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二次函数精选利润习题10题（含解析）
一、解答题
1．某商家销售一款商品，该商品的进价为每件80元，现在的售价为每件145元，每天可销售40件商场规定每销售一件需支付给商场管理费5元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件若每件商品降价 元，每天的利润为 元，请完成以下问题的解答．
（1）用含 的式子表示：①每件商品的售价为　 　元；②每天的销售量为　 　件；
（2）求出 与 之间的函数关系式，并求出售价为多少时利润最大？最大利润是多少元？
2．某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费80元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高10元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以10元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天应提高多少元？
3．某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，如果提高售价，请问将售价定每件为多少元时，才能在半月内获得最大利润？并求出最大利润.
4．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）。设每件商品的售价上涨x元（x 为正整数），每个月的销售利润为W 元．求每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
5．某商家经销一种绿茶，用于装修门而已投资3000元，已知绿茶每千克成本50元，在第一个月的试销时间内发现，销量w（ ）随销售单价x（元/ ）的变化而变化，满足函数关系式 ，若该绿茶的月销售利润为y（元）（销售利润=单价×销售量-成本-投资）
（1）求y与x之间的函数关系式（不必写出变量x的取值范围）．并求出x为何值时，y的值最大？
（2）若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？
6．小李按市场价格30元/千克收购了一批海鲜1000千克存放在冷库里，据预测，海鲜的市场价格将每天每千克上涨1元．冷冻存放这批海鲜每天需要支出各种费用合计310元，而且这些海鲜在冷库中最多存放160天，同时平均每天有3千克的海鲜变质．
（1）设x天后每千克该海鲜的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式；
（2）若存放x天后，将这批海鲜一次性出售．设这批海鲜的销售总额为P元，试写出P与x之间的函数关系式；
（3）小李将这批海鲜存放多少天后出售可获得最大利润，最大利润是多少元？（利润W=销售总额﹣收购成本﹣各种费用）
7．某品牌手机去年每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系：y＝﹣50x+2600，去年的月销量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中1﹣6月份的销售情况如下表：
月份（x） 1月 2月 3月 4月 5月 6月
销售量（p） 3.9万台 4.0万台 4.1万台 4.2万台 4.3万台 4.4万台
（1）求p关于x的函数关系式；
（2）求该品牌手机在去年哪个月的销售金额最大？最大是多少万元？
（3）今年1月份该品牌手机的售价比去年12月份下降了m%，而销售量也比去年12月份下降了1.5m%．今年2月份，经销商决定对该手机以1月份价格的“八折”销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台．若今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元，求m的值．
8．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量 （件）与销售单价 （元）之间存在一次函数关系，如图所示.
（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.
9．为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用y1（元）与x（m2）的函数关系式为 ，其图象如图所示：栽花所需费用y2（元）与x（m2）的函数关系式为y2=﹣0.01x2﹣20x+30000（0≤x≤1000）．
（1）请直接写出k1、k2和b的值；
（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；
（3）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W的最小值．
10．某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示：
销售量n（件） n=50﹣x
销售单价m（元/件） 当1≤x≤20时，
当21≤x≤30时，
（1）请计算第15天该商品单价为多少元/件？
（2）求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；
（3）这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
答案解析部分
1．【答案】（1）（145 x）；（40＋2x）
（2）根据题意可得：y＝（145 x 80 5）（2x＋40），＝ 2x2＋80x＋2400，＝ 2（x 20）2＋3200，
∵a＝ 2＜0，
∴函数有最大值，
∴当x＝20时，y有最大值为3200元，此时售价为145 20＝125元，
∴售价为125元时利润最大，最大利润是3200元．
【解析】【解答】（1）由题意可知：①每件商品的售价为：（145 x）元；②每天的销售量为：（40＋2x）件；
故答案为：①（145 x），②（40＋2x）；
【分析】（1） ①根据“售价=原售价-降价”列式即可；②根据“该商品单价每降1元，每天销售量增加2件”即可列出销售量； （2）根据“利润=每件利润×总数量”列出二次函数表达式，再配方求最值即可。
2．【答案】解：设每张床位提高x个10元，每天收入为y元．
则有y＝（80+10x）（100﹣10x）
＝﹣100x2+200x+8000．
当x＝﹣ ＝1时，可使y有最大值．
则x＝1时，y＝8100，
答：每张床位每天应提高10元．
【解析】【分析】设每张床位提高x个10元，每天收入为y元，根据题意列出函数解析式y＝（80+10x）（100﹣10x），再利用二次函数的性质求解即可。
3．【答案】解：设售价定每件为 元，利润为 元，依题意可得
，
整理得 ，
配方得 ，
∵-20＜0，
∴当 时， 的最大值为4500元.
答：售价定为每件35元时，才能在半月内获得最大利润，最大利润为4500元.
【解析】【分析】 设售价定每件为 元，利润为 元，根据“利润=单件利润×销售量”求得函数关系式，然后利用二次函数的性质求最大值即可.
4．【答案】解：由题意得：
， 且 为整数 ，
，
当 时， 有最大值 ，
，且 为整数，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．
【解析】【分析】先根据题意写出函数解析式，再根据函数的性质以及自变量的取值范围，确定函数的值即可。
5．【答案】（1）由题意可得，
y与x的函数关系式为：y=（x-50） w-3000=（x-50） （-2x+240）-3000=-2x2+340x-15000；
∵y=-2x2+340x-15000=-2（x-85）2-550，
∴当x=85时，y的值最大为-550元．
（2）∵在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售所获利润为-550元，
∴第1个月还有550元的投资成本没有收回．
∴要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即y=2250才可以，
∴（x-50） （-2x+240）=2250，
解得，x1=75，x2=95．
根据题意，x2=95不合题意应舍去．
答：当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元，即在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元．
【解析】【分析】（1）根据“销售利润=单价×销售量-成本-投资”列出方程，再化简即可；
（2）根据“销售利润=单价×销售量-成本-投资”列出方程求解即可。
6．【答案】解：（1）y=x+30；
（2）p=（x+30）（1000﹣3x）=﹣3x2+910x+30000；
（3）W=P﹣30×1000﹣310x=﹣3x2+910x+30000﹣30000﹣310x
=﹣3x2+600x，
∵﹣3＜0，
∴W有最大值，
当x==100时，
∵100＜160，
∴W最大值==30000．
∴存放100天后出售时获得最大利润，最大利润为30000元．
【解析】【分析】（1）依题意可求出y与x之间的函数关系式．
（2）存放x天，每天损坏3千克，则剩下1000﹣3x，P与x之间的函数关系式为P=（x+30）（1000﹣3x）
（3）依题意化简得出w与x之间的函数关系式，求得x=100时w最大．
7．【答案】（1）解：设p＝kx+b，
把p=3.9，x=1；p=4.0，x=2分别代入p=kx+b中，
得：
解得： ，
∴p=0.1x+3.8
（2）解：设该品牌手机在去年第x个月的销售金额为w万元，
w＝（﹣50x+2600）（0.1x+3.8）
＝﹣5x2+70x+9880
＝﹣5（x﹣7）2+10125，
当x＝7时，w最大＝10125，
答：该品牌手机在去年七月份的销售金额最大，最大为10125万元；
（3）解：当x＝12时，y＝2000，p＝5，
1月份的售价为：2000（1﹣m%）元，则2月份的售价为：0.8×2000（1﹣m%）元；
1月份的销量为：5×（1﹣1.5m%）万台，则2月份的销量为：[5×（1﹣1.5m%）+1.5]万台；
∴0.8×2000（1﹣m%）×[5×（1﹣1.5m%）+1.5]＝6400，
解得：m1%＝ （舍去），m2%＝ ，
∴m=20，
答：m的值为20
【解析】【分析】（1） 由表格中的信息将点（x，p）代入解析式
p＝kx+b， 可得关于k、b的方程组，解方程组即可求解析式；
（2）根据销售金额=销售量X单价可得销售金额与销售月份的二次函数关系式，并将解析式配成顶点式，根据二次函数的性质即可求解；
（3）由关系式 y＝﹣50x+2600 可计算出去年12月份每台的售价y和12月的销售量P的值；再结合已知条件可分别表示出今年1月份和2月份的售价和销量，根据今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元 可列方程求解。
8．【答案】（1）解：由题意得： ．
故y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700．
（2）解：由题意，得-10x+700≥240，
解得x≤46，
设利润为w=（x-30） y=（x-30）（-10x+700），
w=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，
∵-10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x=46时，w大=-10（46-50）2+4000=3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元
（3）解：w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600，
-10（x-50）2=-250，
x-50=±5，
x1=55，x2=45，
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数表达式，一次函数关系式可设y=kx+b。
（2）由利润=销售量×单件利润可以列出利润表达式，再通过二次函数的性质即可求出利润的最大值；
（3）首先根据利润w与单价x的表达式求出利润为3600元对应的x的值，再根据增减性即可求出销售单价x的范围。
9．【答案】（1）解：将x=600、y=18000代入y1=k1x，得：18000=600k1，解得：k1=30；
将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入y2=k2x+b，得： ，
解得：
（2）解：当0≤x＜600时，
W=30x+（﹣0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+10x+30000，
∵﹣0.01＜0，W=﹣0.01（x﹣500）2+32500，
∴当x=500时，W取得最大值为32500元；
当600≤x≤1000时，
W=20x+6000+（﹣0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+36000，
∵﹣0.01＜0，
∴当600≤x≤1000时，W随x的增大而减小，
∴当x=600时，W取最大值为32400，
∵32400＜32500，
∴W取最大值为32500元
（3）解：由题意得：1000﹣x≥100，解得：x≤900，
由x≥700，
则700≤x≤900，
∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小，
∴当x=900时，W取得最小值。
即W最小值=﹣0.01x2+36000=﹣0.01×9002+36000=27900（元）
【解析】【分析】（1）将x=600、y=18000代入y1=k1x；将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入y2=k2x+b，分别求解即可；
（2）分0≤x＜600，600≤x≤1000两个范围求出解析式，然后分别得出最大值，再比较即可；
（3）根据题意得出1000﹣x≥100，x≥700，解出x的取值范围，再求解即可.
10．【答案】（1）解：当x=15，m=20+×15=27.5（元/件）.
（2）解：y==
（3）解：当1≤x≤20时，y=，
则当x=15时，y有最大值，为612.5；
当21≤x≤30时，由y=，可知y随x的增大而减小
∴当x=21时，y最大值==580元
∵580＜612.5，
∴第15天时获得利润最大，最大利润为612.5元．
【解析】【分析】（1）当x=15时，在1≤x≤20内，所以代入m=20+x可求得；
（2）分当1≤x≤20时与当21≤x≤30时讨论，用单件利润与销售数量的乘积表示总利润；
（3）求出当1≤x≤20时的最大值，求出当21≤x≤30时的最大值，再作比较.
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