系得 ．
（ 3 ）如图，
可知 ， 在区间 、 上均为单调函数，
（）当 时， 在 上单调递增，
则 ，即 ， 在 有两个不等实
根，
而令 ，则 ，
由二次函数 的单调性，可得， ，
23
（ ）当 时， 在 上单调递减，
则 ，两式相除整理得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由 ，
得 ，
∴ ，
综上， 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】已知函数值域求参数；已知函数单调性求参数范围；直接求函数的零点；求零
点和或积的范围
35. 已知 且 ， 是定义在 上的一系列函数，满足：
， ．
（ 1 ）求 ， 的解析式．
（ 2 ）若 为定义在 上的函数，且 ．
1 求 的解析式．
2 若方程 有且仅有一个
实根，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ） ，
．
（ 2 ）1 ．
2 ．
【解析】（ 1 ）由 ， ，
可得 ，
，
24
．
（ 2 ）1 利用（ ）中结论，用 代替 两次，
分别得到 ，
消去 ， ，
可得 ．
2 由①可得
所以 ，
即 ，
因为 ， 恒成立，
要使方程
有且仅有一个实根，
所以只需 有负根，且原方程有且只有一个负根，
则 ，解得 ．
即 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】已知零点情况求参数的取值范围
五、 三角函数
36. 关于函数 ，下列结论正确的是（ ）．
A. 该函数的其中一个周期为
B. 该函数的图象关于直线 对称
C. 将该函数的图象向左平移 个单位长度得到 的图象
D. 该函数在区间 上单调递减
【答案】ABD
【解析】A 选项： 的最小正周期 ，故存在一个周期为 ，故 正确；
25
B 选项：令 ， ，则 ， ，当 时， ，则
存在直线 是对称轴，故 正确；
C 选项： 的图象向左平移 个单位长度得：
的图象，故 错误；
D 选项：令 ， ，解得 ，
，当 时， ．
又 ，
∴该函数在区间 上单调递减，故 正确．
故选 A B D .
【标注】【知识点】已知余弦型函数判定结论正误
37. 函数 （ ， ）的部分图象如图所示，则该函数的解析式可以为（
）．
y
x
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由函数图象可知， ， ，即 ，
则 ，即函数 ，
又∵ ，
∴ ，
∴当 时，函数的解析式为 ．
故选 ．
26
【标注】【知识点】已知正弦型函数图象求参数值
38.
已知 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵ ，
∴
．
故选 ．
【标注】【知识点】利用诱导公式化简；同角关系齐次式化简求值
39. ．
【答案】
【解析】　
．
【标注】【知识点】利用余弦和差角公式直接求值
40. 如图，一个半径为 米的筒车按逆时针方向每 分钟转 圈，筒车的轴心 距水面的高度为 米．设筒
车上的某个盛水筒 到水面的距离为 （单位：米）（在水面下则 为负数）．若以盛水筒 刚浮出
水面时开始计算时间，则 与时间 （单位：分钟）之间的关系为
．
水面
27
（ 1 ）求 ， ， ， 的值．
（ 2 ）求盛水筒 出水后至少经过多少时间就可到达最高点？
（ 3 ）某时刻 （单位：分钟）时，盛水筒 在过 点的竖直直线的左侧，到水面的距离为 米，再
经过 分钟后，盛水筒 是否在水中？
【答案】（ 1 ） ， ， ， ．
（ 2 ） 分钟．
（ 3 ）不在水中．
【解析】（ 1 ）由题意知， ，
所以 ．
由图可得： ， ，
当 时， ，代入 得， ，
因为 ，
所以 ．
（ 2 ）由（ ）知： ，
盛水筒达到最高点时， ，
当 时， ，
所以 ，
所以 ，
解得 ．
因为 ，
所以，当 时， ，
所以盛水筒出水后至少经过 分钟就可达到最高点．
（ 3 ）由题知： ，即 ，
所以 ， 舍去 ，
所以
，
所以，再经过 分钟后 ，
所以再经过 分钟后盛水筒不在水中．
28
【标注】【知识点】最简三角方程；三角函数的实际应用；已知正弦型函数图象求参数值
41. 解答．
（ 1 ）已知 ，求 的值．
（ 2 ）已知 ， ，且 ， ．
求 ．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）
，
又∵ ，
∴ ，
原式 ．
（ 2 ）∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴
．
【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用
42.
29
设函数 ．
（ 1 ）求 的最小正周期和单调递增区间．
（ 2 ）当 时，求函数 的最大值和最小值．
【答案】（ 1 ） ； ， ．
（ 2 ）最大值为 ；最小值为 ．
【解析】（ 1 ）
，
∴ ，
由 ， ，
解得 ， ，
∴ 单调递增区间是 ， ．
（ 2 ）当 时， ，
∴ ，
故最大值为 ，
最小值为 ．
【标注】【知识点】辅助角公式；求正弦型函数的周期；求固定区间正弦型函数值域；求正弦型函
数的单调区间
43. 已知函数 ．
（ 1 ）求 的最小正周期．
（ 2 ）若函数 的图象是由 的图象向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度
得到的，当 时，求 的最大值和最小值．
30
【答案】（ 1 ）
（ 2 ） 的最大值为 ； 的最小值为 ．
【解析】（ 1 ）因为
,
所以函数 的最小正周期为 ．
（ 2 ）依题意，
．
因为 ，
所以 ．
当 ，即 时， 取最大值 ；
当 ，即 时， 取最小值 ．
【标注】【知识点】正余弦型、正切型函数图象变换；正弦函数的图象和性质；求固定区间正弦型
函数值域；辅助角公式
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