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6.3 余角、补角、对顶角（1）
【学习目标】
基本目标：
1.在具体情境中了解余角、补角的概念，会求一个角的余角和补角；能根据已知条件判断两个角是否互余或者互补；
2.知道同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等，并且运用这些结论进行说理.
提高目标：经历探索同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等，学会有条理的思考和表达，提升推理能力.
【重点难点】
重点：余角、补角的概念和性质.
难点：余角与补角性质的灵活运用.
【预习导航】
一、读一读：阅读课本P155
二、想一想：
1.用一副三角尺摆出图1，∠α与∠β 的度数之间有怎样的关系？
图①中∠α+∠β= ，图②中∠α+∠β= .
如果两个角的和是 ，这两个的角叫做 ，其中一个角是另一个角的 ；
如果两个角的和是 ，这两个的角叫做 ，其中一个角是另一个角的 .
2.（1）思考：同一块三角尺上有两个锐角互余吗？
（2）如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β
反过来，如果∠α与∠β互余，那么
如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β
反过来∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=
3.已知3组角：
(1) 对A组中的每一个角，在B组中找出它的补角，并用线连接；
(2) B组中有哪些角的余角在C组中？分别找出这些角，并用线连接.
【课堂导学】
活动一：填表并回答问题.
∠α的度数 50° n°(0＜n＜90)
∠α的余角 45°
∠α的补角 120°
1. ∠α取其他的一些度数，小组两人合作，一个人说出∠α 的度数，另一个人回答余角和补角的度数；
2. 观察结果，你发现了什么？
3. 同一个角的余角和补角有何关系？
活动二：已知一个角的补角是它的余角的3倍，那么这个角是多少度？你有几种方法解决？
活动三：如图，∠AOB=∠COD=90°，
（1）若∠BOC=60°，则∠AOC与∠BOD有怎样的大小关系？为什么？
（2）若改变∠BOC的度数，则∠AOC与∠BOD有怎样的大小关系？为什么？
问题1：找出图中互余的角；
问题2：你能用推理的形式说明∠AOC与∠BOD相等的理由吗？
问题3：你能用一句话概括你发现的结论？
活动四：如果∠α与∠β互为补角，∠α与∠γ互补，那么∠β与∠γ相等吗？为什么？
【课堂检测】
1.判断：
(1)90°的角叫余角，180°的角叫补角. ( )
(2)如果∠1+∠2+∠3=180°，那么∠1、∠2与∠3互补. ( )
(3)如果两个角相等，则它们的补角相等. （ ）
(4)如果∠α＞∠β，那么∠α的补角比∠β的补角大. （ ）
(5)一个锐角的余角一定小于这个角的补角. ( )
(6)一个角的补角一定比这个角小 （ ）
2.∠α=30°27′，则它的余角等于 ；∠β的补角是106°8′32″，
则∠β= .
3.如图，O是直线AB上的一点，∠AOE=∠FOD=90°，OB平分∠COD，则图中与∠DOE互余的角有哪些？与∠DOE互补的角有哪些？
4.如图，∠A+∠B=900， ∠BCD+∠B=900. ∠A与∠BCD有怎样的大小关系？为什么？
5.已知∠α与∠β互为补角， 且∠β比∠α大30°.求∠α 、∠β的度数.
6.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE=∠COF=90°.∠AOF与∠DOE、∠BOF与∠COE又怎样的大小关系？为什么？
【课后巩固】
1、基础检测
1. (1)∵∠1和∠2互余， (2)∵∠1和∠2互补，
∴∠1＋∠2= ∴∠1＋∠2=
（或∠1= －∠2）. （或∠1= －∠2）.
2.已知∠α=50°17′，则它的余角等于 ；∠β的补角是102°38′，则∠β= .
3.若∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∠1=40°，则∠3= .
4.∠1与∠2互余，∠1=（6x+8)°，∠2=(4x-8)°,则∠1= ，∠2= .
5.已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β－∠γ= .
6．若互为补角的两个角的度数之比为3:2，则这个两个角的度数分别为 和 .
7.如图，∠AOC和∠BOD都是直角，如果∠AOB=140°，那么∠DOC= .
8.若∠1与∠2互为补角，且∠1＜∠2，则∠1的余角为 （ ）
A.∠1 B.∠1+∠2 C.(∠1+∠2 ) D.(∠2－∠1)
9.(1)一个角比它的余角大25°，求这个角的度数；
（2）一个角的余角是这个角的补角的，求这个角的度数.
拓展延伸
10.（1）如图1，∠AOB、∠COD都是直角，试猜想∠AOD与∠BOC在数量上存在
相等、互余还是互补的关系，并说明你的理由；
图1 图2
（3）若∠COD绕着点O不停地旋转，则（1）中的猜想 成立（填“仍旧”或“不一定”）.
11.小明想用一张长方形纸折成一个纸袋，折法如图所示，两条折痕的夹角70°（即∠POQ=70°）,将折过来的重叠部分抹上胶水，即可做成一个纸袋，那么粘胶水的部分所构成的∠A′OB′= °.
β
α
β
α
图1
①
②
10°
15°
35°
55°
115°
35°
80°
105°
125°
170°
10°
55°
75°
100°
145°
B组
C组
A组
F
E
D
O
A
B
C
D
B
C
A
D
F
E
B
A
O
C
A
C
O
B
D
B
C
A
C
O
B
D
O
A
D
D
C
B′
A′
Q
P
O
B
A6.3余角、补角、对顶角（2）
【学习目标】
基本目标：
1.在具体情境中了解对顶角的概念；能根据定义判断两个角是否是对顶角；
2.知道对顶角相等，并且运用结论进行求角和说理.
提高目标: 经历“观察、操作 探索、猜想 推理”的认识，进一步发展空间观念，学会有条理的思考和表达，提升推理能力.
【教学重难点】
重点：对顶角的概念，对顶角相等.
难点：知道对顶角相等，并且运用结论进行求角和说理.
【预习导航】
一、读一读：阅读课本P161-P164
二、想一想：
1. 阅读教材内容“小孔成像”.
问题1：如图1，通过小孔O，两条光线AA′、BB′形成了哪些角？
问题2：这些角之间有怎样的数量关系？
2.你能举出生活中的对顶角的实例？
3.图中直线AB、CD相交于点O，若∠AOC=40 则∠DOB= °.
【课堂导学】
活动一：画一画、说一说
1. 画出上述“小孔成像”示意图；
2. 你能用自己的语言，对对顶角下一个定义吗？
3. 如图2，图中还有其它的对顶角吗？
归纳：有 顶点且两条边都互为 线的两个角称为对顶角.
对顶角指的是 个角之间的相互关系，正如“互余”、“互补”一样.
一对相交直线构成 组对顶角.
活动二：想一想、推一推
1. 对顶角有怎样的关系？你是如何得到这个结论的？
2. 如图3，直线AB和CD 相交于点O，试猜想∠AOC和∠BOD的大小关系，并说明理由.
对顶角的性质:对顶角 .
几何语言：∵∠AOC与∠BOD是对顶角
∴ .
【例题讲解】
例1.下列图形中的∠1和∠2是对顶角吗？
例2.如图4，直线AB、CD、EF相交于点O，则图中有多少对对顶角？请分别表示出来.
例3.如图，直线AB与CD相交于点O，∠EOD= 90°， ∠AOC=72°，求∠BOE的度数.
例4.如图6，设直线AB和CD交于O，OE平分∠AOC.
（1）画出OE的反向延长线OF；
（2）OF是∠BOD的平分线吗？为什么？
【课堂检测】
1.判断正误：
(1)如果两个角相等，则这两个角是对顶角. （ ）
(2)2条直线相交所成的4个角中任意2个角不是对顶角就是互为邻补角. （ ）
(3)对顶角的补角相等. （ ）
(4)有公共顶点的两个角是对顶角 （ ）
（5）有公共顶点且相等的两个角是对顶角 （ ）
（6）两条直线相交所形成的角是对顶角 （ ）
2.如图，直线AB、CD相交于点O，且∠AOD +∠BOC=2200，则∠AOC= .
3.如图，直线AB、EF相交于点D，∠ADC=90°.
（1）∠BDF的对顶角是 ；∠2的余角有 ，
∠1的补角有 .
（2）若∠BDF与∠2的度数之比为1︰4，求∠1的度数.
4.如图，要测量两堵墙所形成的∠AOB的度数，在围墙外面可以怎样测量？
5.（1）指出OA表示什么方向？
（2）画出OA的反向延长线OB，并指出它的方向.
6. 直线AB、CD相交于点O，OE是∠AOD的平分线，∠FOC=90°，∠1=40°.
求∠2与∠3的度数.
【课后巩固】
一、基础检测
1.如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOD=63°，∠AOE=92°，则∠COE = °.
2.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC+∠COE=90°.写出∠COE的余角、∠BOD的补角.
3．已知，直线AB、CD相交于O，已知∠AOC=70°，OE把∠BOD分成两个角，
且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠EOD的度数.
4.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=72°，∠DOF=90°.求∠EOF的度数.
5.如图，直线AB、CD相交于点O，OE是∠COB的平分线，
∠EOF=90°，∠AOD=70°.
（1）求∠BOE的度数；
（2）OF是∠AOC的平分线吗？为什么？
二．拓展延伸
6. n条直线交于一点，一共有多少对对顶角？数数看，与同学交流你的看法.
A
O
C
D
B
A
D
C
E
O
B
A
D
O
B
2
1
A
E
B
D
C
F
C
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
O
D
E
B
O
A
C
F
CE
B
E
O
D
A
C
F
E
A
O
B
D

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