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3.1函数的概念及其表示
3.1.2函数的表示法
一．知识梳理
1.函数的表示方法
（1）解析式：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.
（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.
（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.
2.分段函数
（1）定义：一般地，在定义域不同的部分，有不同的解析式，像这样的函数叫作分段函数.
（2）理解：ⅰ）分段函数是一个函数，而不是几个函数
ⅱ）写分段函数的定义域时，区间的端点位置要不重不漏
ⅲ）处理分段函数问题时，先要确定自变量的取值属于哪一段，然后选取相应的对应关系.
ⅳ)分段函数的定义域是各段定义域的并集；分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集；分段函数的最大（小）值则是分别在每段上求出最大（小）值，然后在各段的最大（小）值中取最大（小）值.
二．专题讲解
题型一：求函数的解析式
1.代入法：已知的解析式，求的解析式，常用代入法.
例1.已知，求的解析式
解析：，
变式：1-1.，求的解析式为
2.待定系数法：若已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出，然后利用题目中的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数.
例2.（1）已知一次函数满足，则的解析式为
（2）已知二次函数满足，则的解析式为
解析：（1）设，则
由恒等式原理知，，解得或，所以
（2）为二次函数，设
由，得.由，得
，整理得，
由恒等式原理知，解得，
变式：1-2.已知是一次函数，且满足，则的解析式为
1-3.已知是二次函数，且.则的解析式为
3.换元法(配凑法):主要解决已知复合函数表达式，求解的解析式的问题.
(1)配凑法是将右端的代数式配凑成关于的形式，再将解析式两边的用代替即可,进而求出的解析式.
(2)换元法是令解出用来表示（注意新元的范围），即用表示，然后代入中即可求出的解析式，最后用代替的解析式知所有的即可.
例3.（1）已知，则的解析式
（2）已知，则的解析式
解析：（1）方法一：（换元法）令，则
所以，即函数的解析式为
方法二：（配凑法）
因为，所以函数的解析式为
（2）方法一：（换元法）令，则，
所以，即函数的解析式为
方法二：（配凑法）因为
所以，即函数的解析式为
变式：1-4.已知，则的解析式为
1-5.已知，则的解析式为
4.构造方程组法(消元法）：已知中含有或的形式的式子，求的解析式，主要解决已知函数的抽象关系式求解函数解析式的问题，方法是根据不同形式的变量之间的关系，利用变形形式构造不同的等式，通过解方程组求解，在求解中注意分类讨论与整合、等价转化与化归等基本数学思想的灵活应用.
例4.（1）已知函数满足，则函数的解析式为
（2）已知函数满足，则函数的解析式为
解析：（1）在已知等式中，将用替换，得，与已知方程联立得，
，消去，得
（2）在已知等式中，将用替换，得，与已知方程联立得，
，消去，得
变式：1-6.已知函数满足，则函数的解析式为
1-7.已知，则函数的解析式为
5.求抽象函数的解析式：
赋值法求函数的解析式：当所给的函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再根据已知条件求出函数解析式，具体取什么特殊值，要根据题目特征而定.
例5.设是上的函数，且满足，并且对任意的实数都有
，则函数的解析式为
解析：由已知条件得，又.
所以设，则，所以
题型二：分段函数的应用
1.分段函数求值问题
（1）分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解，对于多层“”的问题，要按照“由内到外”的顺序逐层处理
（2）已知函数值，求自变量的值时，将“”脱掉，转化为关于自变量的方程求解
例6.已知，求
解析：（1）当时，，所以
（2）当时，，所以
所以
（3）当时，即时，
所以
（4）当，即时，
所以
所以
变式：2-1.已知，则的值为
2-2.已知函数，若，则的值为
2-3.已知函数，（1）求的值；（2）若求
(1),(2)
2.分段函数与不等式
分段函数的不等式的解集问题，一般都要通过分类讨论求解，每一类中条件与解得的范围取交集，而各类之间取并集.
例7.已知函数，求使成立的值组成的集合
解析：（1）当时，，解得，所以
（2）当时，，解得，所以
综上所述：的解集为
变式：2-4.函数，若，则的取值范围
2-5.若函数，则不等式的解集为
题型三：函数图像及其应用
1.函数图像的作法
（1）作函数图像的基本步骤：列表；描点；连线.
（2）变换作图法（）
平移：
向左平移个单位
向右平移个单位
向上平移个单位
向下平移个单位
对称：
关于轴对称
关于轴对称
关于原点对称
翻折：
保留轴上方的图像，再把轴下方的图像对称到轴上方
删去轴左边的图像，保留轴右边的图像，再把轴右边的图像对称到轴左边.
例8.作出下列函数的图像
（1） （2） （3）
解析：（1），定义域为，它的图像为直线，除去
（2）因为，先作函数的图像，把它向右平移个单位得到函数的图像，再把它向上平移个单位长度便得到函数的图像.
（3）先作的图像，保留轴上方图像，再把轴下方图像对称翻到轴上方，再把它向上平移一个单位，即得到的图像.
例9.已知函数
（1）作出函数的图像；（2）判断关于的方程的解的个数
解析：（1），去掉绝对值符号，有，故图像如图所示.
（2）关于的方程的解的个数就是直线和的图像的交点的个数，由图可知
当时，有一个交点
当时，有两个交点
当时，有三个交点
当时，有两个交点
当时，有一个交点
综上所述：当或，方程有一个解；当或时，方程有两个解；
当时，方程有三个解.
三．巩固练习
1.设函数，则的表达式为（ ）
2.若函数，则方程的解是（ ）
3.已知，则满足的的取值范围（ ）
4.若满足关系式，则的值为（ ）
5.设函数，若，，则关于的方程的解的个数为（ ）
6.若，则 ，
7.设是定义在上且周期为的函数，在区间上，，其中，若，则的值是　 　．
8.设函数，则满足的的取值范围
9.已知，则＝
10.已知，则的解析式为
11.如果，则一次函数
12.已知，函数若，则的值为
13.已知，则的解析式为
14.已知函数
（1）画出函数的图像；（2）若，求的值
(1)图像略 （2）
15.已知二次函数，对称轴为，且不等式的解集为.
（1）求函数的解析式；（2）若方程在有解，求实数的取值范围
（1） （2）的取值范围为
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