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三角函数的概念
一、 任意角的概念与弧度制
1. 角的概念的推广
（一）角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
如下图所示：
（1）始边：射线的起始位置 ．
（2）终边：射线的终止位置 ．
（3）顶点：射线的端点 ．
（4）记法：图中的角可以记为“角 ”或“ ”或“ ”或“ ”．
（二）任意角
（1）按逆时针方向旋转形成的角叫做 ，如下图（左）所示；
（2）按顺时针方向旋转形成的角叫做 ，如下图（中）所示；
（3）如果一条射线没有旋转，我们称它形成一个 ，即零角的始边和终边重合．如果 是零角，
那么 ，如下图（右）所示．
这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角．
（三）象限角与轴线角
1
为了研究角度方便，可以将角放入平面直角坐标系中，即使角 的顶点与原点重合，始边与 轴正半
轴重合，终边落在第几象限，则称角 为第几象限角；终边落在坐标轴上的角 称为 ．
（四）终边相同的角
一般地，我们有：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合
，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的
和．
经典例题
1. 角的终边在（ ）．
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 如图，分别写出适合下列条件的角的集合．
（ 1 ）终边落在射线 上： ．
（ 2 ）终边落在直线 上： ．
（ 3 ）终边落在阴影区域内（含边界）： ．
巩固练习
3. 设集合 为锐角 ， 为第一象限角 ， 为小于 的角 ，则（ ）．
A. B. ，
C. D. ，
4. 若 ，则与 具有相同终边的最小正角为 ．
2. 所在象限的确定方法
已知 终边所在的象限，要确定 所在的象限常用的方法有两种：
方法一：分类讨论．由 的范围得到 的范围，然后就 进行分类讨论，从而确定 所在象限．
方法二：“轮盘法”
2
① 所在象限的问题
如下图：
作出各个象限的角平分线，它们与坐标轴把周角等分成 个区域，从 轴的非负半轴起，按逆时针方
向把这 个区域一次循环标上号码 ，则标有某个数字的区域，就是 为该象限角时，
的终边落在的区域．如图中标 的区域，就是当 为第三象限角时， 的终边落在的区域．
② 所在象限的问题
规律同上，下面直接给出示意图，请读者自行对比理解：
经典例题
5. 若角 是第二象限的角，则 是（ ）．
A. 第一象限或第二象限的角 B. 第一象限或第三象限的角
C. 第二象限或第四象限的角 D. 第一象限或第四象限的角
6. 若 是第三象限的角， 是第二象限的角，则 是第 象限的角．
巩固练习
3
7. 若角 是第四象限的角，则角 是 ．
8. 若角 为第一象限角，则角 （ ）．
A. 不是第三象限角 B. 不是第四象限角 C. 不是第二象限角 D. 不是第一象限角
3. 弧度制
（一）弧度制的定义
长度等于 的弧所对的圆心角叫做 弧度的角；用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度
制；在弧度制下， 弧度记作 ．
角 的弧度数的绝对值 （其中 是以角 作为圆心角时所对的弧长， 是圆的半径）． 的正
负由角 终边的旋转方向决定（ 为正， 为负）．
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零．
（二）弧度制和角度制的转换
， ， 弧度 ．依据以上
公式，就可以自由的进行弧度与角度的换算了．
角度
弧度
角度
弧度
经典例题
9. 一个角的度数是 ，化为弧度数是 ．
10. 下面与角 终边相同的角是（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
11. .在平面直角坐标系 中，以 轴的非负半轴为始边，绕坐标原点 按逆时针方向旋转 弧度后所
得角的终边在（ ）．
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4
12. 如图所示，在平面直角坐标系 中，动点 ， 从点 出发在单位圆上运动，点 按逆时针
方向每秒钟转 弧度，点 按顺时针方向每秒钟转 弧度，则 ， 两点在第 次相遇时，点
的坐标为 ．
4. 扇形的弧长和面积公式
若扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 ，周长为 ，面积为 ，则有
， ， ．
经典例题
13. 已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是 ．
14. 若扇形的周长等于 ，则扇形面积的最大值是 .
巩固练习
15. 已知扇形的周长为 ，圆心角为 弧度，则该扇形的面积为(　　)
A. B.
C. D.
16. 已知一扇形的周长为 ，当这个扇形的面积最大时，半径的长为（ ）．
A. B. C. D.
17. 一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ）．
A. B. C. D.
二、 任意角的三角函数
1. 任意角的三角函数的定义
根据研究函数的经验，我们在直角坐标系上进行对三角函数的研究．
5
如下图，以单位圆的圆心 为原点，以射线 为 轴的非负半轴，建立直角坐标系，点 的坐标为
，点 的坐标为 ．射线 从 轴的负半轴开始，绕点 按逆时针反向旋转角 ，终止位置为
．
一般地，任意给定一角 ，它的终边 与单位圆交点 的坐标，无论是 还是 ，都是唯一确
定的．所以点 的横坐标 ，纵坐标 都是角 的函数．
（1）将 叫做角 的正弦，记为 ，即 ；
（2）将 叫做角 的余弦，记为 ，即 ；
（3）将分式 叫做角 的正切，记为 ，即 ．
可以看出，当 时， 的终边落在 轴上，此时 ，所以 无意义．
除此之外，对于确定的角 ，上述三个值都是唯一确定的，符合构成函数的标准，所以：正弦、余弦、
正切都是以角为自变量，一单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们三个统称为三
角函数．
假设点 为任意角 终边上的任意一点， 坐标为 ，点 与原点间的距离为 ．此时利用勾股定
理和相似三角形不难证明：
；
；
．
只要知道角 终边上任意一点 的坐标，就可以求得角 的各个三角函数值，并且这些函数值不会
随 点位置的改变而改变．
经典例题
18. 若角 的终边经过点 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
19. 角 的终边过点 ，则 （ ）．
6
A. B.
C. 或 D. 与 的值有关
巩固练习
20. 如果角 的终边经过点 ，则 （ ）．
A. B.
C. D.
21. 已知 ，若 ，则 ．
2. 三角函数线(选讲)
设角 的终边与单位圆交于点 ，与过点 的单位圆切线交于 点（当终边与切线不相交时，
取终边的反向延长线与切线的交点为 ），过 做 轴于 ，则有向线段 、 、
分别叫做角 的正弦线、余弦线、正切线．即 ， ，
，如下图：
7
经典例题
22. 已知 为锐角，利用三角函数线的有关知识证明： ．
巩固练习
23. 设 与 分别是角 的正弦线和余弦线，则（ ）．
A. B.
C. D.
24. 年 月 日是全球首个国际圆周率日 ．历史上，求圆周率 的方法有多种，与中国传统
数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数 充分大时，计算单位圆的内接正 边
形的周长和外切正 边形(各边均与圆相切的正 边形)的周长，将它们的算术平均数作为 的近似
值，按照阿尔卡西的方法， 的近似值的表达式是(　　)
A.
B.
C.
D.
三、 三角函数的定义域、值域和符号
1. 三角函数的定义域和值域
结合三角函数的定义和单位圆，不难得出三角函数的定义域和值域：
8
三角函数 定义域 值域
2. 三角函数值在各象限的符号
（1）三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内的坐标符号导出的．根据三角函数的定义表达
式得知：正弦的符号取决于纵坐标 的符号；余弦的符号取决于横坐标 的符号；正切的符号由横纵坐标
共同决定（同号为正，异号为负）．这样，各三角函数值在每个象限的符号见下图：
（2）三角函数在各象限的符号可简记为“全正切余”，具体解释为：第一象限全为正；第二象限正弦为
正；第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
经典例题
25. 下列三角函数判断错误的是（ ）．
A. B.
C. D.
26. 已知角 的终边过点 ，则 是第（ ）象限角．
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
9
27. 函数 的值域是 ．
巩固练习
28. 下列三角函数值的符号判断正确的是（）．
A. B.
C. D.
29. 已知 ， ，则 是第 象限角．
30. 已知点 在第三象限，则角 的终边在第 象限．
31. 已知 终边经过点 ，且 ， ，则 的取值范围为 ．
四、 同角三角函数的基本关系
如下图：
在单位圆中， 是圆上一点．正弦线 、余弦线 和半径 三者构成直角三角形，而且
，因此 ，即
．
显然，当 的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立．
根据三角函数的定义，当 ，有
．
语言描述为：同一个角 的正弦、余弦的平方和等于 ，商等于角 的正切．
经典例题
32. 若象限角 满足 ，则 是（ ）．
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
10
33. 已知角 的终边经过点 ，且 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
34. 若 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
35. 已知 ，且 ，求下列各式的值．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
巩固练习
36. 如图，在平面直角坐标系中， ， ， ， 是以原点为圆心的单位圆上的四段弧，点 是
其中一段弧上的动点，角 以 为始边， 为终边，且恒有 ，则点 所在的
圆弧是（ ）．
A. B.
C. D.
37. 已知 中， ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
38. 已知 ．
（ 1 ）求 的值．
（ 2 ）求 的值．
39. 已知 为第二象限角且 ，求：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
40. 若 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
11
五、 三角函数的诱导公式
角
的终边
的终边
图示
的终边
的终边 的终边
终边关系 相同 关于原点对称 关于 轴对称
公式
角
的终边
的终边 的终边
的终边
图示 的终边 的终边
先关于 对称
终边关系 关于 轴对称 关于 对称
再关于 轴对称
公式
（1）六组诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系，诱导公式可以概括
为： 各三角函数值与角 的三角函数值之间的关系：当 为偶数时，得 的同名三角函
数值；当 为奇数时，得 的异名三角函数值，然后在前面加上一个把 看作锐角时原函数的符号．
（2）记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、偶”是指 中 的奇偶性，当 为
奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当 为偶数时，函数名不变，“符号”看的应该是诱导公式中，把 看
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作锐角时原函数的符号，而不是 的三角函数值的符号．
利用上述公式，可以将任意角的三角函数值转化为锐角三角函数值，一般可以按照下面的步骤进
行：
（1）先把负角化为正角，公式选用“ ”或“ ”诱导公式；
（2）把大角（大于 ）化为小角（ ），公式选用“ ”诱导公式；
（3）再把角化为锐角（ ），公式选用“ ”、“ ”或“ ”诱导公式．
例题讲解
41. 已知 ，则 的值等于(　　)
A. B.
C. D.
42. （ ）．
A. B. C. D.
43. 已知 ，且 是第三象限角．
（ 1 ）求 的值．
（ 2 ）求 的值．
巩固练习
44. 已知 ， 的值为（ ）．
A. B. C. D.
45. 已知 ，求： 的值．
46. 已知 是 的根，且 为第三象限角，则
（ ）．
A. B. C. D.
导图总结
你学会了吗？快来用思维导图总结本节课所学吧！
出门测
13
47. 若 为第二象限角，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
48.
已知 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
49. 已知扇形的周长是 ，面积是 ，则扇形的中心角的弧度数是（ ）．
A. B. C. 或 D. 或
50. 已知 ，求下列各式的值.
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
14三角函数的概念
学习目标
1. 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度制与角度制的互化，掌握扇形弧长和面积公式；
2. 借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，理解同角三角函数的基本关系式和诱导公
式，能用来化简求值．
【备注】本节重点：弧度制与角度值的互化，扇形弧长和面积公式，三角函数定义，同角三角函数
的基本关系式，诱导公式；
本节难点：运用同角三角函数的基本关系式和诱导公式化简求值；
前置知识：函数；
后置知识：三角恒等变换，三角函数的图象与性质．
一、 任意角的概念与弧度制
1. 角的概念的推广
（一）角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
如下图所示：
（1）始边：射线的起始位置 ．
（2）终边：射线的终止位置 ．
（3）顶点：射线的端点 ．
（4）记法：图中的角可以记为“角 ”或“ ”或“ ”或“ ”．
（二）任意角
（1）按逆时针方向旋转形成的角叫做 正角 ，如下图（左）所示；
（2）按顺时针方向旋转形成的角叫做 负角 ，如下图（中）所示；
1
（3）如果一条射线没有旋转，我们称它形成一个 零角 ，即零角的始边和终边重合．如果 是零角，
那么 ，如下图（右）所示．
这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角．
（三）象限角与轴线角
为了研究角度方便，可以将角放入平面直角坐标系中，即使角 的顶点与原点重合，始边与 轴正半
轴重合，终边落在第几象限，则称角 为第几象限角；终边落在坐标轴上的角 称为 轴线角 ．
（四）终边相同的角
一般地，我们有：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合
，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的
和．
【备注】【补充说明】
（1）对于集合 的理解，注意集合中的角 是任意角；“
”是一个必不可少的条件，否则结论不成立；表达式中“ ”与“ ”之间用“ ”连
接， 可看成 ，此时表示的是与角 终边相同的角．
（2）当角的始边相同时，若角相等，则终边一定相同，反之不成立．
（3）终边相同的角的表示方式不唯一，如集合 和集合
表示的是同一系列的角．
经典例题
1. 角的终边在（ ）．
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【备注】 判断角终边所在象限，一般将任意角转换为 之间的角．
【答案】A
【解析】 ，∴ 与 终边相同．故选： ．
【标注】【知识点】终边相同的角的表示
2
2. 如图，分别写出适合下列条件的角的集合．
（ 1 ）终边落在射线 上： ．
（ 2 ）终边落在直线 上： ．
（ 3 ）终边落在阴影区域内（含边界）： ．
【备注】 注意要写成集合的形式，同时“ ”是必不可少．
【答案】（ 1 ） ，
（ 2 ）
（ 3 ）
【解析】（ 1 ）终边落在射线 上的角的集合为： ．
（ 2 ）终边落在直线 上的角的集合为： ．
（ 3 ）终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为：
．
【标注】【知识点】根据单位圆终边位置描述角的范围
巩固练习
3. 设集合 为锐角 ， 为第一象限角 ， 为小于 的角 ，则（ ）．
A. B. ，
C. D. ，
【答案】D
【标注】【知识点】集合之间关系的判断；象限角与轴线角
4. 若 ，则与 具有相同终边的最小正角为 ．
3
【答案】
【解析】旋转一圈终边相同，即相差 的角终边都相同．
【标注】【知识点】终边相同的角的表示
【素养】数学运算
2. 所在象限的确定方法
已知 终边所在的象限，要确定 所在的象限常用的方法有两种：
方法一：分类讨论．由 的范围得到 的范围，然后就 进行分类讨论，从而确定 所在象限．
方法二：“轮盘法”
① 所在象限的问题
如下图：
作出各个象限的角平分线，它们与坐标轴把周角等分成 个区域，从 轴的非负半轴起，按逆时针方
向把这 个区域一次循环标上号码 ，则标有某个数字的区域，就是 为该象限角时，
的终边落在的区域．如图中标 的区域，就是当 为第三象限角时， 的终边落在的区域．
② 所在象限的问题
规律同上，下面直接给出示意图，请读者自行对比理解：
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【备注】 可利用周期函数作伸缩变换后，周期内某一点的相对位置不变来解释．
经典例题
5. 若角 是第二象限的角，则 是（ ）．
A. 第一象限或第二象限的角 B. 第一象限或第三象限的角
C. 第二象限或第四象限的角 D. 第一象限或第四象限的角
【备注】 分类讨论或轮盘法皆可．
【答案】B
【解析】∵角 是第二象限的角，
∴ ， ，
∴ ， ．
故 是第一象限或第三象限的角.
故选： ．
【标注】【知识点】α/n角所在象限的确定
6. 若 是第三象限的角， 是第二象限的角，则 是第 象限的角．
【备注】 须留意不同两个角的 值不能直接相加．
【答案】一、三
【解析】 ， ①，
5
， ②，
， ③，
① ③得 ， ，
， ，
所以在第一或第三象限．
（注意不可以将①与②对应相减，这样的计算没有不等式性质的支持，而①+③时两式中
的 并非同一变量，因此不能变为 ）
【标注】【知识点】α/n角所在象限的确定
巩固练习
7. 若角 是第四象限的角，则角 是 ．
【答案】第一、三象限角
【解析】∵角 是第四象限的角，
∴ ， ，
则 ， ，
∴ ， ．
则角 是第一、三象限角．
【标注】【知识点】α/n角所在象限的确定
8. 若角 为第一象限角，则角 （ ）．
A. 不是第三象限角 B. 不是第四象限角 C. 不是第二象限角 D. 不是第一象限角
【答案】B
【解析】方法一：（代数法）
由题设知 ，
∴ ，
时， （第一象限角）；
时， （第二象限角）；
时， （第三象限角）；
时，
6
以后往复出现，周期为 ，
∴角 一定不是第四象限角，
∴选 ．
方法二：（几何法）
如图，将每个象限三等分，再按逆时针方向标出 ， ， ， ．
∵角 是第一象限角，
∴标数为 的部分为所求，即阴影部分（不包括边界）为角 的终边所在区域，
∴选 ．
【标注】【知识点】α/n角所在象限的确定
3. 弧度制
（一）弧度制的定义
长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做 弧度的角；用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度
制；在弧度制下， 弧度记作 ．
角 的弧度数的绝对值 （其中 是以角 作为圆心角时所对的弧长， 是圆的半径）． 的正
负由角 终边的旋转方向决定（ 逆时针 为正， 顺时针 为负）．
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零．
【备注】（1）用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“ ”可以省略不写，而只写角对应的弧度数
即可，如 可写成 ．
（2）不管是以弧度还是度为单位的角的大小，都是一个与半径大小无关的定值，半径为任
意值，只要弧长等与半径，该弧所对的圆心角就是 弧度的角．
（3）公式 中的 是弧度数，不是角度数．
（4）在弧度制下，角的集合与实数集 之间是一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个
实数（即这个角的弧度数）与之对应．反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度
数等于这个实数的角）与之对应，对应关系如下图：
7
（二）弧度制和角度制的转换
， ， 弧度 ．依据以上
公式，就可以自由的进行弧度与角度的换算了．
角度
弧度
角度
弧度
经典例题
9. 一个角的度数是 ，化为弧度数是 ．
【备注】 简单的弧度制与角度的互化．
【答案】
【解析】 ．
【标注】【知识点】弧度制
10. 下面与角 终边相同的角是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】 与 终边相同的角的集合： ．
【答案】C
8
【解析】与 终边相同的角可表示为：
， ，
当 时， ．
故选 ．
【标注】【知识点】终边相同的角的表示
巩固练习
11. .在平面直角坐标系 中，以 轴的非负半轴为始边，绕坐标原点 按逆时针方向旋转 弧度后所
得角的终边在（ ）．
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】∵ ，
∴ ，
∴在第二象限．
故选 ．
【标注】【知识点】任意角的表示；弧度制
12. 如图所示，在平面直角坐标系 中，动点 ， 从点 出发在单位圆上运动，点 按逆时针
方向每秒钟转 弧度，点 按顺时针方向每秒钟转 弧度，则 ， 两点在第 次相遇时，点
的坐标为 ．
【答案】
【解析】
9
动点 ， 从点 出发在单位圆上运动，点 按逆时针方向每秒钟转 弧度，点 按
顺时针方向每秒钟转 弧度，
而单位圆的周期长为 ，则 ， 两点每一秒钟相遇一次，则 ， 两点在第 次相遇
时，经过了 秒，
点 转过的弧度数为 周 ，
故点 位于 轴的正半轴上，即点 位于点 处．
故答案为 ．
【标注】【知识点】弧度制
4. 扇形的弧长和面积公式
若扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 ，周长为 ，面积为 ，则有
， ， ．
经典例题
13. 已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是 ．
【备注】 根据弧度制的定义，在等式关系中寻找弧长与半径的比值，留意区分题干信息是扇形
弧长还是周长．
【答案】
【解析】令圆心角为 ，半径为 ，弧长为 ，
由题意得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【标注】【知识点】弧度制；弧长公式与扇形面积
14. 若扇形的周长等于 ，则扇形面积的最大值是 .
【备注】 可如解析中一样，利用基本不等式构建扇形面积直接求解最大值，也可根据周长得到
半径和圆心角弧度的关系 ， ，换元求解最大
值
10
， ．
【答案】
【解析】设半径为 ，顶角为 ，
，
，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
当且仅当 ， 时取得最大值．
【标注】【知识点】基本不等式的实际应用；弧长公式与扇形面积
巩固练习
15. 已知扇形的周长为 ，圆心角为 弧度，则该扇形的面积为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：设扇形的半径为 ，弧长为 ，则
扇形的周长为 ，
弧长为： ，
，
根据扇形的面积公式，得
，
故选：A．
【标注】【知识点】弧长公式与扇形面积
16. 已知一扇形的周长为 ，当这个扇形的面积最大时，半径的长为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
11
【解析】设扇形弧长为 ，半径为 ，
∴ 扇形 ， 扇形 ，
∵ ，当且仅当 ， 时等号成立，
∴ ，取等号时 扇形最大，此时 ．
故选 ．
【标注】【知识点】弧长公式与扇形面积；二次函数模型
17. 一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设圆的半径为 ，扇形的圆心角为 ，弧长为 ，
由圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长得 ，
因此 ，又 ，故 ，
故选： ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】弧长公式与扇形面积
二、 任意角的三角函数
1. 任意角的三角函数的定义
根据研究函数的经验，我们在直角坐标系上进行对三角函数的研究．
如下图，以单位圆的圆心 为原点，以射线 为 轴的非负半轴，建立直角坐标系，点 的坐标为
，点 的坐标为 ．射线 从 轴的负半轴开始，绕点 按逆时针反向旋转角 ，终止位置为
．
12
一般地，任意给定一角 ，它的终边 与单位圆交点 的坐标，无论是 还是 ，都是唯一确
定的．所以点 的横坐标 ，纵坐标 都是角 的函数．
（1）将 叫做角 的正弦，记为 ，即 ；
（2）将 叫做角 的余弦，记为 ，即 ；
（3）将分式 叫做角 的正切，记为 ，即 ．
可以看出，当 时， 的终边落在 轴上，此时 ，所以 无意义．
除此之外，对于确定的角 ，上述三个值都是唯一确定的，符合构成函数的标准，所以：正弦、余弦、
正切都是以角为自变量，一单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们三个统称为三
角函数．
假设点 为任意角 终边上的任意一点， 坐标为 ，点 与原点间的距离为 ．此时利用勾股定
理和相似三角形不难证明：
；
；
．
只要知道角 终边上任意一点 的坐标，就可以求得角 的各个三角函数值，并且这些函数值不会
随 点位置的改变而改变．
经典例题
18. 若角 的终边经过点 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【备注】 考查三角函数的定义．
【答案】D
【解析】∵角 的终边经过点 ，
13
∴由三角函数的定义可知 ．
【标注】【知识点】计算任意角的三角函数值
19. 角 的终边过点 ，则 （ ）．
A. B.
C. 或 D. 与 的值有关
【备注】 只要知道角终边上任意一点的坐标，就可以求得角的各个三角函数值，并且这些函数
值不会随点位置的改变而改变．
【答案】C
【解析】 ， ， 时， ． 时，
，故选 ．
【标注】【知识点】计算任意角的三角函数值
巩固练习
20. 如果角 的终边经过点 ，则 （ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为角 的终边经过点 ，
由三角函数的定义可知， ．
【标注】【知识点】单位圆与三角函数线的运用
21. 已知 ，若 ，则 ．
【答案】
【解析】 ， ，
14
∴ ．
【标注】【素养】逻辑推理
【知识点】计算任意角的三角函数值
2. 三角函数线(选讲)
设角 的终边与单位圆交于点 ，与过点 的单位圆切线交于 点（当终边与切线不相交时，
取终边的反向延长线与切线的交点为 ），过 做 轴于 ，则有向线段 、 、
分别叫做角 的正弦线、余弦线、正切线．即 ， ，
，如下图：
经典例题
22. 已知 为锐角，利用三角函数线的有关知识证明： ．
【备注】 这一结论非常常用，利用三角函数线的几何法证明刚好方便学生记忆．
【答案】证明见解析.
15
【解析】当 时，角的终边始终在第一象限内，
根据三角函数线可知，蓝线表示正弦线，红线表示正切线，
再根据弧长公式 ，
即图中黑色弧线的长度表示 ，
∵红线长度>弧线长度>蓝线长度
（严格证明需用到三角形面积和扇形面积的比较），
∴ ， ，
∴当 为锐角时， ．
【标注】【知识点】单位圆与三角函数线的运用；三角函数线
巩固练习
23. 设 与 分别是角 的正弦线和余弦线，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】作出单位圆，以及角的正弦线和余弦线，
16
则由图象知， ．
故选 ．
【标注】【知识点】三角函数线；单位圆与三角函数线的运用
24. 年 月 日是全球首个国际圆周率日 ．历史上，求圆周率 的方法有多种，与中国传统
数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数 充分大时，计算单位圆的内接正 边
形的周长和外切正 边形(各边均与圆相切的正 边形)的周长，将它们的算术平均数作为 的近似
值，按照阿尔卡西的方法， 的近似值的表达式是(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：如图，设内接正 边形的边长为 ，外切正 边形的边长为 ，
可得 ，
，
则 ，
即 ，
故选：A．
17
【标注】【知识点】三角函数线
三、 三角函数的定义域、值域和符号
1. 三角函数的定义域和值域
结合三角函数的定义和单位圆，不难得出三角函数的定义域和值域：
三角函数 定义域 值域
2. 三角函数值在各象限的符号
（1）三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内的坐标符号导出的．根据三角函数的定义表达
式得知：正弦的符号取决于纵坐标 的符号；余弦的符号取决于横坐标 的符号；正切的符号由横纵坐标
共同决定（同号为正，异号为负）．这样，各三角函数值在每个象限的符号见下图：
18
（2）三角函数在各象限的符号可简记为“全正切余”，具体解释为：第一象限全为正；第二象限正弦为
正；第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
经典例题
25. 下列三角函数判断错误的是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】 可根据角所在的象限判断其三角函数的正负．
【答案】C
【解析】A 选项： 是第二象限角， ，故
正确．
B 选项： 是第四象限角， ，故
正确．
C 选项： 是第二象限角， ，故
不正确．
D 选项： 是第四象限角， ，故
正确．
故选 C .
【标注】【知识点】判断各象限三角函数值的正负
【素养】数学运算；直观想象
26. 已知角 的终边过点 ，则 是第（ ）象限角．
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
【备注】 根据终边上点横纵坐标的正负判断角所在的象限．
19
【答案】A
【解析】∵ ，
∴ ， ，
则 是第一象限角．
故选 ．
【标注】【知识点】判断各象限三角函数值的正负
27. 函数 的值域是 ．
【备注】 可对四个象限进行分类讨论（轴线角无意义）．
【答案】
【解析】由题意，知 为象限角．
讨论：①若 为第一象限角，则 ．
②若 为第二象限角，则 ．
③若 为第三象限角，则 ．
④若 为第四象限角，则 ．
综上所述，所求函数的值域为 ．
【标注】【知识点】判断各象限三角函数值的正负
巩固练习
28. 下列三角函数值的符号判断正确的是（）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A 选项：因为 在第二象限，所以 ，故 错误；
B 选项：因为 ，故 错误；
C 选项：因为 ，故 正确；
D 选项：因为 ，且 在第一象限，所以
故 错误；
20
故选 C .
【标注】【知识点】判断各象限三角函数值的正负
29. 已知 ， ，则 是第 象限角．
【答案】二、四
【解析】 ， ，则 ， ．所以，
， ， 在二、四象限．
【标注】【知识点】判断各象限三角函数值的正负
30. 已知点 在第三象限，则角 的终边在第 象限．
【答案】二
【解析】方法一：∵ ，∴角 的终边在第二、四象限，
∵ ，∴角 的终边在第二、三象限或 轴的负半轴上，
综上，角 的终边在第二象限．
方法二： 点 在第三象限，
，
角 的终边在第二象限．
【标注】【素养】数学抽象
【知识点】计算任意角的三角函数值；象限角与轴线角
31. 已知 终边经过点 ，且 ， ，则 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由 ， 知， 的终边在第二象限或 轴的正半轴上，
所以 且 ，解得 ．
【标注】【知识点】象限角与轴线角；判断各象限三角函数值的正负
【素养】数学运算
21
四、 同角三角函数的基本关系
如下图：
在单位圆中， 是圆上一点．正弦线 、余弦线 和半径 三者构成直角三角形，而且
，因此 ，即
．
显然，当 的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立．
根据三角函数的定义，当 ，有
．
语言描述为：同一个角 的正弦、余弦的平方和等于 ，商等于角 的正切．
【备注】（1）注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在使函数
有意义的前提下）关系式都成立，即与角的表达形式无关，例如 ，但
是 就不一定成立了；
（2） 是 的简写，读作“ 的平方”，不能将 等效成 ，前者是角
的正弦的平方，后者是角 的正弦，二者是不同的，要弄清区别并能正确书写；
（3）借助于上述两个公式，已知角 的某一个三角函数值，则可以计算出另外两个三角函
数值和 ， ， （符号未定）．
22
经典例题
32. 若象限角 满足 ，则 是（ ）．
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
【备注】 可逐个象限代入检验，也可从 出发，锁定象限．
【答案】C
【解析】象限角 满足 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是第三象限角．
故选 ．
【标注】【知识点】判断各象限三角函数值的正负
33. 已知角 的终边经过点 ，且 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】 已知某角的一个三角函数值，还需要其他的限定条件，才能确定另两个三角函数值的
正负．
【答案】C
【解析】已知角 的终边经过点 ，且 ，
可以判断角 终边在第一象限，则 ，
所以 ， ．
故选 ．
【标注】【知识点】已知正弦余弦正切或其关系求值
34. 若 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【备注】 同角三角函数齐次式的构造与化简求值是非常常用的技巧，在构造中，常用到
代换 ；化简时，常以 代换 ．
23
【答案】A
【解析】因为 ，
所以
，
，
，
，
.
故选 ．
【标注】【知识点】同角关系齐次式化简求值
【素养】数学运算
35. 已知 ，且 ，求下列各式的值．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【备注】正余弦的和差积存在以下的常用关系：
进行开方运算时，须留意正余弦三角函数值的正负和相对大小．
O O
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） .
【解析】（ 1 ） ，
∴ ，
24
．
（ 2 ） ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ①，
②，
由①②得 ， ，
∴ ．
【标注】【知识点】正余弦和差积相互转化求值
巩固练习
36. 如图，在平面直角坐标系中， ， ， ， 是以原点为圆心的单位圆上的四段弧，点 是
其中一段弧上的动点，角 以 为始边， 为终边，且恒有 ，则点 所在的
圆弧是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵ ，
要使 ，
则 必须在第二象限，
∴ 满足题意．
故选 ．
25
【标注】【知识点】单位圆与三角函数线的运用；三角函数线
37. 已知 中， ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由 ，得 ，则 为钝角．
， ， ．
【标注】【知识点】已知正弦余弦正切或其关系求值
38. 已知 ．
（ 1 ）求 的值．
（ 2 ）求 的值．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） ．
解得 ．
（ 2 ） ．
【标注】【知识点】同角关系齐次式化简求值
39. 已知 为第二象限角且 ，求：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ ，
∴ ，
∴ ，
26
又∵ 为第二象限角，
∴ ， ，
∴ ．
（ 2 ）
．
【标注】【知识点】正余弦和差积相互转化求值
40. 若 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
，
∴ ，
故选 ．
【标注】【知识点】同角三角函数的基本关系式；同角三角函数的基本关系式的化简和求值
五、 三角函数的诱导公式
27
角
的终边
的终边
图示
的终边
的终边 的终边
终边关系 相同 关于原点对称 关于 轴对称
公式
角
的终边
的终边 的终边
的终边
图示 的终边 的终边
先关于 对称
终边关系 关于 轴对称 关于 对称
再关于 轴对称
公式
（1）六组诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系，诱导公式可以概括
为： 各三角函数值与角 的三角函数值之间的关系：当 为偶数时，得 的同名三角函
数值；当 为奇数时，得 的异名三角函数值，然后在前面加上一个把 看作锐角时原函数的符号．
（2）记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、偶”是指 中 的奇偶性，当 为
奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当 为偶数时，函数名不变，“符号”看的应该是诱导公式中，把 看
作锐角时原函数的符号，而不是 的三角函数值的符号．
利用上述公式，可以将任意角的三角函数值转化为锐角三角函数值，一般可以按照下面的步骤进
行：
28
（1）先把负角化为正角，公式选用“ ”或“ ”诱导公式；
（2）把大角（大于 ）化为小角（ ），公式选用“ ”诱导公式；
（3）再把角化为锐角（ ），公式选用“ ”、“ ”或“ ”诱导公式．
例题讲解
41. 已知 ，则 的值等于(　　)
A. B.
C. D.
【备注】 利用诱导公式求值，要树立整体的思想，而不是将括号内的拆开．
【答案】A
【解析】解： ，
．
【标注】【知识点】诱导公式
42. （ ）．
A. B. C. D.
【备注】 复杂的三角函数求值问题，先利用诱导公式化简，尽可能将角转换为常见角处理．
【答案】D
【解析】∵ ，
即 ，
∴原式
．
【标注】【素养】逻辑推理；数学运算
【知识点】诱导公式；同角三角函数的基本关系式的化简和求值；利用诱导公式化简
29
43. 已知 ，且 是第三象限角．
（ 1 ）求 的值．
（ 2 ）求 的值．
【备注】 复杂的三角函数求值问题，先利用诱导公式化简，尽可能将角转换为三角函数值已知
的角处理．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） ，所以 ，且 是第三象限角，
所以 ．
（ 2 ）
．
【标注】【知识点】利用诱导公式化简
巩固练习
44. 已知 ， 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当 为奇数时，原式 ，
当 为偶数时，原式 ，
综上所述，故 正确．
故选 ．
【标注】【知识点】诱导公式
45. 已知 ，求： 的值．
【答案】 ．
30
【解析】
．
【标注】【知识点】诱导公式；利用诱导公式化简
46. 已知 是 的根，且 为第三象限角，则
（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵ 是 的根，
∴ 或 ，
∵ 为第三象限角，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
．
故选 ．
【标注】【知识点】同角三角函数的基本关系式；诱导公式；同角三角函数的基本关系式的化简和
求值；利用诱导公式化简
导图总结
你学会了吗？快来用思维导图总结本节课所学吧！
31
【备注】
出门测
47. 若 为第二象限角，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵ ，
又∵ 为第二象限角，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】同角三角函数的基本关系式；同角三角函数的基本关系式的化简和求值；诱导
公式；利用诱导公式化简
48.
已知 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
32
【解析】∵ ，则
．
故选 ．
【标注】【知识点】利用诱导公式化简
49. 已知扇形的周长是 ，面积是 ，则扇形的中心角的弧度数是（ ）．
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】设扇形弧长为 ，半径为 ，扇形的中心角的弧度数为 ，
由题意得： ，解得： 或 ，
∴ 或 ．
故选： ．
【标注】【知识点】弧长公式与扇形面积
50. 已知 ，求下列各式的值.
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ ，
即 ，
解得 ．
（ 2 ） ，
即 ，
两边平方得 ，
得 ．
33
【标注】【知识点】同角三角函数的基本关系式的化简和求值；同角三角函数的基本关系式
34

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